安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高二上学期数学统一作业1

2023级高二年级第一学期数学统一作业1 命题人：操瑞康 审题人：金启富 考试说明：1.考查范围：暑假作业；选择性必修第一册§1.1§1.2. 2.试卷分值:130分；考试时间:100分钟. 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效. 考试结束后只交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2．复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为 A． B． C． D． 3．设a，b表示两条不同的直线，β表示平面，则下列命题正确的是 A．若a∥β，a∥b，则b∥β B．若a∥β，b∥β，则a∥b C．若a⊥β，a⊥b，则b∥β D．若a⊥β，a∥b，则b⊥β 4. 已知，则 A. B. C. D. 5．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且 三点共线，则实数k的值为 A． B． C． D．8 6．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则 A． B． C． D． 7．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则 A． B．5 C． D． 8．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为 A． B． C． D． 2、 选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．关于空间向量，以下说法正确的是 A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知三点不共线，若对平面外任意一点，有， 则四点共面 C．已知，，是空间的一个基底，若，则，，也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则 A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．三棱锥外接球表面积为 11．如图，在三棱锥中，，，则 A． B．异面直线与所成角余弦值是 C．若点是边上任一点，则为定值 D．三棱锥体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 13. 设m, n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a＝(m，n)，b＝(1，－1)，则a与b的夹角为锐角的概率是________． 14．在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为 . 四、解答题：本题共4小题，共57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．13分) 三棱柱中，为中点，点在线段上，． 设，， (1)试用，，表示向量； (2)若，，求的长． 16．14分) 已知函数的一系列对应值如下表： x y 1 3 1 1 3 （1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，求函数的值域. 17．15分) 已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 18．15分) 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝. (1)求角A的大小； (2)设AD是BC边上的高，且AD＝2，求△ABC面积的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2023 级高二年级第一学期数学统一作业 1 命题人：操瑞康 审题人：金启富 考试说明：1.考查范围：暑假作业；选择性必修第一册§1.1 §1.2. 2.试卷分值:130 分；考试时间:100 分钟. 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效. 考试结束后只交答题卷. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. 已知集合  35 5 , { 3, 1,0,2,3}A x x B= −   = − −∣ ，则 A B = A. { 1,0}− B. {2,3} C. { 3, 1,0}− − D. { 1,0, 2}− 2．复数 z 满足 2 i i z + = （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数为 A．1 2i− B．1 2i+ C． 1 2i− + D． 1 2i− − 3．设 a，b 表示两条不同的直线，β表示平面，则下列命题正确的是 A．若 a∥β，a∥b，则 b∥β B．若 a∥β，b∥β，则 a∥b C．若 a⊥β，a⊥b，则 b∥β D．若 a⊥β，a∥b，则 b⊥β 4. 已知cos( ) , tan tan 2m   + = = ，则cos( ) − = A. 3m− B. 3 m − C. 3 m D. 3m 5．设 1e ， 2e 是空间两个不共线的非零向量，已知 1 22AB e ke= + ， 1 23B e eC += ， 1 22D eC e −= ，且 A,B,D 三点共线，则实数 k 的值为 A． 8− B． 4− C． 2− D．8 6．在四面体OABC中，OA a= ，OB b= ，OC c= ，G 为 ABC△ 的重心， P 在OG上，且 1 2 OP PG= ， 则 AP = A． 2 1 1 9 9 9 a b c− + + B． 8 1 1 9 9 9 a b c− − C． 8 1 1 9 9 9 a b c− + + D． 2 1 1 9 9 9 a b c− − 7．若 1 2 3{ , , }e e e 是空间的一个基底，且向量 1 2 32OA e e e= + + ， 1 2 32OB e e e= − + ， 1 2 33 2OC ke e e= + + 不能构 成空间的一个基底，则 k = A． 8 3 B．5 C． 5− D． 1 3 − 2 8．正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最 长时，PM PN 的最大值为 A．2 B． 9 4 C．3 D． 5 2 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求的。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．关于空间向量，以下说法正确的是 A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知 A,B,C 三点不共线，若对平面 ABC 外任意一点O，有 1 1 1 6 3 2 OP OA OB OC= + + ， 则 , , ,P A B C 四点共面 C．已知a，b ， c是空间的一个基底，若m a c= + ，则a，b ，m 也是空间的一个基底 D．若 0a b  ，则 ,a b 是钝角 10．如图所示，在棱长为 2 的正方体 中， 分别为 的中点，则 A． B． 平面 C．直线 与平面 所成的角为 4  D．三棱锥 外接球表面积为 11．如图，在三棱锥O ABC− 中， 2 2OA AB OB BC= = = = ， 2OC AC= = ，则 A．OA BC⊥ B．异面直线OB 与 AC 所成角余弦值是 2 3 C．若点 P 是边BC上任一点，则OP OA 为定值 D．三棱锥O ABC− 体积是 2 6 3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知函数 ( ) ( ) ( )21 e ex xf x a x ax − = + +  −  为偶函数，则实数a的值为 ． 13. 设 m, n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量 a＝(m，n)，b＝(1，－1)，则 a与 b的夹角为锐 角的概率是________． 3 14．在空间中，O是一个定点， , ,OA OB OC 给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角. 若向量OP 满足 OA OP OA = ， 2OB OP OB = ， 3OC OP OC = ，则满足题意的点 P 的个数为 . 四、解答题：本题共 4小题，共 57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． ( 13 分) 三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，N 为 1 1B C 中点，点M 在线段 1A B 上， 1 13A M A B= ． 设 AB a= ， AC b= ， 1AA c= (1)试用 a ，b ， c 表示向量MN ； (2)若 1 1 60BAC BAA CAA = = = ， 1 1AB AC AA= = = ，求MN 的长． 16． ( 14 分) 已知函数 ( ) ( )= sin 0, 0, 2 f x A x B A        + +     ＞ ＞ ＜ 的一系列对应值如下表： x 6  − 3  5 6  4 3  11 6  7 3  17 6  y 1− 1 3 1 1− 1 3 （1）根据表格提供的数据求函数 ( )f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数 ( )( )0y f kx k= ＞ 的周期为 2 3  ，当 0, 3 x       时，求函数 ( )y f kx= 的值域. 4 17． ( 15 分) 已知平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的底面是边长为 1 的菱形，且 1 1 3 C CB C CD BCD   =  =  = ， 1 2DD = . （1）证明： 1DD BD⊥ ； （2）求异面直线 1CA 与 AB 夹角的余弦值. 18． ( 15 分) 已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 𝑠𝑖𝑛2𝐵 1+𝑐𝑜𝑠2𝐵 ＝ 𝑡𝑎𝑛𝐶+1 𝑡𝑎𝑛𝐶−1 . (1)求角 A 的大小； (2)设 AD 是 BC 边上的高，且 AD＝2，求△ABC 面积的最小值． 1 2023 级高二年级第一学期数学统一作业 1 命题人：操瑞康 审题人：金启富 考试说明：1.考查范围：暑假作业；选择性必修第一册§1.1 §1.2. 2.试卷分值:130 分；考试时间:100 分钟. 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效. 考试结束后只交答题卷. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. 已知集合  35 5 , { 3, 1,0,2,3}A x x B= −   = − −∣ ，则 A B = A. { 1,0}− B. {2,3} C. { 3, 1,0}− − D. { 1,0, 2}− 【答案】A 2．复数 z 满足 2 i i z + = （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数为 A．1 2i− B．1 2i+ C． 1 2i− + D． 1 2i− − 【答案】B 3．设 a，b 表示两条不同的直线，β表示平面，则下列命题正确的是 A．若 a∥β，a∥b，则 b∥β B．若 a∥β，b∥β，则 a∥b C．若 a⊥β，a⊥b，则 b∥β D．若 a⊥β，a∥b，则 b⊥β 【答案】D 【解析】A：b 可能在平面β内，故不正确； B：若 a∥β，b∥β，则 a 可能与 b 相交，故不正确； C：a⊥β，a⊥b，则 b 可能在平面β内，故不正确； D：若 a⊥β，a∥b，则 b⊥β，故正确． 故选 D. 4. 已知cos( ) , tan tan 2m   + = = ，则cos( ) − = A. 3m− B. 3 m − C. 3 m D. 3m 【答案】A 【解析】因为 ( )cos m + = ，所以cos cos sin sin m   − = ， 而 tan tan 2  = ，所以sin sin 2cos cos   = ， 故 cos cos 2cos cos m   − = 即cos cos m  = − ， 2 从而sin sin 2m  = − ，故 ( )cos 3m − = − ， 故选：A. 5．设 1e ， 2e 是空间两个不共线的非零向量，已知 1 22AB e ke= + ， 1 23B e eC += ， 1 22D eC e −= ，且 A,B,D 三点共线，则实数 k 的值为 A． 8− B． 4− C． 2− D．8 【答案】A 【解析】因为 A、B、D 三点共线，所以 ,R  使得 ,AB BD= 又 1 22AB e ke= + ， 1 23B e eC += ， 1 22D eC e −= ， 所以 ( ) ( )1 2 1 2 1 23 2 4 ,BD BC DC e e e e e e= − = + − − = − + 则 ( )2 21 12 ,4e ke e e − ++ = 则 2, = − 4k = ，解得： 8.k = − 故选：A. 6．在四面体OABC中，OA a= ，OB b= ，OC c= ，G 为 ABC△ 的重心， P 在OG上，且 1 2 OP PG= ， 则 AP = A． 2 1 1 9 9 9 a b c− + + B． 8 1 1 9 9 9 a b c− − C． 8 1 1 9 9 9 a b c− + + D． 2 1 1 9 9 9 a b c− − 【答案】C 【解析】因为G 为 ABC△ 的重心，所以 ) 1 ( 3 OG OA OB OC= + + ， 又 1 2 OP PG= ，所以 ) 1 1 8 1 1 ( 3 9 9 9 9 AP OA OP OA OG OA OA OB OC a b c== − + = − + = − + + + − + + . 故选：C. 7．若 1 2 3{ , , }e e e 是空间的一个基底，且向量 1 2 32OA e e e= + + ， 1 2 32OB e e e= − + ， 1 2 33 2OC ke e e= + + 不能构 成空间的一个基底，则 k = A． 8 3 B．5 C． 5− D． 1 3 − 【答案】B 【解析】依题意， , ,OA OB OC 共面，则存在实数 ,x y，使得OC xOA yOB= + ， 3 于是 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 33 2 (2 ) ( 2 ) (2 ) ( ) ( 2 )ke e e x e e e y e e e x y e x y e x y e+ + = + + + − + = + + − + + ， 因此 2 3 2 2 k x y x y x y = +  − =  + = ，解得 8 1 , , 5 3 3 x y k= = − = . 故选：B. 8．正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最 长时，PM PN 的最大值为 A．2 B． 9 4 C．3 D． 5 2 【答案】C 【解析】设正四面体 ABCD的内切球球心为O，G 为 BCD△ 的中心， E 为CD的中点，连接 ,AG BE ， 则O在 AG上，连接BO，则 AO BO= . 因为正四面体的棱长为 3，所以 2 2 3 3 3 3 3 2 BG BE= =   = ， 所以 2 2 9 3 6AG AB BG= − = − = ，设内切球的半径为 r ， 则 ( ) 2 2 2AG r r BG− = + ， ( ) 2 2 26 3r r− = + ，解得 6 4 r = ， 当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时 0+ =OM ON ， 2 6 3 4 8 OM ON    = − = −     ， ( ) ( )PM PN PO OM PO ON = +  + ( ) 2 2 3 8 PO PO OM ON OM ON PO= +  + +  = − ， 因为 P 为正四面体表面上的动点，所以当 P 为正四体的顶点时， PO 最大， PO 的最大值为 6 3 6 6 4 4 − = ，所以PM PN 的最大值为 2 3 6 3 3 4 8   − =     . 故选：C. 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求的。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．关于空间向量，以下说法正确的是 A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知 A,B,C 三点不共线，若对平面 ABC 外任意一点O，有 1 1 1 6 3 2 OP OA OB OC= + + ， 4 则 , , ,P A B C 四点共面 C．已知a，b ， c是空间的一个基底，若m a c= + ，则a，b ，m 也是空间的一个基底 D．若 0a b  ，则 ,a b 是钝角 【答案】ABC 【解析】对于 A，空间中的三个向量，若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面， 所以这三个向量一定共面，所以 A 正确； 对于 B，对于空间中任意一点O，有 1 1 1 6 3 2 OP OA OB OC= + + ， 因为 1 1 1 1 6 3 2 + + = ，根据共面向量的定理的推论，可得点 , , ,P A B C 共面，所以 B 正确； 对于 C，由{ }, ,a b c 是空间的一个基底，若m a c= + ，设m xa yb= + ， 可得a c xa yb+ = + ，此时不存在实数 ,x y使得m xa yb= + 成立， 所以 , ,a b m一定不共面，则{ , , }a b m 也是空间的一个基底，所以 C 正确； 对于 D，由 0a b  ，可得 π , ( ,π] 2 a b  ，所以 D 错误. 故选：ABC. 10．如图所示，在棱长为 2 的正方体 中， 分别为 的中点，则 A． B． 平面 C．直线 与平面 所成的角为 4  D．三棱锥 外接球表面积为 【答案】AD 【解析】对于 A，连接 ，则 ，因为 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，又 ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 ，故 A 正确； 对于 B，连接 ，由正方体 得， ， 5 又 ，所以 ， 因为 平面 ，即 与平面 不平行， 所以 与平面 不平行，故 B 错误； 对于 C，由题意知， 是直线 与平面 所成的角，且 ， 所以直线 与平面 所成的角不是 ，故 C 错误； 对于 D，由正方体 得， 平面 ，且 ， ， 所以三棱锥 外接球的直径 ， 所以 ，外接球表面积为 ，故 D 正确； 故选：AD． 11．如图，在三棱锥O ABC− 中， 2 2OA AB OB BC= = = = ， 2OC AC= = ，则 A．OA BC⊥ B．异面直线OB 与 AC 所成角余弦值是 2 3 C．若点 P 是边BC上任一点，则OP OA 为定值 D．三棱锥O ABC− 体积是 2 6 3 【答案】ACD 【解析】根据题意，可知 BOC BAC ， ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 3 cos cos 42 2 2 2 2 ABC OBC + −   =  = =   ， 3 3 cos , ,cos , 4 4 OB BC BA BC = − = ， ( )OA BC OB BA BC OB BC BA BC = +  =  +  cos , cos ,OB BC OB BC BA BC BA BC=  +  3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 4   =   − +   =    ，所以OA BC⊥ ，故 A 正确； 分别取OA和 AC 的中点E ，F ，连接CE， BF ，则CE OA⊥ ，BF AC⊥ ， 2 cos 2 AE OAC AC   = = ， 1 cos 2 2 AF BAC AB  = = ， 6 ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OB AC OA AB AC OA AC AB AC    = +  =  +  =   − +   = −     ， 2 2 cos , 42 2 2 OB AC OB AC OB AC   = = =  ， 则异面直线OB 与 AC 所成角余弦值是 2 4 ，故 B 错误； 由于点 P 是边BC上任一点，设 BP BC → → = ， 则 ( )OP OA OB BC OA OB OA BC OA  = +  =  +  ， 而OA BC⊥ ，则 0BC OA = ，所以 OP OA → →  的结果与无关， 即OP OA → →  为定值，故 C 正确； 连接 BE ，由于 AOB是边长为2 2 的等边三角形， 则 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6BE = − = ，所以 BE OA⊥ ， 在 BCE 中， 6, 2, 2 2BE CF BC= = = ， 则 2 2 2BE CE BC+ = ，所以BE CE⊥ ，而 OA CE E = ， 所以BE ⊥平面OCA，即 BE 为三棱锥B OCA− 的高， 而 1 1 2 2 2 2 2 2 OCAS OA CE=  =   = ， 所以 1 1 2 6 2 6 3 3 3 O ABC B OCA OCAV V S BE− −= =  =   = ，故 D 正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知函数 ( ) ( ) ( )21 e ex xf x a x ax − = + +  −  为偶函数，则实数a的值为 ． 【答案】 1− 【解析】因为函数 ( )f x 定义域为R ，令 ( ) e ex xh x −= − ，则 ( ) e ex xh x −− = − ， 故 ( ) ( )h x h x− = − ，知 ( )h x 为奇函数，由于 ( )f x 为偶函数， 则函数 ( ) 21y a x ax= + + 为奇函数，即 ( ) 2 21 [( 1)( ) ]a x ax a x ax+ + = − + − − ， 解得 1a = − ．故答案为： 1− ． 13. 设 m, n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量 a＝(m，n)，b＝(1，－1)，则 a与 b的夹角为锐 角的概率是________． 7 【答案】 5 12 【解析】因为 a与 b的夹角为锐角，所以m n ，所求概率为 15 5 36 12 = . 14．在空间中，O是一个定点， , ,OA OB OC 给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角. 若向量OP 满足 OA OP OA = ， 2OB OP OB = ， 3OC OP OC = ，则满足题意的点 P 的个数为 . 【答案】8 【解析】 OA OP OA = ，故 1 OA OP OA  = ， 1 OA OP OA  =  ， cos , 1OP OA OP =  ， 故点 P 在与OA垂直，且到O的距离为1的平面上，共两个平面； 同理得到： 点 P 在与OB 垂直，且到O的距离为 2 的平面上，共两个平面； 点 P 在与OC 垂直，且到O的距离为3的平面上，共两个平面. 6个两两平行的平面共有8个交点，故满足条件的 P 共有8个. 故答案为：8 四、解答题：本题共 4小题，共 57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． ( 13 分) 三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，N 为 1 1B C 中点，点M 在线段 1A B 上， 1 13A M A B= ． 设 AB a= ， AC b= ， 1AA c= (1)试用 a ，b ， c 表示向量MN ； (2)若 1 1 60BAC BAA CAA = = = ， 1 1AB AC AA= = = ，求MN 的长． 【解析】（1）三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， N 为 1 1B C 中点，点M 在线段 1A B 上， 1 13A M A B= ， 则 1 1 1 1 2 B N B C= ， 1 1 1 3 MA BA= ， 因此 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 3 2 3 2 MN MA A B B N BA AB B C c a a b a= + + = + + = − + + − 1 1 1 6 2 3 a b c= + + . (6 分) （2） 1 1 60BAC BAA CAA = = = ， 1 1AB AC AA= = = ， 则 1 cos cos60 2 a b a b BAC =  = = ，同理得 1 2 a b b c =  = ， 8 所以 ( ) 2 2 2 21 13 2 9 4 6 12 4 6 6 MN a b c a b c a b b c a c= + + = + + +  +  +  1 5 1 9 4 3 6 2 6 6 = + + + + + = . (13 分) 16． ( 14 分) 已知函数 ( ) ( )= sin 0, 0, 2 f x A x B A        + +     ＞ ＞ ＜ 的一系列对应值如下表： x 6  − 3  5 6  4 3  11 6  7 3  17 6  y 1− 1 3 1 1− 1 3 （1）根据表格提供的数据求函数 ( )f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数 ( )( )0y f kx k= ＞ 的周期为 2 3  ，当 0, 3 x       时，求函数 ( )y f kx= 的值域. 【解析】（1）设 ( )f x 的最小正周期为T ， 得 11 2 6 6 T   = + = ，由 2 T   = 得 1 = ． 又 3 1 B A B A + =  − = − 解得 2 1 A B =  = , 令 5 2 6 2 k      + = + ，即 5 2 6 2 k    + = + ， Zk ， 据此可得： 2 3 k   = − ，又 2    ，令 0k = 可得 3   = − ． 所以函数的解析式为 ( ) 2 1 3 f x sin x   = − +    ． (7 分) （2）因为函数 ( ) 2 1 3 y f kx sin kx   = = − +    的周期为 2 3  ，又 0k  ，所以 3k = ． 所以 ( )3 2 3 1 3 y f x sin x   = = − +    因为 0, 3 x       ，所以 2 3 , 3 3 3 x     −  −    ． 所以 3 sin 3 ,1 3 2 x     −  −       ， 所以 ( )3 2 3 1 3 1,3 3 y f x sin x    = = − +  − +     ， 即函数 ( )y f kx= 的值域为 3 1,3 − +  . (14 分) 9 17． ( 15 分) 已知平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的底面是边长为 1 的菱形，且 1 1 3 C CB C CD BCD   =  =  = ， 1 2DD = . （1）证明： 1DD BD⊥ ； （2）求异面直线 1CA 与 AB 夹角的余弦值. 