2024～2025学年 人教版九年级数学上册期中测试卷

2024~2025学年度第一学期 人教版九年级数学期中测试卷（含答案） 一．选择题（共6小题） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，此方程可化为（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x+3）2＝8 C．（x+3）2＝3 D．（x﹣3）2＝3 2．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010 3．关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．图象顶点坐标为（3，﹣1） D．当x＜3时，y随x的增大而减小 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc＞0；②a+b+c＝2；③；④b＜1． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 5．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数（　　） A．35° B．75° C．55° D．65° 6．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．70° B．110° C．130° D．140° 二．填空题（共6小题） 7．已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣2）＝0，则a2+b2的值是 　 　． 8．a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣2a2+2a的值是 　 　． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象上有四点A（﹣1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 　 　．（从小到大排列） 10．若点A（a﹣1，3）与点B（﹣2，3b）关于原点成中心对称，则a+b＝　 　． 11．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB'C'，连接BB'，若AC′∥BB′，则∠CAB'的度数为 　 　． 12．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝5，水面宽AB＝6，某天下雨后，水面宽度变为8，则此时排水管水面上升了 　 　． 三．解答题（共11小题） 13．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 14．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30m． （1）若花圃的面积为100m2，求花圃一边AB的长； （2）花圃的面积能达到120m2吗？说明理由． 15．在如图所示的网格上按要求画出图形，并回答问题． （1）将△ABC平移，使得点A平移到图中点D的位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出△DEF． （2）画出△ABC关于点D成中心对称的△A1B1C1． （3）△DEF与△A1B1C1是否关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 16．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 17．如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）如图2，求该抛物线的函数解析式． （2）当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） 18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）． （1）请按下列要求画图： ①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1； ②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2． （2）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点的坐标　 　． 19．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长． 20．如图，AB为⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，∠ADC＝45°，CD交AB于点E． （1）求∠BAC的度数； （2）若点E为OB中点，CE＝5，求AE的长． 21．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣5，0）、B（﹣1，0）两点． （1）求出这条抛物线的函数表达式； （2）求出这个抛物线的顶点坐标和对称轴． 22．如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC． （1）求证：∠AOC＝2∠PAC； （2）连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长． 23．我们已经学习过圆周角及圆周角定理，我们知道：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图1，A，B，C，D是⊙O上的点，连接AD，BD，AC，BC，则∠ADB＝∠ACB． （1）如图2，当点C在⊙O内部时，探究∠ADB与∠ACB的大小关系，并说明理由； （2）如图3，当点C在⊙O外部时，∠ADB 　 　∠ACB．（填“＞”、“＝”或“＜”） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，此方程可化为（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x+3）2＝8 C．（x+3）2＝3 D．（x﹣3）2＝3 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】解：x2﹣6x+1＝0， x2﹣6x＝﹣1， x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8， 故选：A． 2．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010 【分析】由根与系数的关系，得到α+β＝﹣2，α•β＝﹣2024，由方程的根可得α2+2α＝2024，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案． 【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣2，α2+2α＝2024， ∴原式＝α2+2α+α+β ＝2024+（﹣2） ＝2022． 故选：B． 3．关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣3 C．图象顶点坐标为（3，﹣1） D．当x＜3时，y随x的增大而减小 【分析】根据解析式得出开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，1），当x＜3时，y随x的增大而减小，即可求解． 【解答】解：关于二次函数y＝2（x﹣3）2+1， a＝2＞0，开口向上，A不符合题意； 对称轴为直线x＝3，B不符合题意； 顶点坐标为（3，1），C不符合题意； 当x＜3时，y随x的增大而减小，D符合题意； 故选：D． 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc＞0；②a+b+c＝2；③；④b＜1． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①∵图象开口向上，与y轴交于负半轴，能得到：a＞0，c＜0， ∵对称轴在y轴左边， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②当x＝1时，由图象知y＝2， 把x＝1，y＝2代入解析式得：a+b+c＝2，故②正确； ③由图象得，﹣＞﹣1， ∴b＜2a， 由①②得，a+b+c＝2，c＜0， ∴2＝a+b+c＜a+2a+c＝3a+c， ∴3a+c＞2， ∴a＞（2﹣c）， ∵c＜0， ∴2﹣c＞2， ∴a＞， ∴a＞，故③正确； ④由图象得，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， 由①②得，a+b+c＝2，c＜0， ∴（a+b+c）﹣（a﹣b+c）＞2， ∴2b＞2， ∴b＞1，故④错误； 综上，②③正确． 故选：B． 5．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数（　　） A．35° B．75° C．55° D．65° 【分析】根据旋转的性质可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，结合∠A′DC＝90°，可求得∠A′，即可获得答案． 【解答】解：根据题意，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C， 由旋转的性质，可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′， ∵∠A′DC＝90°， ∴∠A′＝90°﹣∠ADA′＝55°， ∴∠A＝∠A′＝55°． 故选：C． 6．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．70° B．110° C．130° D．140° 【分析】直接根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【解答】解：∵如图：∠A＝70°， ∴∠BOC＝2∠A＝140°， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 7．已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣2）＝0，则a2+b2的值是 　2　． 【分析】设x＝a2+b2（x≥0），则原方程转化为（x+1）（x﹣2）＝0，由此求得答案． 【解答】解：设x＝a2+b2（x≥0），则原方程转化为（x+1）（x﹣2）＝0． 所以x+1＝0或x﹣2＝0． 所以x＝﹣1（舍去）或x＝2． 所以a2+b2＝2． 故答案为：2． 8．a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣2a2+2a的值是 　2022　． 【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2﹣a﹣1＝0，再把2024﹣2a2+2a＝2024﹣2（a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程x2﹣x+1＝0的一个根， ∴a2﹣a﹣1＝0， ∴a2﹣a＝1， ∴2024﹣2a2+2a＝2024﹣2（a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022． 故答案为：2022． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象上有四点A（﹣1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 　y2＜y1＜y3　．（从小到大排列） 【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题， 【解答】解：依题意，A（﹣1，y1），B（3，y1），在二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＞0）的图象上， ∴对称轴为直线x＝＝1，抛物线开口向上， ∵2﹣1＝1，1﹣（﹣2）＝3， ∴点C（2，y2）到对称轴的距离为1，点D（﹣2，y3）到对称轴的距离为3，点B（3，y1）到对称轴的距离为2， ∴y2＜y1＜y3， 故答案为：y2＜y1＜y3． 10．若点A（a﹣1，3）与点B（﹣2，3b）关于原点成中心对称，则a+b＝　2　． 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到a﹣1＝2，3b＝﹣3，据此求出a＝3，b＝﹣1，据此代值计算即可． 【解答】解：∵点A（a﹣1，3）与点B（﹣2，3b）关于原点成中心对称， ∴a﹣1＝2，3b＝﹣3， ∴a＝3，b＝﹣1， ∴a+b＝3+（﹣1）＝2， 故答案为：2． 11．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB'C'，连接BB'，若AC′∥BB′，则∠CAB'的度数为 　75°　． 【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝35°，再根据平行线的性质得出∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′， ∴∠AB′B＝（180°﹣110°）＝35°， ∵AC′∥BB′， ∴∠C′AB′＝∠AB′B＝35°， ∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝110°﹣35°＝75°． 