精品解析：广东华商技工学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题A卷

广东华商技工学校（四会校区）22级2023-2024学年第二学期期中考 《数学》试题A卷 （满分150分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题（每小题5分，15题，共75分） 1. （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入两角和差的正弦公式即可得解. 【详解】， 故选：. 2. 在中，，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理结合题干条件求解即可. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，，得. 故选：B. 3. 的最小正周期为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的最小正周期公式代入计算即可. 【详解】的最小正周期为. 故选：B. 4. 椭圆的焦距为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定，再由求出，即可得出焦距. 【详解】已知椭圆，其中， 所以，焦距为. 故选：C. 5. 到点和点距离之和为的点的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义分析题意即可得解. 【详解】因为平面上动点到两个点和点距离之和为的，且， 所以动点的轨迹是以点和点为焦点的椭圆， 所以，， 所以，所以， 所以动点的轨迹方程为， 故选：. 6. 焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目的条件可求解a和b的值，即可求解双曲线的标准方程. 【详解】因为实轴长为，虚轴长为， 所以， ， 又因为焦点在轴上， 所以双曲线标准方程为. 故选：B. 7. 顶点为原点，焦点为的抛物线的标准方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用焦点求抛物线标准方程即可. 【详解】顶点为原点，焦点为， 可知抛物线方程为，，， 则抛物线方程为； 故选：A. 8. 双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将双曲线化简为标准方程，求出a、b的值，再根据渐近线方程判断即可. 【详解】由双曲线可知焦点在y轴上，且， 则，所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 9. 抛物线的准线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程及准线方程即可求解. 【详解】因为抛物线的标准方程为， 所以，即， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A. 10. 经过点和点的椭圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程和性质，结合题意即可求解. 【详解】因为椭圆经过点和点，且两点都在坐标轴上，， 所以根据椭圆的性质可得，且椭圆的焦点在轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 11. 中，，，，则为（　　）三角形 A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用大边对大角，结合余弦定理求最大角即可判断. 【详解】中，，，， 因为，可知最大角为对的角， 则， 因为，所以， 所以为钝角三角形； 故选：B. 12. 离心率为，且经过点的双曲线的标准方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由双曲线的焦点位置分类，再结合离心率公式和代入点求解双曲线标准方程即可. 【详解】当双曲线焦点在轴时，可设其标准方程为， 由离心率为，可得，即， 又， 所以双曲线方程可表示为，将点代入， 可得，解得，此时双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴时，可设其标准方程为， 由离心率为，可得，即， 又， 所以双曲线方程可表示为，将点代入， 可得，即，此方程无解，故此时不存在双曲线的标准方程. 综上，双曲线的标准方程为. 故选：C. 13. 椭圆的左右焦点分别为和，为椭圆上一点，则的面积最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到，再分析的面积为，可得到在短轴端点时面积最大，即可求解. 【详解】因为椭圆，所以， 即，所以， 为椭圆上一点，令坐标为, 所以的面积为, 当在短轴端点时，最大，面积最大，即， 故选：C. 14. 已知双曲线渐近线方程为，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用渐近线方程求出不同情况下的双曲线方程，进而求出不同情况下的离心率. 【详解】因为渐近线方程为:,以可以求出:. 当双曲线位于轴两侧,可得双曲线线方程为:,所以离心率; 当双曲线位于轴两侧,可得双曲线方程为:,所以离心率. 故选：C. 15. 已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于两点，若两点到轴的距离分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质即可求解. 【详解】由抛物线知抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为两点到轴的距离分别为和， 则两点到准线的距离分别为和， 根据抛物线的性质可知弦. 故选：B. 二、填空题（每小题5分，5题，共25分） 16. 函数的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，正弦函数取得最小值，结合本题函数即可得到答案. 【详解】当时，取得最小值. 故答案为：. 17. 双曲线的渐近线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】通过双曲线方程，直接求解双曲线的渐近线方程. 【详解】把方程化成双曲线的标准方程为. 由此可知，双曲线的实半轴长， 虚半轴长， 所以渐近线方程为. 故答案为：. 18. 设是双曲线上一点，点到左焦点的距离为，则点到右焦点的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义得到，再分析的范围，即可求解. 【详解】因为双曲线为，所以， ，即， 又是双曲线上一点，所以， 依题意，，所以或， 若点在右支上，则有， 若点在左支上，则有， 故舍去，即. 故答案为：. 19. 如果方程表示焦点在轴的椭圆，则的范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据该椭圆焦点位于轴，并结合椭圆方程的定义即可求解. 