重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学周考（10.27）

重庆市第八中学2024-2025学年九年级上册数学周考（10.27） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列各组数能作为直角三角形三边长的是（　　） A．，2， B．32，42，52 C．7，24，25 D．12，15，20 3．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9 4．（4分）估计的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 5．（4分）下列命题中，是假命题的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 6．（4分）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（4分）如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（　　） A． B． C． D． 8．（4分）某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程（　　） A．4×720x＝120（10﹣x） B．720x＝120（10﹣x） C． D． 9．（4分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，O为对角线BD的中点，点F是BC上一点，连接CE、AE、FE、AF、OF，取AF中点G，连接EG，当∠ECF＝∠EFC时，若EG＝，BF＝2，则△EOF的面积为（　　） A．1 B． C． D． 10．（4分）关于x（x≠0）的整式xm+ax+b与xn+cx+d，令A＝xm+ax+b，B＝xn+cx+d，下列说法正确的有（　　）个． ①若A+B是关于x的二次整式，则m+n的值共有3种不同的可能； ②若m＝4，A＝（x﹣3）C，C为整式，则C中除常数项外其余各项系数和为13； ③若m＝4，a＝4，b＝0，n＝2，c＝1，d＝1，则A﹣4B的最小值为﹣8； ④若m＝1，a＝b＝0，n＝2，c＝d＝0，令A1＝A+B，B1＝A×B，且An＝An﹣1+Bn﹣1，Bn＝An﹣1×Bn﹣1（n≥2），则A8+B8共有89项． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11．（4分）计算2sin245°+3tan30°sin60°＝　 　． 12．（4分）若二次函数y＝mx2+x+m（m﹣3）的图象经过原点，则m的值为 　 　． 13．（4分）将y＝2x2+1的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，则最终所得图象的顶点坐标为 　 　． 14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AC＝2．以点A为圆心，AC的长为半径画弧交AB，AD的延长线于点E，F，则图中阴影部分的面积是 　 　．（结果不取近似值） 15．（4分）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为　 　． 16．（4分）若整数a使得关于x的不等式组至少有2个整数解，且使得关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为 　 　． 17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，求DE的长 　 　． 18．（4分）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数m1，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数m2，记F（m）＝．若s、t都是“同和数”，其中s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76（1≤x＜y＜e＜f≤9），且x、y、e、f都是正整数，规定k＝，用含x、f的代数式表示k＝　 　． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19．（8分）计算： （1）x（x+5）+（x﹣2）（x﹣3）； （2）． 20．（10分）北关中学在七、八年级各选取10名学生参加学校举办的“我爱我校”知识竞赛．竞赛成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D．95≤x≤100） 七年级10名学生的成绩：82，84，90，92，93，93，93，93，100，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：91，91，93，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 b 30 八年级 92 a 95 26.8 根据以上信息回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）哪个年级的学生成绩更好？