第五章 三角函数-【学考一本通】2025年河南省普通高中学业水平测试数学

第五章 三角函数 一、选择题 6.已知函数y=tan(2x+p)的图象过点 1.已知a为第二象限角，则a一 为 ( (臣0小则g可以是 A.第一象限角 B.第二象限角 A- B吾 $ C.第三象限角 D.第四象限角 女 2.下列函数中，周期为π，且在 「，上单调 42 c音 D音 递减的是 7.函数/x)=sim(号-晋)的最小正周期为 A.y=sin(2r+ B.y-cos(2r+) B.π Cy=sim(+ D.y=cos(+2) A号 C.2x D.4π 3.已知函数fr)=sin(ar+平)(x∈R,w>0) 8.函数f)=2sir在区间0,3 上的最大 的最小正周期为π，为了得到函数g(x)= 值为 ) cosw.z的图象，只要将 A.0 B.-√② y=f(x)的图象 C.2 D.2 A.向左平移答个单位长度 9.函数y=cos2.x在下列哪个区间上单调递减 () B向右平移答个单位长度 a[臣 C.向左平移开个单位长度 c.o. D.向右平移牙个单位长度 10.函数f)=sinr+)的一个递减区间是 4. 已知函数y=sin(w.x十9） ω>0p<)的部分图象如图所示.则 B.[-π，0] ( c. 2x2x n[臣 二，填空题 11.已知sin (+a=子，则cos(-a) 警 12.函数f(x)=Asin(mx十g)(A,w,9是常 A.=1= 数，A>0,>0)的部分图象如图，则A 6 B.w=19=- 6 C.w=2 D.w=2 9=-6 5.函数y=4sinr+3cosr的最大值是( A.3 B.4 C.5 D.7 13.已知0是第三象限角，且sin0+cosS0= 16.已知A(cosa,sina),B(cos3,sin3),其中a,3 号，则sino0= 为锐角，且|AB1= 5 14,如图，函数y=2sin3x(后<r<）与函数 (1)求cos(a-3)的值： y=2的图象围成一个封闭图形，这个封闭 (2)若c0a=号，求c09的值。 图形的面积是 三、解答题 15,设函数f()=coin(x+)(x∈R). )求()： (2)求函数y=f(x)在区间0，上的 值域。 109.A 由已知得 12 m < 12 n < 12 0 . 因为y= 12 x 在R上是减函数,所以m>n>0. 10.C 对于A,由指数函数知a>1,而此时一次函数a<1, 不符合;对于B,由指数函数知a>1,而此时由对数函数 知0<a<1,不符合;对于C,都符合;对于D,由指数函数 知0<a<1,而由一次函数知a>1,不符合. 11.解析:由题意得 x-1>0 2-x>0 ,解得x∈(1,2). 答案:(1,2) 12.解析:因为f(x)=2x3-3x2+1,若f(x)=0,则2x3- 3x2+1=0,可解得:x=1或12 , 即函数f(x)的零点为1和12. 答案:1和12 13.解析:根据题意,f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=0, 设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x+2), 又由函 数 f(x)为 奇 函 数,则 f(x)= -f(-x)= -log2(-x+2). 答案:0 -log2(-x+2) 14.解析:若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0, 解得a=-1+ 52 或a=-1- 52 (舍去). 答案:-1+ 5 2 15.解:由3x≤ 19 x-3 ,得3x≤3-2x+6, 所以x≤-2x+6,解得x≤2. 又因为y= 13 x 在x∈(-∞,2]上是减函数, 所以y= 13 x ≥ 13 2 =19 , 故y= 13 x 的值域为 1 9 ,+∞ . 16.解:因为-12 是函数的一个零点,所以f(-12 )=0. 因为y=f(x)是偶函数且在(-∞,0]上递增,所以当 log14x≤0,解得x≥1,当log14x≥- 1 2 ,解得x≤2,所以 1≤x≤2. 由对称性可知,当log14x>0时, 1 2≤x<1. 综上所述,x 的取值范围是 1 2 ,2 . 第五章 三角函数 1.C 因为α为第二象限角, 所以2kπ+π2<α<2kπ+π ,k∈Z, 所以2kπ-π<α-3π2<2kπ- π 2 ,k∈Z, 所以α-3π2 为第三象限角. 2.A 选项C,D中函数周期为2π,所以错误, 当x∈ π4 ,π 2 时,2x+π2∈ π,3π2 , 函数y=sin2x+π2 为减函数,而函数 y=cos2x+π2 为增函数,所以B选项错误. 3.A 由 题 知 ω=2,所 以 f(x)=sin 2x+π4 = cos π2- 2x+ π 4 =cos2x-π4 =cos2x-π8 . 4.D T=π,所以ω=2,由五点作图法知2×π3+φ= π 2 , φ=- π 6. 5.C 由 辅 助 角 公 式,函 数 y=4sinx +3cosx = 5sinx·45+cosx ·3 5 =5sin(x+φ),其 中cosφ= 4 5 ,sinφ= 3 5 ,且φ 角的终边过点(4,3),所以函数y= 4sinx+3cosx的最大值是5. 6.A 因为函数的图象过点 π12 ,0 , 所以tan π6+φ =0,所以π6+φ=kπ,k∈Z, 所以φ=kπ- π 6 ,k∈Z,令k=0,则φ=- π 6. 7.D 函数f(x)=sin x2- π 6 的最小正周期为T=2π1 2 =4π. 8.D 因为x∈ 0,3π4 , 所以当x=π2 时,函数f(x)有最大值2. 9.C 若函数y=cos2x递减, 应有2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z, 即kπ≤x≤π2+kπ ,k∈Z, 令k=0可得0≤x≤π2. 10.D 因为2kπ+π2≤x+ π 6≤2kπ+ 3π 2 ,k∈Z, 所以2kπ+π3≤x≤2kπ+ 4π 3 ,k∈Z. 令k=0得π3≤x≤ 4π 3. 又 因 为 π 2 ,2π 3 ⊆ π3,4π3 ,所 以 函 数 f(x)= sinx+π6 的一个递减区间为 π2,2π3 . 11.解析:因为sin π3+α =14,则cos π6-α =sin π2- π 6-α =sin π3+α =14. 答案:1 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06— 12.解析:由题图知A= 2,T4= 7π 12- π 3= 3π 12= π 4 , 即T=π,由T=2πω=π ,得ω=2. 答案:2 2 13.解 析:由 sin4θ+cos4θ= 59 ,得 (sin2θ+cos2θ)2- 2sin2θcos2θ=59 ,所以sin2θcos2θ=29 ,因为θ是第三象 限角,所以sinθ<0,cosθ<0,所以sinθcosθ= 23. 答案:2 3 14.解析:函数y=2sin3x π6≤x≤ 5π 6 图象的对称轴为直 线x=π2 ,由函数图象的对称性,利用面积“割补法”,得 函数y=2sin3x π6≤x≤ 5π 6 图象与函数y=2的图象 围成封闭图形的面积是S=4· π2- π 6 =4π3. 答案:4π 3 15.解:(1)因为f(x) =cosx sinxcosπ6+cosxsin π 6 =14 (3sin2x+cos2x)+14 , f(x)=12sin2x+ π 6 +14,所以f π6 =34; (2)当x∈ 0,π2 时,2x+π6∈ π6,7π6 , 所以sin2x+π6 ∈ -12,1 所以f(x)∈ 0,34 . 16.解:(1)由|AB|= 105 , 得 (cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2= 10 5 , 所以2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)= 2 5 , 即1-cos(α-β)= 1 5 , 所以cos(α-β)= 4 5. (2)因为cosα=35 ,cos(α-β)= 4 5 ,α,β为锐角, 所以sinα=45 ,sin(α-β)=± 3 5. 当sin(α-β)= 3 5 时,cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= 24 25. 当sin(α-β)=- 3 5 时,cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=0. 因为β为锐角,所以cosβ= 24 25. 第六章 平面向量及其应用 1.D 在四边形ABCD 中,BC→+DA→+CD→=BC→+CD→+DA→ =BD→+DA→=BA→. 2.D 因为a=(1,1),b=(0,2), 所以λa+μb=(λ,λ+2μ), 因为λa+μb=(2,8),所以(λ,λ+2μ)=(2,8), 所以λ=2,μ=3,所以λ-μ=-1. 3.C 因为△ABC 中,D 为AB 上一点,满 足AB→=2AD→,则AD→=DB→,且|AB→|= 2|CD→|,如 图,延 长 CD 到 E,使CD→= DE→,则ACBE是平行四边形,由向量加法的 平行四边形法则,得CA→+CB→=CE→=2CD→, 则|AB→|=|CE→|,所 以 平 行 四 边 形 ACBE 是 矩 形,即 △ABC的形状一定为直角三角形. 4.D 若c∥d,则c=λd,所以(k,1)=λ(1,-1), 所以k=λ=-1,所以k=-1,且c与d 反向. 5.C AB→=(3,y-1),又AB→∥a,所以(y-1)-2×3=0,解 得y=7. 6.C 因为BC→=AC→-AB→=(1,t-3). 又因为|BC→|=1, 即12+(t-3)2=12,解得t=3, 所以BC→=(1,0), 故AB→·BC→=2. 7.A 因为b=(2,1),且a与b的方向相反, 所以设a=(2λ,λ)(λ<0).因为|a|=2 5, 所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2. 所以a=(-4,-2). 8.D c=(x+1,4),d= 2x-12 ,3 , 因为3(x+1)=42x-12 ,所以x=1. 所以c=(2,4),d= 32 ,3 ,c-2d=(-1,-2). 9.C 在△ABC中,若AB→·AC→=2且∠BAC=30°, 得|AB→||AC→|cos30°=2,所 以|AB→||AC→|=4 33 ,则 △ABC的面积为S=12|AB → ||AC→|sin30°=12× 4 3 3 × 1 2= 3 3. 10.B 设AP→=λAC→,PC→=(1-λ)AC→,0≤λ≤1,PB→·PC→= (AB→-AP→)·(1-λ)AC→=(1-λ)(AB→-λAC→)·AC→,结合题 目中 的 条 件 得 到 原 式 =4(1-λ)(1-2λ)= 4(2λ2-3λ+1),0≤λ≤1,结合二次函数的性质得到范围 是 -12 ,4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —16—