精品解析：广东省茂名地区2024-2025学年上学期随堂练习1八年级数学试题

2024-2025学年度第一学期随堂练习1八年级数学学科 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案对应的字母写在答卷上） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则的长为（ ） A 6 B. C. 24 D. 2 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，5 B. 7，8，9 C. 6，8，9 D. 5，12，13 4. 下列说法错误的是（ ） A. 是16的平方根 B. 0的平方根是0 C. 的平方根是 D. 5. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是(　 　)． A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 6. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 九章算术是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 5或 10. 如图，在中，，若是上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 5.5 B. 6.4 C. 7.4 D. 8 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是______． 12. 的算术平方根是________ 13. 如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是______． 14. 如图,圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是___________. 15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 已知的算术平方根是，，是的立方根． （1）求，，的值； （2）求平方根． 18. 某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 有一块土地，如图所示，已知AB=8,,BC=6,CD=24,AD=26,求这块土地的面积. 20. 【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： （1）写出第7个等式 　 　． （2）请根据上面式子规律填空：＝　 　． （3）利用（2）中结论计算：． 21. 阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． （1）在图1中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； （2）请结合图1用面积法说明，，三者之间等量关系； （3）已知，，求正方形的面积． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）试说明； （2）若，，求的面积． 23. 如图，已知在中，，，，点在线段上，且，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动．设点的运动时间为秒，连接． （1）当时，求的长度； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）连接，在点的运动过程中，当平分时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期随堂练习1八年级数学学科 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案对应的字母写在答卷上） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，为有理数，为无理数， 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 24 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 故选：A ． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，5 B. 7，8，9 C. 6，8，9 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数，根据勾股数的定义求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴这组数不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴这组数不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴这组数是勾股数，符合题意， 故选：D． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 是16的平方根 B. 0的平方根是0 C. 的平方根是 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、，所以是16的平方根，说法正确，不符合题意； B、0的平方根是0，说法正确，不符合题意； C、，所以的平方根是，说法错误，符合题意； D、的算术平方根是，所以，说法正确，不符合题意； 故选：C． 5. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是(　 　)． A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理及其逆定理解答即可． 【详解】解:设直角三角形的三条边a、b、c满足a2+b2=c2,将三条边同时扩大k倍， 则（ka）2+（kb）2=k2（a2+b2）=k2c2=（kc）2, ∴得到的三角形是直角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键． 6. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，无理数，根据流程图依次计算即可． 【详解】解：输入的时，取算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是无理数，输出； 故选：D． 7. 九章算术是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据宽为尺，则高为尺，对角线为尺，由勾股定理即可列式求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：宽为尺，则高为尺，门的对角线长尺， ∴由勾股定理可得，， 故选：A ． 8. 关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（ ） A 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】＋ ＝ 由题意知，， ， ∴，， ∴， 9的平方根是， ∴平方根为， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． 9. 若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理等知识，首先利用非负数的性质得，，再分为直角边或为斜边两种情形，分别利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 当为直角边时，第三边长为， 当为斜边时，第三边长为， 故选：D． 10. 如图，在中，，若是上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 5.5 B. 6.4 C. 7.4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB，根据垂线段最短，求出CP的最小值即可解决问题． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴ ∵AP+BP+PC=CP+AB=CP+5， 根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP的值最小，最小值， ∴AP+BP+CP的最小值=5+2.4=7.4， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用立方根的定义即可得出结论． 【详解】解：的立方根是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．一个正数有两个平方根，并且它们是一对相反数． 12. 的算术平方根是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是． 故答案为． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握定义进行解题． 13. 如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据勾股定理，结合正方形的面积公式得出是解题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 14. 如图,圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆柱沿的侧面展开，丝线绕圆柱一周，利用两点之间线段最短基本事实知道展开图中就是丝线的最短长度，用勾股定理求即可．本题考查圆柱体的侧面展开图问题，掌握两点之间线段最短，会利用基本事实解决问题，此问题常与勾股定理结合，掌握好勾股定理是解题关键． 【详解】沿将侧面展开如图， 由两点之间线段最短，为最短线长, ，， 由勾股定理得． 故答案为：． 15. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）5（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和利用平方根的性质解方程． （1）先求方法根，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，然后进行加减运算即可． （2）利用平方根的性质解方程即可． 【详解】解：（1） （2） ， ∴， 17. 已知的算术平方根是，，是的立方根． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求平方根和立方根、算术平方根的理解、代数式求值，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出、、，计算得出答案即可； （2）将，，的值代入求值，再求出平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵是的立方根， ∴； 【小问2详解】 解：∵由（1）得，，， ∴， ∴的平方根． 18. 某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 【答案】（1） （2）没有超速． 【解析】 【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【小问1详解】 解：在中，，； 据勾股定理可得： = 【小问2详解】 解：小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车行驶没有超速． 答：这辆小汽车没有超速． 【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 有一块土地，如图所示，已知AB=8,,BC=6,CD=24,AD=26,求这块土地的面积. 【答案】96． 【解析】 【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，根据S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC即可得出结论． 【详解】 解：连接AC， ∵AB=8，∠B=90°，BC=6， ∴AC= ． ∵CD=24，AD=26， ∴CD2=242=576，AD2=262=676，AC2=1002=100， ∴AC2+CD2=AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC = AC•CD- AB•BC =×10×24-×8×6 =120-24 =96． 答：这块土地的面积是96． 故答案为96． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 20. 【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： （1）写出第7个等式 　 　． （2）请根据上面式子的规律填空：＝　 　． （3）利用（2）中结论计算：． 【答案】（1）＝7 （2）n+1 （3）14 【解析】 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可； （2）所给是n+1个式子，根据规律即可得； （3）根据得出的结论可知，利用规律即可得． 【小问1详解】 解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13， ∴第7个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据材料中给出的规律可知：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据（2）中的规律知， ． 【点睛】本题考查了数字变化规律类，解题的关键是掌握是式子的规律． 21. 阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． （1）在图1中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； （2）请结合图1用面积法说明，，三者之间的等量关系； （3）已知，，求正方形的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）正方形的面积为39 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算． （1）由正方形面积公式即可得到答案； （2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案； （3）由正方形面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算． 【小问1详解】 解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； 【小问3详解】 解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）试说明； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明即可； （2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，全等三角形的性质，得到，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形是长方形， ∵把长方形纸片沿折叠， ， 在和△中 【小问2详解】 设， 根据翻折不变性，得： 在中，由勾股定理，得： 解得， ∴，则 ∴． 23. 如图，已知在中，，，，点在线段上，且，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动．设点的运动时间为秒，连接． （1）当时，求的长度； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）连接，在点的运动过程中，当平分时，求t的值． 【答案】（1） （2）或 （3）4.5或10.625 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，当时，，进而勾股定理即可求解； （2）在中，，，勾股定理求得，若，则．若，则，在中，由勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论，①点在线段上时，如图，过点作于．②点P在线段的延长线上时，如图2，过点D作于E，结合图形，根据勾股定理即可求解． 小问1详解】 解：根据题意，得 当时，, 在中，， 由勾股定理，得． 小问2详解】 解：在中，，， 由勾股定理，得． 若，则． 在中，由勾股定理，得， 解得： 若，则，解得 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或. 【小问3详解】 解：①点在线段上时，如图，过点作于． 则． ． 平分，，， ，． ， ． 在中，由勾股定理，得， 解得： ②点在线段的延长线上时，如图，过点作于． 同①得， ， ， 在中，由勾股定理，得 解得 综上所述，在点的运动过程中，当平分时，的值为4.5或10.625 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$