1.1 集合的概念与表示-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

第一章 〉预备知识 §1集合 1.1集合的概念与表示 高考要求学业标准·考帖分析 ·考点分布· 学科素养· ·学法导引 1.一般地，我们把一些元素组成的总体叫 第 作集合，但这只是集合的一个描述，并不是集 1.通过实例，了解集合的定义，体 合的准确定义.集合是数学中最基本的概念， 会元素与集合间的属于关系。 它不能“被定义”，只能用它来定义“别人” 2.集合中的元素有三个特性：确定性、互 数学抽象 第 异性、无序性.特别是互异性，这是一个常考的 逻辑推理 考点.简明地讲，集合肯定是一些元素组成的 2.能通过列举法或描述法描述不 “全体”，但反过来，“全体”未必是集合。 同的具体问题，感受集合的意义 3.集合常用的两种表示方法是列举法和 和作用. 描述法，两者各有优点，用什么方法要具体问 题具体分析 第 考点分类考，点透析·典例制祈 考点1 元素与集合的概念及元素的三个特性 ·核心总结 1.集合与元素的含义 奇难点突破… 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，集合中 1.集合是什么？ 的每个对象叫作这个集合的元素 (1)集合是数学中最基本 集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：把 的概念，就如几何中的点，线、 面一样是无法“被定义”的.就 一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由 像原料，你可以用它来制造产 这些对象的全体构成的集合 品，但你不能用它来制造原 其中，“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征， 料，所以，我们只能用描述性 这个特征不是模棱两可的：“不同”是指构成集合的各个对象互 的语言来说明，而无法去定义 不相同 集合.正因如此，我们只能判 集合通常用大写英文字母表示，如A,B,C,D,…. 断什么是或者不是集合，却无 元素通常用小写英文字母表示，如a,b,c,d,·, 法定义集合是什么 考点同步解读>高中效学必修第一册BSD色 2.集合中元素的特性 (2)集合概念中的对象所 指非常广泛.现实生活中我们 特性 含义 示例 看到的、听到的、闻到的、触摸 作为一个集合的元素，必须是确 到的、想到的各种事物或一些 定的，不能确定的对象就不能构 若集合A=〈1,2,3} 抽象的特号，都可以看作对 确定性 成集合，也就是说，给定一个集 则1∈A,4年A 合，任何一个对象是不是这个集 象，即集合的元素， 合的元素也就确定了 2.如何认识集合中元素 对于一个给定的集合，集合中的 的三个特性？ 元素一定是不同的（或者说是互 (1)确定性是指集合中的 集合{x,x一x}中的 互异性 异的)，这就是说，集合中的任何 x应满足x≠x2一 元素是扇定的，即对于任何一 两个元素都是不同的对象，相同 个对象，都能明确判断出它是 的对象归入同一个集合时只能算 即x≠0，且x≠2 作集合的一个元素 不是某个集合中的元素.它是 判断一组对象是否能形成集 第三章 无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分 集合1,0)和{0,1)是 合的标准 同一个集合 (2)互异性是指对于一个 第四章 ⊙考题】 下列对象中可以构成集合的是( 给定的集合，它的任意两个元 素都是不同的，简单地说，一个 A.大苹果 B.小橘子 集合中不能出现相同的元素， 第五鱼 C.中学生 D.著名的数学家 (3)无序性是指集合中的 解析大苹果到底以多大算大，标准不明确，故A错误.小橘 元素是没有先后顺序的，如由 第六章 子到底以多小算小，标准不明确，故B错误.中学生标准明确，可 “1,2,3”和“3,2,1”组成的集合 构成集合，故C正确.“著名”的标准不明确，故D错误， 是同一个集合 第 鉴案C ⊙变式]下列各组对象可以组成集合的是( . A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.平面直角坐标系内第一象限的一些点 D.所有比较小的正数 ⊙考题2(2024，黄冈中学期中考试)由a2,3-2a,1可组成 含3个元素的集合，则实数a的取值可以是( A.1 B.-1 C.0 D.-3 解面方法一对于A,当a=1时，a2=1,3-2a=1,故由 a,3-2a,1构成的集合为{1}，故A错误. 对于B.当a=-1时，a=1,3-2a=5,故由a2,3-2a,1构 成的集合为{1,5，故B错误 对于C,当a=0时，a2=0,3一2a=3,故由a2,3一2a,1构成 的集合为{0,1,3}，故C正确. 2 第一章)预务知识/ 对于D,当a=一3时，a2=9,3一2a=9,故由a2,3-2a,1构 成的集合为{19}，故D错误， a2≠3-2a, 方法二由元素的互异性可得a2≠1， 解得a≠1且a卡 3-2a≠1， 一3且a≠一1.故选C. 答案累C 考点2 元素与集合关系的判断及应用 核心总结。 难点突发… 1.元素与集合的关系 1,如何认识元素与集合 关系 概念 记法 读法 的关系？ (1)a∈A或aA取决于 属于 如果a是集合A中的元素，就 说a属于集合A a∈A a属于集合A a是不是集合A中的元素，根 如果a不是集合A中的元素， 据集合中元素的确定性可知， 不属于 第 就说a不属于集合A aA a不属于集合A 对于任何a与A,a∈A或a 四 2.常用数集及表示符号 A这两种情况中必有一种且 只有一种成立. 非负整数集 名称 正整数集 整数集 有理数集 实数集正实数集 (自然数集) (2)符号“∈”“任”表示元 符号 N N或N 素与集合的关系，不能用来表 R R 示集合与集合之间的关系，这 ⊙考题3(2024，人大附中单元测试)设实数集S是满足下 一点要牢记 第 面两个条件的集合： 2.常用的数集符号N, ①1∈S:②若aES,则亡。∈s N,N有什么区别？ (1)N为非负整数集（即 1求证：若a∈s,则1-∈S 自然数集)，而N和N4表示 正整数集.N包括元素0，而 (2)若2∈S,则在S中必含其他的两个数，试求出这两个数 N和N不包括元素0. (3)集合S能否是单元素集（即集合中只有一个元素）？若 (2)N和N,的含义是一 能，把它求出来：若不能，请说明理由 样的，初学者往往误记为N (4)求证：集合S中至少有三个不同的元素。 或N, B由若a∈S,则己。∈s,可得，上∈s,即 3.你能画出常用数集间 1 的关系图吗？ -1-a 有正整集N或N)自格数 N 1i-a-1=1-4e5. 实教集R 负数集 分数集 故若a∈S,则1-1∈S. 无理数桑 3 考点同步解读>高中数学必修第一册SD色 (2)由题意知，若2∈5，则已2 =-1∈S;若-1∈5，则 ②方法梳理… 判断元素和集合关系的 =2∈S,又回到了开始 两种方法 ”1一2 1.直接法 因此当2∈S时，-定有-1∈S,号∈S. (1)使用前提：集合中的 元素是直接给出的. (3)不能.理由如下：若S是单元素集，不妨设S={a},则由 (2)判断方法：判断该元 条件②得已。∈s由元素的互异性知a=a即。-a十1=0， 1 素在已知集合中是否出现即 可，此时应首先明确集合是由 由于△=1一4=一3<0，故方程无实数根，因此集合S不能为单 哪些元素构成的 元素集。 2.推理法 (④1知ueS时，己a∈S,1-∈S.下面证明aa1 (1)使用前提：对于某些 不便直接表示元素的集合。 第三章 上两两互不相等 (2)判断方法：判断该元 素是否满足集合中元素所具有 第四章 ①若a=已。则d2-a十1=0，无解，a已 的特征即可，此时应首先明确 已知集合中的元素具有什么特 ②若a=1-日则a2-a+1=0,无解，a≠1- 第五鱼 征，即该集合中的元素要符合 ③若亡。1-日则a-a+1=0,无解，a1-日 什么表达式或满足哪些条件 第六章 综上所述，集合S中至少有三个不同的元素 ⊙变式21(2024，江西师大附中月考)已知集合A={a 第七鱼 3,2a-1,a2+1},集合B={0,1,x. (1)若一3∈A,求实数a的值. (2)若x∈B,求实数x的值. 考点3 集合的表示方法 ·核心总结。 动难点突破… 1.列举法 a与{a}的区别 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起 列举法 a与{a}是完全不同的： 来表示集合的方法叫作列举法 {a}表示一个集合，这个集合 般形式 {a,b,c,… 由一个元素a构成：而a是集 “中国古代四大发明”组成的集合用列举法可表示为{火 示例 合(a}中的一个元素. 药，造纸术，活字印刷术，指南针 儿第一章)>预条知识/ 2.描述法 ●规律总结… 1.用列举法表示集合，首 设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的 先要明确集合有哪些元素，然 描述法 元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x),这种通过描 述元素满足的条件表示集合的方法称为描述法 后在“{}”内将元素一一列 {x∈AP()},其中x是表示集合元素的般符号，A是 举出来，必须注意以下几点： 般形式集合元素的范围，P(x)是这个集合中元素所具有的共同 (1)元素之间必须用“，” 特征 隔开 所有偶数组成的集合用描述法可以表示为D=x∈Rx (2)集合的元素必须是明 21,n∈Z,这里的“x∈R”可由“n∈Z”推得，是明确的，这 示例 确的. 种情况下“x∈R”通常可简写为“x”,即此集合也可以表示 (3)不必考虑元素出现的 为D={xlx=2n,n∈Z因 先后顺序」 ⊙考题4用列举法表示下列集合： (4)集合中的元素不能 (1)所有大于2且小于5的整数组成的集合 重复 (2)A={yy=x2-1,x≤2，x∈Z. (5)集合中的元素可以是 (3)方程x2+2x十1=0的解集. 任何事物 2.将特征性质用描述法 解析(1){3,4. 四 表示的集合转化为用列举法 (2)由x≤2，x∈Z得x为-2，一1,0,1,2.当x=2或x= 表示时，特别要注意元素是什 一2时，y=3:当x=1或x=一1时，y=0:当x=0时，y=一1.所 么，元素的限制条件是什么， 以集合为{3,0，一1}. 看懂集合的具体意义是关键， (3)因为方程x2十2x十1=0的两个根为x1=x2=一1，所以 特别要注意元素所满足的限 方程x2+2x+1=0的解集为{一1. 制条件 ⊙变式3用列举法和描述法分别表示下列集合. (1)不大于6的非负整数组成的集合， (2)方程x2=x的所有实数解组成的集合. ⊙方法梳理 (3)偶数集. 1,识别集合含义的方法 (4)被3除余2的正整数组成的集合. (1)看代表元素.例如， {xP(x)}表示数集，{(r,y) P(xy)}表示点集 (2)看条件，例如，{xy x}表示使y=x2有意义的x ⊙考题5 (2024.荆州中学单元测试)用适当的方法表示下 的范围，因此{xy=x}=R: 列集合： {yy=x)表示使y=x有意 2.x-3y=14, (1)方程组 的解集。 义的y的范国，因此{yy 3.x+2y=8 x2)=yly≥0：{(x,y)ly (2)方程x2一2x十1=0的实数根组成的集合 x表示满足y=x的点的集 (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合. 合，即函数y=x的图象上的 (4)二次函数y=x2+2x一10的图象上所有的点组成的集合 点集 考点同步解读>高中效学必修第一册BSD色 (5)二次函数y=x2+2.x一10的图象上所有点的纵坐标组成 2.选择恰当的集合表示 的集合 方法 (1)当集合中元素的个数 解析(1)解方程组 2.x-3y=14, 海4. 3x+2y=8,气y=-2. 故解集可用描 有限且公共属性难以概括时， 连法表示为红2电可用到举法示为14，-2 只能用列举法.例如{x,x2十 y=-2 1,x-y}. (2)当集合中的元素无法 (2)方程x2一2x十1=0的实数根为1，因此可用列举法表示 一一列出时，可先抽象出元素 为{1}，也可用描述法表示为{xx2一2x十1=0. 第 的共同特征，再用描述法表示」 (3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x,y)x<0 且y>0}. 第二章 (4)二次函数y=x2十2x一10的图象上所有的点组成的集合 中，代表元素为点，可用描述法表示为{(x,y)y=x2+2x一10. 第三章 (5)二次函数y=x2十2.x一10的图象上所有点的纵坐标组成 的集合中，代表元素为y,是实数，可用描述法表示为{yy=x2十 山规律总结 2x-10}. 用描述法表示集合的步骤 ⊙变式32(2024，临川一中单元测试)用描述法表示图中 1.确定集合中元素的特征。 第五鱼 阴影部分（含边界）的点组成的集合. 2.给出其满足的性质. 3.根据描述法的形式写 出集合 第六章 第七章 考点4 集合的分类 ·核心总结 误区防错 类别 意义 1.在以后的学习中，空集 含有有限个元素的集合叫作有限集.如“方程3.x+1-0 是最容易被忽略的一种情况， 有限集 的解组成的集合” 要时刻保持警杨， 含有无限个元素的集合叫作无限集，如“到平面上两个 无限集 2.警惕0={0}，⑦={01， 定点的距离相等的所有点组成的集合” ()=⑦这些错误： 不含任何元素的集合叫作空集，记作0.如{x∈Rx 空集 (1)0是集合{0}的一个元 1=0 素，可记为0∈(0}： ⊙考题6(2024，九江一中月考)下列集合中， 是有 (2)⑦表示空集，{0}表示 限集， 是无限集， 是空集.（填序号） 含有一个元素0的集合： ①由小于8的正奇数组成的集合： (3){②》表示含有一个元 ②由大于5小于20的实数组成的集合： 素心的集合，故0∈{0). 6 第-章>预条知识/ ③{xa+2<x<a}: ④{xx2+2.x+5=0,x∈R. 解园①因为小于8的正奇数有1,3,5,7，所以其组成的集合 是有限集；②因为大于5小于20的实数包括整数、分数等，有无 数个，所以其组成的集合是无限集：③不论4取何值，a十2总是大 于a,不等式无解，故集合{xa十2<x<a}是空集：④x2十2x十5 =0在实数范围内无解，故集合{xx2十2x十5=0，x∈R}是空集. 答案①：②：③④. ⊙变式41(2024，咸阳一中月考)判断下列集合是有限集 还是无限集，并用适当的方法表示。 (1)被3除余1的自然数组成的集合， (2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合 (3)二次函数y=x2十2x一10的图象上的所有点组成的集合. (④设a,6是非零实数y=日十合+的的所有值组成的 第 四 集合 第 第 考点5 集合用描逃法表示的等价形式—区间表示法 bP- ·核心总结 难点突破： 第 设a,b是两个实数，且a<b. 1.区间的特点是什么？ 定义 名称 符号 数轴表示 备注 (1)区间实际上是一类特 {xa≤x≤b} 闭区间 [a,b] 。62 ①实数a,b叫作相 殊的数集（连续的）的符号表 xa<r<b 开区间 示，是集合的另一种表达方式， (a,b) 应区间的端点： ②在数轴上表示区 开或闭不能混淆 左闭右 {xa≤xb [a,b) 间时，用实心点表示 (2)集合和区间都是表示 开区间 。6 属于区间的端点，用 取值范围的方法，用哪种方法 左开右 空心点表示不属于 a<rb (a,b] 闭区间 a bx 区间的端点： 表示取值范田，原则上应与原 题的表示方法保持一致 {xlx≥a} [a,十o∞) ③十6∞与-0∞分别 读作“正无穷大”与 2.不同情况下集合应用 rlr>al (a,十0o) “负无穷大”，它们 什么样的表示形式？ xr≤b 仅是表示趋势的符 (一o∞，b] (1)对于一个数的集合， 号，不是一个数： 仍然用集合来表示，如{a},在 (rr<b) (-o0,b) ④[a,b),(a,b门称为 半开半闭区间 数轴上用一个实心点表示， R -08,十0⊙) (2)对于一个不等式的解 考点同步解读>商中就学必修第一册SD色 ⊙考题7(2024，北海一中单元测试)将下列集合用区间表 集，既可以用集合形式表示， 示出来. 也可以用区间形式表示 (1){x2x-1>0. (2){xx≥-1} (3)对于取值范国，既可 (3){xx0}. (4){x-1<x≤5. 以用区间形式表示，也可以用 集合形式表示，还可以直接用 团（1)x2x-1>0可以表示为[2，十 不等式表示 (2){xx≥-1}可以表示为[-1，十∞). (3){x<0}可以表示为（一∞，0）. 误区防错 (4){x-1<x≤5)可以表示为(-1,5]. 1.区间的左端点必须小 ⊙考题8(2023，郑州一中单元测试)求解下列问题： 于右端点。 2.区间符号里面的两个字 (1)区间[a一1，a]关于原点对称，求a及此区间， 母（或数字）之间用“，”隔开 (2)区间[a,2a一1]的右端点为3，求a及此区间. 3.用数轴表示区间时，特 第三章 留团1)由已知得a一1=一a,故a=2 别要注意属于这个区间端点 的实数用实心点表示，不属于 此区问为[引 这个区间端，点的实数用空心 (2)由已知得2a-1=3,故a=2. 点表示 第五鱼 此区间为[2,3. 4.∞（无穷大）是一个将 号，而不是一个数，因此它不具 @变式5-1(2024，合肥二中周练)求解下列问题： 备数的一些性质和运算法则 第六章 (1)区间[a一2，a]关于点1对称，求a及此区间. 5.包含端，点用闭区间表 (2)区间[2a一1,2a)的左端点为3，求a及此区间. 