江苏省南京市2024-2025学年八年级上学期期中数学复习（勾股定理章节近三年组题汇编）

江苏省南京市2024-2025学年八年级上学期期中数学复习（勾股定理章节近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．，， B．，， C．，， D．8， 15， 17 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A．B．C．D． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期中）下列说法中，正确的有（   ） ①如果是直角三角形，那么 一定成立； ②如果不是直角三角形，那么 ③中，如果 那么是直角三角形； ④中， 如果 ，那么不是直角三角形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长为（    ） A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 6．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（   ） A．13m B．17m C．18m D．25m 二、填空题 7．（22-23八年级上·江苏南京·期中）在中，，．则的面积为 ． 8．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为，若 则的长为 .    9．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，， 点M、 N分别为上的动点， 则的最小值为 ． 10．（23-24八年级上·江苏南京·期中）等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则底边上的高为 ． 11．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，则 . 12．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为 ． 13．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，，，点D是BC上一点，，则CD的长为 ． 14．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，．以AC为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 15．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，O为内角平分线交点，过点O的直线交、于M、N，已知，，则点O到的距离为 ．    16．（22-23八年级上·江苏南京·期中）三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是 三角形．(填“直角”“锐角”或“钝角”) 17．（23-24八年级上·江苏南京·期中）以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆、的面积分别是3、4，则半圆的面积是 ． 18．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，．若，，则的面积为 ． 19．（23-24八年级上·江苏南京·期中）定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，则称这个三角形为奇异三角形．例如等边三角形就是一种奇异三角形．在中，，且，若Rt是奇异三角形，则的值为 ． 20．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是 ．    三、解答题 21．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，点E在上，且    (1)求证： (2)若的三边长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理. 22．（23-24八年级上·江苏南京·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是:如图所示，在中，，求的长． 23．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，．点C在直线l上，分别过点A、B作直线l于点D，直线l于点F． (1)求证：； (2)设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 24．（22-23八年级上·江苏南京·期中）在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 25．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B． (1)求证：； (2)设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 26．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，折叠长方形纸片，使点落在边上的点处，宽，长，求的长． 27．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x （1）小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x 因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝ （2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法： 利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程： （3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理． 28．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，，垂足分别为，，交于点，，． (1)求证； (2)接，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积，验证勾股定理． 29．（23-24八年级上·江苏南京·期中）【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有 　 　个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长 参考答案： 1．D 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义逐一判断即可求解，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、勾股数是一组正整数，则原选项不是勾股数，故不符合题意； B、勾股数是一组正整数，则原选项不是勾股数，故不符合题意； C、，则不是勾股数，不符合题意； D、，则是勾股数，故符合题意； 故选D． 2．A 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】A、∵32+42=52， ∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确； B、∵22+32≠42， ∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵42+62≠72， ∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误； D、∵52+112≠122， ∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 3．D 【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵ ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即，那么这个三角形是直角三角形． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理和勾股定理的逆定理分别对各个说法进行判断即可． 【详解】解：①如果是直角三角形，且是斜边，那么一定成立；故①不正确； ②不是直角三角形，则任何两边的平方和都不等于第三边的平方，故②正确； ③， ， 是直角三角形，故③正确； ④中，如果，且是最长边，那么不是直角三角形，故④不正确； 综上所述，正确的说法有2个， 故选：B． 5．A 【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，即． 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键． 6．B 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】由勾股定理得： 楼梯的水平宽度==12， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是12+5=17米． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性． 7．60 【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：60． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键． 8．4 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理．由以为边的正方形的面积分别为，且，得，即可根据勾股定理求得． 【详解】解：∵以为边的正方形的面积分别为，且， ∴， ∵， ∴， ∴的长为4， 故答案为：4． 