第四章 指数函数与对数函数-【学考一本通】2025年河南省普通高中学业水平测试数学

第四章 指数函数与对数函数 一、选择题 7.下列大小关系正确的是 1.函数f(x)=1- 十1g(1十x)的定义域是 A.0.4<304<1og,0.3 B.0.4<log,0.3<3. ( C.log,0.3<0.43<3. A.(-0∞，-1) B.(1,+∞) D.10g0.3<3°.<0.43 C.(-1,1)U(1,+∞) 8.函数y=a(a>1)的图象是 D.(-∞，+o∞) y 2 2.下列计算正确的是 A.log26-log:3=log2 3 D B.log,6-log2 3=1 C.log9=3 9.已知（分》“<》广<1，则有 D.1og(-4)=2log3(-4) A.0<n<m B.<m< logi,0, 3.已知函数f(x)= C.0<m<n D.m<n<0 2,x≤0， 10.已知a>0,且a≠1，函数y=logx,y=a, = y=x十a在同一坐标系中的图象可能是 A.4 C.-4 n 4.下列函数中，满足“f(x十y)=f(x)·f(y)” 的函数是 ( A.f(x)=3.x B.f(r)=r" C.f(x)=3 D.f(r)=logsx 5.给出f(x) 22≥4， 则f(log3) f(x+1),x<4, 的值等于 ( 0 A. B品 c 1 二、填空题 0.24 6.函数)=。的大致图象为（) 1.函数y-log二D的定义城是 √2-z 12.函数f(x)=2x2-3x2+1的零点为 13.设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x> 0时，f(x)=log2(x+2).则f(0)= ,当x<0时，f(x)= 14.若0<a<1,函数y=a在[-1,1]上的最 大值与最小值的差是1，则底数a= 三、解答题 16.定义在R上的偶函数y=f(x)在（一oo,0] 15.已知3≤（兮》求函数y=(传）的 上递增，函数f(x)的一个零点为一2，求消足 值域. f(logx)≥0的x的取值范围.6.D 因为f(x)定义在R上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x),f(0)=0, 设x<0,则-x>0,f(-x)=-f(x)=3, 所以f(x)=-3,所以f(x)= 3,x>0, 0,x=0, -3,x<0, 所以奇函数f(x)的值域是{-3,0,3}. 7.B 因为函数f(x)对于任意实数x总有f(-x)=f(x), 所以f(x)为偶函数,所以f(2)=f(-2), 又因为f(x)在区间(-∞,1]上单调递减且-2<-32< -1, 所以f(-1)<f -32 <f(-2). 即f(-1)<f -32 <f(2). 8.A 任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2), 有f (x2)-f(x1) x2-x1 <0. 所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,故 f(x)在(-∞,0]上单调递增.且满足n∈N*时,f(-2) =f(2),3>2>1>0, 所以f(3)<f(-2)<f(1). 9.B 由于函数y= 25 x 在它的定义域R上是减函数, 所以a= 25 2 5 >b= 25 3 5 >0. 由于函数y=x 2 5 在它的定义域R上是增函数, 且3 5> 2 5 ,故有c= 35 2 5 >a= 25 2 5 , 故a,b,c的大小关系是b<a<c. 10.B 函数f(x)= 3-ax,若f(x)在区间(0,1]上单调 递减,则t=3-ax在区间(0,1]上单调递减,且t≥0,分 析可得a>0,且3-a≥0,可得0<a≤3,所以a取值范 围为(0,3]. 11.解析:因为f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1. 答案:1 12.解析:因为奇函数的定义域为[3a-4,a], 所以3a-4+a=0,得4a=4,a=1, 则f(x)=x3+2bx+1-b, 又f(0)=0,得f(0)=1-b=0,则b=1, 即f(x)=x3+2x, 则f(a)=f(1)=1+2=3. 答案:3 13.解析:根据题意,函数f(x)= -x2+kx,x≤1, 2x2,x>1, 若f(1)=2,则f(1)=-1+k=2,解得k=3; 若对任意的x1,x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≥0恒成 立,则函数f(x)为R上的增函数,则有 k-1≤2, k 2≥1 , 解得2≤k≤3,则k的取值范围为[2,3]. 答案:3 [2,3] 14.解析:由函数y=x2-2(a+1)x-2在区间(-∞,4]上 是严格减函数,可得对称轴x=a+1≥4,解得a≥3. 答案:[3,+∞) 15.解:由已知,得m2-2m-3≤0,所以-1≤m≤3. 又因为m∈Z,所以m=-1,0,1,2,3. 当m=0或m=2时,y=x-3为奇函数,其图象不关于y 轴对称,不符合题意. 所以m=±1或m=3.当m=-1或m=3时,有y=x0, 其图象如图(1). 当m=1时,y=x-4,其图象如图(2). 16.解:(1)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增. 证明:∀x1,x2∈[0,+∞),x1>x2,f(x1)-f(x2)= x1 x1+1 - x2 x2+1 ,所以f(x1)-f(x2)= x1 x1+1 - x2 x2+1 = x1-x2 (x1+1)(x2+1) >0,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调 递增. (2)函 数 f(x)是 偶 函 数,由(1)可 知 函 数 f(x)在 [0,+∞)上单调递增,则在(-∞,0] 上单调递减,所以|2x-1|<3即可,所以-1<x<2. 