示，不包含端点用开区间表 第七鱼 示，以“十60”或“一6∞”为区间 的一个端，点时，这一瑞必须用 小括号 考点6 集合的含义及其表示的综合问题 ·核心总结 布难点突破… 1.集合与方程有密切的联系，利用集合中元素的特性，即 求方程a.x2十bx十c=0 元素的确定性、互异性、无序性，再结合方程的解，可以求出集 的根时应注意什么？ 合中参数的值 对于方程a.十hx+c=0, 2.新定义集合问题能有效地考查学生快速学习的潜能.因 要分两种情况讨论： 为新定义集合问题的情境新颖，并体现了“背景公平”的原则， (1)当a=0,b≠0时，接 所以新定义集合问题一直是热点问题.解决这类问题的关键在 方程是一元一次方程， 于准确理解新定义，灵活地进行集合语言之间的转换，达到“化 (2)当a≠0时，该方程是 新为旧”（即将新定义转化到原有的知识体系之中）的目的. 一元二次方程，也只有在这种 儿第一章)预条知识 ⊙考题9(2024，西北大学附中单元测试)已知集合A= 情况下才能用判别式“△”来确 定方程实数根的情况 {x∈Ra.x2-3.x+2=0,a∈R. (1)若A中有且只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来. 规律总结， (2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围. 对于集合与方程的综合 解析(1)若集合A中有且只有一个元素，则： 问题，一般要对方程中最高次 项的系数的取值进行分类讨 当a=0时，方程可化为-3x十2=0，解得x=号，故A 论，确定方程的形式和方程的 根的情况，进而求得结果，需 2 13 特别关注判别式在讨论一元 二次方程的实数根个数中的 当a≠0时，4=(-3)2-4·a·2=0,解得a=8 81 作用. 这时方程号-3x十2=0有两个相等的实数根，解得 误区防错： 1.解决考题9这类含参 =青故A=借} 数的问题时，求出参数的值或 四 取值范围后，一定要检验是否 综上所述，当a=0时，A= 号：当a=时A=特： 满足集合中元素的互异性，否 则易造成错解 (2)若集合A中至多只有一个元素，则： 2.对于考题10这类集合 当a≠0时，4=(-3)2-4·a·2≤0，解得a≥8： 9 的新定义问题，在解题时要能 正确理解所给的新定义并找 当a=0时，方程a.x2一3.x+2=0有一个实数根. 到集合中元素的特点 故a的取值范国是aa>8或a=0。 ⊙考题0当x∈A时，若x一1￠A且x+1任A,则称x为 2方法梳理， 集合与方程的综合问题的 A的一个“孤立元素”，所有“孤立元素”组成的集合称为“孤星 解题思路 集”.则由集合A={0,1,2,3,5}中的“孤立元素”组成的“孤星集” 当一元二次方程中含有 为 参数时：应综合应用一元二次 方程的相关知识求解，若知道 解析由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A,要成为“孤立元 其解集，利用根与参数的关系 素”，必须满足集合A中既没有x一1，也没有x十1，因此逐一考查 可快速求出参数的值（或参数 集合A中的元素即可.0有1相伴，1,2则是前后相邻的元素都 之间的关系)：若知道解集元 素的个数，利用判别式可求出 有，3有2相伴，而4在A,6A,只有5是“孤立的”，故由集合A= 参数的取值范国， {0,1,2,3,5}中的“孤立元素”组成的“孤星集”为{5. 答案{5. 9 考点同步解读〉商中效学必修第一滑SD② 对标演练分级洲评·及时特训 竹>基础通关测评 限时15分钟： 6.考点5若(a,3a一1]为一确定区间，则实数a 一、选择题 的取值范围是 1,考点1下列选项中不能组成集合的是( 》高考通关测评 限时30分钟+ A.所有整数 一、选择题 B.所有大于0的数 1.考点2(2024，杭州四中月考)设x= 1 C.班上所有长得帅的同学 3-52 D.所有偶数 y=3+√2π，集合M={mm=a十√2b,a∈Q, 2.考点1(2024，大理一中周练)（多选）下列说 b∈Q,那么x,y与集合M的关系是( 第 法中正确的是( A.x∈M,y∈M B.x∈M,ytM A.方程x2+2x+2=0的实数解可以构成 C.xtM,y∈M D.xEM,y庄M 集合 2.考点23已知集合A={0,1,2),则集合B 第三章 B.英文单词book的所有字母组成的集合的 {x一yx∈A.y∈A}中元素的个数是( 元素共有4个 A.5 B.4 C.集合M中有a,b,c三个元素，其中a,b,c C.3 D.2 是△ABC的三边长，则△ABC不可能是 3.