【解析】设CD a= ，CB b= ， 1CC c= 由题可知： , ,a b c 两两之间的夹角均为 3  ，且 1a b= = ， 2c = （1）由 ( )1 1DD BD CC CD CB =  − ( ) 1 1 0c a b c a c b=  − =  −  = − = 所以 1DD BD⊥ ，所以 1DD BD⊥ . (6 分) （2）由 1 1CA CD DA AA a b c= + + = + + ，又 AB a= − 所以 ( ) 2 1 11CA a b c= + + = ， 1AB = 又 ( )1 5 2 CA AB a a b c = −  + + = − 则 1 1 1 5 5 112cos , ? 2211 CA AB CA AB CA AB   = = − = − 又异面直线夹角范围为 0, 2       ， 所以异面直线 1,CA AB 夹角的余弦值为 5 11 22 . (15 分) 18． ( 15 分) 已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 𝑠𝑖𝑛2𝐵 1+𝑐𝑜𝑠2𝐵 ＝ 𝑡𝑎𝑛𝐶+1 𝑡𝑎𝑛𝐶−1 . (1)求角 A 的大小； (2)设 AD 是 BC 边上的高，且 AD＝2，求△ABC 面积的最小值． 【解析】(1)左边＝ 𝑠𝑖𝑛2𝐵 1+𝑐𝑜𝑠2𝐵 ＝ 2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵 2𝑐𝑜𝑠2𝐵 ＝ 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐵 ， 右边＝ 𝑡𝑎𝑛𝐶+1 𝑡𝑎𝑛𝐶−1 ＝ 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐶 +1 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐶 −1 ＝ 𝑠𝑖𝑛𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑐𝑜𝑠𝐶 ， 由题意得 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐵 ＝ 𝑠𝑖𝑛𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑐𝑜𝑠𝐶 10 所以 sin Bsin C－sin Bcos C＝cos Bsin C＋cos Bcos C 所以 sin(B＋C)＋cos(B＋C)＝0，得 tan(B＋C)＝－1， 即 tan A＝1，又因为 0＜A＜π，所以 A＝ 𝜋 4 . (7 分) (2)由 S△ABC＝ 1 2 a×2＝ 1 2 bcsin 𝜋 4 ，所以 a＝ √2 4 bc， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos 𝜋 4 ，即 a2＝b2＋c2－√2bc 所以 1 8 b2c2＝b2＋c2－√2bc，所以 1 8 b2c2＋√2bc＝b2＋c2≥2bc 解得 bc≥8(2－√2)，当且仅当 b＝c 时取“等号”， 而 S△ABC＝ 1 2 bcsin 𝜋 4 ＝ √2 4 bc， 故(S△ABC)min＝ √2 4 ×8(2－√2)＝4√2－4. (15 分) 2023级高二年级第一学期数学统一作业1 命题人：操瑞康 审题人：金启富 考试说明：1.考查范围：暑假作业；选择性必修第一册§1.1§1.2. 2.试卷分值:130分；考试时间:100分钟. 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效. 考试结束后只交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 2．复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为 A． B． C． D． 【答案】B 3．设a，b表示两条不同的直线，β表示平面，则下列命题正确的是 A．若a∥β，a∥b，则b∥β B．若a∥β，b∥β，则a∥b C．若a⊥β，a⊥b，则b∥β D．若a⊥β，a∥b，则b⊥β 【答案】D 【解析】A：b可能在平面β内，故不正确； B：若a∥β，b∥β，则a可能与b相交，故不正确； C：a⊥β，a⊥b，则b可能在平面β内，故不正确； D：若a⊥β，a∥b，则b⊥β，故正确． 故选D. 4. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 5．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且 三点共线，则实数k的值为 A． B． C． D．8 【答案】A 【解析】因为A、B、D三点共线，所以使得 又，，， 所以 则 则，解得： 故选：A. 6．在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为的重心，所以， 又，所以. 故选：C. 7．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则 A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：B. 8．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四面体的内切球球心为，为的中心， 为的中点，连接， 则在上，连接，则. 因为正四面体的棱长为3，所以， 所以，设内切球的半径为， 则，，解得， 当为内切球的直径时最长，此时，， ， 因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最大， 的最大值为，所以的最大值为. 故选：C. 2、 选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．关于空间向量，以下说法正确的是 A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知三点不共线，若对平面外任意一点，有， 则四点共面 C．已知，，是空间的一个基底，若，则，，也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 【答案】ABC 【解析】对于A，空间中的三个向量，若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面， 所以这三个向量一定共面，所以A正确； 对于B，对于空间中任意一点，有， 因为，根据共面向量的定理的推论，可得点共面，所以B正确； 对于C，由是空间的一个基底，若，设， 可得，此时不存在实数使得成立， 所以一定不共面，则也是空间的一个基底，所以C正确； 对于D，由，可得，所以D错误. 故选：ABC. 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则 A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．三棱锥外接球表面积为 【答案】AD 【解析】对于A，连接，则，因为，所以， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故A正确； 对于B，连接，由正方体得，， 又，所以， 因为平面，即与平面不平行， 所以与平面不平行，故B错误； 对于C，由题意知，是直线与平面所成的角，且， 所以直线与平面所成的角不是，故C错误； 对于D，由正方体得，平面，且，， 所以三棱锥外接球的直径， 所以，外接球表面积为，故D正确； 故选：AD． 11．如图，在三棱锥中，，，则 A． B．异面直线与所成角余弦值是 C．若点是边上任一点，则为定值 D．三棱锥体积是 【答案】ACD 【解析】根据题意，可知， ， ， ，所以，故A正确； 分别取和的中点，，连接，，则，， ，， ， ， 则异面直线与所成角余弦值是，故B错误； 由于点是边上任一点，设， 则， 而，则，所以 的结果与无关， 即为定值，故C正确； 连接，由于是边长为的等边三角形， 则，所以 ， 在中，， 则，所以，而 ， 所以平面，即为三棱锥的高， 而， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】因为函数定义域为，令，则， 故，知为奇函数，由于为偶函数， 则函数为奇函数，即， 解得．故答案为：． 13. 设m, n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a＝(m，n)，b＝(1，－1)，则a与b的夹角为锐角的概率是________． 【答案】 【解析】因为a与b的夹角为锐角，所以，所求概率为. 14．在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为 . 【答案】 【解析】，故，，， 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面； 同理得到： 点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面； 点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面. 个两两平行的平面共有个交点，故满足条件的共有个. 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，共57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．13分) 三棱柱中，为中点，点在线段上，． 设，， (1)试用，，表示向量； (2)若，，求的长． 【解析】（1）三棱柱中，为中点，点在线段上，， 则，， 因此 . (6分) （2），， 则，同理得， 所以 . (13分) 16．14分) 已知函数的一系列对应值如下表： x y 1 3 1 1 3 （1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，求函数的值域. 【解析】（1）设的最小正周期为， 得，由得． 又解得, 令，即，， 据此可得：，又，令可得． 所以函数的解析式为． (7分) （2）因为函数的周期为，又，所以． 所以 因为，所以． 所以， 所以， 即函数的值域为. (14分) 17．15分) 已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 【解析】设，， 由题可知：两两之间的夹角均为，且， （1）由 所以，所以. (6分) （2）由，又 所以， 又 则 又异面直线夹角范围为， 所以异面直线夹角的余弦值为. (15分) 18．15分) 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝. (1)求角A的大小； (2)设AD是BC边上的高，且AD＝2，求△ABC面积的最小值． 【解析】(1)左边＝＝＝， 右边＝＝＝， 由题意得＝ 所以sin Bsin C－sin Bcos C＝cos Bsin C＋cos Bcos C 所以sin(B＋C)＋cos(B＋C)＝0，得tan(B＋C)＝－1， 即tan A＝1，又因为0＜A＜π，所以A＝. (7分) (2)由S△ABC＝a×2＝bcsin，所以a＝bc， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos，即a2＝b2＋c2－bc 所以b2c2＝b2＋c2－bc，所以b2c2＋bc＝b2＋c2≥2bc 解得bc≥8(2－)，当且仅当b＝c时取“等号”， 而S△ABC＝bcsin＝bc， 故(S△ABC)min＝×8(2－)＝4－4. (15分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$