请说明理由． （3）若该校七年级有700人，八年级有800人，均参加此次知识竞赛，估计成绩优秀（x≥90）的学生共有多少人？ 21．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，延长BC至点M，点E是边BC上一点，∠AEN＝90°（1）尺规作图：在射线EN上截取EG＝EA，过点G作BM的垂线交BM于点Q．（只保留作图痕迹） （2）证明BE＝GQ．将下面的过程补充完整． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°． ∴∠BAE+∠AEB＝90°． ∵∠AEN＝90°， ∴∠GEQ+∠AEB＝90°． ∴①　 　． ∵GQ⊥BM于点Q， ∴∠GQE＝90°． ∴②　 　． 又∵③　 　， ∴△ABE≌△EQG（④　 　）． ∴BE＝GQ． 22．（10分）当下公园露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知A型天幕帐篷的进价比B型普通帐篷多80元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同． （1）每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？ （2）7月份该小明以300元每顶售出A型帐篷120顶，以200元每顶售出B型帐篷150顶．8月份小明决定调整价格，每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在7月的基础上下降了m元，由于气温持续攀升，8月份A型帐篷的销量比7月份增加了2m顶，B型帐篷的销量比7月份增加了20%，小明在8月份获利13200元，求m的值． 23．（10分）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，连接AC，∠DAC＝30°，AB＝4．点E是BC上的点，BE＝3，连接AE，动点F以每秒1个单位长度的速度从点E出发，沿着折线E→A→C运动，到达C点停止运动，连接BF、EF．设点F的运动时间为x秒，记△BEF的面积为y1，请解答下列问题： （1）直接写出y1关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）函数图象如图所示，当y1≥y2时，请直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 24．（10分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼AB的高度； （2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，＝1.73） 25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，已知． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作PF∥AC交BC于点F，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在平面直角坐标系内，将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，得到新抛物线y'，y′上有一动点M，连接BM，当∠ACO+∠ABM＝∠BCO时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的其中一种情况过程． 26．（10分）在△ABC中，D为直线AC上一动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90°，得到BE，连接DE与AB相交于点F． （1）如图1，若D为AC的中点，∠BAC＝90°，AC＝4，BD＝，连接AE，求线段AE的长； （2）如图2，G是线段BA延长线上一点，D在线段AC上，连接DG，EC，若∠BAC＜90°，EC⊥BG，∠ADE＝∠DBC，∠DBC+∠G＝∠EBF，证明BC＝2AD+DC； （3）如图3，若△ABC为等边三角形，AB＝6，点M为线段AC上一点，且2CM＝AM，点P是直线BC上的动点，连接EP，MP，EM，请直接写出当EP+MP最小时△EPM的面积． 重庆市第八中学2024-2025学年九年级上册数学周考（10.27） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：是分式， 故A符合题意， ，，都不是分式， 故B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 2．（4分）下列各组数能作为直角三角形三边长的是（　　） A．，2， B．32，42，52 C．7，24，25 D．12，15，20 【解答】解：A．∵（）2+22≠（）2， ∴以，2，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵（32）2+（42）2≠（52）2， ∴以32，42，52为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵72+242＝252， ∴以7，24，25为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．∵122+152≠202， ∴以12，15，20为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9 【解答】解：∵OA：AA′＝1：2， ∴OA：OA′＝1：3， ∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴AB：A′B′＝OA：OA′＝1：3， ∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9， 故选：C． 4．（4分）估计的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【解答】解： ＝+ ＝+2， ∵2＜＜3， ∴4+2＜5， 故选：B． 5．（4分）下列命题中，是假命题的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 【解答】解：A选项，这是平行四边形的定义，正确，不符合题意； B选项，这是矩形的判定定理，正确，不符合题意； C选项，这是菱形的判定定理，正确，不符合题意； D选项，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，错误，符合题意； 故选：D． 6．（4分）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：甲和丙的体积相等， 甲的质量＞丙的质量， ∴甲的质量大； 乙和丁的体积相等， 乙的质量＞丁的质量， ∴乙的质量大； 甲和乙的质量相等， 甲的体积＜乙的体积， ∴甲的质量大． 故选：A． 7．（4分）如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠ACD＝30°，∠C＝∠AOD， ∴∠AOD＝60°， ∵OA＝OD， ∴△OAD是等边三角形， ∵AN⊥OD， ∴ON＝DN＝2， ∴OA＝OD＝ON+DN＝4， ∵M平分ON， ∴MN＝ON＝1， ∵△AOD是等边三角形，AN⊥OD， ∴AN＝OA＝2， ∴AM＝＝． 故选：A． 8．（4分）某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程（　　） A．4×720x＝120（10﹣x） B．720x＝120（10﹣x） C． D． 【解答】解：设应该安排x天生产桌腿，则安排（10﹣x）天生产桌面， 根据题意得：＝120（10﹣x）， 故选：D． 9．（4分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，O为对角线BD的中点，点F是BC上一点，连接CE、AE、FE、AF、OF，取AF中点G，连接EG，当∠ECF＝∠EFC时，若EG＝，BF＝2，则△EOF的面积为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过F作FH⊥BD于H，如图： 则∠EMC＝∠ENC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线， ∴∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EMCN为矩形， ∴EM＝CN，EN＝MC， ∵∠ECF＝∠EFC， ∴△EFC为等腰三角形，即：EC＝EF， 又EM⊥BC， ∴MC＝MF， 设MC＝x，AG＝y， ∴MF＝MC＝x， ∴CF＝MC+MF＝2x，BM＝BF+MF＝x+2，AB＝BC＝BF+CF＝2x+2， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴AE＝EC＝EF， 即△EAF为等腰三角形， 又EG⊥AF， ∴AG＝GF＝y，则AF＝AG+GF＝2y， 在RtABF中，AF＝2y，AB＝2x+2，BF＝2， 由勾股定理得：AF2＝AB2+BF2， 即：（2y）2＝（2x+2）2+22， 整理得：y2＝x2+2x+2①， ∵∠CBD＝45°，EM⊥BC， ∴△BEM为等腰直角三角形， ∴EM＝BM＝2+x， 在Rt△EMF中，EM＝2+x，MF＝x， 由勾股定理得：EF2＝EM2+MF2＝（2+x）2+x2＝2x2+4x+4， 在Rt△EGF中，EG＝，GF＝y， 由勾股定理得：EF2＝EG2+GF2＝10+y2， ∴10+y2＝2x2+4x+4， 整理得：y2＝2x2+4x﹣6②， 由①②得：2x2+4x﹣6＝x2+2x+2， 整理得：x2+2x﹣8＝0， 解得：x＝2，或x＝﹣4（不合题意，舍去）， ∴AB＝2x+2＝6，EM＝CN＝2+x＝4，EN＝MC＝x＝2， 在Rt△ABD中，AB＝AD＝6， 由勾股定理得：， ∵点O为BD的中点， ∴OD＝BD＝， ∵∠CDB＝45°，EN⊥CD， ∴△DEN为等腰直角三角形， ∴DN＝EN＝2， 由勾股定理得：， ∴OE＝OD﹣DE＝＝， ∵∠CBD＝45°，FH⊥BD， ∴△BHF为等腰直角三角形，即：HF＝BH， 由勾股定理得：HF2+BH2＝BF2， ∴2HF2＝22， ∴HF＝， ∴S△EOF＝OE•HF＝． 故选：A． 10．（4分）关于x（x≠0）的整式xm+ax+b与xn+cx+d，令A＝xm+ax+b，B＝xn+cx+d，下列说法正确的有（　　）个． ①若A+B是关于x的二次整式，则m+n的值共有3种不同的可能； ②若m＝4，A＝（x﹣3）C，C为整式，则C中除常数项外其余各项系数和为13； ③若m＝4，a＝4，b＝0，n＝2，c＝1，d＝1，则A﹣4B的最小值为﹣8； ④若m＝1，a＝b＝0，n＝2，c＝d＝0，令A1＝A+B，B1＝A×B，且An＝An﹣1+Bn﹣1，Bn＝An﹣1×Bn﹣1（n≥2），则A8+B8共有89项． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：A+B＝xm+ax+b+xn+cx+d＝xm+xn+（a+c）x+b+d， ∵A+B为关于x的二次整式， ∴式子中二次项系数不为0， ∴m或n至少有一个数为2， 当m＝2时，n的值可能为2，1，0， 当n＝2时，m的值可能为2，1，0， ∴m+n＝4，3，2，三种不同的取值． 故①符合题意． ②当m＝4时，A＝x4+ax+b＝（x﹣3）C， ∵x4+ax+b＝x（x3+a）+b， 令A＝（x﹣3）（x3+3x2+9x+b） ＝x4﹣3x3+3x3﹣9x2+9x2﹣27x+bx﹣3b ＝x4+（b﹣27）x﹣3b与A式中各项相符， ∴C＝x3+3x2+9x+b成立， ∴C中除常数项外的系数之和为1+3+9＝13， 故②符合题意． ③当m＝4，a＝4，b＝0，n＝2，c＝1，d＝1时， A＝x4+4x，B＝x2+x+1， ∴A﹣4B＝x4+4x﹣4（x2+x+1）＝x4+4x﹣4x2﹣4x﹣4＝x4﹣4x2﹣4， 令y＝x2， 则A﹣4B＝y2﹣4y﹣4＝（y﹣2）2﹣8， ∴当y＝2时，A﹣4B最小值为﹣8， 故③符合题意． ④当m＝1，a＝b＝0，n＝2，c＝d＝0时， A＝x，B＝x2， ∴×B＝x3， 则＝A1×B1＝x5+x4， A3＝A2+B2＝x5+x4+x3+x2+x，B3＝A2×B2＝x8+2x7+2x6+x5， 即A1+B1有3项， A2+B2有3+2＝5项， A3+B3有5+3＝8项， A4+B4有8+5＝13项， A5+B5有13+8＝21项， A6+B6有 21+13＝34项， A7+B7有34+21＝55项， ……， An+Bn有（An﹣1+Bn﹣1的项数）+（An﹣2+Bn﹣2的项数）项， ∴A8+B8有55+34＝89项． 故④符合题意． 即①②③④正确． 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11．（4分）计算2sin245°+3tan30°sin60°＝　　． 【解答】解：原式＝2×（）2+3×× ＝ ＝， 故答案为：． 12．（4分）若二次函数y＝mx2+x+m（m﹣3）的图象经过原点，则m的值为 　3　． 【解答】解：把（0，0）代入y＝mx2+x+m（m﹣3）得0＝m（m﹣3）， 解得m＝0或m＝3， ∵m≠0， ∴m＝3． 故答案为：3． 13．（4分）将y＝2x2+1的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，则最终所得图象的顶点坐标为 　（1，﹣1）　． 【解答】解：将y＝2x2+1的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+1﹣2＝2（x﹣1）2﹣1， 故抛物线的顶点坐标（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AC＝2．以点A为圆心，AC的长为半径画弧交AB，AD的延长线于点E，F，则图中阴影部分的面积是 　　．（结果不取近似值） 【解答】解：∵矩形ABCD，AD＝1，AC＝2． ∴∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝CD， ∴， ． 故答案为：． 15．（4分）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为　　． 【解答】解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个， ∴配成紫色的概率为， 故答案为：． 16．（4分）若整数a使得关于x的不等式组至少有2个整数解，且使得关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为 　4　． 【解答】解：解不等式组得，因为这个不等式组至少有2个整数解， ∴， ∴a＞﹣2， ∴a+1＞﹣1， ∵， 解方程得， ∵分式方程有整数解， ∴a+1＝1，2，4， ∴a＝0，1，3， ∴满足条件的所有整数a的和为4， 故答案为：4． 17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，求DE的长 　　． 【解答】解：连接BD交AC于点F， ∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC， ∴BF＝DF，∠BFC＝90°， ∵AB＝4，BC＝3， ∴AC＝＝＝5， 设CF＝x，则AF＝5﹣x， ∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2， ∴42﹣（5﹣x）2＝32﹣x2， ∴x＝， ∴CF＝， ∵CE＝BC， ∴CF＝DE， ∴DE＝． 故答案为：． 18．（4分）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数m1，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数m2，记F（m）＝．若s、t都是“同和数”，其中s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76（1≤x＜y＜e＜f≤9），且x、y、e、f都是正整数，规定k＝，用含x、f的代数式表示k＝　　． 【解答】解：设一个同和数m的千位、百位、十位、个位数字分别是a，b，c，d，其中a，b，c，d均为整数且1≤a，b，c，d≤9， 由题意，a+d＝b+c， ∴m1＝1000d+100b+10c+a，m2＝1000a+100c+10b+d， ∴F（m）＝＝b+c＝a+d， ∵s＝5000+400+10y+x，t＝1000f+100e+70+6， ∴F（s）＝5+x，F（t）＝f+6，1≤x，f≤9，且x，f为整数且x≠4，5，f≠6，7， ∴k＝． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19．（8分）计算： （1）x（x+5）+（x﹣2）（x﹣3）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝x2+5x+x2﹣5x+6 ＝2x2+6； （2）原式＝÷ ＝• ＝． 20．（10分）北关中学在七、八年级各选取10名学生参加学校举办的“我爱我校”知识竞赛．竞赛成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D．95≤x≤100） 七年级10名学生的成绩：82，84，90，92，93，93，93，93，100，100． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：91，91，93，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 b 30 八年级 92 a 95 26.8 根据以上信息回答下列问题： （1）a＝　93.5　，b＝　93　，c＝　40　． （2）哪个年级的学生成绩更好？请说明理由． （3）若该校七年级有700人，八年级有800人，均参加此次知识竞赛，估计成绩优秀（x≥90）的学生共有多少人？ 【解答】解：（1）∵八年级C组占的百分比为×100%＝40%， ∴c%＝100%﹣10%﹣10%﹣40%＝40%， ∴c＝40， ∵七年级10名学生的成绩中，出现次数中点的是93， ∴b＝93， ∵八年级10名学生的成绩中，从小到大排列后第5和6位置的数是93和94， ∴a＝＝93.5； 故答案为：93.5，93，40； （2）这次竞赛中八年级的成绩更更好； 理由：∵八年级的方差26.8小于七年级的方差30，平均数相同，八年级的中位数和众数大于七年级的， ∴这次竞赛中八年级的成绩更更好； （3）700×+800×（40%+40%）＝1200（人）， 答：估计成绩优秀（x≥90）的学生共有1200人． 21．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，延长BC至点M，点E是边BC上一点，∠AEN＝90°（1）尺规作图：在射线EN上截取EG＝EA，过点G作BM的垂线交BM于点Q．（只保留作图痕迹） （2）证明BE＝GQ．将下面的过程补充完整． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°． ∴∠BAE+∠AEB＝90°． ∵∠AEN＝90°， ∴∠GEQ+∠AEB＝90°． ∴①　∠BAE＝∠GEQ　． ∵GQ⊥BM于点Q， ∴∠GQE＝90°． ∴②　∠B＝∠GQE　． 又∵③　AE＝EG　， ∴△ABE≌△EQG（④　AAS　）． ∴BE＝GQ． 【解答】（1）解：如图，GQ为所作； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°． ∵∠AEN＝90°， ∴∠GEQ+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠GEQ． ∵GQ⊥BM于点Q， ∴∠GQE＝90°． ∴∠B＝∠GQE． 又∵AE＝EG， ∴△ABE≌△EQG（AAS）． ∴BE＝GQ． 故答案为：∠BAE＝∠GEQ，∠B＝∠GQE，AE＝EG，AAS． 22．（10分）当下公园露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知A型天幕帐篷的进价比B型普通帐篷多80元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同． （1）每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？ （2）7月份该小明以300元每顶售出A型帐篷120顶，以200元每顶售出B型帐篷150顶．8月份小明决定调整价格，每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在7月的基础上下降了m元，由于气温持续攀升，8月份A型帐篷的销量比7月份增加了2m顶，B型帐篷的销量比7月份增加了20%，小明在8月份获利13200元，求m的值． 【解答】解：（1）设每顶A型帐篷是x元，B型帐篷的进价分别是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每顶A型帐篷是240元，B型帐篷的进价分别是160元； （2）根据题意，8月A型帐篷得单价为300元，销量为（120+2m）顶，8月B型帐篷得单价为（200﹣m）元，销量为150（1+20%）顶，根据题意得： （300﹣240）（120+2m）+150（1+20%）（200﹣m﹣160）＝13200， 解得：m＝20． 23．（10分）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，连接AC，∠DAC＝30°，AB＝4．点E是BC上的点，BE＝3，连接AE，动点F以每秒1个单位长度的速度从点E出发，沿着折线E→A→C运动，到达C点停止运动，连接BF、EF．设点F的运动时间为x秒，记△BEF的面积为y1，请解答下列问题： （1）直接写出y1关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）函数图象如图所示，当y1≥y2时，请直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【解答】解：（1）在Rt△ABC中， ∵AD∥BC，则∠ACB＝∠DAC＝30°， 则AC＝2AB＝8， 在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，则AE＝5， 当点F在AE上时， 则y＝BE×EF•sin∠AEB＝3×x×＝x； 当点F在AC上时， 同理可得：y＝BE×FC•sin∠ACB＝3×（5+8﹣x）×＝﹣x+， 即y＝； （2）当x＝0时，y＝0，当x＝5时，y＝6，当x＝13时，y＝0， 根据上述3个点画出函数图象如下： 由函数图象得，函数在x＝5时，取得最大值为6（答案不唯一）； （3）从图象看，两个函数的交点得横坐标大概为：2.6和12.3， 故x的取值范围为：2.6≤x≤12.3． 24．（10分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼AB的高度； （2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，＝1.73） 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝20米，∠ACB＝60°， ∵tan∠ACB＝， ∴AB＝BC•tan∠ACB＝20×＝60（米）， 答：高楼AB的高度为60米； （2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H， 则四边形HBGD为矩形， ∴BH＝DG，DH＝BG， 设DG＝x米， ∴AH＝AB﹣BH＝（60﹣x）米， ∵斜坡CD的坡比是i＝1：6， ∴CG＝6x米， ∴BG＝（20+6x）米， 在Rt△AHD中，tan∠ADH＝， ∴≈0.75， 解得：x＝≈6.2， 经检验，x是原方程的解， 答：点D离地面的距离约为6.2米． 25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，已知． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作PF∥AC交BC于点F，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在平面直角坐标系内，将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，得到新抛物线y'，y′上有一动点M，连接BM，当∠ACO+∠ABM＝∠BCO时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的其中一种情况过程． 【解答】解：（1）∵A（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∵tan∠ACO＝， ∴CO＝4， ∴C（0，4）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 将C点代入，可得﹣24a＝4， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4； （2）过F点作FG⊥PE交于G点，延长PE交x轴于H点， ∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵∠FEG＝∠BEH， ∴∠FEG＝45°， ∴FG＝EG， ∵PF∥AC， ∴∠FPG＝∠ACO， ∵tan∠ACO＝， ∴tan∠FPG＝， ∴PG＝2FG， ∵sin∠PFG＝， ∴PG＝PF， ∴PE+PF＝PE+PG＝5FG， 直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 设P（m，﹣m2+m+4），则E（m，﹣m+4）， ∴PE＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+2m＝3FG， ∴FG＝﹣m2+m， ∴PE+PF＝5（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+， 当m＝2时，PE+PF有最大值，此时P（2，4）； （3）∵将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴负半轴方向平移个单位长度，沿y轴负半轴方向平移2个单位长度， ∴y'＝﹣x2+， 作A点关于y轴的对称点Q，则Q（2，0），连接CQ，过Q点作QD⊥BC交于D点，过M点作MN⊥x轴交于N点， ∵∠ACO+∠ABM＝∠BCO，∠BCO＝∠OCQ+∠BCQ，∠ACO＝∠OCQ， ∴∠QCB＝∠MBA， ∵OB＝4，OC＝4， ∴BQ＝2，BC＝4， ∵2×4＝4×DQ， 解得DQ＝， ∵CD＝＝3， ∴tan∠BCQ＝， ∴＝， 设M（t，﹣t2+）， ∴＝， 解得t＝或t＝﹣±， ∴M点横坐标为或﹣±． 26．（10分）在△ABC中，D为直线AC上一动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90°，得到BE，连接DE与AB相交于点F． （1）如图1，若D为AC的中点，∠BAC＝90°，AC＝4，BD＝，连接AE，求线段AE的长； （2）如图2，G是线段BA延长线上一点，D在线段AC上，连接DG，EC，若∠BAC＜90°，EC⊥BG，∠ADE＝∠DBC，∠DBC+∠G＝∠EBF，证明BC＝2AD+DC； （3）如图3，若△ABC为等边三角形，AB＝6，点M为线段AC上一点，且2CM＝AM，点P是直线BC上的动点，连接EP，MP，EM，请直接写出当EP+MP最小时△EPM的面积． 【解答】（1）解：∵D为AC的中点，AC＝4，，∠BAC＝90°， ∴，则由勾股定理，可得：， 作EG⊥AB，交AB于G，如图1， 由题意可知，∠DBE＝90°，BE＝BD， ∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 又∵∠EGB＝∠BAC＝90°， ∴△ABD≌△GEB（AAS）， ∴EG＝AB＝5，BG＝AD＝2， 则AG＝AB﹣BG＝3， 由勾股定理可得：AE＝＝； （2）证明：由旋转可知，△BDE为等腰直角三角形， ∴∠7＝45°，∠EBD＝90°，BE＝BD， ∵EC⊥BG， ∴∠3+∠EBF＝90°， 又∵∠4+∠EBF＝90°，∠3+∠1＝90°， ∴∠3＝∠4，∠1＝∠EBF＝∠2+∠DBC， 又∵∠DBC+∠G＝∠EBF， ∴∠2＝∠G， 在△EBC和△BDG中， ， ∴△EBC≌△BDG（AAS）， ∴BD＝DG，∠EBC＝∠BDG， 则：∠EBD+∠DBC＝∠7+∠ADE+ADG， ∵∠ADE＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠7+ADG，即：90°＝45°+∠ADG， ∴∠ADG＝45°， 又∵∠ADE＝∠DBC＝∠5+∠6， 由三角形内角和定理可得：∠DBC+∠2＝∠6+∠7， 即：∠6+∠5+∠2＝∠6+∠7， ∴∠ACB＝∠5+∠2＝∠7＝45°， 作BH⊥BC，交CA延长线于H，连接HG，如图2， ∴△BCH为等腰直角三角形， ∴∠BHC＝45°，BH＝BC＝DG，， ∵∠ADG＝45°， ∴BH∥DG， ∴四边形BDGH是平行四边形， ∴AH＝AD，即HD＝2AD， ∴； （3）解：作BH⊥AC，交AC于H， ∵△ABC是等边三角形， ∴，∠DBE＝∠ABC＝60°，BH平分∠ABC， 则∠ABH＝∠CBH＝30°， 将BC绕点B逆时针旋转90°，则，∠DBE＝∠CBG＝90°， ∴∠EBG＝∠DBC，∠GBH＝∠CBG﹣∠CBH＝60°， ∴△BGE≌△BCD（SAS）， ∴∠BGE＝∠BCD＝60°， ∴EG⊥BH， 作点M关于BC的对称点N，连接PN，CN，如图3，由对称易知CM＝CN，∠BCN＝∠ACB＝60°，PM＝PN， ∴EP+MP＝EP+PN， 当EP+MP最小时，即EP+PN最小，亦即N、P、E在同一直线，且NE⊥EG，如图4： 作BT⊥GE，交GE于T，则∠BGT＝60°，∠TBG＝30°， ∴，， ∵EG∥BH，BH⊥AC，NE⊥EG， ∴BH⊥NP，NE∥AC，四边形BQET是矩形， 则∠ACB＝∠NPC＝∠BPQ＝60°，EQ＝BT＝3，即∠MPE＝60°， 由轴对称可知，∠CPM＝∠NPC＝60°， ∴△PMC是等边三角形，则：PM＝CM＝CP， ∵2CM＝AM， ∴，，∠ABH＝∠CBH＝30°， ∴，， 则由勾股定理可得：，， ∵NE∥AC，BH⊥NP， 则QH为NE，AC之间的距离， ∴，即△EPM的高， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$