第四章 指数函数与对数函数 1.C 要使函数f(x)有意义,则 1-x≠0, x+1>0, 解得x>-1,且x≠1. 故函数f(x)的定义域为(-1,1)∪(1,+∞). 2.B 在B选项中,log26-log23=log2 6 3=log22=1 ,故该 选项正确. 3.B f(f(19 ))=f(log3 1 9 )=f(-2)=2-2=14. 4.C 因为3(x+y)=3xy 不恒成立,所以选项 A不满足 f(x+y)=f(x)·f(y);(x+y)3≠x3y3,所以选项B不 满足f(x+y)=f(x)·f(y);3x·3y=3x+y,所以选项C 满足f(x+y)=f(x)·f(y);log3xy+log3y, 所以选项D不满足f(x+y)=f(x)·f(y). 5.D 因为log23∈(1,2),所以f(log23)=f(log23+1)= f(log26)=f(log26+1)=f(log212)=f(log212+1)= f(log224)= 1 2log224 =124. 6.D 由f(-x)=f(x)可知f(x)是偶函数,排除A,B;当 x→∞时,f(x)→0,选项C错误. 7.C 根据题意,由于log40.3<0,0<0.43<1,30.4>1,那 么根据与0,1的大小关系比较可知结论为 log40.3<0.43<30.4. 8.B 函数y=a|x|(a>1)是偶函数,当x>0时,y=ax,由 已知a>1,则y=ax 为增函数,排除C,D;当x=0时, y=1,排除A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— 9.A 由已知得 12 m < 12 n < 12 0 . 因为y= 12 x 在R上是减函数,所以m>n>0. 10.C 对于A,由指数函数知a>1,而此时一次函数a<1, 不符合;对于B,由指数函数知a>1,而此时由对数函数 知0<a<1,不符合;对于C,都符合;对于D,由指数函数 知0<a<1,而由一次函数知a>1,不符合. 11.解析:由题意得 x-1>0 2-x>0 ,解得x∈(1,2). 答案:(1,2) 12.解析:因为f(x)=2x3-3x2+1,若f(x)=0,则2x3- 3x2+1=0,可解得:x=1或12 , 即函数f(x)的零点为1和12. 答案:1和12 13.解析:根据题意,f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=0, 设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x+2), 又由函 数 f(x)为 奇 函 数,则 f(x)= -f(-x)= -log2(-x+2). 答案:0 -log2(-x+2) 14.解析:若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0, 解得a=-1+ 52 或a=-1- 52 (舍去). 答案:-1+ 5 2 15.解:由3x≤ 19 x-3 ,得3x≤3-2x+6, 所以x≤-2x+6,解得x≤2. 又因为y= 13 x 在x∈(-∞,2]上是减函数, 所以y= 13 x ≥ 13 2 =19 , 故y= 13 x 的值域为 1 9 ,+∞ . 16.解:因为-12 是函数的一个零点,所以f(-12 )=0. 因为y=f(x)是偶函数且在(-∞,0]上递增,所以当 log14x≤0,解得x≥1,当log14x≥- 1 2 ,解得x≤2,所以 1≤x≤2. 由对称性可知,当log14x>0时, 1 2≤x<1. 综上所述,x 的取值范围是 1 2 ,2 . 第五章 三角函数 1.C 因为α为第二象限角, 所以2kπ+π2<α<2kπ+π ,k∈Z, 所以2kπ-π<α-3π2<2kπ- π 2 ,k∈Z, 所以α-3π2 为第三象限角. 2.A 选项C,D中函数周期为2π,所以错误, 当x∈ π4 ,π 2 时,2x+π2∈ π,3π2 , 函数y=sin2x+π2 为减函数,而函数 y=cos2x+π2 为增函数,所以B选项错误. 3.A 由 题 知 ω=2,所 以 f(x)=sin 2x+π4 = cos π2- 2x+ π 4 =cos2x-π4 =cos2x-π8 . 4.D T=π,所以ω=2,由五点作图法知2×π3+φ= π 2 , φ=- π 6. 5.C 由 辅 助 角 公 式,函 数 y=4sinx +3cosx = 5sinx·45+cosx ·3 5 =5sin(x+φ),其 中cosφ= 4 5 ,sinφ= 3 5 ,且φ 角的终边过点(4,3),所以函数y= 4sinx+3cosx的最大值是5. 6.A 因为函数的图象过点 π12 ,0 , 所以tan π6+φ =0,所以π6+φ=kπ,k∈Z, 所以φ=kπ- π 6 ,k∈Z,令k=0,则φ=- π 6. 7.D 函数f(x)=sin x2- π 6 的最小正周期为T=2π1 2 =4π. 8.D 因为x∈ 0,3π4 , 所以当x=π2 时,函数f(x)有最大值2. 9.C 若函数y=cos2x递减, 应有2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z, 即kπ≤x≤π2+kπ ,k∈Z, 令k=0可得0≤x≤π2. 10.D 因为2kπ+π2≤x+ π 6≤2kπ+ 3π 2 ,k∈Z, 所以2kπ+π3≤x≤2kπ+ 4π 3 ,k∈Z. 令k=0得π3≤x≤ 4π 3. 又 因 为 π 2 ,2π 3 ⊆ π3,4π3 ,所 以 函 数 f(x)= sinx+π6 的一个递减区间为 π2,2π3 . 11.解析:因为sin π3+α =14,则cos π6-α =sin π2- π 6-α =sin π3+α =14. 答案:1 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06—