第06讲 函数的单调性与最值（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第06讲 函数的单调性与最值 【人教A版2019】 模块一 函数单调性的判断 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. 2．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 3．判断函数单调性的方法： (1)定义法； (2)图象法； (3)简单函数单调性； (4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减； (5)复合函数：“同增异减”. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1.1】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求定义域即.令是二次函数,根据二次函数图像即可求得其单调区间,根据复合函数同增异减,即可求得单调递增区间. 【解答过程】， 即 ， 得 ， 定义域为 ， 又单调递增区间为， 函数的单调递增区间 故选：C. 【例1.2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【解题思路】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【解答过程】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高一上·河南安阳·期中）若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】当可求得；当时，，由已知关系式可得，进而得到；由二次函数性质可得单调递增区间. 【解答过程】当时，，则， 在上单调递增； 当时，，， ， 在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为和. 故选：B. 【变式1.2】（2024高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 【解题思路】分别判断出，，和的单调性，即可判断． 【解答过程】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误； 对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误； 对于C：在是增函数，在是减函数， ，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确； 对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数； 设定义域为，取， 则， 当时，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递减， 同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误， 故选：C． 模块二 函数单调性的应用 1．函数单调性的应用 函数单调性的主要应用有以下几个方面： (1)利用函数的单调性求参数； (2)利用函数的单调性比较大小； (3)利用函数的单调性解不等式. 2．利用函数的单调性求参数的方法 (1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. (2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解. 需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 3．利用函数的单调性比较大小的方法 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上. 4．利用函数的单调性解不等式的方法 解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可. 【题型2 已知单调性求参】 【例2.1】（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用换元法求出定义域后求解参数即可. 【解答过程】根据题意，设，则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，则有，解得， 故选：B． 【例2.2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】两段函数都要增，在1附近也要增，列不等式组求解即可. 【解答过程】是上的增函数，则要满足： ，解得. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【解答过程】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【变式2.2】（23-24高二下·河南·期末）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】不妨设，令，由题分析可得函数在上单调递减，讨论和时，要使在上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案. 【解答过程】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令， 则恒成立，所以函数在上单调递减. 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，要使在上单调递减， 则解得. 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：D. 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 【例3.1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用已知的函数性质，把比较函数值的大小转化到同一个单调区间上的函数值比较大小的问题来解决. 【解答过程】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 【例3.2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合函数的对称性及单调性即可比较大小 【解答过程】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 即， 故选：D. 【变式3.1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造，根据复合函数单调性得在上是减函数，利用单调性可得答案. 【解答过程】设， 为上为增函数，在上为减函数， 根据复合函数单调性得在上是减函数， 若， 则． 故选：C. 【变式3.2】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意能得到函数关于直线轴对称，且在上单调递增，然后根据离对称轴的远近比较大小. 【解答过程】由，时，得函数在上单调递减， 由得函数关于直线轴对称， 所以函数在上单调递增. 又因为（最远离），（最靠近）， 所以. 故选：A. 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【例4.1】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【例4.2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可. 【解答过程】任取， 从而 , 因为，所以， 所以， 则在R上单调递增． 不等式等价于不等式 ， 即． 因为在R上单调递增， 所以，解得． 故选：A. 【变式4.1】（23-24高一上·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于x的不等式的解集. 【解题思路】（1）利用单调性的定义结合已知即可证明； （2）利用赋值法求出，根据已知结合函数的单调性，将不等式化得到关于的不等式组，解之即可得解. 【解答过程】（1）在上单调递减，证明如下： 因为，，总有成立，当时，， ，且，则， 则，即， 所以在上单调递减. （2）因为因为，，总有成立， 所以，则， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得. 所以不等式的解集为. 【变式4.2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【解题思路】（1）由赋值法即可求解； （2）利用单调性的定义即可求证； （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【解答过程】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 模块三 函数的最值 1．利用函数单调性求最值的常用结论 (1)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； (2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型5 求函数的最值】 【例5.1】（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 【解题思路】先依次解出不等式、和的解，进而得函数的解析式，再通过研究函数单调性即可得解. 【解答过程】因为；；， 所以可得， 又将代入得；将代入得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 将代入得，将代入得， 所以函数在处取得最大值为，无最小值. 故选：A. 【例5.2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若，则函数的最小值是（    ） A． B． C．4 D．5 【解题思路】先对已知函数变形，令，则，然后判断在上的单调性，从而可求出其最小值. 【解答过程】，令，则， 设，，任取，且， 则 ， 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增，所以. 故选：D. 