4.1第2课时 递推公式和前n项和 课件-2024～2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 第2课时 递推公式和前n项和 作者编号:32003 1.了解数列递推公式的定义,能根据数列的递推公式求该数列的项(重点); 2.了解数列前n项和公式的定义,掌握通项公式与前n项和公式的关系,能根据数列前n项和公式求该数列的通项公式(难点). 学习目标 作者编号:32003 例3:如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n,那么120是不是这个数列的项?如果是,是第几项? 分析:要判断120是不是数列{an}中的项,就是要回答是否存在正整数n,使得n +2n=120.也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解. 解: 令n +2n = 120, 解这个关于n的方程,得n = -12(舍去),或n = 10. 所以,120是数列{an}的项,是第10项. 复习导入 作者编号:32003 例4:图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4各大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,写出这个数列的通项公式. an=3n-1 通项公式 1 3 9 27 讲授新知 作者编号:32003 追问:你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗? 1 3 9 27 3 3 3 a1=1 a2=3a1 a3=3a2 a4=3a3 an=3an-1(n≥2) 3an-1(n≥2) 1(n=1) an= 讲授新知 作者编号:32003 1 3 9 27 ... 项与序号之间的关系 相邻两项之间的关系 an=3an-1(n≥2) an=3n-1 通项公式 递推公式 问:什么是数列的递推公式? 讲授新知 作者编号:32003 一、数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 追问:相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗? 1 ,1 ,2, 3,5,8,13,21,34,... 斐波那契数列 an=an-1+an-2(n≥3) 知识总结 讲授新知 作者编号:32003 追问:数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系? 递推公式 通项公式 区别 表示 与它的前一项 (或前几项)之间的关系 表示 与 之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法; (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 讲授新知 作者编号:32003 知识拓展 如果知道了一个数列的首项或前几项,以及递推公式,就能求出数列的每一项了. 注意:(1)不是所有的数列都有递推公式; (2)当用递推公式给出一个数列时,必须给出: ①数列{an}的第1项(或前几项) ②递推关系 作者编号:32003 例题讲解 例5 已知数列 的首项为 ,递推公式为 ,写出这个数列的前5项. 作者编号:32003 变式训练 作者编号:32003 知识总结 二、数列的前n项和公式 如果数列 的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式。 我们把数列 从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列 的前n项和,记作Sn,即 作者编号:32003 追问:数列的前n项和公式与通项公式有何关系? 知识拓展 作者编号:32003 小试牛刀 问:已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+n,你能求出{an}通项公式吗? 作者编号:32003 已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤 归纳总结 作者编号:32003 拓展训练 已知数列 的前 项和 ,则数列 的通项公式为( ). A. B. C. D. B [解析] 当 时, . 当 时, . 又当 时,不满足 式, 故选B. 作者编号:32003 问:本节课你有什么收获? 课堂总结 作者编号:32003 3.根据下列条件,写出数列的前5项: (1); (2); (3),; (4),. (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1. (3)如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式, 那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1; 如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式, 那么数列{an}的通项公式要分段表示为an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.)) $$