考点6现定义一种运算②：当1，n都是正偶 第五鱼 等腰三角形 数或都是正奇数时，m忍n=m十n:当m,n中 D.将小于10的自然数按从小到大的顺序排 个为正奇数，另一个为正偶数时，m②n 第六章 列和按从大到小的顺序排列，可分别构成 mm.则集合M={(a,b)a☒b=16,a∈N*, 不同的两个集合 b∈N·}中元素的个数为( 3.考点了由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含 A.22 B.20 有3个元素，则实数a的取值可以是( C.17 D.15 A.1 B.-2 4.考点6若集合A={x∈Ra.x2+4.x十1=0}中 C.6 D.2 只有一个元素，则a=(). 4,考点3（多选）下列结论错误的是( A.4 B.2 A.{yy=|x}与{yly=x2}表示同一个集合 C.0 D.0或4 B.{0}与{☑}表示同一个集合 5.考点8满足a,b∈{一1,0,1,2}，且关于x的 C.集合{(x,y)x-2y=0}中的元素与集合 方程a.x2+2x十b=0有实数解的有序数对 (x,)=1中的元素相同 (a,b)的个数为( A.14 B.13 D.集合{yy=x+1}与集合{yy=x-2}中 C.12 D.10 的元素相同 6.考点2（多选）设所有被4除余数为k(k=0, 二、填空题 1,2,3)的整数组成的集合为A,即A={x 5.考点3已知集合A= aNuez,则 x=4n十k,n∈Z},则下列结论中正确的是 A可用列举法表示为 10第一章预备知识 ④当b<0时y合十合+治=-1 §1集合 当ab>0时，有a>0,b>0或a<0,b<0. 1.1集合的概念与表示 【变式训练】 若>0，>0，则有)品十合十胎=3： [变式1-1]B 若a<0,0,则有y一日十合+ b =-1 [变式2-1](1)由-3∈A且a2+1≥1，知a2+1≠-3. 当a一3=一3时，a=0,此时集合A中的元素为一3， 所以一合十合十治的所有值组成的集合共有一1和 一1,1，符合题意： 3两个元素，此集合是有限集，用列举法表示为（一1,3. 当2a-1=一3时，a=-1,此时集合A中的元素为一4， [变式5-1](1)由已知得a-2+a=2,所以a=2,此区 一3,2，符合题意 间为[0,2] 所以a=0或一1. (2)由已知得2a-1=3,所以a=2,此区间为[3,4). (2)若x∈B,则x2=0或x2=1或x2=x,得x=0或 【基础通关测评】 1.C提示：集合中的元素具有确定性，而C中“班上所 x=1或x=一1. 有长得帅的同学“不满足这一条件 由集合中元素的互异性，得x≠0且x≠1， 2.AC提示：方程x2十2.x十2=0无实数解，所以该方程 所以x=一1， 的实数解构成的集合为空集，故A正确 [变式3-1](1)用列举法表示为{0,1.2.3,4,5,6}，用 单词0ok中的字母o有重复，共有3个不同的字母， 描述法表示为{x0≤r≤6，且x∈N. 因此单词xok的所有字母组成的集合的元素个数是 (2)由x2=x得x=0或x=1,所以所求集合用列举法表 3,故B错误。 示为(0,1}，用描述法表示为zx-x. 因为a,b,c是集合M中的3个元素，所以a,b,c互不 (3)用列举法表示为…，一4，一2,0,2,4，…，用描述法 相等，因此△ABC的三边长互不相等，故△ABC不可 表示为{xx=2n,n∈}. 能是等腰三角形，故C正确. (4)用列举法表示为(2,5,8，…，用描述法表示为{xx 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成的集合 =3n+2,n∈N. 里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集 设被3除余2的数为x,则x=3n十2，n∈Z,但此题要求 合是相同的，故D错误 x为正整数，故x=3十2，n∈N.也可以写成x=3n一1， d≠2-a n∈N. 3.C提示：由题意知d,2-a,4互不相等，即a≠4， [变式32】用描述法表示为{(x,y)一1≤x≤之， 3 2-u≠4. 解得a≠一2，a≠1且a≠2. -合<<1且≥0， 4.BC提示：两个集合都表示不小于0的实数，A正确. [变式+1](1)因为被3除余1的自然数有无数个，所 {0}中的元素为0，（必）中的元素为☑，不是同一集合， 以此集合是无限集，适合用描述法表示。又因为这些自 B错误.集合{(x,y)x一2y=0}中含元素(0,0)，集合 然数常表示为3n十1(n∈N),所以该集合可表示为 {x,)学=中不含元素0.0).C错误.二者都是 xx=3n十1，n∈N 实数集，D正确。 (2)由题意得，满足条件的正整数有3,5,7,11,13,17， 5.A={-1,2.3,4}. 19,则此集合中的元素有7个，所以此集合是有限集，用 提示：由写∈N可知0<5 列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}. a≤6，且6能被(5一a)整除，故5一a=1,6,2,3.a的对 (3)因为二次函数y=x2+2x一10的图象上的点有无数 应解为4，一1,3,2.综上可得A={一1.2,3,4. 个，所以此集合是无限集，适合用描述法表示又通常用 6(分十∞）.提示：由题意得a<3a-1,解得a>号 有序数对(x,y)表示点，所以满足条件的点组成的集合 可表示为{(xy)y=x+2x-10. 所以实数a的取值范围是（名+o∞）】 考点同步解读)高中数学必修第一舟D色 【高考通关测评】 满足条件 1B提示：x= 当号=号时，解得a=厄，集合中元素的个数为3。 y=3+V2x,即a=3.b=x,故x∈My∈M 5 舍去： 2.A提示：B=(0,-1,-2,1,2,共5个元素 当受=1时，解得a一区，合去： 3.C提示：当a,b都是正偶数时，(a,b)可以是(2,14)， (4.12)(6,10),(8,8),(10,6),(12,4),(14,2),共7个. 当受-号时，解得a=1A@B=1wE号，} 当4，b都是正奇数时，(a,b)可以是(1,15)，(3,13)， 满足条件： (5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共 8个. 当受-巨时，解得a一2，合去。 当a,b中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a,b)可以 故a的值为1或2√2. 是(1,16)，(16,1)，共2个. V-2=0 8.0.提示：①由题意得 故 所以满足题意的元素个数为17 解得/2， 1y+21=0 y=-2, 4.D提示：由题意知a.x2十4x+1=0只有一个实数解， 解集为(2，一2)}，而不是{2，一2. 当a=0时，方程有一个解x=一子，符合题意：当u≠0 ②集合(yy=x2一1，x∈R}表示当x∈R时y的取值 范围，而y=x2-1>-1.故集合{yy=x2一1，x∈R 时，由△=16-4a=0,解得a=4.故a的值是0或4. ={yy2-1.同理，集合yy=r-1,x∈R)=R结 5.B提示：a,b∈{一1,0,1,2}，可分为下列两种情形. 合数轴（图1）知，两个集合的公共元素组成的集合为 ①当a=0时，方程为2x十=0，此时一定有解，当 (yy2一1}，而不是{0,1 分别为一1,0,1,2时，满足条件的有序数对为(0，一1)， ③集合{xx一1<0)表示不等式x一1<0的解集，即 (0,0),(0,1),(0,2) (xx<1},而集合{xx>a,a∈R}表示不等式x>a ②当a≠0时，方程为一元二次方程，则△=4一ab>0, 的解集.结合数轴（图2）知，当：≥1时，两个集合没有 即ab≤1.当4分别为一1,1,2时，满足条件的有序数 对为(-1，-1)，(-1,0)，(-1,1)，(-1,2)，(1，-1)， 公共元素：当a<1时，两个集合有公共元素，公共元 素组成的集合为xa<x<1. (1,0),(1,1),(2,一1)，(2,0).故满足关于x的方程 ax2十2x十b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数 为13. 图1 图2 6.ABC提示：一1=4×(-1)+3，所以-1∈A,故A 正确 9选择条件0.当a=0时x=弓，符合题意： 22=4×5+2,所以22∈A:,故B正确 a=4n十k,b=4m十k,m.n∈Z,则a一b=4(n一m)十0， 当a≠0时4=(-3-4a=0,解得a=是 n一m∈乙，所以a一b∈A,故C正确. 综上，实数a的所有可能取值组成的集合为{0，号}： 若a十b∈Aa,则a∈A1,b∈A或a∈A2,b∈A:或a∈ 选择条件②.集合A中含有两个元素，即关于x的方 A,bEA或a∈Aa,b∈A,故D错误 程ax2一3.x十1=0有两个不相等的实数根， 7.1或2区.