【详解】因为该椭圆焦点位于轴，则，取交集后，即. 故答案为:. 20. 已知椭圆与直线相交于两点，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将直线与椭圆方程联立方程组，求出A，B的坐标，利用两点间距离公式求出距离即可． 【详解】将直线与椭圆方程联立，可得 ，消元并整理得， 解得或， 所以的坐标分别为,, 所以. 故答案为： 三、解答题（共4个小题，其中21，22，23每题12分，24题14分） 21. 在中，角的对边分别是，若，，，求： （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于角A，可根据余弦定理求解即可. （2）对于三角形面积，利用正弦定理的三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，，，， ， ， . 【小问2详解】 由（1）得：，根据正弦定理的三角形面积公式， 将，，代入得： . 22. 已知是椭圆的一个焦点，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设P是椭圆上的一点，若，求以线段为直径的圆的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆右焦点和右顶点求得的值，即可解得椭圆方程； （2）根据椭圆上点的性质，利用圆的面积公式即可解得. 【小问1详解】 由题可知，中心在原点的椭圆的右焦点为，右顶点为， 设椭圆的标准方程为， 则有，，从而， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由椭圆的定义可知， ， 所以以线段为直径的圆的半径为3，面积. 23. 已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且. （1）求双曲线的离心率； （2）若双曲线的虚轴长为6，求双曲线的标准方程. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）设双曲线的标准方程为：，焦距为.由抛物线的定义与题意可得，即为双曲线的离心率. （2）由虚轴长与，结合双曲线的离心率，可得与的值，即可求得双曲线的标准方程. 【小问1详解】 由分别为双曲线的左、右焦点，双曲线焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为：，焦距为. 则. 由抛物线的定义知. 由题意知. 故双曲线的离心率. 【小问2详解】 由题意知. 由（1）得且. ，即， 又分别为双曲线的左、右焦点，双曲线焦点在轴上， 故双曲线的标准方程为. 24. 已知抛物线上的一点到焦点的距离与到轴的距离之差是2. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为抛物线的焦点弦，且，点为的中点，求点的横坐标. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得出关于的等式，求出值，即可得出抛物线的标准方程. （2）设，，由抛物线定义与题目条件求出，即可求出点的横坐标. 【小问1详解】 设. 准线. 由抛物线定义，到焦点距离等于到准线距离等于. 到轴距离等于. 由题意知. 故抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设，，焦点. 为抛物线的焦点弦. . ，. . . . 故点的横坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东华商技工学校（四会校区）22级2023-2024学年第二学期期中考 《数学》试题A卷 （满分150分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题（每小题5分，15题，共75分） 1. （　　） A. B. C. D. 2. 在中，，，，（ ） A. B. C. D. 3. 的最小正周期为（　　） A. B. C. D. 4. 椭圆的焦距为（　　） A. B. C. D. 5. 到点和点距离之和为的点的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 6. 焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 顶点为原点，焦点为的抛物线的标准方程为（　　） A. B. C. D. 8. 双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 9. 抛物线的准线方程为（　　） A. B. C. D. 10. 经过点和点的椭圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 11. 中，，，，则为（　　）三角形 A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不确定 12. 离心率为，且经过点的双曲线的标准方程为（　　） A. B. C. D. 13. 椭圆的左右焦点分别为和，为椭圆上一点，则的面积最大值为（　　） A. B. C. D. 14. 已知双曲线渐近线方程为，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 或 D. 无法确定 15. 已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于两点，若两点到轴的距离分别为和，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，5题，共25分） 16. 函数的最小值为_________． 17. 双曲线的渐近线方程为_________. 18. 设是双曲线上一点，点到左焦点的距离为，则点到右焦点的距离为__________． 19. 如果方程表示焦点在轴的椭圆，则的范围是__________． 20. 已知椭圆与直线相交于两点，则__________． 三、解答题（共4个小题，其中21，22，23每题12分，24题14分） 21. 在中，角的对边分别是，若，，，求： （1）求； （2）求的面积. 22. 已知是椭圆的一个焦点，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设P是椭圆上的一点，若，求以线段为直径的圆的面积． 23. 已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且. （1）求双曲线的离心率； （2）若双曲线的虚轴长为6，求双曲线的标准方程. 24. 已知抛物线上的一点到焦点的距离与到轴的距离之差是2. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为抛物线的焦点弦，且，点为的中点，求点的横坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $