6.4.2 二面角（同步课件）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（北师大版2021·拓展模块一上册）

第六单元 立体几何 6.4.2 二面角 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 想一想 如图 ,它是笔记本电脑打开后的两种不同状态. 如果用笔记本电脑的屏幕相对桌面的倾斜程度来刻画它们的状态,这两种状态相对桌面的倾斜程度可能是一样的,这样就无法区别它们的真实状态 . 用什么方法可以更好地区别它们的摆放状态呢? 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 我们可以用键盘面所在平面为参照面, 用屏幕面与键盘面之间的张开程度来刻画它们的位置状态, 这样可以有效区分两种状态. 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 二 面 角 平面内的一条直线把一个平面分成了两部分, 每一部分叫作一个半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角, 这条直线叫作二面角的棱, 这两个半平面叫作二面角的面. 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 二 面 角 以AB为棱、α和β为两个半平面的二面角(如图 (1)), 通常记作α-AB-β.如果二面角的棱为l (如图 (2)), 可以记作α-l-β. 如果C和D分别是半平面α和β内的点(如图 (3)), 也可以记作C-AB-D. 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 二 面 角 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度, 就说这个二面角是多少度. 当二面角的两个半平面重合时,规定二面角的大小为0°;平面角为直角的二面角叫作直二面角;当二面角的两个半平面合成一个平面时,规定二面角的大小为180°.所以二面角的大小的范围是[0°,180°]. 如图,在二面角的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和半平面β内分别作垂直于棱l的射线OA,OB, 则射线OA,OB所成的角∠AOB叫作二面角的平面角. 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例1.如图 , 已知二面角α-l-β 的平面角为30°, 平面β内有一点P , 它到平面α的距离是2 , 求点P到棱l的距离. 【分析】过点P构造一个二面角的平面角,然后根据二面角的大小去求点P到棱l的距离. 解: 在平面β内, 过点P作PB⊥l交于点B , 再过点P作PA ⊥α, 垂足为A , 连接AB , 则PA⊥l . 又∵ PB⊥l , PA∩PB = P , ∴ l⊥平面 PAB , ∴AB⊥l . 又∵ AB⊂α, PB ⊂β, ∴ ∠PBA为二面角的平面角. ∵在 Rt△PAB中, ∠PBA =30°, PA =2 , ∴PB =4 , ∴点P到棱l的距离为4. 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例2.如图, 在三棱锥 P-ABC 中, PA⊥平面 ABC , AB⊥AC , AB=AC=4 , PA =3 , 求二面角P-BC-A 的余弦值. 【分析】要求二面角的大小,也就是在棱BC上找一点,然后过这个点分别在两个半平面内作垂直于BC的射线,这两条射线所成的角就是所求二面角的平面角. 解 ： 取BC的中点E , 连接PE , AE . ∵PA⊥平面 ABC , 所以PA⊥AB , PA⊥AC , PA⊥ AE . 又∵AB = AC =4 , PA =3 , ∴PB = PC =5. 又∵E是BC的中点, ∴PE⊥BC , AE⊥BC . 又∵PE ⊂平面PBC , AE⊂平面ABC，∴∠ PEA 为二面角P-BC-A的平面角. ∵AB⊥AC , AB = AC =4 , ∴BC =42 , AE =22 , ∴PE = =17. ∴ cos∠ PEA = , ∴ 二面角 P - BC - A 的余弦值为 . 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 1．二面角是指( ) . A. 两个平面的夹角; B. 两个平面相交所组成的图形; C. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形; D. 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形. 解:从二面角定义可知B正确. 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 2．二面角的大小的范围是( ) . A. [0°, 90°] B. [0°, 180°] C. (0°, 90°) D. (0°, 180°) B 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 探索新知 情境导入 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 随堂练习；课后习题6.4-水平一5 题 3．在正方体中，二面角的大小是（  ） A． B． C． D． 解：如图，由正方体的性质易知平面，平面， 平面， 则， 而平面平面， 则为二面角的平面角， 又因为四边形为正方形， 所以，即二面角的大小是. 故选：B. 4．在60°的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10cm，则该点到二面角的棱的距离是 ． 解：如图所示，两平面相交于，，，， ，，． 则为二面角的平面角，且， 所以所以. 即点到二面角的棱的距离为． 故答案为：． $$