9． 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，三角形三边关系，勾股定理以及三角形面积计算等知识．作A关于的对称点D，连接，推出，，由三角形三边关系得到，当时，长最小，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到的面积，即可求出得到的最小值是． 【详解】解：作A关于的对称点D，连接， ∴， ∵， ∴， 当时，长最小， ∵， ∴ ∵的面积， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算是解题的关键．根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则，可以根据勾股定理计算底边的高． 【详解】解：如图，在中，，， 则为边上的中线，即为中点， ， 在直角中． 故答案为：4． 11．30. 【分析】利用勾股逆定理推出∠C=90°，再利用三角形的面积公式，进行计算即可. 【详解】解：∵，， 又∵ ∴ ∴∠C=90° ∴ 故答案为30 【点睛】本题考查了勾股逆定理以及三角形的面积公式，掌握勾股定理是解题的关键. 12． 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， 在中， ，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 13． 【分析】设，则：，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设，则：， ∵， 则： ∵，， ∴， 解得：； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 14．5 【分析】本题考查了勾股定理，根据“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴正方形的面积， 故答案为：5． 15． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点N作于点D，过点O分别作三边的垂线，垂足分别为点E、F、G，根据三线合一得出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据结合角平分线到两边距离相等，即可求解． 【详解】解：过点N作于点D，过点O分别作三边的垂线，垂足分别为点E、F、G， ∵，， ∴, 根据勾股定理可得：, ∴, ∵O为内角平分线交点， ∴, 设， ∵, ∴， 即， 解得：， ∴, 故答案为：    16．直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定． 【详解】解：， ， ， 三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 17．7 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用直角三角形的边长就可以表示出、、的大小，三角形的边满足勾股定理，即可得出、、的等量关系，代值可求解． 【详解】解：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，则， 半圆A的面积 半圆B的面积 半圆C的面积 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ 故答案为：7． 18．5 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理得出，再求出，再计算面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为 故答案为：5． 19． 【分析】此题考查了勾股定理，以及新定义，弄清题中的新定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．由三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关系式①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式②，或③，联立①②或①③，即可求出． 【详解】解：∵中，，，，， ∴根据勾股定理得：①， 又是奇异三角形， ∴②或③， 将①代入②得：， ， 不符合题意舍去， 将①代入③得：， 把代入①中得：， ． 故答案为： ． 20． 【分析】本题考查了轴对称-路径最短问题，勾股定理，如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，    ∵， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答． （1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）连接，，根据全等三角形的性质和面积公式证明勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在与中， ， ， ，， ； （2）解：由（1）可知， ，，，， ， ， ， 连接，，   ， ， ， 即． 22．AC=4.55 【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理建立方程即可求出AC． 【详解】∵AC+AB=10 ∴AB=10-AC 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 即 解得AC=4.55 【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，得，，即可得出结论； （2）利用等面积法证得勾股定理． 【详解】（1），， ． ， 又， ． 在和中 ，． ． （2）由（1）知：，，． ． 又． ． 整理，得． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明，证明是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)52 【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明； （2）设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有，，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵正方形的边长为c， ∴正方形的面积等于， ∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的， ∴正方形的面积为：， ∴； （2）解：设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c， 根据题意得，，， 又∵ ∴， 故徽标的外围周长为：． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键． 25．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质，准确识图，找出面积相等的图形是解决问题的关键． （1）先证和全等得，然后根据可得出结论； （2）由（1）可知，则，，，进而得四边形的面积正方形的面积，即，而，，，据此勾股定理得以证明． 【详解】（1）证明：如图所示： ，， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）证明：由（1）可知：， ，，， 四边形的面积正方形的面积， ， 即， ， ，， 即， 整理得：． 26． 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明并且求得是解答本题的关键． 由矩形的性质得BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，∠B＝∠C＝90°，由折叠得，，根据勾股定理得求得，则，由，得，求得，由此得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠得，， ， ， ， ， 解得， 的长是． 27．（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（2）根据题意，结合图形可得S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC，利用三角形面积公式得出等式，然后化简即可得； （3）根据（1）（2）结论化简即可证明． 【详解】解：（2）∵S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC， ∴ 化简可得：． 答：x与a、b、c的关系为． （3）根据（1）和（2）得： ， 即 化简得a2+b2＝c2． 【点睛】题目主要考查三角形的面积及勾股定理的证明，理解题意，将等式化简求解是解题关键． 28．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键． （1）根据证明得出，即可推出结论； （2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论． 【详解】（1）证明：设交于点F，如图， ，， ， 在和中， ． ， ， ． ． ， 即． （2）解：如图，连接、， ， ，，，． ． ， ． ． 即． 29．（1）4；（2）证明见解析；（3）2，，，8． 【分析】（1）根据新定义“勾股点”可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点与，能构成四个直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， 为的中点，， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， 为的中点， ， ． 综上所述，的长为2，，，8 学科网（北京）股份有限公司 $$