精品解析：广东省深圳市龙华中学2024-2025学年高二上学期第一次质量监测数学试题

龙华中学2024-2025第一学期第一次阶段考试试卷 高二数学 命题人：欧阳哲 审题人：徐宝民 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.） 1. 已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】对A：设，即，因为不共面， 故不存在实数满足，则不共面，可以作为基底； 对B：因为存在实数，使得，故共面，不可作为基底； 对C：设，即，因为不共面, 故不存在实数满足，则不共面，可以作为基底； 对D：设，即，因为不共面， 故不存在实数满足，则不共面，可以作为基底. 故选：B. 2. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C. 3. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 4. 已知正方体的棱长为1，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及向量的坐标表示即可求解. 【详解】记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为，，，则，，， 因为 ， 所以点P的坐标为． 故选：D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系计算求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为四边形是矩形，所以， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 所以，，所以． 故选：B 6. 函数，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的图像，即可得出时的最小值． 【详解】由的图像可知，时，， 所以， 故选：D． 7. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可. 【详解】因为，，则， 点在平面内，点平面外， 平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 故选：C. 8. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率的取值范围，结合倾斜角的取值范围可得结果. 【详解】直线的方程可化为，所以，， 因为，因此，直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 二、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. （多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ） A. 点与点关于z轴对称 B. 点与点关于y轴对称 C. 点与点关于平面对称 D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 【答案】BD 【解析】 【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可. 【详解】点与点关于x轴对称，故错误； 点与关于y轴对称，故正确； 点与不关于平面对称，故错误； 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故正确． 故选：. 10. 如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ） A. 圆台的侧面积为 B. 直线与下底面所成的角的大小为 C. 圆台的体积为 D. 异面直线和所成的角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆台的侧面积公式以及体积公式即可判断AC，由线面角的定义即可判断B，由异面直线所成角的定义即可判断D. 【详解】由题意可得上底面半径为，下底面圆半径为，母线， 则圆台的侧面积为，故A正确； 做圆台的轴截面如图所示，做， 则直线与下底面所成的角为，且， 则，且， 则，所以，故B正确； 因为上底面圆的面积，圆台的高， 则圆台的体积为，故C错误； 取中点，连接，由为弧的中点，可得， 过点，作，连接， 则，且，且， 则四边形为平行四边形，所以， 则异面直线和所成的角即为与所成角，即为， 又，， 所以， 在中，，， 则为等腰直角三角形，则，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知，则（ ） A. ，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据方程无解，可判定A错误；根据题意求得，结合两角差的正弦公式，可判定B正确；结合两角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C错误；化简，结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A中，若，可得 因为，可得，解得， 又因为时，，所以方程无解，所以A错误； 对于B中，因为，可得，所以， 又因为，所以， 则，所以B正确； 对于C中，由， 则，所以C错误； 对于D中，因为，可得，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过两点的直线的倾斜角为，求的值为______． 【答案】． 【解析】 【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值． 【详解】解：因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：． 故答案为： 13. 在中，内角的对边分别为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解. 【详解】对于， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又，所以. 故答案为：. 14. 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 【详解】解：点，，过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率或， 的斜率为，的斜率为， 直线的斜率或，即， 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. （1）求经过点和点的直线的方程； （2）求经过点且倾斜角为的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）（2）求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】解：（1）直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即； （2）由题意可知，所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. 16. 已知直线的方程为． （Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程； （Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】（1）（2）直线的方程为：或 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点 代入方程解得，从而可得直线的方程；(2)由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程. 试题解析：（1）设直线的方程为： 直线过点（1，-3）， 解得 直线的方程为：． (2)设直线的方程为： 令，得；令，得 则，得 直线的方程为：或． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，． （1）求证：； （2）求PC与平面PBE所成角的正弦值． 【答案】（1） ∵平面，平面PAD，∴， 又∵是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴， 又∵平面，平面，， ∴平面 ∵平面ABCD，∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面得到，根据等腰三角形的性质得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，最后利用线面垂直的性质即可得到； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，以为原点，EP，EA所在的直线为轴，轴，在平面ABCD内， 通过点作AD的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，则，， 设平面PBE的法向量为， ，取，则， 故为平面PBE的一个法向量， 设PC与平面PBE所成的角为，则， ∴与平面PBE所成角的正弦值为． 18. 如图，直棱柱的高为4，底面为平行四边形，，，分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，，， 因为为平行四边形，，， 所以三角形为正三角形，所以， 所以为菱形， 所以三角形为正三角形，所以, 因为四棱柱为直棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又，，所以平面． 又，， 所以为平行四边形，所以， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，，利用线面垂直的判定定理求解即可； （2）利用空间直角坐标系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由方程组解得， 设平面的法向量为，，， 由方程组解得， 所以，，， ， 因为二面角为钝角， 故所求二面角的余弦值为． 19. 如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，G为的中点，E为的中点，，点P为线段上的动点（不包括线段的端点）． （1）若平面CFG，请确定点P的位置； （2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）为的中点；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接，先证平面，若平面，平面与平面相交，必有，再由，可知为的中点； （2）以C为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求解即可. 【详解】如图，连接， ∵，，∴， ∴， ∵，∴， ∴．∴， ∵平面，平面，∴平面， 若平面，又由，平面， 平面与平面相交，必有， 又∵，∴为的中点； （2）因为，，两两垂直， 我们可以以C为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，可得各点坐标如下： ，，，，，． 设（），有， 又由，有， 设平面的法向量为， 由，，有， 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 由， ，， 有， 设，有， ， 由二次函数的性质可知，当时，， 时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙华中学2024-2025第一学期第一次阶段考试试卷 高二数学 命题人：欧阳哲 审题人：徐宝民 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.） 1. 已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正方体的棱长为1，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 6. 函数，的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 3 8. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. （多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ） A. 点与点关于z轴对称 B. 点与点关于y轴对称 C. 点与点关于平面对称 D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 10. 如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ） A. 圆台的侧面积为 B. 直线与下底面所成的角的大小为 C. 圆台的体积为 D. 异面直线和所成的角的大小为 11. 已知，则（ ） A. ，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过两点的直线的倾斜角为，求的值为______． 13. 在中，内角的对边分别为，若，则__________. 14. 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. （1）求经过点和点的直线的方程； （2）求经过点且倾斜角为的直线方程. 16. 已知直线的方程为． （Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程； （Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，． （1）求证：； （2）求PC与平面PBE所成角的正弦值． 18. 如图，直棱柱的高为4，底面为平行四边形，，，分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 19. 如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，G为的中点，E为的中点，，点P为线段上的动点（不包括线段的端点）． （1）若平面CFG，请确定点P的位置； （2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $