精品解析：上海市嘉定区远东中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024学年第一学期九年级数学学科九月B练 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果实数a，b，c，d满足，下列四个选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，点、分别在边、上，由下列条件不能得到的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F．则图中相似三角形的对数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，已知在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到，交中点.若，若，求点到线段的距离（　　　） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 在比例尺为1﹕的地图上量出、两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是_______________千米． 8. 已知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 9. 已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么______． 10. 在中，点、分别在边、上，且，，，，那么________． 11. 某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为______米. 12. 已知点G是△ABC的重心，AG＝4，那么点G与边BC中点之间的距离是 ___． 13. 如图，，，，那么______． 14. 如果，且面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为______． 15. 如图，已知，和相交于，若，则______． 16. 如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则 面积为__________ 17. 如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于_____． 18. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=9，点P在BC边上，CP=3，点Q为线段AP上的动点，射线BQ与矩形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，则=____________． 三、解答题：（本大题共7题，19题~22题每题10分，23题~24题每题12分，25题14分，满分78分） 19. 已知≠0，求的值． 20. 如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，． （1）求证：； （2）当时，求的值． 21. 如图，在中，，P是形内一点，且， （1）求证：； （2）试求的值． 22. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G. (1)求证：CE⊥AB. (2)求证：. 23. 如图，在中，E是的中点，和相交于点F，过点F作，交于点G． （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 25. 已知：正方形的边长为4，点为边的中点，点为边上一动点长，沿翻折得到，直线交边于点，交直线于点． （1）如图，当时，求的长； （2）如图，当点在射线上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）延长交直线于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级数学学科九月B练 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果实数a，b，c，d满足，下列四个选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质选出正确选项． 【详解】A选项正确，∵，∴； B选项，当或时， 不成立； C选项，当时，不成立； D选项不成立，例如：当时，； 故选：A． 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质． 2. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 3. 在中，点、分别在边、上，由下列条件不能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出选项B、C、D的比例式中能得到，选项A的比例式中不能得到，即可得出答案．本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ； 故B选项是不符合题意； ， ； 故C选项是不符合题意； ， ， 故D选项是不符合题意； 当时，与不一定相似， 不一定等于， 不能判定， 故选：A． 4. 如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题根据直角三角形的定义和相似三角形的判定方法判断即可． 【详解】A. 因为 ，，所以，即为直角三角形，故A正确． B. 因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故B正确． C. 因为，而且，所以，那么，即为直角三角形，故C正确． D. ，而且，所以，因为，所以两三角形全等，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D错误． 故选：D 【点睛】此题考查相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 5. 如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F．则图中相似三角形的对数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理∠ABE＝∠C，∠BAE=∠CAB，可得△ABE∽△ACB；由AD平分∠BAC，可得∠BAF=∠CAD，结合∠ABF＝∠C，可得△ABF∽△ACD；根据三角形相似的性质可得∠AFB=∠ADC，等角的补角性质可得∠BFD=∠BDF=∠AFE，进而可证△ABD∽△AEF即可． 【详解】解：∵∠ABE＝∠C，∠BAE=∠CAB， ∴△ABE∽△ACB； ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAF=∠CAD， ∵∠ABF＝∠C， ∴△ABF∽△ACD； ∴∠AFB=∠ADC， ∴∠BFD=∠BDF=∠AFE， ∵∠BAD=∠EAF， ∴△ABD∽△AEF， 则图中相似三角形的对数是3对． 故选择C． 【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，角平分线，等角的补角性质，掌握三角形相似判定与性质，角平分线，等角的补角性质是解题关键． 6. 如图，已知在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到，交中点.若，若，求点到线段的距离（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，求出，进而可得到，，再根据点D为BC中点，可得到，然后根据AC＝6求得DF＝，最后再利用相似三角形的判定及性质即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， 又∵点D为BC中点， ∴， 如图，过点D作DF⊥AC，过点作⊥AC，垂足分别为点F，G， 则， ∵AC＝6， ∴DF＝， ∵DF⊥AC，⊥AC， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的等积变换，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 在比例尺为1﹕的地图上量出、两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是_______________千米． 【答案】6 【解析】 【分析】设A、B两地间的实际距离是xcm，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再进行单位换算化为千米即可． 【详解】解：设A、B两地间的实际距离是xcm，根据题意得： 12：x=1：50000， 解得：x=600000， ∵1km=1000m=1000×100cm=100000cm ∴600000cm÷100000=6km． 故答案为6． 【点睛】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算． 8. 已知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数． 【详解】解：线段，， 线段、的比例中项． 故答案为：3． 9. 已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，他们的比值叫作黄金比．本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，， ． ∴ 故答案为：． 10. 在中，点、分别在边、上，且，，，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为______米. 【答案】4.8 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：设高度为h， 因为太阳光可以看作是互相平行的， 由相似三角形：， 得：h＝4.8米， 故答案为：4.8. 【点睛】本题考查相似形的知识，解题的关键在于将题目中的文字转化为数学语言再进行解答． 12. 已知点G是△ABC的重心，AG＝4，那么点G与边BC中点之间的距离是 ___． 【答案】2 【解析】 【分析】三角形重心是三角形三条中线的交点，根据三角形重心的性质进行求解． 【详解】解：如图，D是BC边的中点； ∵G是△ABC的重心， ∴AG=2GD=4，即GD=2； 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 13. 如图，，，，那么______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，结合，，可知，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：4 ． 14. 如果，且面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题可利用相似三角形的性质求解．已知了两个相似三角形的面积比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出它们的相似比．由于相似三角形的周长比等于相似比，即可求出它们的周长比．本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：两个相似三角形的面积之比为， 它们的相似比是， 相似三角形的周长之比等于相似比， 这两个三角形的周长之比为． 故答案为：． 15. 如图，已知，和相交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 16. 如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则 面积为__________ 【答案】18 【解析】 【分析】连接，延长交于点G，连接，根据重心的性质推出，通过证明，，得出，则，，再证明，得出， 设，则，，根据四边形的面积为6，求出，即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点G，连接， ∵点P为重心，点D为边中点， ∴点B、P、D在同一直线上， ∵， ∴， ∵点D为边中点， ∴点G为边中点， ∴点C、P、G在同一直线上， ∵点D为边中点，点G为边中点， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵四边形的面积为6， ∴，解得：， ∴， ∵点D为边中点， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查三角形重心的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的三条中线相交于一点，这一点是三角形的重心；三角形的中线将三角形面积平均分为2分；相似三角形对应边成比例，面积比是相似比的平方． 17. 如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于_____． 【答案】4﹣4． 【解析】 【分析】设直线l与AB、CD分别交于点E、D，由“完美分割线”的定义可知，S△AED＝S四边形BCDE，设AE＝AD＝x，证△AED∽△ABC，可求x的值，进一步可求出BC的长． 【详解】解：如图，设直线l与AB、CD分别交于点E、D， 则由“完美分割线”的定义可知，S△AED＝S四边形BCDE， ∴， ∵l∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴， 设AE＝AD＝x， 则， ∴x＝， ∴BE＝CD＝2﹣， ∴BC＝2﹣2（2﹣）＝4﹣4． 【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够领悟新定义的性质，并进行运用． 18. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=9，点P在BC边上，CP=3，点Q为线段AP上的动点，射线BQ与矩形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，则=____________． 【答案】1或． 【解析】 【详解】解： 有两种情况：①若R在线段AD上， ∵ABCD为矩形，∴∠RAB=∠ABP=90°， ∵AB=AB，AP=BR，∴△RAB≌△PBA， ∴AR=BP，∵AD∥BC，∴∠ARQ=∠QBP，∠RAQ=∠QPB， ∴△ARQ≌△PBQ， ∴QR=BQ， ∴=1； ②若R在线段DC上，如图，延长AP与DC的延长线交于点E， ∵CP∥DA，∴CE：DE=CP：DA，∴CE：(CE+8)=3：9，∴CE=4， ∵PB=9-3=6，AB=8，∴AP=10， ∴BR=AP=10，∴RC=， ∴RE=，∵DC∥AB， ∴ 故答案为1或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例定理；矩形的性质． 三、解答题：（本大题共7题，19题~22题每题10分，23题~24题每题12分，25题14分，满分78分） 19. 已知≠0，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】由等比性质设===k，把a,b,c用含有K的代数式表示，待入所求的式子即可得解． 设===k，得 则． 20. 如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，． （1）求证：； （2）当时，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据相似比的性质得出，，故可得出，由此即可得出结论； （2）先根据得出，再由得出，故可得出，同理可得，，故可得出根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论． 本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，即， 同理可得，， ， ， ∴ ∵ ， ． 21. 如图，在中，，P是形内一点，且， （1）求证：； （2）试求的值． 【答案】（1）证明：在中，，， ，即， 又在中，， ， ， 又， ； （2）2 【解析】 【分析】（1）结合题意，易得，从而可得出，又在中，，以及，即可得出； （2）由于是等腰直角三角形，即可得出和之间的关系，利用（1）的条件，，在中，，易得出的值． 【详解】（1）略 （2）是等腰直角三角形， ， 又， ， 令，则，， 又在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度． 22. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G. (1)求证：CE⊥AB. (2)求证：. 【答案】 (1)证明：∵， ∴. ∵BD是AC边上的高， ∴∠BDC = 90°，△ADB和△ODC是直角三角形. ∴Rt△ADB∽Rt△ODC. ∴∠ABD =∠OCD. 又∵∠EOB=∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°， ∠EOB +∠ABD+∠OEB =180°. ∴∠OEB = 90°. ∴CE⊥AB. (2)证明：在△ADB和△AEC中， ∵∠BAD=∠CAE，∠ABD =∠OCD， ∴△ADB∽△AEC. ∴， 即. 在△DAE和△BAC中 ∵∠DAE =∠BAC，. ∴△DAE∽△BAC. ∵AF是∠BAC的平分线， ∴，即. 【解析】 【分析】（1）首先判定Rt△ADB∽Rt△ODC，得出∠ABD =∠OCD，然后通过三角形内角和转换得出∠OEB = 90°，进而得出CE⊥AB； （2）首先判定△ADB∽△AEC，得出，然后再判定△DAE∽△BAC，得出，进而得出. 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题. 23. 如图，在中，E是的中点，和相交于点F，过点F作，交于点G． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2） 证明：设，，则，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，； ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）先由平行四边形的性质得到，再证明，得到，根据线段中点的定义推出，进而得到，再证明，得到，则，即； （2）根据已知条件可以设，，则，．通过证，得到对应角．然后易证，所以，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1） （2） 解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 25. 已知：正方形的边长为4，点为边的中点，点为边上一动点长，沿翻折得到，直线交边于点，交直线于点． （1）如图，当时，求的长； （2）如图，当点在射线上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）延长交直线于点，若，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先确定，即，然后利用，列出比例式求出的长度； （2）根据，求出的表达式；由，列出比例式求解； （3）本问分两种情形，分别作图，运用数形结合思想以及相似三角形的性质进行列式计算，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由翻折性质，可知为的角平分线，且． 点为中点， ， 为的角平分线． ， ，即， ， ， 即． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即， 解得：． 【小问2详解】 解：由（1）知， ，即， ， ． ， ， 又，， ， ∵ ∴ 或， 此时x无解， ． 【小问3详解】 解：由题意知：． ①当点在线段的延长线上时，如答图1所示． ∵， ∴， ， ． ， ， ， ； ②当点在线段的延长线上时，如答图2所示． ∵， ∴． 同理可得：， ， ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何综合题型，主要考查了相似三角形、正方形、解直角三角形、角平分线等几何知识点．难点在于第（3）问，有两种情形，不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $