河北省沧州市青县第二中学2024-2025学年上学期九年级数学期中考试试题

2024-2025学年上学期青县第二中学九年级数学期中考试试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题(共12题，共36.0分) 1．(3分)习近平总书记提出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2．(3分)下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A. y≥3x B. y=x2+（3-x）x C. y=（x-1）2 D. y=ax2+bx+c 3．(3分)若y=（1-m）x是二次函数，且图象开口向下，则m的值为（　　） A. m=±2 B. 0 C. m=-2 D. m=2 4．(3分)下列函数关系中，y是x的二次函数的是（　　） A. y=ax2+bx+c B. C. y=50+x2 D. y=（x+2）（x-3）-x2 5．(3分)下列关于二次函数y=2（x-3）2-1的说法，正确的是（　　） A. 图象的对称轴是直线x=-3 B. 图象向右平移3个单位则变为y=2（x-3）2+2 C. 当x=3时，y有最大值-1 D. 当x＞3时，y随x的增大而增大 6．(3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE=105°，则∠BOD的度数是（　　） A. 150° B. 105° C. 75° D. 165° 7．(3分)将如图所示的图案平移后可以得到如图中的（　　） A. B. C. D. 8．(3分)如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE=82°，那么∠BOD的度数为（　　） A. 160° B. 164° C. 162° D. 170° 9．(3分)如图（1），在△ABC中，∠B=90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CAB匀速运动，点P出发一段时间后，动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动．当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，此时点P，Q停止运动．设点P的运动时间为ts,△PQC的面积为Scm2，S关于t的函数图象如图（2）所示（当点P与点B，C重合时，不妨设S=0，其中当0＜t≤4时，函数图象为线段，当4＜t≤5，5＜t≤a时，函数图象均为抛物线的一部分）．若△PQC的面积为2，则t的值为（　　） A. B. 或6 C. 或10 D. ，6或10 10．(3分)已知二次函数y=x2-4mx-2m+3，当-1≤x≤0时，y的值恒大于1，则m的取值范围（　　） A. -1＜m＜2 B. ＜m＜1 C. ＜m＜0 D. -1＜m＜ 11．(3分)如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论： ①∠CAF=∠DAE； ②四边形AFCE的面积是定值； ③当∠AEC=135°时，E为△ADC的内心； ④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等． 其中正确的结论的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．(3分)已知x,y为实数，且满足x2-xy+4y2=4，记u=x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m,则M+m=（　　） A. B. C. D. 二、填空题(共4题，共12.0分) 13．(3分)整式a2+b2-8a-2b+5的最小值为 _____． 14．(3分)方程x2-x=0的解为 _____． 15．(3分)如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=4，以BC为直径的半圆O交斜边AC于点D，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E，则阴影部分面积为_____（结果保留π）． 16．(3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过点（k+3，-k2+1），（-k-1，-k2+1），则该抛物线的解析式_____． 三、解答题(共8题，共72.0分) 17．(9分)已知抛物线． （1）确定此抛物线的顶点在第几象限； （2）假设抛物线经过原点，求抛物线的顶点坐标． 18．(9分)已知方程x2-（k+3）x+k2=0的根都是整数．求整数k的值及方程的根． 19．(9分)解方程： （1）x2-4x+3=0（用配方法求解）； （2）2（x-3）=3x（x-3）（用因式分解法求解）． 20．(9分)在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是（-1，1），（0，0）和（1，0）． （1）在图①中添加一颗棋子C，使得以A，O，B，C四颗棋子为顶点的四边形为一个轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）在图②中添加一颗棋子P，使得以A，O，B，P四颗棋子为顶点的四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形，并直接写出棋子P的坐标． 21．(9分)某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为_____． 22．(9分)如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=DC．求证：AC=BD． 23．(9分)关于x的方程（a2-4a+5）x2+2ax+4=0： （1）试证明无论a取何实数这个方程都是一元二次方程； （2）当a=2时，解这个方程． 24．(9分)如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F 作图：请作出AC边上的高BG 探究： （1）请你通过观察、测量找到DE、DF、BG之间的数量关系：_____ （2）为了说明DE、DF、BG之间的数量关系，小嘉是这样做的： 连接AD 则S△ADC=_____，S△ABD=_____ ∴S△ABC=_____ S△ABC还可以表示为 _____ … 请你帮小嘉完成上述填空 拓展：如图2，当D在如图2的位置时，上面DE、DF、BG之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由 试卷答案 1．【答案】D 【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 解：A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2．【答案】C 【解析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 解：A．y≥3x,是不等式，故该选项不符合题意； B．y=x2+（3-x）x=x2+3x-x2=3x,是一次函数，故该选项不符合题意； C．y=（x-1）2，是二次函数，故该选项正确，符合题意； D．y=ax2+bx+c,当a=0时，不是二次函数，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．【答案】D 【解析】根据二次函数的定义，令m2-2=2，求m的值，二次函数图象开口向下，则二次项系数1-m＜0，确定m的值． 解：∵已知函数为二次函数， ∴m2-2=2， 解得m=-2或2， 当m=-2时，1-m=3＞0，二次函数图象开口向上，不符合题意， 当m=2时，1-m=-1＜0，二次函数图象开口向下， 故选：D． 4．【答案】C 【解析】利用二次函数定义进行分析即可． 解：A、当a=0时，不是二次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、化简后，不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C． 5．【答案】D 【解析】根据二次函数的性质和平移的规律对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：由二次函数y=2（x-3）2-1可知：开口向上，对称轴为x=3，当x=3时有最小值是-1；当x＞3时，y随x的增大而增大， 把二次函数y=2（x-3）2-1的图象向右平移3个单位得到函数为y=2（x-3+3）2-1，即y=2x2-1 故A、B、C错误，D正确， 故选：D． 6．【答案】A 【解析】首先利用邻补角求得∠BCD的度数，然后利用圆周角定理求得答案即可． 解：∵∠BCE=105°， ∴∠BCD=180°-∠BCE=180°-105°=75°， ∴∠BOD=2∠BCD=150°， 故选：A． 7．【答案】B 【解析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，即可得出结论． 解：观察各选项图形可知，B选项的图案可以通过原图形平移得到． 故选：B． 8．【答案】B 【解析】求出∠BCD的度数，根据圆内接四边形的对角互补得出∠A+∠BCD=180°，求出∠A=82°，根据圆周角定理得出∠BOD=2∠A，再求出答案即可． 解：∵∠DCE=82°， ∴∠BCD=180°-∠DCE=98°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD=180°， ∴∠A=82°， ∴∠BOD=2∠A=164°， 故选：B． 9．【答案】B 【解析】当0＜t≤4时，点Q还未出发，点P在AC上运动；当4＜t≤5时，点Q在BC上运动，点P在AB上运动；当5＜t＜a时，点Q在BC上运动，点P在AB上运动，据此求解即可． 解：由题意可知，AC=5，当点P在AC上时，且CP=4时，AP=1，AP+AB=BC， 在Rt△ABC中，设AB=x,则BC=x+1， 由勾股定理，得AB2+BC2=AC2， 即x2+（x+1）2=25， 解得x=3（负值不合题意，已舍去）， ∴AB=3，BC=4， ∴a=5+3=8， ∴sinC==， 当0＜t≤4时，S==， 令S=2，得t=； 当4＜t≤5时，S==， 此时S随t的增大而减小， ∴当t=5时，S有最小值，最小值为； 当5＜t≤8时，=， 令S=2，得t1=6，t2=10（不合题意，舍去）． 综上所述若△PQC的面积为2，则t的值为或6． 故选：B． 10．【答案】B 【解析】分别对①当抛物线的对称轴x=2m≤-1时，②当抛物线的对称轴x=2m≥0时，即m≥0时，③当抛物线的对称轴x=2m在区间-1＜x＜0时，进行分析得出m的取值范围即可． 解：y=x2-4mx-2m+3=（x-2m） 2-4m2-2m+3，对称轴x=2m,开口向上． 