提示：由题意知A⑧B中的元素为=1， 2 所以a≠0，且△=(-3)r-a>0,解得a<号且a0 所以实数a的所有可能取值组成的集合为aa<是 当号=1时，解得a=2,集合中元素的个数为3，舍去： 且a≠0： 当号=E时，解得a=22.A8B={1w反，号，2小， 选择条件③.当a=0时x=号，不符合题意： c2 参考答秦与提示》7 当a≠0时4=(-3)-4a<0.即a>是. [变式+2]C提示：设任意∈A,则=寸(2十 所以实数a的所有可能取值组成的集合为 D,k∈Z.当k=2,n∈Z时，a=号(4n+1D=音n+ (alo). 号所以n∈B当=2a-1,nEZ时a=号(4m-D 【实验班选做题】 1BD提示：在集合A={一2，一1,0,1,21中，一2-2= 音m一日，所以∈R所以ACB又设任意∈B,则 一4不在集合A中，所以集合A不是封闭集，故A错误 集合A={nn=2k,k∈Z,设x,y∈A,则x=2ky= =音士号=号(4：士1，∈乙.因为他+1 2k2,k1,∈Z,所以x+y=2(k1十)∈A,x-y= 2×2k十1,4k2一1=2(2kz一1)十1，且2k:,2k2一1∈Z, 2(k1一k)∈A,xy=4kk:∈A,所以集合A={nn= 所以∈A,所以B二A.故A=B. 2k,k∈Z为封闭集，故B正确 [变式5-1]C提示：(r∈Rx2+1=0}=0,{x∈R 封闭集不一定是无限集，如{0为封闭集，故C错误 z2一1=0}={一1,1}，故集合A是集合{一1,1}的非空 若A为封闭集，则取x=y,得x一y=0∈A,故D正确. 子集，所以集合A的个数为2一1=3. 2.因为4∈A,2∈A,4+2=6EA, [变式61](1)当m+1>2m-1,即m2时，B=⑦， 所以A不是闭集合. 满足题意： 任取x,y∈B,设x=3m,y=3n,m,n∈Z, 当m+1≤2m一1，即m≥2时，要使B二A成立，则有 则x十y=3m十3n=3(m十n)且m十n∈Z, m+1≥-2且2m1≤5，可得一3≤m3,故2m3. 所以x十y∈B,同理，x一y∈B,故B为闭集合 综上，实数m的取值范围是m≤3. 1.2集合的基本关系 (2)当x∈Z时，A=(-2,-1,0,1,2,3,4,5},共8个元 【变式训练】 素，故A的非空真子集的个数为2-2=254. [变式1-1]C (3)由题意知A,B没有公共元素. [变式2-1]AC提示：若P二Q,Q二P,则P=Q. 当m十1>2m一1，即m<2时，B=,满足题意： 对于A,P和Q都只含有两个元素1,2，所以P=Q. 当m十1≤2m-1,即m>2时，要使A,B没有公共元素， 对于B,1∈P,但1母Q,所以P≠Q 则有 m≥2， n≥2， 或 解得m>4. 对于C,易得P=Q=0,1. m+1>52m-1<-2, 对于D,集合P是数集，集合Q是点集，所以P≠Q 综上，实数m的取值范围是m<2或m>4, [变式31]子集：0，{-4，{-1》，{4}，{-4，-1， 【基础通关测评】 (-4,4}.{-1,4.{-4.-1,4. 1.C提示：根据元素与集合间的关系可判定0∈(0， 其子集：0，（一4}.(-1}.(4，-4，-1，(-4,4} 0∈N正确.0,3在Q不正确.根据集合与集合之间的关 （-1,4. 系可判定{0}2必，{a,b}三{b,a,{xx2-2=0,x∈ 提示：由(.x2-16)(.x2+5.x+4)=0,得x=-4或x=-1 Z}=必正确。 或x=4,故集合A={一4，一1,4}. 2.C提示：由题意知集合A={x∈Z-2<x<1) {一1.0}，故一2任A,A错误：0∈A.B错误：1任A,C正 由0个元素构成的子集为：⑦： 确：1}丈A,D错误。 由1个元素构成的子集为：{一4}，{一1}，{4. 由2个元素构成的子集为：{一4，一1，{一4,4}.（一1,4. 3B提示：因为M={xx=6n,meZ小，N-{x 6 由3个元素构成的子集为：{一4，一1,4. 因此集合A的子集为：⑦，(-4}，（一1}，{4}，{一4，-1， =n.nez,P={=3,pcZ小，所以 6 （-4,4}.{-1.4}.{-4,-1,4}. MSN-P. 其子集为：0，(-4)，（一10，(4），一4.-1，{一4,4}， 4.D提示：满足要求的集合A=⑦或{2}或{3}或{7}或 -1,4}. {2,3}或{2.7}，共6个. [变式41]B提示：易知N={0,1},故N至M. 5.一2.提示：因为A只有2个子集，所以A中只有