第七章 复数-【学考一本通】2025年河南省普通高中学业水平测试数学

第七章 复数 一、选择题 1.若复数z-2+3i=1-i,则|z|= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.复数z=1-ii 在复平面上对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若z(1+i)=2i,则z= ( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 4.设复数z满足z=-1+3-3ii ,则|z|= ( ) A.-4 B.13 C.-4-3i D.5 5.已知a为实数,若复数z=(a2-9)+(a+3) i为纯虚数,由复数z的虚部为 ( ) A.3 B.6i C.±3 D.6 6.以复数z=3-4i的实部为虚部,虚部为实 部的复数为 ( ) A.3-4i B.-3+4i C.-4+3i D.4-3i 7.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确 的是 ( ) A.z1>z2 B.z1<z2 C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2| 8.已知a是实数,a-i2+i 是纯虚数,则a= ( ) A.12 B.- 1 2 C.1 D.-1 9.若i为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复 数z,则表示复数 z1+i 的点是 ( ) A.E B.F C.G D.H 10.已知a∈R,z=(a2-3a+2)+(a-1)i,则 “a=2”是“z为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 11.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈ R),若z<0,则k的值为 . 12.已知复数z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π)若z 为纯虚数,则θ= . 13.计算(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —31— 14.已知复平面内,点(2cos300°,2sin300°)对 应的复数为z,则z= ,|z|= . 三、解答题 15.已知z是复数,z+2i,z2-i 均为实数(i为虚 数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何 值时,w 为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 16.已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R). (1)若复数z在复平面上所对应的点在第二象 限,求m 的取值范围; (2)求当m 为何值时,|z|最小,并求|z|的最 小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— 11.解析:因为a=(2,-2),b=(x,2),所以a·b=2x-4, 又因为a·b=6,所以2x-4=6,解得x=5. 答案:5 12.解析:因为cosB=a 2+c2-b2 2ac , 又因为b=6,a=2c,B=π3 ,可得c2=12, 解得c=2 3,a=4 3, 则△ABC的面积S=12×4 3×2 3× 3 2=6 3. 答案:6 3 13.解析:如 图,在△ABD 中,由 正 弦 定 理 有: ABsin∠ADB = BDsin∠BAC , 而AB=4,∠ADB=3π4 ,AC= AB2+BC2=5, sin∠BAC=BCAC= 3 5 ,cos∠BAC=ABAC= 4 5 ,所以BD=12 25 . cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cos π 4cos∠BAC+sin π 4sin∠BAC= 7 2 10. 答案:12 2 5 7 2 10 14.解析:由cosB=13 ,得sinB=2 23 ,由三角形面积公式可 得1 2acsinB= 1 2ac ·2 2 3 =4 2 , 则ac=12①, 结合余弦定理b2=a2+c2-2accosB, 可得16=a2+c2-2×12×13 ,则a2+c2=24②, 由①②联立可得a=c=23,所以△ABC的周长为43+4. 答案:4 3+4 15.解:由a=(1,2),b=(-3,2),得 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), (1)(ka+b)⊥(a-3b),得(ka+b)·(a-3b) =10(k-3)-4(2k+2)=2k-38=0,解得k=19. (2)(ka+b)∥(a-3b),得-4(k-3)=10(2k+2), 解得k=-13 ,此时 ka+b=(-103 ,4 3 )=-13 (10,-4),所以方向相反. 16.解:(1)由已知可得2c2=(2b-a)b+(2a-b)a, 即c2=b2+a2-ab,所以cosC=b 2+a2-c2 2ab = 1 2 , 所以C=π3. (2)由题意可知m⊥n,可得a(b-2)+b(a-2)=0,所以 a+b=ab, 由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 则(a+b)2-3(a+b)-4=0,即a+b=4, 故周长为4+2=6, 面积为S=12absinC= 1 2 ·4·sinπ3= 3. 第七章 复数 1.C 由z-2+3i=1-i,得z=3-4i,|z|=5. 2.C 因为复数z=1-ii = i-i2 i2 =-1-i,所以复数在复平 面上对应的点(-1,-1)位于第三象限. 3.D z(1+i)=2i,z= 2i1+i= 2i(1-i) (1+i)(1-i)=i (1-i)=1+i. 4.D 由复数运算得z=-1+3-3ii =-1+ (3-3i)i i2 =-4-3i, 则|z|= (-4)2+(-3)2=5. 5.D 因为z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数, 所以 a2-9=0, a+3≠0, 解得a=3. 所以z=6i,则复数z的虚部为6. 6.C 由于复数z=3-4i=3+(-4)i的实部为3,虚部为- 4,所求复数为-4+3i. 7.D 因为复数不能比较大小,所以A,B不正确, 又|z1|= 52+32= 34,|z2|= 52+42= 41, 所以|z1|<|z2|,故C不正确,D正确. 8.A 由 于a 是 实 数,且a-i2+i= (a-i)(2-i) (2+i)(2-i)= 2a-1 5 + -2-a 5 i 是纯虚数, 则2a-1=0,解得a=12. 9.D 由图可知z=3+i, 所以 z 1+i= 3+i 1+i= (1-i)(3+i) (1-i)(1+i)= 4-2i 2 =2-i , 对应复平面内的点 H. 10.C 若复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数, 则a2-3a+2=0,且a-1≠0,得a=2.反之亦然. 所以“a=2”是“z为纯虚数”的充要条件. 11.解析:因为复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若 z<0,则k2-5k+6=0,k2-3k<0,解得k1=2,k2=3 (舍去). 答案:2 12.解析:由复数z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π)为纯虚数,得 cosθ=0,sinθ≠0,θ∈[0,2π),所以θ=π2 或3π 2. 答案:π 2 或3π 2 13.解析:(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=(1-2+3)+(-3+ 4+5)i=2+6i. 答案:2+6i 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26— 14.解析:由点的坐标(2cos300°,2sin300°),得(1,- 3),对 应的复数为z=1- 3i,|z|=2. 答案:1- 3i 2 15.解:设z=x+yi(x,y∈R), z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2, z 2-i= x-2i 2-i= 1 5 (x-2i)(2+i)= 15 (2x+2) +15 (x-4)i. 由题意得x=4,所以z=4-2i. 因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, (1)当w 为实数时,令a-2=0,所以a=2, (2)w 为虚数,只要a-2≠0,所以a≠2. (3)w 为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-2≠0, 所以a=-2或a=6. 16.解:(1)因为复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R)在复平 面上所对应的点在第二象限, 所以 1+2m<0, 3+m>0, 解得-3<m<-12, 所以m 的取值范围是 -3,-12 . (2)|z|2=(1+2m)2=(3+m)2=5m2+10m+10= 5(m+1)2+5,所以当m=-1时,|z|min= 5. 第八章 立体几何初步 1.C 截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体. 2.B 设 该 圆 锥 的 外 接 球 的 半 径 为 R,依 题 意 得,R2= (3-R)2+(3)2,解 得 R=2,所 以 所 求 球 的 体 积V= 4 3πR 3=43π ·23=323π. 3.A 三棱锥B1􀆼ABC1 的体积等于三棱锥A􀆼B1BC1 的体 积,三棱锥A􀆼B1BC1 的高为 3 2 ,底面积为1 2 ,故其体积为 1 3× 1 2× 3 2= 3 12. 4.B 当α内有无数条直线与β平行,也可能两平面相交,故 A错.同样当α,β平行于同一条直线或α,β垂直于同一平 面时,两平面也可能相交,故C,D错.由面面平行的判定 定理可得B正确. 5.D 由已知得底面边长为1,侧棱长为 6-2=2.所以 S侧=1×2×4=8. 6.A 三 棱 锥 D1-ADC 的 体 积V= 1 3S△ADC ·D1D= 1 3 ·1 2 ·AD·DC·D1D= 1 3× 1 2×1×1×1= 1 6. 7.C AB,AD,AA1,A1B1,A1D1,D1D,D1C1,DC 与直线 EF 都是异面直线. 8.C 直线与平面平行或相交统称为直线在平面外. 9.B 因为EF∥平面ABC,EF⊂平面SBC, 且平面SBC∩平面ABC=BC,所以EF∥BC. 10.D 构造如图所示的正方体 AB- CD􀆼A1B1C1D1, 取l1 为 AD,l2 为 AA1,l3 为 A1B1,当取l4 为B1C1 时,l1∥l4, 当取l4 为BB1 时,l1⊥l4,故排除 A,B,C,选D. 11.解析:设长方体的棱长分别为a,b,c,则 ab= 2, ac= 3, bc= 6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 三式相乘可知(abc)2=6, 所以长方体的体积V=abc= 6, 表面积为S=2 2+2 3+2 6. 答案:6 2 2+2 3+2 6 12.解析:依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯 形,上下底面的长与BC,AD 相等,高为梯形ABCD 的 高的2 2倍,所以原平面图形的面积为8cm2. 答案:8 13.解析:如图所示,过点C作垂直于α的直线CO,交α于点 O.所以∠CAO=30°,∠CBO=45°. 设CO=a,所以在Rt△ACO 中,AC=2a, 在Rt△BCO 中,BC= 2a. 过C点在平面ABC 内作CD⊥AB,连接OD, 则∠CDO 为平面ABC 与α所成的锐角,AB= 6a, 所以CD=2 3 a所以在Rt△CDO 中, sin∠CDO=a2a 3 = 32 , 所以∠CDO=60°. 答案:60°. 14.解析:选两个论断作为条件,一个作为结论,一共能够组 成3个命题,即①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①,只有① ②⇒③为假命题,其余两个为真命题. 答案:若m∥α,l⊥α,则l⊥m(或若l⊥m,l⊥α,则m∥α) 15.解:如图,高PO=3,PE 是斜高, 因为S侧 =2S底,所 以4· 12 · BC·PE=2BC2, 所以BC=PE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —36—