故答案为：75°． 12．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝5，水面宽AB＝6，某天下雨后，水面宽度变为8，则此时排水管水面上升了 　1或7　． 【分析】过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，由垂径定理得AE＝BE＝AB＝3，CF＝DF＝CD，由勾股定理得OE＝4，OF＝3，然后再分两种情况，根据EF＝OE﹣OF可求解． 【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，如图所示： 则AE＝BE＝AB＝3，OF⊥CD， ∴CF＝DF＝CD， ∵OA＝5， ∴OE＝＝＝4， ∵CD＝2CF＝8， ∴CF＝4， ∵OC＝OA＝5， ∴OF＝＝＝3， 当水面没过圆心O时，EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1， 当水面超过圆心O时，EF＝OE+OF＝4+3＝7， 即水管水面上升了1或7． 故答案为：1或7． 三．解答题（共11小题） 13．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，求出即可； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答． 【解答】解：（1）设方程的另一个根为x， 则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2， 解得：x＝﹣，a＝， 即a＝，方程的另一个根为﹣； （2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 14．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长19m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30m． （1）若花圃的面积为100m2，求花圃一边AB的长； （2）花圃的面积能达到120m2吗？说明理由． 【分析】（1）设AB的长为x米，由花圃的面积为100m2，列出方程可求解； （2）设AB的长为y米，由花圃的面积为120m2，列出方程可求解． 【解答】解：（1）设AB的长为x米， 由题意可得：x（30﹣2x）＝100， 解得：x1＝5，x2＝10， ∵30﹣2x≤19， ∴x＝10， 答：AB的长为10米； （2）花圃的面积不能达到120m2．理由如下： 设AB的长为y米， 由题意可得：y（30﹣2y）＝120， ∴Δ＝225﹣240＝﹣15＜0， ∴方程无解， ∴花圃的面积不能达到120m2． 15．在如图所示的网格上按要求画出图形，并回答问题． （1）将△ABC平移，使得点A平移到图中点D的位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出△DEF． （2）画出△ABC关于点D成中心对称的△A1B1C1． （3）△DEF与△A1B1C1是否关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于点D成中心对称的图形性质得出对应点位置； （3）直接连接对应点得出对称中心即可． 【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求． （2）如图，△A1B1C1即为所求． （3））△DEF与△A1B1C1是关于某个点成中心对称，如图，点O即为所求． 16．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可； （2）求出当y＝5时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6， 把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2， 解得， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为； （2）此船不能通过，理由： 当y＝2+3＝5时，， 解得x＝5或x＝15， ∵15﹣5＝10＜12， ∴此船不能通过桥洞． 17．如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）如图2，求该抛物线的函数解析式． （2）当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） 【分析】（1）根据平面直角坐标系中的函数图象，可以设抛物线的解析式为y＝ax2，然后将（﹣2，﹣2）代入，即可得到抛物线的解析式； （2）将y＝﹣3代入解析式，求出对应的x的值，即可得到CD的长，然后减去AB的长，即可得到水面宽度增加多少米． 【解答】解：（1）设该抛物线的函数解析式为y＝ax2， 由已知可得，点A的坐标为（﹣2，﹣2）且点A在该抛物线上， ∴﹣2＝a×（﹣2）2， 解得：a＝﹣， 即该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2； （2）将y＝﹣3代入y＝﹣x2， 得﹣3＝﹣x2， 解得x＝±， ∴CD＝﹣（﹣）＝2， ∵AB＝4， ∴CD﹣AB＝2﹣4， 即水面宽度增加米． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）． （1）请按下列要求画图： ①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1； ②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2． （2）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点的坐标　（0，﹣3）　． 【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； ②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可； （2）连接B1B2，C1C2，交点就是旋转中心M． 【解答】解：（1）①如图所示，△A1B1C1即为所求； ②如图所示，△A2B2C2即为所求； （2）如图，连接C1C2，B1B2，交于点M，则△A1B1C1绕点M旋转180°可得到△A2B2C2， ∴旋转中心M点的坐标为（0，﹣3）， 故答案为：（0，﹣3）． 19．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长． 【分析】（1）连接OC，由等弧所对的圆周角相等得出∠EAC＝∠BAC，根据同圆的半径相等得出∠BAC＝∠OCA，于是有∠EAC＝∠OCA，可得出AE∥OC，再根据CD⊥AE，即可得出OC⊥DF，从而问题得证； （2）连接CE，BC，先根据切割线定理求出AD的长，然后由勾股定理求出AC、CE的长，再根据等弧所对的弦相等得出BC＝CE，在Rt△ACB中根据勾股定理求出AB的长，即可求出⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵点C为的中点， ∴， ∴∠EAC＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA， ∴∠EAC＝∠OCA， ∴AE∥OC， ∴∠ADC＝∠OCF， ∵CD⊥AE， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OCF＝90°， 即OC⊥DF， 又OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连接CE，BC， 由（1）知CD是⊙O的切线， ∴CD2＝DE•AD， ∵DE＝1，DC＝2， ∴AD＝4， 在Rt△ADC中，由勾股定理得， 在Rt△DCE中，由勾股定理得， ∵点C是的中点， ∴， ∴EC＝BC＝， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 由勾股定理得， ∴⊙O的半径长是2.5． 20．如图，AB为⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，∠ADC＝45°，CD交AB于点E． （1）求∠BAC的度数； （2）若点E为OB中点，CE＝5，求AE的长． 【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理可求出∠AOC＝2∠ADC＝90°，然后利用等腰直角三角形的性质，即可解答； （2）设OE＝x，根据线段中点的定义可得AO＝OC＝OB＝2x，然后在Rt△COE中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：（1）连接OC， ∵∠ADC＝45°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠BAC的度数为45°； （2）设OE＝x， ∵点E为OB中点， ∴OB＝2OE＝2x， ∴AO＝OC＝OB＝2x， 在Rt△COE中，CE＝5， ∴OE2+OC2＝CE2， ∴x2+（2x）2＝52， 解得：x＝或x＝﹣（舍去）， ∴OE＝， ∴AE＝AO+OE＝3x＝3， ∴AE的长为3． 21．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣5，0）、B（﹣1，0）两点． （1）求出这条抛物线的函数表达式； （2）求出这个抛物线的顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）依据题意，由待定系数法，将A（﹣5，0）、B（﹣1，0）代入解析式，即可得解； （2）依据题意，由（1）所求解析式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）把A（﹣5，0），B（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+5． （2）由题意，∵抛物线为y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4， ∴此抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴是直线x＝﹣3． 22．如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC． （1）求证：∠AOC＝2∠PAC； （2）连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长． 【分析】（1）过O作OH⊥AC于H，得到∠OHA＝90°，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据余角的性质得到∠AOH＝∠PAC，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接OB，延长AC交PB于E，根据切线的性质得到OB⊥PB，PA＝PB，根据矩形的性质得到OH＝BE，HE＝OB＝5，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：过O作OH⊥AC于H， ∴∠OHA＝90°， ∴∠AOH+∠OAC＝90°， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OAC+∠PAC＝90°， ∴∠AOH＝∠PAC， ∵OA＝OC， ∴∠AOC＝2∠AOH， ∴∠AOC＝2∠PAC； （2）解：连接OB，延长AC交PB于E， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OB⊥PB，PA＝PB， ∵AC∥OB， ∴AC⊥PB， ∴四边形OBEH是矩形， ∴OH＝BE，HE＝OB＝5， ∵OH⊥AC，OA＝OC， ∴AH＝CH＝AC＝3， ∴OH＝＝4， ∴BE＝OH＝4，AE＝AH+HE＝8， ∵PA2＝AE2+PE2， ∴PA2＝82+（PA﹣4）2， ∴PA＝10． 23．我们已经学习过圆周角及圆周角定理，我们知道：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图1，A，B，C，D是⊙O上的点，连接AD，BD，AC，BC，则∠ADB＝∠ACB． （1）如图2，当点C在⊙O内部时，探究∠ADB与∠ACB的大小关系，并说明理由； （2）如图3，当点C在⊙O外部时，∠ADB 　＞　∠ACB．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【分析】（1）如图2，根据三角形外角的性质可得∠ACB＞∠AMB，而∠ADB＝∠AMB，则∠ADB＜∠ACB； （2）如图3，根据三角形外角的性质可得∠ANB＞∠ACB，而∠ADB＝∠ANB，则∠ADB＞∠ACB． 【解答】解：（1）∠ADB＜∠ACB． 理由如下： ∵∠ACB是△BCM的外角， ∴∠ACB＞∠AMB， ∵∠ADB＝∠AMB， ∴∠ADB＜∠ACB； （2）∵∠ANB是△CBN的外角， ∴∠ANB＞∠ACB， ∵∠ADB＝∠ANB， ∴∠ADB＞∠ACB． 故答案为：＞． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/29 21:59:02；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$