1.2　30°，45°，60°角的三角函数值 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第一章　直角三角形的边角关系 2　30°，45°，60°角的三角函数值 1. 特殊角的三角函数值 锐角α三角函数 30° 45° 60° sin α ​ ​ ​ cos α ​ ​ ​ tan α ​ 1 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 1 ​ 2. 含有30°，45°角的直角三角形各边数量关系 注意：（1）特殊角的三角函数值可以借助上面两个图 形，结合三角函数的定义来记忆，含30°的直角三角形 三边之比为1∶ ∶2，等腰直角三角形三边之比为 1∶1∶ . （2）求某些特殊角的三角函数值时，关键要构造合适 的直角三角形. 题型一　30°，45°，60°角的三角函数值 计算： （1） sin 30°·tan 45°＋ sin 2 60°－2 cos 60°； 解：原式＝ ×1＋ －2× ＝ . （2） ； 解：原式＝ ＝ . （3）3tan 30°－ ＋ ＋ cos 45°. 解：原式＝3× －2＋ ＋ × ＝ －2＋ －1＋2 ＝2 －1. [方法总结] 做此类题时，应先利用特殊角的三角函数值 进行替换，将三角函数式的运算转化为代数式的运算， 求得的结果一般不取近似值. 跟踪训练 1. tan 60°的值为（　C　） A. B. C. D. 2 C 2. 计算： （1）tan 45°－2 sin 60°＋ cos 45°； 解：原式＝1－2× ＋ × ＝1－ ＋ ＝ － . （2） cos 30°－ ＋tan 60°； 解：原式＝ － ＋ ＝ ＋ －1＋ ＝2 －1. （3）tan230°＋ cos 230°－ sin 60°· cos 45°＋ sin 45°. 解：原式＝ ＋ － × ＋ × ＝ ＋ － ＋ ＝ － . 题型二　由特殊角的三角函数值求角的度数 （1）若2 cos α－ ＝0，则锐角α的度数 为 ⁠； （2）在△ABC中，若 ＋ ＝0， 则∠C的度数为（　D　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 30°　 D [分析] （2）由 ＋ ＝0，得 sin A ＝ ，tan B＝ ，根据特殊角的三角函数值可得∠A， ∠B的度数，结合三角形的内角和为180°，可求得 ∠C的度数. 跟踪训练 3. 在锐角三角形ABC中，若∠A，∠B满足 ＋ ＝0，则∠C的度数为（　C　） A. 30° B. 45° C. 75° D. 105° C 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ ，则 sin ＝ 　 　. 　 题型三　30°，45°，60°角的三角函数值的应用 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的 高BC是10 m，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A 点10 m处有一建筑物HQ. 为了方便行人推车过天桥， 市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角 ∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至 少3 m宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算 最后结果保留一位小数.参考数据： ≈1.414， ≈1.732） [分析] 在Rt△ABC中，由题意求出AB的长，在 Rt△DBC中，由题意求出DB的长，再由DH＝AH－ AD＝AH－（DB－AB）求出DH的长，比较大小即可 判定该建筑物是否需要拆除. 解：由题意，得AH＝10 m，BC＝10 m， 在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10 m. 在Rt△DBC中，∠CDB＝30°， ∴DB＝ ＝ ＝10 （m）， ∴DH＝AH－AD＝AH－（DB－AB）＝10－10 ＋ 10＝20－10 ≈2.7（m）. ∵2.7 m＜3 m，∴该建筑物需要拆除. 跟踪训练 5. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其 中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘坐电梯从一楼到 二楼上升的高度h是（　B　） A. m B. 4 m C. 4 m D. 8 m （第5题） B 6. 如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装 了一个测速仪，检测点设在距离公路10 m的A处，测得 一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9 s.已知 ∠B＝30°，∠C＝45°. （第6题） （1）求B，C两点之间的距离；（保留根号）（2）如 果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说 明理由.（参考数据： ≈1.7， ≈1.4）　 解：（1）如答案图，过点A作AD⊥BC于点D， （答案图） 则AD＝10 m. ∵在Rt△ACD中，∠C＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形. ∴CD＝AD＝10 m. 在Rt△ABD中，∠B＝30°，tan B＝ ， ∴BD＝ ＝10 （m）. ∴BC＝BD＋DC＝（10 ＋10）m. （2）超速.理由如下： 由（1）知BC＝（10 ＋10）m≈27 m. ∴汽车速度v＝ ＝30（m/s）， 30 m/s＝108 km/h. ∵108＞80，∴这辆汽车超速. $$