精品解析：2024-2025学年华东师大版数学八年级上册 期末综合测试卷

期末综合测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果a、b表示两个实数，那么下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及一个数的平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握它们的意义是解题的关键． 根据乘方的意义和平方根及立方根意义判断，判断一个命题是假命题只需要举一个反例即可． 【详解】， 或，如则； 故选项A不正确， 若，且a，b互为相反数，则，，如，则 故选项B说法不正确， 若，则， ∴， 故选项C正确， 若， ， ， 故选项D错误， 故选：C． 2. 在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了22次，则出现反面朝上的频数、频率分别是（　　） A. 22，44% B. 22，56% C. 28，56% D. 28，44% 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了22次， ∴出现反面朝上的频数、频率分别是：50﹣22＝28，×100%＝56%． 故选：C． 【点睛】本题考查了频率、频数的概念及频率的求法：频率=． 3. 小明总结了以下结论：①a(b+c)＝ab+ac；②a(b﹣c)＝ab﹣ac；③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘法分配律，除法分配律和去括号解题即可. 【详解】解：①a(b+c)＝ab+ac，正确； ②a(b﹣c)＝ab﹣ac，正确； ③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)，正确； ④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)，错误，无法分解计算． 故选C． 【点睛】本题考查的是去括号，熟练掌握乘法分配律，除法分配律是解题的关键. 4. 如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图， ∵AB⊥CD，CE⊥AD， ∴∠1=∠2， 又∵∠3=∠4， ∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3， 即∠A=∠C． ∵BF⊥AD， ∴∠CED=∠BFD=90°， ∵AB=CD， ∴△ABF≌△CDE， ∴AF=CE=a，ED=BF=b， 又∵EF=c， ∴AD=a+b-c． 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键． 5. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ） A. 30 B. 20 C. 60 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解. 【详解】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y， 则， ∵S阴影=S△AEC+S△AED = = = = =30. 故选A. 【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键. 6. 如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（ ） A. ∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1-∠2=180° 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠B=180°－2∠1=∠C，根据三角形的外角性质可得∠C=∠1－∠2，进一步即得答案． 【详解】解：∵AB=AC=BD， ∴∠BAD=∠1，∠B=∠C， ∴∠B=180°－2∠1=∠C， ∵∠C=∠1－∠2， ∴180°－2∠1=∠1－∠2， ∴3∠1－∠2=180°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 7. 如图，在四边形中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点 F，交于点 O．若点O是的中点，则的长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图知，由等腰三角形三线合一，得垂直平分，于是，结合平行线的性质证，进一步可证，得，中，运用勾股定理求得答案． 【详解】解连接，，， ， 由题意得：， 点O是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， , 在中， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一，中垂线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；连接辅助线运用等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 8. 已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（ ） A. b>0，b2-ac≤0 B. b＜0，b2-ac≤0 C. b>0，b2-ac≥0 D. b＜0，b2-ac≥0 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0． 【详解】解：∵a-2b+c=0， ∴a+c=2b， ∴a+2b+c=4b＜0， ∴b＜0， ∴a2+2ac+c2=4b2，即， ∴b2-ac=， 故选D． 【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 9. 如图，小巷左右两侧是竖直墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 10. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件，证明图中空白的三个小三角形相似，即，根据，求出AF的值，再求出BF的值，由于△ACF与△ABC同高，故面积之比等于边长之比，最后根据AF与BF的关系，得出△ACF与△ABC的面积之比，由于△ABC的面积可求，故可得出阴影部分的面积. 详解】根据题意，补全图形如下： 图中由于和都是等腰直角三角形，故可得出如下关系： ， 由此可得，继而得到 ，令，则， 根据勾股定理，得出： 那么，解出， 由于△ACF与△ABC同高，故面积之比等于边长之比， 则 故阴影部分的面积为12. 【点睛】本题关键在于先证明三个三角形相似，得出对应边的关系，最后根据已知条件算出边长，得出阴影部分面积与已知三角形面积之比，故可得出阴影部分的面积. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 【答案】0.25## 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方的逆用是解题的关键；因此此题可根据积的乘方的逆用进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为0.25． 12. 下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，再结合相关知识对各个命题逐一分析判断即可． 【详解】解：①相等的两个角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； ②在同一平面内，若，则，故本选项符合题意； ③若，则与互为补角，不一定互为邻补角，故本选项不符合题意； ④如图，互为邻补角，分别平分， ， ，则互为邻补角的两角的平分线互相垂直，故本选项符合题意； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，故本选项不符合题意； ⑥过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项不符合题意； 综上所述，真命题有②④， 故答案为：②④． 13. 在中，，、、的对边分别为a、b、c，若，的面积为54，则的周长为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形三边关系是解题的关键； 根据三角形的面积公式求出a，b，根据勾股定理计算即可． 【详解】在中，，， 为直角三角形 在中，设a，b分别为，， 的面积为54， ， 解得：， ，， 在中，由勾股定理得， 的周长为， 故答案为：36． 14. 如图，与相交于点，，，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，截取，连接，则四边形是平行四边形，得出，，证明为等边三角形得出，求得，由勾股定理得出，即可得出结果. 详解】过点作，截取，连接，如图所示： 则四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质，通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键. 15. 如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为____． 【答案】3或7 【解析】 【分析】过点P作PE⊥AO于E，由Rt△POE≌Rt△PON可得 OE=ON=5，然后根据点D与点E的相对位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用HL证出Rt△PDE≌Rt△PMN，可得DE=MN，即可求出OD． 【详解】过点P作PE⊥AO于E， ∵OC平分∠AOB，PN⊥OB， ， 在Rt△POE和Rt△PON中 ， Rt△POE≌Rt△PON， ∴OE=ON=5， ①若点D在线段上时，连接PD，如下图所示 在Rt△PDE和Rt△PMN中 ∴Rt△PDE≌Rt△PMN， ∴DE=MN， ∵MN=ON－OM=2， ∴DE=2， ∴OD=OE－DE=3， ②若点D在的延长线上时，连接PD，如下图所示 在Rt△PDE和Rt△PMN中 ， ∴Rt△PDE≌Rt△PMN， ∴DE=MN， ∵MN=ON－OM=2， ∴DE=2， ∴OD=OE＋DE=7， 综上所述：OD=3或7． 故答案为：3或7． 【点睛】此题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 求下列式子中未知数的值． （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用立方根，平方根解方程，熟练掌握立方根，平方根的定义是解题的关键； （1）等式两边同除以，可得，再利用平方根解方程即可； （2）等式两边同除以2，可得，再利用立方根解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 或； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 阅读下列材料： 已知求a、b的值． 解：，，且， ，， ，， 根据上述材料回答问题： 已知 的三边a、b、c满足，，判断 的形状，并说明理由． 【答案】是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式，非负性，等腰三角形的判定，解题的关键是综合运用以上知识解决问题；先把原等式整理为，再利用完全平方公式得到，根据题意可求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定，即可判断三角形的形状． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 18. 如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到∠DAF=∠CAF，又根据，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，进一步得到∠ABC=∠ACB，即可证明是等腰三角形； （2）在中，分别求得和的度数，利用三角形内角和求解即可． 【详解】（1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线 ∴∠DAF=∠CAF 又∵ ∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∴等腰三角形 （2）∵CG是∠ACE的角平分线 ∴∠ACG=∠ECG 又∵，∠ACB=∠B ∴ ∴∠ACG=∠ECG= 又∵∠CAG=∠ACB ∴∠AGC= 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键． 19. 定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点. （1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长. 【答案】（1）点M，N是线段AB的勾股分割点，理由见详解；（2）12或13. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可判断点M，N是线段AB的勾股分割点； （2）设BN=x，则MN=30-AM-BN=25-x，分3种情况，分类讨论：①当MN是最长边时，，②当BN是最长边时，，③当AM是最长边时，这种情况不存在；分别进行求解，即可. 【详解】(1)点M，N是线段AB的勾股分割点，理由如下： ∵， 又∵ ， ∴， ∴以AM，BN，MN为边的三角形是直角三角形， ∴点M，N是线段AB的勾股分割点； (2)设BN=x， 则MN=30-AM-BN=25-x， ①当MN是最长边时， ∵点M，N是线段AB的勾股分割点， ∴， ∴， 解得：x=12； ②当BN是最长边时， ∵点M，N是线段AB的勾股分割点， ∴， ∴， 解得：x=13； 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，根据题意，分类讨论，利用勾股定理列出方程，是解题的关键. 20. 某中学对全校1 200名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从1 200名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为A，B，C，D四个等级，并绘制了图1、图2两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： (1)求本次抽查的学生共有多少人； (2)将条形统计图和扇形统计图补充完整； (3)求扇形统计图中“A”所在扇形圆心角的度数． 【答案】（1）60人；（2）见解析；（3）72° 【解析】 【分析】（1）根据A等级有12人，占20%，即可求得抽查的总人数； （2）根据百分比的定义求得B、D所占的百分比，即可解答； （3）利用360°乘以对应的百分比即可求解． 【详解】解：(1)12÷20%＝60(人)． (2)B所占的百分比是×100%＝40%. D所占的百分比是1－20%－40%－30%＝10%. C的人数是60×30%＝18(人)． D的人数是60×10%＝6(人)． 如图所示． (3)360°×20%＝72°. 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 【答案】（1）6小时 （2）1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【解析】 【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案； （2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案． 【小问1详解】 解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理， 得， （小时）； 答：台风中心经过6小时从B点移到D点； 【小问2详解】 根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）． 又台风到点D的时间是6小时． 即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 22. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合． (1)若∠A＝35°，则∠CBD的度数为________； (2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长； (3)当AB＝m(m>0)，△ABC的面积为m＋1时，求△BCD的周长．(用含m的代数式表示) 【答案】（1）∠CBD=20°；（2）AD=；(3) △BCD的周长为m+2 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°； （2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长； （3）根据三角形ACB的面积可得， 进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长． 【详解】（1） ∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合， ∴∠1=∠A=35°， ∵∠C=90°， ∴∠ABC=180°-90°-35°=55°， ∴∠2=55°-35°=20°， 即∠CBD=20°； （2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合， ∴AD=DB， 设CD=x，则AD=BD=8-x， 在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2， x2+62=（8-x）2， 解得：x= ， AD=8-=； （3）∵△ABC 的面积为m+1， ∴AC•BC=m+1， ∴AC•BC=2m+2， ∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2， ∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC， ∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2， ∴CA+CB=m+2， ∵AD=DB， ∴CD+DB+BC=m+2． 