第二章 一元二次函数、方程和不等式-【学考一本通】2025年河南省普通高中学业水平测试数学

第二章 一元二次函数、方程和不等式 一、选择题 1.下列不等式中,正确的是 ( ) A.a+4a≥4 B.a 2+b2≥4ab C.ab≥a+b2 D.x 2+3 x2 ≥2 3 2.若0≤x≤6,则f(x)= x(8-x)的最大值 为 ( ) A.163 B.4 C.4 33 D.5 3.若f(x)=x+ 1x-2 (x>2)在x=n处取得 最小值,则n= ( ) A.52 B.3 C.72 D.4 4.若实数a,b满足1a+ 2 b= ab ,则ab的最小 值为 ( ) A.2 B.2 C.2 2 D.4 5.已知x,y为正实数,且xy=4,则x+4y的 最小值是 ( ) A.4 B.8 C.16 D.32 6.不等式(x+1)(x-2)<0的解集为 ( ) A.{x|x<-1或x>2} B.{x|-1<x<2} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-2<x<1} 7.不等式 2x+1<1 的解集是 ( ) A.{x|x<-1或x>1} B.{x|x>1} C.{x|x<-1} D.{x|-1<x<1} 8.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0) 的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15, 则a= ( ) A.52 B. 7 2 C.154 D. 15 2 9.已知p:x2-3x+2≤0,q:x2-4x+4-m2≤ 0.若p是q 的充分不必要条件,则 m 的取 值范围是 ( ) A.{m|m≤0} B.{m|m≥1} C.{0} D.{m|m≤-1或m≥1} 10.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x的解集 为R,则实数m 的取值范围是 ( ) A.{m|-2<m<2} B.{m|-2<m≤2} C.{m|m<-2或m≥2} D.{m|m<2} 二、填空题 11.给出下列命题: ①若ab>0,a>b,则1a< 1 b ; ②若a>b,c>d,则a-c>b-d; ③对于正数a,b,m,若a<b,则ab< a+m b+m. 其中真命题的序号是 . 12.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取 值范围为 ,xy 的取值范围为 . 13.不等式x2-2x-5>2x的解集是 . 14.若x∈R,不等式ax2+4x+4≥-2x2+1 恒成立,则实数a的范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —3— 三、解答题 15.若正数a,b满足ab=a+b+3, 求:(1)ab的取值范围; (2)a+b的取值范围. 16.若 不 等 式 ax2+5x-2>0 的 解 集 是 x|12<x<2 ,求不等式ax2-5x+a2-1 >0的解集. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —4— 参考答案 第一章 集合与常用逻辑用语 1.B 集合B={x|x>a},A⊆B,则只要a≤-1即可. 2.D ①当B 是⌀时,可知a=0显然成立; ②当B={1}时,可得a=-1,符合题意; ③当B={-1}时,可得a=-1,符合题意; 故满足条件的a的取值集合为{1,-1,0}. 3.B 因为A={x|x≥0},B={-1,0,1}, 所以A∩B={0,1}. 4.D 联立得 y=x2, 2x-y-1=0, 消去y得2x-1=x2, 即(x-1)2=0,解得: x=1, y=1, 则A∩B={(1,1)}. 5.C 因为集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,6}, 所以∁UM={2,4,5}. 6.C 因为U={x|-2≤x≤2},所以A={x|-2≤x≤0}的 补集∁UA={x|0<x≤2}. 7.C 本命题是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量 词命题,要在改变量词的同时否定结论,将“所有”变“存 在”,“非负实数”变“负实数”.则其否定为“存在一个实 数,它的平方是负实数”. 8.C 因为{x|-1<x<3}是{x|x<3}的真子集,所以p 是 q成立的必要不充分条件. 9.B 当x=0时,显然(2x-1)x=0;当(2x-1)x=0时, x=0或x=12 ,所以“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充 分条件. 10.C 全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x< -3或x>2},所以∁UB={x|-3≤x≤2},则集合A∩ (∁UB)={x|-2≤x≤2}. 11.解析:由x=-1⇒x2-x-2=0,所以“x=-1”是“x2- x-2=0”的充分条件,“x2-x-2=0”是“x=-1”的必 要条件. 答案:充分 必要 12.解析:方程x2-4x+a=0有实根,需要Δ≥0,即a≤4, 所以当a=2时方程有实根,所以是充分条件. 答案:充分 13.解析:由 12x+4>0 解得x>-2, 故“∀x∈R, 12x+4>0 ”的否定为“∃x∈R,x≤-2”. 答案:∃x∈R,x≤-2 14.解析:因为U=R,∁UN={x|0<x<2}, 所以N={x|x≤0或x≥2}, 所以 M∪N={x|-1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}= {x|x<1或x≥2}. 答案:{x|x<1或x≥2} 15.解:记P={x|x≤2},Q={x|x≤a}, (1)由p是q的充分条件,得P⊆Q,得a≥2,所以实数a 的取值范围是{a|a≥2}. (2)由p是q的必要条件,得P⊇Q,得a≤2,所以实数a 的取值范围是{a|a≤2}. 16.解:(1)因为集合A={x|-2≤x≤5}, B={x|m-4≤x≤3m+2},A⊆B, 所以 m-4≤-2, 3m+2≥5, 解得1≤m≤2. 所以实数m 的取值范围是1≤m≤2. (2)因为A∩B=B,所以B⊆A, ①当B=⌀时,m-4>3m+2,所以m<-3,符合题意; ②当≠⌀时, m-4≤3m+2, m-4≥-2, 3m+2≤5, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 无解. 综上可得,m<-3. 所以实数m 的取值范围是m<-3. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 1.D a<0,则a+4a≥4 不成立,故A错;a=1,b=1,a2+ b2<4ab,故B错,a=4,b=16,则 ab<a+b2 ,故C错;由 基本不等式可知D项正确. 2.B 因为0≤x≤6,所以8-x>0,所以f(x)= x(8-x) ≤x+ (8-x) 2 =4 ,当且仅当x=8-x, 即x=4时,等号成立.故f(x)的最大值为4. 3.B 由f(x)=x+ 1x-2= (x-2)+ 1x-2+2≥4 ,当且仅 当x-2= 1x-2>0 ,即x=3时,取得等号. 4.C 由 ab=1a+ 2 b≥2 2 ab ,得ab≥2 2, 当且仅当1 a= 2 b 时取“=”. 5.B 由题意,正实数x,y且xy=4,可得y=4x , 则x+4y=x+16x≥2 x ·16 x=8 ,当且仅当x=16x 时,即 x=4时等号成立, 所以x+4y的最小值是8. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75— 6.B 因为(x+1)(x-2)<0, 所以-1<x<2, 综上可得,不等式(x+1)(x-2)<0的解集为{x|-1<x <2}. 7.A 因为 2x+1<1 ,所以 2 x+1-1<0 ,即1-x x+1<0 ,该不等 式可化为(x+1)(x-1)>0,所以x<-1或x>1. 8.A 由条件知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根,则 x1+x2=2a,x1x2=-8a2. 故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2) =36a2=152,得a=52. 9.D p:x2-3x+2≤0,1≤x≤2,q:x2-4x+4-m2≤0, 2-|m|≤x≤2+|m|,p 是q 的 充 分 不 必 要 条 件,则 2-|m|≤1 2+|m|≥2 ,|m|≥1, 所以m≤-1或m≥1. 10.B 因为mx2+2mx-4<2x2+4x, 所以(2-m)x2+(4-2m)x+4>0. 当m=2时,4>0,x∈R,满足题意; 当m<2时,Δ=(4-2m)2-16(2-m)<0, 解得-2<m<2.此时,x∈R,满足题意. 综上所述,-2<m≤2. 11.解析:对于①,若ab>0,a>b,则a>b>0或0>a>b,所 以1 a< 1 b ,所 以①正 确;对 于②,不 妨 令a=2,b=1, c=-1,d=-3,则a-c=3,b-d=4. 所以a-c>b-d不成立,②错误; 对于③,对于正数a,b,m, 若a<b,则am<bm,所以ab+am<ab+bm, 即a(b+m)<b(a+m),所以ab< a+m b+m. 综上,正确的命题序号是①③. 答案:①③ 12.解析:x-y=x+(-y),所以需先求出-y的范围;xy = x·1y ,所以需先求出1 y 的范围.因为28<y<33, 所以-33<-y<-28,133< 1 y< 1 28. 又60<x<84,所 以27<x-y<56,6033< x y< 84 28 ,即20 11< x y<3. 答案:(27,56) (2011 ,3) 13.解析:由x2-2x-5>2x得x2-4x-5>0, 因为方程x2-4x-5=0的两根为-1,5. 故不等式x2-4x-5>0的解为x<-1或x>5. 答案:{x|x<-1或x>5} 14.解析:不等式ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立, ⇔(a+2)x2+4x+3≥0恒成立. ⇔ a+2>0, Δ=42-4×3×(a+2)≤0 ⇒a≥-23, 故所求实数a的取值范围是 a|a≥-23 . 答案:a|a≥-23 15.解:(1)因为ab=a+b+3≥2 ab+3, 令t= ab>0,所以t2-2t-3≥0所以(t-3)(t+1)≥ 0.所以t≥3即 ab≥3,所以ab≥9,当其仅当a=b=3 时取等号. (2)因为ab=a+b+3,所以a+b+3≤ a+b2 2 .令t=a +b>0,所以t2-4t-12≥0,所以(t-6)(t+2)≥0.所以 t≥6即a+b≥6,当且仅当a=b=3时取等号. 16.解:由已知条件可知a<0,且12 ,2是相应方程ax2+5x -2=0的两个根,由根与系数关系得, -5a= 5 2 , -2a=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-2. 所以ax2-5x+a2-1>0化为2x2+5x-3<0,化为(2x -1)(x+3)<0,解得-3<x<12. 所以不等式的解集为 x|-3<x<12 . 第三章 函数的概念与性质 1.A 因为f(3)=4,所以f[f(3)]=f(4)=1. 2.C 由函数最值的几何意义知,当x=-2时,有最小值 -2;当x=5时有最大值f(5). 3.B 设f(x)=kx+b(k≠0), 所以f(x-1)=k(x-1)+b=3x-5, 即kx-k+b=3x-5, 所以 k=3, b-k=-5, 解得k=3,b=-2, 所以f(x)=3x-2. 4.D A.f(x)的 定 义 域 为[1,+∞),g(x)的 定 义 域 为 (-∞,-1]∪[1,+∞),故不是同一函数; B.f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞),故不是 同一函数; C.f(x)的定义域为{x|x≠1},g(x)的定义域为 R,故不 是同一函数; D.f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,且两函数解析 式化解后为同一解析式. 5.A 因为f(x)= x2-2x,x≥3, 2x+1,x<3, 所以f(1)=2+1=3, 所以f(f(1))=f(3)=33-2×3=3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85—