12.10 轴对称和轴对称图形（13大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十二章 三角形 12.10 轴对称和轴对称图形（13大题型提分练） 题型一 轴对称图形的识别 1．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，是轴对称的图形有 个． 4．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线对称，则这个英语单词的汉语意思为 ． 5．如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    题型二 成轴对称的两个图形的识别 1．下列命题中正确的是（    ） A．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点； C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； D．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形． 2．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 4．下列说法：①任意两条相交直线都组成一个轴对称图形；②等腰三角形最少有条对称轴，最多有条对称轴；③成轴对称的两个三角形一定全等；④全等的两个三角形一定成轴对称．其中正确的有 ．（填序号） 5．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 1．如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（   ）      A． B． C． D． 2．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 3．已知点P与点关于直线m成轴对称，则与直线m的位置关系是 ． 4．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是 ．（填序号） 5．已知：如图，是等边三角形，点D在边上，点C关于直线的对称点为，连接，点P是线段上的一点，连接，，延长到点E，使，连接．求证：． 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在的正方形网格中，有A，B两点，在直线ɑ上求一点P，使最短，则点P的位置应选在（　　） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 3．数轴上表示，的对应点分别是、，点关于点的对称点为，则点所表示的数是 ． 4．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 5．如图，在所给网格图每小格均为边长是的正方形中完成下列各题： (1)画出格点顶点均在格点上关于直线对称的． (2)在上画出点，使的值最小． 题型五 台球桌面上的轴对称问题 1．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 3．如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 4．四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 5．如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 题型六 轴对称中的光线反射问题 1．如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　　） A． B． C． D． 2．如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将直线沿y轴向下平移后的直线恰好经过点，且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得的值最小，则点P的坐标为 ． 4．身高1.80米的人站在平面镜前2米处，它在镜子中的像高 米，人与像之间距离为 米；如果他向前走0.2米，人与像之间距离为 米． 5．小明家中客厅的南北长度是，在客厅西墙上装了一面很大很大的镜子，客厅的门在东墙.某日小敏去小明家，刚进门就说：“呀，你家客厅好大呀，估计有50多平方米吧？”小明说：“没有，不足30平方米.”请你解释，两人的估算怎么会差别如此之大？究竟谁说错了呢？ 题型七 折叠问题 1．小李将一张圆形纸对折再对折，然后在中间抠掉一个“2”字形（如图），再将它展开，展开后的圆形是图（　　） A． B． C． D． 2．将一张长 9 厘米，宽 5 厘米的长方形纸沿对角线对折后如图所示的图形，图中阴影部分的周长是（    ） A．23厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．32厘米 3．如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，若，则 °． 4．（梯形面积计算）梯形（如图）是由一张长方形纸折叠而成的．这个梯形的高是 ，面积是 ． 5．学习完平行线后，小玲同学通过折纸，想出了过点画直线的平行线的方法，具体过程如下：图①～图④． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______； (2)如图④，由折纸过程可知与的位置关系是______，依据是______； (3)保持（2）中与的位置关系不变，将直线绕点旋转至如图⑤，当时，与平行吗？请说明理由． 题型八 画对称轴 1．用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①② 2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（    ） A．腰上的中线 B．腰上的高所在的直线 C．顶角的平分线所在的直线 D．过顶点的直线 3．如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的 就是该图形的对称轴． 4．角是轴对称图形， 是它的对称轴． 5．画出下列轴对称图形的所有对称轴（不考虑颜色）． 题型九 求对称轴条数 1．下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 2．下图有（    ）条对称轴． A． B． C． D．无数 3．如图所示的轴对称图形有 条对称轴． 4．圆是轴对称图形，对称轴有无数条，它们是 ． 5．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有　　条对称轴，等边三角形有　　条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴． 题型十 车牌号码的镜面对称 1．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 2．小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 3．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上 ． 4．雨后，地上的积水犹如一块澄澈的平面镜，某路段监控摄像头在雨后拍摄，由于位置偏离，拍摄中心聚集在了水面上，摄像头侦测到一小轿车超速行驶，积水中倒映的车牌为“”，那么该小轿车的真实车牌号为 ． 5．如图所示是某一日小明从镜中看到的一串数字，请你说出实际上述数字是什么？ 题型十一 电子钟示数的镜面对称 1．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 2．小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（    ） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15 3．小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为 ． 4．从镜中看到的一串数字是，这串数字应为 ． 5．如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 题型十二 画轴对称图形 1．如图，一张台球桌的桌面长为2.84，宽为1.42，一个台球在桌面的一个角落，将该球按如图所示的角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球桌角落的一个球袋．则该球入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．线段的一条对称轴是（　　） A．线段的中线 B．线段的垂线 C．线段的垂直平分线 D．线段的平行线 3．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与关于某直线成轴对称的格点三角形一共有 个． 4．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是 ． 5．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格纸中，有和直线，点A，B，C均在小正方形的顶点（网格点）上．（保留作图痕迹，不写做法）    (1)在方格纸中画出关于直线对称的； (2)在方格纸的网格点中找一点E，使得． 题型十三 设计轴对称图案 1．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（   ）个． A． B． C． D． 2．如图是的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个， 3．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的有 个； 4．如图是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色，请你从其余的13个白色小方格中选出一个也涂灰，使整个灰色部分的图形成为轴对称图形，可选择的小方格序号为 ． 5．如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形： 1．如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 3．把一张沿平行于长的方向已画2条三等分线的长方形纸条做成一个莫比乌斯带，然后沿它的三等分线剪开．下面说法正确的是（     ）． A．需要剪两次（剪1次指沿等分线剪至得到1个新纸杯） B．可以得到3个大小一样的纸环 C．可以得到2个大小一样的纸环 D．可以得到1个大纸环和1个小纸环 4．如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01 5．如图所示，点、、都在方格纸的格点上，请你再找一个格点，使点、、、组成一个轴对称图形，满足条件的点共有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 6．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．      7．对于 ,如果沿一条直线对折后，它们能够 ,那么这两个图形成轴对称，这条直线是 . 8．如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 ． 9．在下列字型的数字中，有两条对称轴的数字是 . 10．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画个 个． 11．如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．求作，使，，． 12．已知：如图，线段a，， 求作：，使，且边上的高． 13．（1）在平面直角坐标系中，请画出关于y轴对称的（其中D、E、F分别是A，B，C的对应点，不写画法）； （2）直接写出D、E、F三点的坐标：D（________），E（________），F（________）； （3）在x轴上找一点P使得最小． 14．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕分别与边交于点D、E，点B关于直线的对称点为点F． (1)画出直线和点F； (2)连接，如果，求的度数； (3)连接，如果，且的面积为4，求的面积． 15．作图题 (1)作出 关于直线l对称的． (2)如图:在网格中，已知线段、，以格点为端点画一条线段，使它与、组成轴对称图形．（画出所有可能） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 三角形 12.10 轴对称和轴对称图形（13大题型提分练） 题型一 轴对称图形的识别 1．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 3．在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，是轴对称的图形有 个． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，线段，角，圆，长方形，等边三角形，都能找到一条直线，使图形沿着直线对折后，能够完全重合，是轴对称图形，共5个； 故答案为：5． 4．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线对称，则这个英语单词的汉语意思为 ． 【答案】书 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的性质判断出所给单词，即可解答． 【详解】解：由图可知，这个英语单词是，汉语意思为：书， 故答案为：书． 5．如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    【答案】轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9） 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9）． 题型二 成轴对称的两个图形的识别 1．下列命题中正确的是（    ） A．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点； C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； D．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形． 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据直角三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一、轴对称图形判断即可． 【详解】解：A、如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意； B、到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故本选项命题错误，不符合题意； C、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本选项命题错误，不符合题意； D、两个三角形全等，它们不一定是关于直线成轴对称的图形，故本选项命题错误，不符合题意； 故选：A． 2．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念． 3．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 【答案】都是轴对称图形 【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征． 【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形， 故答案为：都是轴对称图形． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征． 4．下列说法：①任意两条相交直线都组成一个轴对称图形；②等腰三角形最少有条对称轴，最多有条对称轴；③成轴对称的两个三角形一定全等；④全等的两个三角形一定成轴对称．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据轴对称图形，轴对称的定义以及性质分析找出正确的答案． 【详解】①正确，任意两条相交直线夹角的角平分线所在的直线是其对称轴，所以都组成一个轴对称图形； ②正确，等腰三角形有一条对称轴，当等腰三角形三边都相等时有三条对称轴； ③正确，根据轴对称的性质可知成轴对称的两个三角形一定全等； ④错误，全等的两个三角形不一定成轴对称． 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了轴对称、轴对称图形以及对称轴的定义．关于某条直线对称的一个图形叫做轴对称图形．直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称． 5．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 【答案】第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，对称轴见解析． 【分析】根据轴对称图形的定义确定是轴对称图形，然后画出对称轴即可． 【详解】解：第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形， 对称轴如下： ． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，主要利用了轴对称图形的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键． 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 1．如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小．    由对称性可知：， ∵， ∴， ∴最小时，点P应该满足，此时无法确定与，的大小关系，的度数． 故选：D． 2．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 3．已知点P与点关于直线m成轴对称，则与直线m的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】点P与点关于直线m成轴对称，即线段关于直线m成轴对称；根据轴对称的性质，有直线m垂直平分． 【详解】解：点P和点关于直线m成轴对称，则直线m和线段的位置关系是：直线m垂直平分． 故答案为：垂直． 【点睛】此题考查了对称轴的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 4．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，有以下的几种说法：①AM＝BM；②∠MAP＝∠MBP；③∠ANM＝∠BNM；④AP＝BN；⑤△AMP≌△BMP．其中正确的说法是 ．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴AM＝BM，∠MAP＝∠MBP，∠ANM＝∠BNM，AP＝BP，△AMP≌△BMP， ∴①②③⑤正确，而④错误． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 5．已知：如图，是等边三角形，点D在边上，点C关于直线的对称点为，连接，点P是线段上的一点，连接，，延长到点E，使，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答本题的关键，先由等边三角形和轴对称的性质知，从而可推得，再利用“边角边定理”可证明，最后利用全等三角形的性质即可证得结论． 【详解】是等边三角形， ， 点C关于直线的对称点为， ， ， ， ， 又，， ， ． 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由与关于对称，得到为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，同理可得，由，等量代换可求得三角形的周长．此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键． 【详解】解：与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， 同理，与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， ， 则的周长为． 故选：C． 2．如图，在的正方形网格中，有A，B两点，在直线ɑ上求一点P，使最短，则点P的位置应选在（　　） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，先求得点A关于直线a的对称点，连接，即可求得答案． 【详解】如答图，点是点A关于直线a的对称点，连接，则与直线a的交点即为点P，此时最短． ∵与直线a交与点C， ∴点P的位置应选在C点． 同理，也可以找到点B关于直线a的对称点求得． 故选A． 3．数轴上表示，的对应点分别是、，点关于点的对称点为，则点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，对称的性质，先结合数轴求出之间的距离，然后根据对称的性质得出之间的距离，再求出之间的距离即可求解．求出的长是解题的关键． 【详解】解：如图，设数轴的原点为点， ∵数轴上表示，的对应点分别是、， ∴， ∵点关于点的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∵在原点的左边， ∴点所表示的数是． 故答案为：． 4．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是的值最小，的面积是，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且， ∵， ∴，即， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴当点在一条直线上时，周长，即最小就是的值最小， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 5．如图，在所给网格图每小格均为边长是的正方形中完成下列各题： (1)画出格点顶点均在格点上关于直线对称的． (2)在上画出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确作出图形，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，都是对应点，，即可； （2）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图点即为所求． 题型五 台球桌面上的轴对称问题 1．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】利用轴对称画图可得答案. 【详解】解：如图所示， 球最后落入的球袋是2号袋， 故选：B. 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形. 2．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6=337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 3．如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 【答案】673 【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示： 由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次， ∴， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）； 故答案为673． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 4．四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】作A关于BC和CD的对称点A′、A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即ΔAMN为的周长最小值，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决． 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为的周长最小值， ， ， ∴∠A′+∠A″=70°， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=140°. 故答案为140° 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 5．如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 【答案】见解析． 【分析】直接利用轴对称求最短路线方法得出天然气站的位置． 【详解】如图所示：首先作出A点关于汾河边L的对称点A′，再连接A′B，A′B与汾河边L的交点处就是P处，即天然气站位置． ． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，在直线L上的同侧有两个点A，B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 题型六 轴对称中的光线反射问题 1．如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，轴对称的性质；根据已知可得，进而求得，根据对称可得，进而即可求解． 【详解】解：由题意，知， ∴． ∴． ∴， 故选：C． 2．如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：A． 3．如图，将直线沿y轴向下平移后的直线恰好经过点，且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得的值最小，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】先作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，根据待定系数法求得直线为y=-x-1，进而得到点B的坐标以及点B'的坐标，再根据待定系数法求得直线AB'的解析式，即可得到点P的坐标． 【详解】作点B关于x轴对称的点，连接，交x轴于P，则点P即为所求， 设直线沿y轴向下平移后的直线解析式为 把代入可得，， 则平移后的直线为， 令，则，即 所以 设直线的解析式为， 把，代入可得，， 所以 令，则 所以P． 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，涉及到待定系数法求解析式，解题的关键是利用轴对称找出所求的点P的位置． 4．身高1.80米的人站在平面镜前2米处，它在镜子中的像高 米，人与像之间距离为 米；如果他向前走0.2米，人与像之间距离为 米． 【答案】 1.8m 4m 3.6m 【分析】利用镜面对称的性质求解,镜面对称的性质:在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒,且关于镜面对称． 【详解】解：身高1.80米的人站在平面镜前2米处,它在镜子中的像高1.80米,人与像之间距离为2×2=4米,如果他向前走0.2米,人与像之间距离为4-0.2×2=3.6米． 【点睛】本题主要考查镜面对称的原理与性质,解决本题的关键是要熟练掌握关于镜面对称的图形大小、形状相同，且到镜子的距离相等． 5．小明家中客厅的南北长度是，在客厅西墙上装了一面很大很大的镜子，客厅的门在东墙.某日小敏去小明家，刚进门就说：“呀，你家客厅好大呀，估计有50多平方米吧？”小明说：“没有，不足30平方米.”请你解释，两人的估算怎么会差别如此之大？究竟谁说错了呢？ 【答案】小敏说错了 【分析】根据平面镜成像原理：镜子中的客厅的面积是实物面积的虚像，虚像的面积与实像的面积相等，故小敏看到的是实像与虚像的面积之和，从而可判定小敏说错了，小明说的是实际面积. 【详解】小敏把镜子里看到的都算在一起了，镜子里的虚像使的室内空间在视觉上加倍了，所以小敏误认为有50多平方米，小敏说错了.小明说的是实际面积. 【点睛】此题考查的是平面镜成像问题，掌握平面镜成像原理：镜子中的客厅的面积是实物面积的虚像，虚像的面积与实像的面积相等，是解决此题的关键. 题型七 折叠问题 1．小李将一张圆形纸对折再对折，然后在中间抠掉一个“2”字形（如图），再将它展开，展开后的圆形是图（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，关键是明白数字左右对称，上下对称．由轴对称的性质即可判断． 【详解】解：由轴对称的性质可得：展开后的圆形是选项C中的图形． 故选：C． 2．将一张长 9 厘米，宽 5 厘米的长方形纸沿对角线对折后如图所示的图形，图中阴影部分的周长是（    ） A．23厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．32厘米 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，据折叠的性质，将折纸后阴影部分周长的所有边找出来，其实就是长方形的两个长与两个宽，据此可得答案． 【详解】解：根据折叠的性质可得阴影部分的周长长方形的两个长与两个宽，即厘米， 故选：C． 3．如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，若，则 °． 【答案】55 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，根据折叠的性质和邻补角的定义求得的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，由折叠的性质知：． ∵，， ∴． 又， ∴． 故答案为：55． 4．（梯形面积计算）梯形（如图）是由一张长方形纸折叠而成的．这个梯形的高是 ，面积是 ． 【答案】 6 69 【分析】本题主要考查了折叠的性质、梯形面积公式等知识点，掌握折叠的性质成为解题的关键． 由已知条件和折叠的性质可知：梯形上底是9厘米，下底是厘米，高是6厘米，然后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可得这个梯形的高是， 梯形的面积为： （平方厘米）． 故答案为：6、69． 5．学习完平行线后，小玲同学通过折纸，想出了过点画直线的平行线的方法，具体过程如下：图①～图④． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______； (2)如图④，由折纸过程可知与的位置关系是______，依据是______； (3)保持（2）中与的位置关系不变，将直线绕点旋转至如图⑤，当时，与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)垂直 (2)，内错角相等，两直线平行 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，垂线的定义等等： （1）折叠的性质可得； （2）同理可得，由此可得，进而根据内错角相等，两直线平行得到； （3）根据平行线的性质得到，进而推出，由此可证明． 【详解】（1）解：如图②所示，由折叠的性质可得， ∴折痕与直线的位置关系是垂直； （2）解：如图③所示，同理可得， ∴如图④所示，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 题型八 画对称轴 1．用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】A 【分析】①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴，方法如图所示． 【详解】解：①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴．    故选：A． 【点睛】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质． 2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（    ） A．腰上的中线 B．腰上的高所在的直线 C．顶角的平分线所在的直线 D．过顶点的直线 【答案】C 【分析】轴对称图形的定义和等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线所在的直线或顶角的角平分线所在的直线或底边上的高所在的直线， 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和轴对称图形的定义，熟知三线合一定理是解题的关键． 3．如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的 就是该图形的对称轴． 【答案】垂直平分线（或中垂线） 【分析】根据轴对称图形的对称轴的定义，即可求解． 【详解】解：∵轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分， ∴连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴． 故答案为：垂直平分线（或中垂线）． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴的定义，理解并掌握对称轴的定义——连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴是解题的关键． 4．角是轴对称图形， 是它的对称轴． 【答案】角平分线所在的直线 【分析】根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”． 故答案为：角平分线所在的直线． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，理解轴对称图形沿对称轴折叠能够完全重合是解题的关键． 5．画出下列轴对称图形的所有对称轴（不考虑颜色）． 【答案】见解析 【分析】利用轴对称图形的性质分别画出其对称轴即可．画轴对称图形的对称轴，先找出对称点，然后作对称点的垂直平分线即可． 【详解】解：如图所示： 题型九 求对称轴条数 1．下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：A． 圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意； B． 正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意； C． 梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意； D．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意． 故选：D． 2．下图有（    ）条对称轴． A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，根据圆和正方形的对称性即可求解，掌握圆和正方形的对称性是解题的关键． 【详解】解：由图形可知，该图形有条对称轴， 故选：． 3．如图所示的轴对称图形有 条对称轴． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称的定义，画出图中的对称轴，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 该轴对称图形有4条对称轴． 故答案为：4． 4．圆是轴对称图形，对称轴有无数条，它们是 ． 【答案】经过圆心的所有直线 【分析】本题主要考查了轴对称的知识，熟练掌握轴对称的概念是解题的关键． 根据轴对称的概念即可得出答案． 【详解】解：根据轴对称的概念可知，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴， 故答案为：经过圆心的所有直线． 5．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有　　条对称轴，等边三角形有　　条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴． 【答案】(1)1，3 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴进行求解即可； （2）仿照题意进行设计即可； （3）仿照题意进行设计即可； （4）仿照题意进行设计即可． 【详解】（1）解：非等边的等腰三角形有1条对称，等边三角形有3条对称轴， 故答案为：1，3； （2）解：恰好有1条对称轴的凸五边形如图所示 （3）解：恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示 （4）解：恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的设计，对称轴的条数，解题的关键是熟知轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合． 题型十 车牌号码的镜面对称 1．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可得在镜子里看到的“号码”是： ， 故选：C． 2．小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称，是常见基础考点，联系生活实际，掌握镜面对称的性质是解题关键．根据镜面对称性质解题，可将四个数子写在全白纸上，再观察纸的背面即可得到答案． 【详解】解：∵5对称图形是2，1对的是1，如果是51号，5在前1在后，对应为5对的是2，1对的是1， ∴实际号码是12． 故选：C． 3．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质进行判定即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的性质，如图所示， ∴该车的后5位号码实际上， 故答案为： ． 4．雨后，地上的积水犹如一块澄澈的平面镜，某路段监控摄像头在雨后拍摄，由于位置偏离，拍摄中心聚集在了水面上，摄像头侦测到一小轿车超速行驶，积水中倒映的车牌为“”，那么该小轿车的真实车牌号为 ． 【答案】苏 【分析】本题考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据成轴对称的性质求解即可． 【详解】由轴对称的性质可得，该小轿车的真实车牌号为苏． 故答案为：苏． 5．如图所示是某一日小明从镜中看到的一串数字，请你说出实际上述数字是什么？ 【答案】2006 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下颠倒，且关于镜面对称，分析可得答案． 【详解】图中所示是某一日小明从镜中看到的一串数字，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下颠倒，且关于镜面对称，即从左到右是2006，即实际上述数字是2006． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 题型十一 电子钟示数的镜面对称 1．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 2．小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（    ） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15 【答案】C 【分析】根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可． 【详解】解：镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称． 注意镜子的5实际应为2，电子表的实际时刻是10：21． 故选C． 【点睛】本题主要考查了镜面对称的特点：上下前后方向一致，左右方向相反． 3．小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，熟练掌握镜面对称是解题的关键；根据镜面对称进行求解即可． 【详解】解：根据题意，平面镜里看到其对面墙上电子钟显示数与实际的时间显示数成轴对称，据此可知实际时间为， 故答案为：． 4．从镜中看到的一串数字是，这串数字应为 ． 【答案】 【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，可根据这个特点来解决镜面对称的问题． 【详解】解：这串数字应为， 故答案为：． 5．如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【答案】120＋85＝205 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由题意可知，该算式的实际情况是：120＋85＝205. 【点睛】本题考查了镜面对称，物体平行对着镜子时，镜中的成像改变了物体的左右位置，即关于一条竖直的直线对称，镜中的像与原像之间实际上只是进行了左右翻折. 题型十二 画轴对称图形 1．如图，一张台球桌的桌面长为2.84，宽为1.42，一个台球在桌面的一个角落，将该球按如图所示的角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球桌角落的一个球袋．则该球入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．根据题意画出图形，然后即可作出判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以该球在桌面边缘反弹的次数为1． 故选：A． 2．线段的一条对称轴是（　　） A．线段的中线 B．线段的垂线 C．线段的垂直平分线 D．线段的平行线 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知线段的对称轴是线段的垂直平分线． 故选：C． 3．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与关于某直线成轴对称的格点三角形一共有 个． 【答案】5/五 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示，格点三角形共有5个， 故答案为：5． 4．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是 ． 【答案】5 【分析】此题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形有、、、、共5个， 故答案为：5． 5．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格纸中，有和直线，点A，B，C均在小正方形的顶点（网格点）上．（保留作图痕迹，不写做法）    (1)在方格纸中画出关于直线对称的； (2)在方格纸的网格点中找一点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了作图——轴对称变换，全等三角形的性质． （1）利用网格特点和轴对称的性质作出各顶点关于直线的对称点，，，依次连接即可解答； （2）是直角边长分别为5和3的直角三角形的斜边，由此通过网格特点构造与之全等的三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求．    （2）解：如图，点E为所求．    题型十三 设计轴对称图案 1．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图案的设计，掌握“轴对称的性质”是解题的关键．若两个图形关于某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，根据定义逐一分析可得答案． 【详解】解：符合题意的图案有： 符合要求．的白色小正方形有个， 故选：C 2．如图是的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：如图所示： ， 可得这样的白色的小正方形有4个． 故选：A． 3．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的有 个； 【答案】②④⑤ 【分析】此题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，即可求得答案． 【详解】解：在序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，有5种结果，其中与图中的阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤这3种结果， 故答案为：②④⑤． 4．如图是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色，请你从其余的13个白色小方格中选出一个也涂灰，使整个灰色部分的图形成为轴对称图形，可选择的小方格序号为 ． 【答案】③或④或⑦或⑬ 【分析】本题考查的是轴对称图案的设计，掌握轴对称的定义是解题的关键．若两个图形关于某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，根据定义逐一分析可得答案． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，可以选③或④或⑦或⑬． 故答案为：③或④或⑦或⑬． 5．如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形： 【答案】图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．由于小正方形是轴对称图形，所以只要构成的大图对称即可． 【详解】解：如图所示： 1．如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，作点关于的对称点M，连接，当时．此时取得最小值． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 作点关于的对称点M，连接， 由对称的性质可知，, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴M在上 由垂线段最短可知：当时．取得最小值， ∴此时也取得最小值． ∵， ∴， ∵ ∴ ∴的最小值为：． 故选：B． 2．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【答案】B 【分析】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可． 【详解】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH， 则AM=MG，AN=NH， ∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH， 由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小， ∵∠BAE=152°， ∴∠G+∠H=28°， ∵AM=MG，AN=NH， ∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN， ∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键． 3．把一张沿平行于长的方向已画2条三等分线的长方形纸条做成一个莫比乌斯带，然后沿它的三等分线剪开．下面说法正确的是（     ）． A．需要剪两次（剪1次指沿等分线剪至得到1个新纸杯） B．可以得到3个大小一样的纸环 C．可以得到2个大小一样的纸环 D．可以得到1个大纸环和1个小纸环 【答案】D 【分析】本题考查了折叠问题以及数学常识里的莫比乌斯带问题，理解题意是解题的关键． 通过实际操作，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带．沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，即可解答． 【详解】解：通过动手操作，发现：沿着莫比乌斯环3等分处剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环；沿它的三等分线剪开，因为两条线粘结成莫比乌斯带的时候一条线的尾部和第二条线的头是接上的，第二条线的尾部也是和第一条线的头是接上的，所以就成了一条线． 故选：D． 4．如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01 【答案】D 【详解】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为12：01， 故选D． 5．如图所示，点、、都在方格纸的格点上，请你再找一个格点，使点、、、组成一个轴对称图形，满足条件的点共有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，以的垂直平分线和所在直线为对称轴，即可得出满足条件的点；关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【详解】解：根据图形的对称性，以的垂直平分线和所在直线为对称轴，可得满足条件的点共有2个， 如图： 故选：B． 6．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．    【答案】2 【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示，      即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 7．对于 ,如果沿一条直线对折后，它们能够 ,那么这两个图形成轴对称，这条直线是 . 【答案】 两个图形 完全重合 对称轴 【详解】因为成轴对称的概念是:将两个图形沿着某条直线翻折后,他们能够完全重合,那么这两个图形成轴对称,这条直线是对称轴,故答案为:两个图形,完全重合,对称轴. 8．如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 ． 【答案】6 【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴M′H=M′N′， ∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， ∵AB=，∠BAC=45°， ∴BH=AH ∴ ∴BH=6． ∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6． 故答案为6． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 9．在下列字型的数字中，有两条对称轴的数字是 . 【答案】、或. 【分析】一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的一条对称轴，据此紧扣圆的对称轴的特点，即可解决问题． 【详解】是轴对称图形，有两条对称轴；不是轴对称图形，没有对称轴；是轴对称图形，有一条对称轴；不是轴对称图形，没有对称轴；不是轴对称图形，没有对称轴；不是轴对称图形，没有对称轴；不是轴对称图形，没有对称轴；是轴对称图形，不是轴对称图形，没有对称轴；是轴对称图形，有两条对称轴； 故答案为、或. 【点睛】此题几何图形的对称轴的特点． 10．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画个 个． 【答案】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题的难点在于确定出不同的对称轴. 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故答案为：． 11．如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．求作，使，，． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查的是作一个三角形与已知三角形全等，先作射线，在上截取，再作，，，的交点为，则即为所求． 【详解】解：如图，即为所求作的三角形； 理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴即为所求作的三角形． 12．已知：如图，线段a，， 求作：，使，且边上的高． 【答案】见解析． 【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角，角平分线以及垂线的方法，先作 ，然后作的角平分线，截取，过点作的垂线，交角的两边于点，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求作三角形，其中． 13．（1）在平面直角坐标系中，请画出关于y轴对称的（其中D、E、F分别是A，B，C的对应点，不写画法）； （2）直接写出D、E、F三点的坐标：D（________），E（________），F（________）； （3）在x轴上找一点P使得最小． 【答案】（1）见解析：（2）；（3）见解析 【分析】此题考查了轴对称作图、利用轴对称求最短路径． （1）找到A，B，C的对应点D、E、F，顺次连接D、E、F即可； （2）根据点的位置写出答案即可； （3）找到点A关于x轴的对称点并与点B连接，交x轴于点P，则P即为所求． 【详解】解：（1）如图，即为所求， （2）由图可知，， 故答案为： （3）如图，点P即为所求． 14．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕分别与边交于点D、E，点B关于直线的对称点为点F． (1)画出直线和点F； (2)连接，如果，求的度数； (3)连接，如果，且的面积为4，求的面积． 【答案】(1)答案见详解； (2)； (3)28 【分析】（1）画出线段的垂直平分线即可，作出点B关于直线的对称点F； （2）由轴对称性的性质可知，因为，，所以； （3）设中边上的高为，根据，计算即可． 【详解】（1）解：取中点D，作，交于E，直线是求作的， 过点B作于G，在直线上截取，点F是求作的，如图所示： （2） 由轴对称性的性质可知， 因为，， 所以， 即，， 所以． （3） 由轴对称性的性质可知，，， 设中边上的高为 则， 所以， 所以， 设中边上的高为， ， 所以． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 15．作图题 (1)作出 关于直线l对称的． (2)如图:在网格中，已知线段、，以格点为端点画一条线段，使它与、组成轴对称图形．（画出所有可能） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是作图轴对称变换． （1）分别作出各点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质画出线段即可． 【详解】（1）解：如图（1），即为所求； （2）解：如图（2），线段、即为所求（两种情形）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$