当x=2m≤-1时，x=-1，y=1+4m-2m+3＞1即可，∴m＞，∴＜m≤-； 当-1＜2m＜0时，y=-4m2-2m+3＞1即可，-1＜m＜，∴-＜m＜0； 当x=2m≥0时，x=0，y=-2m+3＞1即可， ∴0≤m＜1． 综上，＜m＜1． 故选：B． 11．【答案】C 【解析】根据等腰直角三角形的性质可以判断①；根据△DEF，△ADC是等腰直角三角形，可得AC=AD，AF=AE，所以==，因为∠CAF=∠DAE，所以△CAF∽△DAE，然后证明△ADE≌△CDE（SAS），可得AE=CE，S△ADE=S△CDE，根据面积的和差进而可以判断②；根据△ADE≌△CDE，可得∠EAC=∠ECA=22.5°，可得CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD，DE平分∠ADC，得点E是△ADC角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC，BC=CD=OD，且点F与点E的运动时间相同，进而可以判断④． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=45°， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF=∠DAC=45°， ∴∠EAF-∠CAE=∠DAC-∠CAE， ∴∠CAF=∠DAE，故①正确； ∵△AEF，△ADC是等腰直角三角形， ∴AC=AD，AF=AE， ∴==， ∵∠CAF=∠DAE， ∴△CAF∽△DAE， ∴∠ADE=∠ACB=45°，=（）2=2， ∴S△CAF=2S△DAE， ∵∠ADC=90°， ∴∠ADE=∠CDE=45°， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴AE=CE，S△ADE=S△CDE， ∴S四边形AFCE=S△ACF+S△ACE=2S△DAE+S△ACE=S△ADE+S△CDE+S△ACE=S△ADC=S正方形ABCD， ∴四边形AFCE的面积是定值，故②正确； ∵△ADE≌△CDE， ∴AE=CE， ∴∠EAC=∠ECA， ∵∠AEC=135°， ∴∠EAC=∠ECA=22.5°， ∵∠DAC=∠DCA=45°=2∠EAC=2∠ECA， ∴CE，AE分别平分∠DCA，∠CAD， ∵∠ADE=∠CDE=45°， ∴DE平分∠ADC， ∴点E是△ADC角平分线的交点， ∴E为△ADC的内心，故③正确； 如图，连接BD交AC于点O， ∵∠ADE=∠CDE=45°， 当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合， ∴点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC， ∵BC=CD=OD，且点F与点E的运动时间相同， ∴vF=vE， ∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误． 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 12．【答案】C 【解析】本题先将u转化为2xy+4，然后根据x2-xy+4y2=4进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得解． 解：方法一：∵x2-xy+4y2=4， ∴x2+4y2=xy+4， ∴u=x2+xy+4y2=2xy+4， ∵5xy=4xy+（x2+4y2-4）=（x+2y）2-4≥-4，当且仅当x=-2y,即，，或，时等号成立． ∴xy的最小值为，u=x2+xy+4y2=2xy+4的最小值为，即． ∵3xy=4xy-（x2+4y2-4）=4-（x-2y）2≤4，当且仅当x=2y,即，或，时等号成立． ∴xy的最大值为，u=x2+xy+4y2=2xy+4的最大值为，即． ∴． 方法二：由x2-xy+4y2=4，得x2+4y2=xy+4，u=x2+xy+4y2=2xy+4． 设xy=t,若x=0，则u=4；x≠0时，，将代入x2-xy+4y2=4， 得，即x4-（t+4）x2+4t2=0，…① 由△=（t+4）2-16t2≥0，解得． 将代入方程①，解得，；代入方程①，解得，． ∴xy的最大值为，最小值为． 因此，，，， 故选：C． 方法三： 由题意得， ①-②，得2xy=u-4， u=2xy+4， 把②两边加5xy,得（x+2y）2=4+5xy⩾0， 解得：， 把②两边减3xy,得（x-2y）2=4-3xy⩾0， 解得：xy≤， ∴， ， 因此，， ， ， 故选：C． 13．【答案】-12 【解析】先分组，然后运用配方法得到（a-4）2+（b-1）2-12，最后利用偶次方的非负性得到最小值． 解：a2+b2-8a-2b+5， =a2-8a+b2-2b+5， =（a2-8a+16）+（b2-2b+1）+5-17， =（a-4）2+（b-1）2-12， ∵（a-4）2≥0，（b-1）2≥0， ∴当a=4，b=1时，原式有最小值，最小值为-12． 故答案为：-12． 14．【答案】x1=0，x2=1 【解析】方程利用因式分解法求出解即可． 解：方程分解得：x（x-1）=0， 所以x=0或x-1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案为：x1=0，x2=1． 15．【答案】3-π 【解析】连接BD，OD，根据S阴=S半圆-（S扇形OCD-S△ODC）-S扇形CDE计算即可． 解：如图，连接OD，BD． 在Rt△ABC中，∵∠A=60°，AB=4， ∴BC=AB=4，∠C=30°， ∴CD=BC•cos30°=6， ∵S阴=S半圆-（S扇形OCD-S△ODC）-S扇形CDE=•π）2-[-×6×]-=3-π， 故答案为3-π． 16．【答案】y=-x2-x+4或y=-x2+x+4 【解析】点（k+3，-k2+1），（-k-1，-k2+1）的纵坐标相同，因此这两个点可能是关于对称轴对称的两个点，也可能是同一个点，故分两种情况进行分析解答， 解：抛物线y=-x2+bx+4的对称轴为x=b； ①抛物线上不同两个点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）的纵坐标相同， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则对称轴x=b==1，且k≠-2； ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4， ②两点重合，k+3=-k-1，k=-2，∴E（1，-3）代入得b=-． ∴抛物线的解析式为y=-x2-x+4， 故答案为：y=-x2-x+4或y=-x2+x+4． 17．【解析】（1）此题可以利用利用配方法求出抛物线的顶点坐标为，然后即可确定在第二象限； （2）因为抛物线经过原点，所以，解此方程即可求出a,然后就可以求出抛物线顶点坐标． 解：（1）∵ ∴抛物线的顶点坐标为，在第二象限； （2）∵抛物线经过原点，所以，所以， ∴a2+=1， ∴顶点坐标为（-1，1）． 18．【解析】先用利用已知条件得出△≥0，求出参数的范围，由特殊值法确定x与k的取值． 解：Δ=[-（k+3）]2-4k2 =-3k2+6k+9≥0⇒k2-2 k-3≤0⇒-1≤k≤3⇒整数k=-1，0，1，2，3． 由求根公式知x=，故 当k=-1时，Δ=0，x=1； 当k=0时，Δ=9，x=0或3； 当k=1时，Δ=12不是完全平方数，整根x不存在； 当k=2时，Δ=9，x=1或4； 当k=3时，Δ=0，x=3． 因此，k=-1，0，2，3，x=1，0，3，4． 19．【解析】（1）利用配方法得到（x-2）2=1，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到2（x-3）-3x（x-3）=0，然后利用因式分解法解方程． 解：（1）x2-4x+3=0， x2-4x=-3， x2-4x+4=-3+4， 即（x-2）2=1， 得：x-2=±1， 解得：x1=3，x2=1； （2）2（x-3）-3x（x-3）=0， x-3）（2-3x）=0， x-3=0或2-3x=0， 所以x1=3，x2=． 20．【解析】（1）如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可解决问题； （2）把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可解决问题． 解：（1）在图①中添加一颗棋子C，C的坐标可以是（2，1）（答案不唯一）； （2）在图②中添加一颗棋子P，P的坐标可以是（0，1）（答案不唯一）． 21．【答案】=28 【解析】设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程． 解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴共7×4=28场比赛． 设比赛组织者应邀请x队参赛， 则由题意可列方程为：=28． 故答案为：=28． 22．【解析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出=，求出=，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 证明：∵AB=DC， ∴=， ∴=， ∴AC=BD． 23．【解析】（1）要证明无论a取何实数这个方程都是一元二次方程，只要说明无论a为什么值时a2-4a+5的值都不是0，可以利用配方法来证明； （2）当a=2时，就可以求出方程的具体形式，解方程就可求出方程的解． 解：（1）a2-4a+5=（a2-4a+4）+1=（a-2）2+1， ∵（a-2）2≥0， ∴（a-2）2+1≠0， ∴无论a取何实数关于x的方程（a2-4a+5）x2+2ax+4=0都是一元二次方程； （2）当a=2时，原方程变为x2+4x+4=0， 解得x1=x2=-2． 24．【答案】(1)BG=DE+DF;(2)AC•DF;(3)AB•DE;(4)AC•DF+AB•DE;(5)AC•BG; 【解析】（1）作出AC边上的高BG，连接AD，分别求出△ABD、△ADC与△ABC的面积，进而可得出结论； （2）根据（1）中的证明过程可得出结论． 解：如图所示： （1）BG=DE+DF， 连接AD， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=AC， ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB•DE+AC•DF=AC•（DE+DF）， ∵BG⊥AC， ∴S△ABC=AC•BG， ∴BG=DE+DF． 故答案为：BG=DE+DF； （2）由（1）可知，S△ADC=AC•DF，S△ABD=AB•DE ∴S△ABC=AC•DF+AB•DE S△ABC还可以表示为AC•BG． 故答案为：AC•DF，AB•DE，AC•DF+AB•DE，AC•BG 拓展结论仍然成立，即BG=DE+DF． 学科网（北京）股份有限公司 $$