即△BCD的周长为m+2． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段． 23. 先阅读下列两段材料，再解答下列问题： （一）例题：分解因式： 解：将“”看成整体，设，则原式， 再将“”换原，得原式； 上述解题目用到的是：整体思想，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法； （二）常用因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前面两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整分解了． 过程： ， 这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法． 利用上述数学思想方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）分解因式： （3）分解因式：； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，把看成一个整体，看成一个整体，把原式代换化简，在把、还原即得； （2）由题意用分组分解法，把前两项看成一组，后两项看成一组，通过提公因式法，进行因式分解即得； （3）把看成一个整体，代入原式化简，然后在把还原即得． 【详解】（1）设，，代入原式， 则原式， 把、还原，即得： 原式 ， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：； （3）设，则 原式 把还原，得 原式， 故答案为：． 【点睛】考查了分解因式的方法，提供了整体“整体思想”和“分组分解”两种方法，通过例题的讲解，明白整体代换分解因式后，最后要还原代回去，分组时找好各项关系进行分组． 24. 从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A． B． C． （2）若，，求的值． （3）计算：． 【答案】（1）B （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【小问1详解】 边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案：B． 【小问2详解】 ，且， ， 解得：； 【小问3详解】 ． 25. 在和中，． （1）如图1，将延长，延长线相交于点O： ①求证：； ②用含的式子表示的度数（直接写出结果）； （2）如图2，当时，连接，作于M点，延长与交于点N，求证：N是的中点． 【答案】（1）①见解析；② （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）如图2，作交的延长线于，作于，根据全等三角形的性质得到，同理，，等量代换得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，作交的延长线于P，作于Q， ，， ， 在与中， ， ， ， 同理，， ， 在与中， ， ， ， ∴是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末综合测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果a、b表示两个实数，那么下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了22次，则出现反面朝上的频数、频率分别是（　　） A. 22，44% B. 22，56% C. 28，56% D. 28，44% 3. 小明总结了以下结论：①a(b+c)＝ab+ac；②a(b﹣c)＝ab﹣ac；③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ） A. 30 B. 20 C. 60 D. 40 6. 如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（ ） A. ∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1-∠2=180° 7. 如图，在四边形中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点 F，交于点 O．若点O是的中点，则的长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 8. 已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（ ） A. b>0，b2-ac≤0 B. b＜0，b2-ac≤0 C. b>0，b2-ac≥0 D. b＜0，b2-ac≥0 9. 如图，小巷左右两侧是竖直墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 10. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 14 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 12. 下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 13. 在中，，、、的对边分别为a、b、c，若，的面积为54，则的周长为________． 14. 如图，与相交于点，，，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为______． 15. 如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为____． 三、解答题（共75分） 16. 求下列式子中未知数的值． （1）； （2）． 17. 阅读下列材料： 已知求a、b的值． 解：，，且， ，， ，， 根据上述材料回答问题： 已知 三边a、b、c满足，，判断 的形状，并说明理由． 18. 如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 19. 定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点. （1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长. 20. 某中学对全校1 200名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从1 200名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为A，B，C，D四个等级，并绘制了图1、图2两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： (1)求本次抽查的学生共有多少人； (2)将条形统计图和扇形统计图补充完整； (3)求扇形统计图中“A”所在扇形圆心角的度数． 21. 如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 22. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合． (1)若∠A＝35°，则∠CBD的度数为________； (2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长； (3)当AB＝m(m>0)，△ABC的面积为m＋1时，求△BCD的周长．(用含m的代数式表示) 23. 先阅读下列两段材料，再解答下列问题： （一）例题：分解因式： 解：将“”看成整体，设，则原式， 再将“”换原，得原式； 上述解题目用到的是：整体思想，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法； （二）常用因式分解的方法有提公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前面两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整分解了． 过程： ， 这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法． 利用上述数学思想方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）分解因式： （3）分解因式：； 24. 从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A． B． C． （2）若，，求的值． （3）计算：． 25. 在和中，． （1）如图1，将延长，延长线相交于点O： ①求证：； ②用含的式子表示的度数（直接写出结果）； （2）如图2，当时，连接，作于M点，延长与交于点N，求证：N是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$