3.4 函数的应用-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 3.4 函数的应用（一】 高考要求】学业标准·考情分析 一考点分布 学科素养· 一学法导引· 1,通过实例感受一次函数、二次函 1,熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数 数、幂函数的广泛应用，体会利 在实际问题中的应用，在实际问题中能根据问 第 数学建模、数学运算 用函数模型解决实际问题的过 题的特点选择其函数模型. 豆 程与方法.（★★） 2.解函数模型时要注意解题技巧，不要忽 第 2.养成画图、识图和用图的习惯， 略实际问题中函数的定义域，求出结果要验证 直观想象、数学抽象 从图中观察出函数模型.（★★） 是否符合实际情况. 第三童 考点分类考点透析·典例制祈 考点1 用函数刻画实际问题 第 ·核心总结 ②方法梳理， 用数学模型刻画实际问题是数学应用的基础，关键要从下 列函数解析式的方法 第五金 列两个方面建立实际问题与数学模型的联系. L待定系数法：已知条件 (1)读懂问题：读题是解决问题的起点，弄清楚题中有几层 中已给出了含参数的函数解 析式或根据已知条件可确定 意思、每层意思是什么、要解决什么问题、与其相关的因素有哪 函数类别，此种情形下应用待 些等.即从中收集有用信息，捕捉关键词语，从文字语言叙述中 定系数法求出函数解析式中 理解题意 的相关参数（未知系数）的值， (2)根据实际问题的特征和掌握的数学特征，建立数学模型. 就可以确定函数的解析式， 2.归纳法：先让自变量x ©考题面(2024，河北衡水中学单元测试)某商人购货，进价 取一些特殊值，计算出相对应 的函数值，从中发现规律，再 已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利 推广到一般情形，从而得到函 20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的 数的解析式 件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是 3.方程法：用x表示自变 解析设新价为b,则售价为b(1一20%).，原价为a,∴.进 量及其他相关的量，根据问题 的实际意义，运用已掌握的数 价为a(1-25%).依题意有b(1-20%)一a(1-25%)=b(1- 学、物理等方面的知识，列出 20%)X25%.化简得6=月a,y=bX20%×x=7a×20%× 函数的解析式，此种方法形式 上和列方程解应用题相仿，故 ,即y= 4x(x∈N). 称为方程法，实际上函数的解 析式就是含x,y的二元方程 事y=x(x∈N). 山规律总结 1.用函数刻画实际问题 ⊙变式11(2024，西北工大附中单元测试)某自行车存车 的常见类型 处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车 (1)由文字给出条件关系 154 第三章之函：的概念与性质/ 0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车存车x辆次， 提炼西数并刻画实际问题 存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为y (2)由图象给出条件关系 ©变式12(2024，深圳中学单元测试)为了发展电信事业 提炼西数并刻画实际问题， (3)由图表给出条件关系 并方便用户，电信公司对使用移动电话的用户采用不同的收费方 提炼函数并刻画实际问题。 式，使用“如意卡”与“便民卡”的用户在某市范围内每月(30天)的 2.用函数刻画实际问题 通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系分别如图1、图2所示. 的基本程序 十以元 ↑元 (1)阅读理解、认真审题 10 B(30,35) 40 读懂题中的文字叙述，理 0 30 解叙述中所反映的实际背景， 第 20 A(0.29】 201 1 10 C30.15) 领悟从背景中概括出来的数 2040x分 2040x分 学实质，尤其是理解叙述中的 第 图1 图2 新名词、新概念，进而把握住 (1)分别求出通话费用为，2与通话时间x之间的函数关 新信息.在此基础上，分析出 已知什么，求什么，涉及哪些 系式 知识，确定自变量与函数值的 (2)请帮助用户计算一下，在一个月内使用哪种卡更便宜 意义，尝试问题的函数化 (2)引进数学特号，建立 数学模型 一般地，设自变量为x, 函数为y,并用x表示各相关 的量，然后根据问题的已知条 件，运用已掌握的数学知识、 物理知识及其他相关知识建 立函数关系式，将实际问题转 化为数学问题，实现问题的数 学化，即建立数学模型 考点2 一次函数、二次函数模型 ·核心总结· 意难点突破： 1.一次函数模型：y=kx十b(k,b为常数，k≠0)，也称线性 1.现实生活中很多事例 函数模型。 可以用一次函数模型来表示， 2.二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点 例如：匀速直线运动的时间和 时，可以选用二次函数模型y=a.z2十bx十c(a,b,c为常数，a≤ 位移的关系，弹簧伸长的长度 0):当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次 和拉力的关系等，对一次函数 函数模型y=a.x2十bx十c(a,b,c为常数，a>0). 来说，当一次项系数为正数 时，西数图象表现为匀速上 ⊙考题2(2024，河北石家庄二中单元测试)一家报刊推销 升，为增函数：当一次项系数 员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份 为负数时，函数图象表现为匀 0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个 速下降，为减函数 月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只 2.在函效模型中，二次函 155 /考点同步解读>】高中就学必修第一册KJA么 能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问每天应 数模型占有重要的地位，因为 该从报社买进多少份报纸才能使每月所获得的利润最大，并计算 根据实际问题建立函数解析 出最大利润是多少 式后，可利用配方法、判别式 解设每天从报社买进报纸x份(250≤x≤400)， 法、换元法、函数的单调性等 方法来求函数的最值，从而解 每月所获得的利涧为y元，列表分析如下： 决实际问题中的最大、最小等 数量/份 价格/元 全额/元 问题. 买进 30.x 0.20 6x 第 卖出 20.x+10×250 0.30 6.x+750 豆 逃回 10(.x-250》 0.08 0.8x-200 第 所以y=[(6.x+750)+(0.8.x-200)]-6.x 章 =0.8.x十550(250≤r≤400). 第三 因为y在x∈[250,400]上是增函数，所以当x=400时，y取 得最大值870， 第 即每天从报社买进400份报纸时，才能使每月获得的利润最 大，最大利涧为870元. ⊙变式2(2024.江西临川一中单元测试)商店出售茶壶 第五金 和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出 两种优惠活动： (1)买一只茶壶赠送一只茶杯： (2)按购买总价的九二折付款 某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若购买 x只茶杯时总付款为y元，试分别建立两种优惠活动中y与x之 间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪 种优惠活动？ ⊙考题3(2024，安徽合肥二中单元测试)某企业实行裁员 增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益（已扣工资等）1万 元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工 每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4 万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的 子，设该企业栽员x人后，年纯收益为y万元 156 第三章〉函的彬念与性质儿 (1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围. 奇解题通法， (2)当140<a≤280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大 1.用一次函数模型解决 的经济效益（注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员 实际问题的原则和关注点 应尽量少裁员)？ (1)原则：一次函数模型 解析(1)由题意知 的应用层次要求不高，一般情 况下按照“问什么，设什么，列 y=(a-x)(1+0.01.x-0.4r= 什么”的原则来处理，求解过 3 程也较简单 因为a-x≥a,所以≤a, (2)关注，点：用一次函数 第 故x的取值范国是[0，]上的自然数 模型解决实际问题时，对于给 出图象的应用题，可先结合图 第 (2)因为y= d[x-(号-ol+(号-o)°+a, 象利用待定系数法求出解析 式，对于一次函数y=a.x十b 且140<a≤280， (a≠0)，当a>0时为增函数， 所以当a为偶教时，x=号-70，y取最大值： 当a<0时为减函数.另外， 要结合题目理解(0，b)或 当a为奇数时，x=a,1一70（因为尽可能少栽员，所以舍去 2 (-么，0)这些特殊点的意义 a 2生士-70y取最大值 2.二次函数模型的应用 技巧 所以当员工人数为偶数时，该企业栽员（受-0）人才能获得最 根据实际问题建立二次 大的经济效益；当员工人教为奇数时，该企业栽员(“。-T0)人才 函数模型后，可利用配方法、 判别式法、换元法以及函数的 能获得最大的经济效益 单调性等方法求最值，从而解 ⊙变式2-2(2024，河南洛阳孟津第一高级中学单元测试) 决实际问题中的利润最大、用 A,B两城相距100km,拟在两城之间距A城.xkm处建一发电站 料最省等最值问题， 给A,B两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小 [注意]利用二次函数求 于10km.已知供电费用等于供电距离（单位：km)的平方与供电 最值时，应特别注意取得最值 时的自变量的值与实际意义 量（单位：亿度）之积的0.25倍，若每月向A城供电20亿度，每月 是否相符。 向B城供电10亿度， (1)求x的取值范围. (2)把月供电总费用y表示成关于x的函数. (3)发电站建在距A城多远处，能使供电总费用y最少？ 157 考点同步解读〉>高中就学必修第一册RJA色 考点3 幂函数、反比例函数模型 ·核心总结 布难点突破 1.幂函数模型：y=a.x十b(a,b,n为常数，a≠0,1≠1). 1.通过实际问题抽象函 2.反比例函数模型：y=+b(,b为常数，k≠0). 数模型时，有时需要用待定系 数法等方法找出函数关系式 ⊙考题4(2024，东北有才中学单元测试)某企业生产的新 2.确定的函数关系式不 产品必须先靠广告打开销路，该产品的广告效益是产品的销售额 一定符合实际情况，还需要进 第 与广告费之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比， 行检验. 那么根据对市场的抽样调查发现：每投入100万元的广告费，所 得的销售额是1000万元，问：该企业投入多少广告费才能获得最 章 大的广告效益？ 第三 解析设广告费为x万元时，广告效益为y万元，销售额为 1万元. 第四重 由题意可设t=kV元(k>0),则y=1一x=kv元一x 合方法梳理 ,当x=100时，t=1000.故1000=10k,解得k=100, L.暴函数模型应用的求 解策略 第五金 .t=100x,.y=100x-x. (1)给出含参数的函数关 令x=m,则m≥0，y=100m-m2=-(m-50)2+2500, 系式，利用待定系数法求出参 ∴.当m=50,即x=2500时，y取得最大值，最大值为2500. 数，明确函数关系式 .该企业投入2500万元广告费时，能获得最大的广告效益. (2)根据题意，直接列出 ⊙变式31(2024，湖南岳阳一中单元测试)众所周知，大包 相应的函数关系式 装商品的成本要比小包装商品的成本低.某品牌的饼干，其100克装 2.反比例盛数模型实际 的售价为1,6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售 应用问题的求法 价由生产成本、包装成本、利润三部分组成，生产成本与饼干质量 反北制高数模型：号 成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且 十b(k≠0)，在求解时要找准 系数为，利润率为20%.试写出该种饼干900克装的合理售价. 各个量之间的关系，用数学知 识建立函数关系，然后利用西 数的性质或方程的观点去解 决实际问题 ⊙考题5(2024，山东青岛调考)某商场在促销期间规定：商 场内的所有商品均按标价的80%出售.同时，当顾客在该商场内 消费满一定的金额后，可按如下方案获得相应的奖券： 消费金额的范围/元 200.400) [400,500) [500,700) 700.900) 获得奖券的金额/元 30 60 100 130 158 /第三章〉函绶的概念与性质 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠. ●规律总结… 例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优 解函数应用题的一般步骤 惠额为400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率= 第一步：审题—一弄清题 购买商品获得的优惠额 意，分清条件和结论，理顺数 商品标价 量关系， (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是 第二步：建模一将文字 多少？ 语言转化成数学语言，用数学 (2)对于标价在[500,800)的商品，顾客购买标价为多少元的 知识建立相应的数学模型. 第三步：解模求解数 第 商品，可得到不小于的优惠率？ 学模型，得到数学结论 解析(1)设商品的标价为x元，奖券金额为α元，则优惠率 第四步：还原—将用数 第 为y=0-0.8)+4=0.2+g,其中a是由表格给出的关于 学方法得到的结论还原为实 际问题的意义 0.8x的分段函数.当x=1000时，得0.8x=800∈[700,900)，由 第五步：反思—一对于数 表得a=130,所以得到的优多率为y=0,2+180-3%。 学模型得到的数学结果，必须 验证这个效学结果对实际问 (2)设商品的标价为x元，由，x∈[500,800)，得0.8.x∈[400， 题的合理性」 640)三[400,500)U[500,700).当0.8.x∈[400,500)，即x∈ [500,625)时，a=60;当0.8.x∈[500,700)，即x∈[625,800)时 0.2+60x∈[500,625) a=100.令y= 0,2+100 分别大于或等于行可 x∈[625,800 以得出x∈[625,750]时，即购买标价在625元至750元之间的商 品时，可得到不小于号的代患率 ⊙变式32(2024，江西瑞昌一中月考)某公司生产某种产 品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件 产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售完，则： (1)设单位成本为y(单位：万元)，求出它关于总产量x(单 位：件)的函数解析式. (2)若公司产品的单位利润（单位：万元）大于零，求x的取值 范围。 159 考点同步解读〉】高中就学必修第一赞RJA色 考点4 分段函数、对勾函数模型 ·核心总结 布难点突限… 1.分段函数模型：一种比较复杂的函数模型，可以用来描 应用分段函数模型时 述在不同区间上有不同变化规律的实际问题，还可以将定义域 应注意的问题 上变化复杂的函数分成几段区间来研究，在每一段区间上函数 L.分段西数的“段”一定 要分得合理，不重不漏 有各自的变化规律，根据函数的具体变化，再分段选择相应的 2.分段西数的定义城为 函数模型 第 对应每一段自变量取值范国 2.对勾函数模型：求解y=ax+么(a>0,b>0)时，可利用 的并集 3.分段函数的值域的求 碧 均值不等式或函数的单调性来处理， 法：先逐段求画数值的范国， 章 再下结论 ⊙考题6(2024，河北衡水中学单元测试)某公司生产一种 第三章 4.在处理分段盛数模型 电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入 的应用题时要注意分段研究 1 各自的规律，注意先分后合 四 100元，已知总收益满足函数：R(x) 400x-2x,0≤400. 80000,x>400, ®方法梳理… 第五金 其中x是仪器的月产量 1,分段函数模型的实际 (1)将利润y(单元：元)表示为月产量x(单元：台)的函数 应用问题的求法 (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多 (1)分段函数及其应用问 少（注：总收益=总成本十利润）？ 题是经常考查的面数类型，这 是由分段函数的特点决定的 解析标(1)月产量为x台，则总成本为(20000十100x)元， 由于分段函数兼具多种初等 函数的性质，因此可以考查多 从而y 2+300r-2000.0≤40， 种函数的性质.在解决这类问 60000-100.x,x>400 题时要特别注意函数的定义域 (2)当0r≤400时J=-2(x-30)yP+2500. 以及自变量x所在的具体范 围，据此选择解析式进行求解 .当x=300时，有最大值25000：当x>400时，y=60000一 (2)很多实际问题中变量 100x是减函数，y<60000-100×400<25000. 间的关系不能用同一个关系 ∴.当x=300时，y取得最大值，最大值为25000. 式给出，而是几个不同的关系 故每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元. 式构成分段函数，如出租车的 票价与路程之间的关系就是 ©变式4(2024，湖北武钢三中期末测试)国内某企业计 分段西数。 划在2024年投资新技术，生产新手机.通过市场分析，生产此款 (3)解决分段函数模型问 手机全年需投入固定成本250万元，每生产x千部手机，需另投 题需要讨论 10x2+100x,0x<40, (4)建立分段函数模型的 入成本R(x)万元，且R(x) 701z+10000-9450,x≥40. 由 关健是确定分段的各边界点， 即明确自变量的取值区间，对 160 第三章之函：的概念与性质/ 市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当 每一区间进行分类讨论，从而 年能全部销售完， 写出函数的解析式 (1)试写出2024年利润L(.x)(单位：万元)关于年产量x(单 (5)求分段函数的最值或 值域时，应先分段分别求其最 位：千部)的函数解析式 值或值域，再以各段最大值中 (2)当2024年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求 的最大者为函数的最大值，各 出最大利润 段最小值中的最小者为函数 的最小值；而各段值域的并集 则是函数的值域 第 2.对勾函数模型的实际 应用问题的求法 (1)对于类似于y=x十 第 ⊙考题7(2024，广东广州番禺中学期末测试)“绿水青山就 a(a>0)形式的函数关系式， 是金山银山”这一科学论断成为树立生态文明观、引领中国走向 可以使用配方法将其变为y 绿色发展之路的理论之基.新能源汽车环保、节能，以电代油，减 + -2a或y=(V匠 少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向. 某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，n(≤ 十2a的形式，然后再 16且n∈N)年内的总维修保养费用为C(n)=k2+40m(k∈R) 利用完全平方数为非负数求 万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第n(n≤16 得最值，从而解决问题， 且n∈N)年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收人一累计维 (2)在解决实际应用题 修保养费一投资成本)为L()万元.已知到第3年年底，该项目 时，列出的函数模型有可能并 非基本函数模型，但在解决的 的纯利润为128万元. 过程中，仍可借鉴基本函数 (1)求实数k的值，并求该项目到第几年年底纯利润第一次 (如二次函数、幂函数等)的处 能达到232万元. 理方法。 (2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润÷ (3)对于具备均值不等式 年数)最大？并求出最大值. 应用条件的对勾函数模型，可 解园(1)由题意可知L(n)=200m一280一kr-40m=一kn2+ 以借助均值不等式求最值 规律总结… 160n-280, 1.现实生活中有很多问 L(3)=128,.-9k+160×3-280=128,.k=8, 题都是用分段函数来表示的， .L(n)=-8n2+160m-280.令-8m+1601-280=232, 如出租车计费、个人所得税 即2-20n+64=0,解得n=4或n=16. 等，分段函数是刻画现实问题 故该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元. 的重要模型 (2)年平均利润为一8m+160m-280=-8m-280+160= 2.分段函数每一段自变 量交化所遵循的规律不同，可 以先将其当作几个问题，将各 -8+）+160<-16,a…西+160=-16v历+160，当且仅 段的变化规律分别找出来，再 将其合到一起，要注意各段变 当n=35,即=V35时取等号，又n∈N，当n=6时，取得 量的范围，特别是端点值 161 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA色 最大值为-8X(6+）+160-1 3.构造分段西数时，要力 求准确、简捷，做到分段合理， 故当刀=6时，年平均利润最大，此时最大值为]96 不重不漏！ 3 4.解决有关分段函数模 ⊙变式42(2024，湖北荆州中学月考)为了在夏季降温和 型的应用题的关键在于“分段 冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 归类”，即自变量属于哪一段， 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的 就选用该段的函数解析式来 建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元) 分析解决问题 第 与隔热层厚度x(单位：cm满足关系：C(x)=3z千50≤≤10)，. 若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建 造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式. 第三童 (2)当隔热层修建多厚时，总费用(x)达到最小？并求最小值. 第 第五金 对标演练分级测评·民时持训 >基础过关练 限时25分钟 2.考点1一个高为h,满缸水量 1考点1某电动汽车“行车数据”的两次记录如 为V。的鱼缸的轴截面如图所 下表： 示，其底部有一个小洞，水从洞 中流出.当鱼缸口高出水面的高度为h时， 累计里 平均耗电量 剩余续航 记录时间 程/km 鱼缸内剩余水的体积为V,则函数V=f(h) (kW·h/km) 里程/km 的大致图象可能是( 2022年1月1日 4000 0.125 280 2022年1月2日 4100 0.126 146 注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累 计耗电量指汽车从出厂开始累计清耗的电量，平均耗 电量=累计耗电量 B 剩余电量 累计里程 剩余续航里程= 平均耗电量 下面对该车在两次记录时间段内行驶100km 的耗电量估计正确的是( A.等于12.5 B.12.5到12.6之间 C.等于12.6 D.大于12.6 3考点2某产品的总成本y(单位：万元)与产量 162 第三章)之函：的概念与性质/ x(单位：台)之间的函数关系式是y=3000十 述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为 20.x-0.1.x2(0x240,x∈N).若每台产品 ( 的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售 A.5小时 B.6小时 收入不小于总成本)的最低产量是( C.7小时 D.8小时 A.100台 B.120台 2.考点2(2024，甘肃天水一中月考)一件工艺 C.150台 D.180台 品的进价为100元，标价135元出售，每天可 4.考点②在一定范围内，某种产品的购买量 售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降 y(单位：t)与单价x(单位：元)之间满足一次 价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得 函数关系.如果购买1000t,每吨800元：购 的利润最大，则每件需降价( 买2000t,每吨700元.一客户购买400t,单 A.3.6元 B.5元 C.10元 D.12元 价应为( B.840元 3考点2(2024，西北工大附中单元测试)（多 A.820元 C.860元 D.880元 选)边际函数是经济学中的一个基本概念，在 国防、工程、环保和经济管理等许多领域都有 5.考点2将进货单价为8元的商品按10元 十分广泛的应用，函数f(x)的边际函数 个销售，每天可卖出100个，若每个涨价 Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某 1元，则日销售量减少10个，为获得最大利 公司每月最多生产75台报警系统装置，生产 润，则此商品销售单价应定为 元 x台(x∈N)的收入函数R(x)=3000x 6.考点3(2024，北师大附中期未测试)根据统 20x,成本函数C(x)=500.x十4000，利润是 计，一名工人组装第x件某产品所用的时间 收入与成本之差，设利润函数为P(x),则 C ,<A, ( (单位：min)为f(.x) (A,C为 A.P(x)取得最大值时每月产量为63台 A >A B.边际利润函数的解析式为MP(x)=2480一 常数).已知工人组装第4件产品用时 40.x(x∈N) 30min,组装第A件产品用时15min,那么C C.利润函数P(x)与边际利润函数MP(x) 的值是 ,A的值是 的最大值不同 D.边际利润函数MP(x)说明随着产量的增 )》高考提能练限时0分钟” 加，增加生产一台的利润在减少 1.考点3“空气质量指数(AQI)”是定量描述空 4.考点4(2024，重庆北山中学月考)（多选）某 气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200 公司一年购买某种货物800吨，现分次购买， 时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某 设每次购买x吨，运费为8万元/次.已知一 地某天0~24时的空气质量指数y随时间1变 年的总存储费用为4x万元，要使一年的总 -101+290,012, 运费与总存储费用之和y最小，则下列说法 化的趋势由函数y- 描 56√1-24.12<124 正确的是( 1631 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 RJA色 n-m-2-0,解得n=-1或n-2当m=-1时, 动自行车(4000一x)辆次. f#x)-.当m=2时,f(x)v.由对任意x. 收入为y-0.2x+(4000-c)×0.3. 即y-0.1c+1200(0 4000且x6N*).] (0.+o),且v李x,满足(n)-/()o知,函数 n-r [变式1-2](1)由题图可设y-x+29,y=kx,把 fr)在(0,十o)上为增函数,故f(x)=r,易知/(一x= 点B(30,35).C(30,15)分别代入y,y,得 #-}一# 一f(x),故函数f(x)=”是奇函数,由f(a)十 f(b)<o,即f(a)<-f(b)-f(-b),得a<-b,所以 “-+29(→0)-(x>0). a+b0,此时,当a=0时,bc0,故ab-0:当a>0时 ${a<-b.故b<0,则ab<0;当a<0时,由a<-b$ (2)令y-,即x+29-1,则x-962} 得,b<-a.故b<0或b-0或b0,则ab>0或ab-$ 当x-96时,-,两种卡收费一致; 或ab<0.综上可知,a+b<0,且ab>0或ab-0或 ab0.故选BC] 当<96号时,>y:即便民卡更便宜; 6.②.[对于函数①,/(x)一x是一个奇函数,值域是 (ylyR,且y子0),在(一co,0)上单调递减,所以三 个性质中有两个不正确:对于函数②,/(x)一x是 [变式2-1] 设优惠活动(1)和(2)对应的付款分别为 个偶函数,其值域是ylyER,且y>0),在(一oo,0) 元、元. 上单调递增,所以三个性质中有两个正确,符合条件 由优惠活动(1)得函数关系式为 同理可判断函数③④不符合条件。 -20X4+5(-4) 7.*f(x)-(2n-2m-3)是寡函数 -5.+60(r4.xN). *.$n*-2m-3-1,即n-m-2-0,解得m-2或 由优惠活动(2)得函数关系式为 --1. -(20×4+5x)×92% (1)·/(x)的定义域为R. .m-2故f(x)- -4.6x+73.6(x4.rN.). 当该顾客购买茶杯40只时,采用优惠活动(1)应付款 ·x[1,2,使fr)3r+k-1成立,即x1. -5X40+60-260(元);采用优惠活动(2)应付款- 2],使1-3x>b-1成立, 4.6×40+73.6-257.6(元) 由于<y,故应选择优惠活动(2). 当x[1.2]时,(-3-)→k-一1. [变式2-2](1)x的取值范围为(xl10 x90) 又y-1-3x在[1,2]上单调递减,.1-3>b-1. $2)-0.25X*$20+0. 25(100--)x10-15- 即-1. 500.r+25000(1090) (3)-15-50250015(-100)+0000 故实数:的取值范围为(一。,一1). _5000.故发电站建 【实验班选做题】 1.③.[设f(x)-r,则f(m十n)=(m十n),f(n) 在距A0 3 $(n)=n+n,f(m)·f(n)=n·n=(nn)”. km处,能使供电总费用y最少 f(mn)-(mn),所以f(mn)=f(m)·f(n)一定成 [变式3-1] 设饼干的质量为x克,则其售价y(单位;元) 立,其他三个不一定成立,故填③ 与x之间的函数关系式为y=(mr十nv)(1+0.2). 3.4函数的应用(一) 由题意得1.6-(100n+ 100”)(1+0.2) 【变式训练】 即-50+1 ① [变式1-1] -0.1x+1200(0 x4000且x6N). [当天共存放4000辆次,其中普通自行车x辆次,则电 4.8-(400+v400n)(1+0.2). 34 参考答案与提示> 即100m+5n-1. ② 增,所以当1-20,即x一5时,函数/(x)有最小值 由①②解得-10-1. /(5)-70.即当隔热层修建为5cm厚时,总费用达到最 小值,最小值为70万元 【基础过关练】 故这种饼干900克装的售价为9.6元 1.D (1)由已知得总成本为150+0.25x. [变式3-2] 2.A [因为水量V不断减少,故B.D不正确;又由鱼缸 .单位成本为-150+0. 25.r150+0.25. 的形状可知,在流出相同高度的水量时,开始和最后 流出的永的体积小,中间的大,即开始和最后的水的 (2)由已知得单位利润为0.35-(150+0.25)-0.1- 体积随高度h的变化较缓慢,所以选A.] 150-0. [3000+20x-0.1r<25x .t>1500. 3.C [由题意知0x<240. [变式4-1](1)根据利润一销售额一成本,可得当0< rN. 40时,L(x)-1000x×0.7-250-(10r+100.r)= (+50r-300000. -10.r*+600x-250. 即0240. 解得150240.且xN -(701c十 .CN. 当x40时,L(x)-1000xx0.7-250- 100009200. 所以生产者不亏本时的最低产量是150台,] 10000 -9450) 4.C [令y一br十b,则由题意并按照待定系数法,可得 2r -10+600-250,0x<40. y--10x+9000,故购买400t时,单价应为860元.] 故L(x)一 100009200x40. 5.14.[设每个涨价x元,则实际销售单价为(10十x) 元,销售的个数为100-10x,则利润为y-(10十x)(100 (2)由(1)可知,当0 x40时,L(x)=-10+600x- -10)-8(100-10x)--10(-4)+360(0 x10 250--10(r-30+8750. rN).因此,当x=4.即销售单价为14元时,利润 当x-30时,L(x)-8750. 最大。] .10000 6.60;16.[由条件可知,xA时所用时间为常数,所 以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数,即 +9200=9000,当且仅当x-100时,等号成立 4 此时L.(x)-9000. A ·90008750...产量为100千部时,企业所获利润 【高考提能练】 最大,最大利润是9000万元. 1.C [由题意知,当0 /12时,令-10+290<200. [变式4-2](1)设隔热层厚度为xcm,由题意知每年能 解得9 12;当12<24时,令56$-24 200.解 源消耗费用为C(v)一 得12<16.故该天适宜开展户外活动的时长至多 为3十4-7(小时).] 因此C(x)-40 3405.而建造费用为C.(c)-6.x,最后得隔 2.B [设每天的销售量为件,每件工艺品的标价为x元, 执层建造费用与20年的能源消耗费用之和为/(x) 则m-100+4(135-x)--4x+640,故每天获得的 800 利润为y-(-4x+640)(x-100)=-4r+1040x- 640,故当x--1040-130时,每天获得的利涧最 1<10. -8 大.因此,要使每天获得的利润最大,则每件需降价 135-130-5(元).] 3.BCD[由题意得,P(x)-R(x)-C(c)=-20r+ 35)在区间[5,20]上单调递减,在区间[20,35]上单调递 2500x-4000,其图象开口向下,对称轴为直线x 35 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 RJA多 2500-62.5.因为x<75且xeN,所以当x-62或 40 63时,P(x)取得最大值,故A错误.MP(x)一P(x -P(x)=[-20(+1)+2500(+1)-4000] 6.(1)当0 <16时,设/t)-5000-h(16 $ . (-20+2500-4000)-2480-40x(r75 H f(6)-3800,则-20. N* ),故B正确.由A知,P(x)m=P(62)-P(63) /()一 5000-20(16-)),016. 74120.因为函数MP(x)-2480-40x为减函数,所 (tCN). 15000.1624 以MP(x)-MP(1)-2440,故C正确.由题可知. $(11)-5000-20×11×5-3900. 边际利润函数MP(x)表示增加生产1台装置对应增 故当天中午11点时,候车厅候车人数为3900 加的利润,由MP(z)是减函数,易知D正确。 4.AC [一年购买某种货物800吨,每次购买x吨,则需 (2)当0<t<16时,p-5000-20r(16-1)-3000 1 要购买800次,又运费是8万元/次,一年的总存储费 用为4x万元,所以一年的总运费与总存储费用之和 当且仅当(-10时等号成立; 800x8+4x,因为y- 800 为- ×8+4x三 7 , 24 6400×4.x=320,当且仅当6400-4x,即x-40 2 400~483. 2r 又483480,所以当/-10时,需要提供的面包数量 时,等号成立,所以当x三40时,y取得最小值,yn 最少. 320.] 5.(120. (2翻 :十1 [0 {43.0. 时,函数y-x-单调递增,所以当x>1时:Q(x)- 当0< [(1)因为n-3,所以y一 ) 12-36<<8. “(a>o)单调递减,不符合题意,故选①Q(x)= r*十1 <6时.3030-3>2;当6<8时,令12- 3030 32,解得x20.综上,若病人一次服用3个单位 的药剂,则有效治疗时间可达20h. 1420,解得c-160. (20 {2_6. 所以Q(c)- (2)因为”-2,所以y- 8-x,6<8. 20 206-2,8-1<8-6-2,所以有效治疗时间为6h. 则所耗电量为/(x)-300.N(c)-300.(2-10r+ ) 因为在6h后再服用”个单位的药剂,所以6<x 8. 200)-600(2+100-3000 10 由对勾函数的性质可知,f(x)在[80,120]上单调递增 8--+10n>2对任意x[6,8]恒成立,所以n -8x+12对任意x[6.8]恒成立,设g(x)= 45750. 10 10 则所耗电量为g(x)-50.o(x)-50.(r-2+ 开口向上,对称轴为直线x一4的抛物线,所以g(x在 36 /参考答案与提示> 160*)--100r+8000. (2) 4a-4a+1-(2a-1- 1-2 [变式2-1]C [因为a>0,m,n是正整数,且n1,所 因为0<x<60,所以当x=50时,g(x)m=g(50) 5500. { 所以当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h,在国 故C错误.] 道上的行驶速度为50km/h时. [变式2-2] 1. [因为Va有意义,所以a0,所以原 该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最 少,最少为45750+5500-51250(W·h). =·1-a·--+-a-a-1.] 【实验班选做题】 [变式3-1] B [(1+0.020 1)=[(1.01)]^= 1.(1)随着时间x的增加,y的值先减后增,而所给的三 [(1.01)”~1.35~1.82.] 个函数中y-ax十b与y-+b显然都是单调函数, [变式3-2] 25. [原式-3+41~1-3+ 4{}-25.] 不满足题意,所以选择y-ar*十bx十c. (2)把(2.102).(6.78),(20.120)代人y-ar*+b+c中. [变式4-1](1)因为a,是方程x-6x+4=0的两个 -# [a十-6, 4a+26+c-102. 根,所以 解得{b--10. ab-4. 得36a+66+-78. 400a+20+c-120. {#6-#- c-120. 所以y-1-10x+120-(x-10)“+70. 因为a>b0,所以>0. ##### 所以当x-10时,y有最小值y-70. 故当纪念章上市10天时,该纪念章的市场价最低,虽 (2)设 *,则-+-1+1-3.*++2-9 低市场价为70元 ++2(+)(+-1)+2 所以原式一- *+3 若存在x(10.+co)使得不等式g(x)一k<0成立. (6+)2+3 则需g(c). #712 49-2十3 [变式42]50. [由/(x)-,得/(1-x)= 2/35时,等号成立. ' 所以>2v③5. __一 第四章 指数函数与对数函数 a_+vata封a+a 4.1指数 1.故/()+()+.+(1)#()+ 【变式训练】 (10)]+()+(疆)门]++[() [变式1-1] C [因为xy:0,所以x≠0,y去0.由 (r*y>0. ()]1一150-50.] -xy>0,得 1y0. {① 0. [变式4-3] 1(D因为 [变式1-2](1)士2013.(2)-v2013 -, l-b② [变式1-3](1)当n为奇数时,V(x一)-x-r; 将①代人②,得-一, 所以a-b,所以a--b,所以-b,所以=(ab).。 n一工,1元 37