【变式5.1】（23-24高三·河南郑州·阶段练习）已知函数满，当时，. （1）求的解析式； （2）求在上的最大值. 【解题思路】（1）先利用已知条件得到，当时，得到函数的解析式，即可得出结果；（2）分当，和三种情况讨论即可得到的最大值. 【解答过程】（1）因为， 所以， 当时，， 则， 故的解析式为 （2）当时， . 当， 即时，在上单调递增， 则； 当， 即时，在上单调递减， 则； 当， 即时， . 综上，. 【变式5.2】（23-24高一上·宁夏银川·期末）设函数. (1)当时，求函数在区间的最大值和最小值： (2)设函数在区间的最小值为，求. 【解题思路】（1）通过判断二次函数的对称轴与区间的位置关系判断函数单调性，通过单调性可得最值； （2）通过分类讨论，确定函数的单调性与区间之间的位置关系，通过位置关系及二次函数的性质可得最小值. 【解答过程】（1）当时，，其对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 故函数在区间的最大值为，最小值为； （2）对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：. 【题型6 根据函数的最值求参数】 【例6.1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【解题思路】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【解答过程】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 【例6.2】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】画出的图象，分，和三种情况，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案. 【解答过程】令，定义域为，令，得， 且在上单调递增， 画出函数图象如下：    则的图象如下：    若，则，画出的图象如下，    显然最小值为2，不合题意， 若，则画出的图象如下：    显然函数在点取得最小值， 令，解得，正值舍去， 令，解得， 若，则画出的图象如下：    显然函数在点取得最小值， 令，解得，负值舍去， 令，解得， 综上，. 故选：B. 【变式6.1】（23-24高一上·河南周口·阶段练习）已知函数. （1）求证：在上是增函数； （2）若在上的最大值是最小值的2倍，求a的值. 【解题思路】（1）根据函数的解析式，利用单调增函数的定义即可证明； （2）根据函数的单调性，求得在题设区间上的最大值和最小值，根据已知得到关于a的方程，求得a的值. 【解答过程】（1）因为，任取，，且， 则 = 因为，所以，，所以， 所以，即， 所以在上是增函数. （2）由（1）可知，在上是增函数， 在上的最大值是最小值的2倍， 所以，即， 解得. 【变式6.2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 【解题思路】（1）且，利用作差法证明即可； （2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解. 【解答过程】（1）且， 则， 因为，所以， 又因为，所以， 因此， 所以在是减函数； （2）由（1）可知，是减函数， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 因为最大值与最小值之差为1， 所以，解得. 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【解答过程】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 2．（23-24高一上·湖北·期中）已知函数，，则函数（  ） A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值 C．既有最小值又有最大值 D．既无最小值，又无最大值 【解题思路】画出函数图像，根据图像得到答案. 【解答过程】函数的图像时是由向右平移1个单位形成， 画出函数图像，如图所示：    根据图像知，函数在上既无最小值，又无最大值. 故选：D. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意先分段，由单调递减依次得，，但还需保证，由此即可求解. 【解答过程】由题意当时，单调递减，则，即， 当时，单调递减，则， 要保证单调递减，则还需，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故选：A. 4．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【解答过程】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 当时，开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，解得； 当，即时，，则在上单调递增， 所以在处取得最小值，，解得； 当时，开口向下，则在上必存在比小的值，不满足题意； 当时，，易得，不满足题意； 综上，. 故选：A. 5．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数的图象关于直线对称，当且，时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件得到函数在上是减函数，再由函数的图象关于直线对称和函数的单调性比较可得答案. 【解答过程】当且，时，恒成立， 可得在上单调递减，且关于对称， 所以在上单调递增，， ，， 即. 故选：D. 6．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据的单调区间，分、、和讨论即可. 【解答过程】因为在单调递减，在单调递增， 若，即 时，则在上单调递减， 所以，此时的最小值为1． 若，即 ，则在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即 ，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，此时的最小值为． 综上，的最小值为． 故选：D. 7．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得到，令，推得在上单调递减，把不等式转化为，结合，得到，即可求解. 【解答过程】由题意知：， 可得， 且，即， 令，不妨设，可得，则， 即，所以在上单调递减， 则不等式，且，转化为， 因为，所以，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 8．（23-24高三上·江西·期中）已知函数的定义域是，当时，，且对任意正数，，都有，，给出下列四个说法： ①；②函数在上单调递增；③；④满足不等式的的取值范围为．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】令，即可判断①；根据函数单调性的定义，可证明出函数在上单调递减，即可判断②；由题意可得，即可判断③；由题意可得，从而将不等式转化为，再根据函数的单调性列出不等式组，求出解集，即可判断④． 【解答过程】因为对任意正数，，都有， 令， 所以，所以，故①正确； 令，则，， 所以， 所以， 所以函数在上单调递减，故②错误； 因为，令， 所以， 所以 ，故③正确； 因为，所以， 所以 ， 又因为函数在上单调递减， 所以，解得， 即满足不等式的的取值范围为，故④错误． 所以说法正确的有①③，共2个． 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 【解题思路】利用函数的单调性定义结合举反例的方法对选项逐一分析即可. 【解答过程】， 化简为， 设，则， 设，则， 故函数在上是增函数，故正确； 设， 由得， 即， 设， 由得， 即， 故函数在上是增函数，故正确； 令，表示不超过x的最大的整数， 满足，但在上不是增函数；故错误； 令，则，为增函数， 但函数在上不单调，故错误. 故选：. 10．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（    ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 【解题思路】令可判断A；不妨设，可得，即，即可判断B；结合选项B，可取判断C；结合选项B及不等式的性质判断D. 【解答过程】令，则有，即，故A错误； 不妨设，由，可得， ∴，∴函数在区间为增函数，故B正确； 由选项B可知，函数在区间为增函数， 可取，此时在区间为增函数， 而，可知函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误； ∵函数在区间为增函数，， ∴， ∴， ∴ ，故D正确. 故选：BD. 11．（23-24高一上·江苏·单元测试）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ） A．最大值为3，最小值为 B．最大值为，无最小值 C．单调递增区间为和，单调递减区间为和 D．单调递增区间为和，单调递减区间为和 【解题思路】在同一坐标系中由与的图象得出函数的图象，结合图象即可得出的性质，判断各选项． 【解答过程】在同一坐标系中先画出与的图象， 当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象， 当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象， 根据定义画出， 容易看出有最大值，无最小值，故A错误； 当时，由，得舍或， 此时的最大值为：，无最小值，故B正确； 时，由，解得：（舍去）， 故F在，递增，在和递减， 故C正确，D错误， 故选：BC． 三、填空题 12．（23-24高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解. 【解答过程】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 故答案为：. 13．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，设，则函数的最大值是 1 ． 【解题思路】分两种情况，求出分段函数在各自区间上的取值范围或最大值，最终求出结果. 【解答过程】令，解得；令，解得或； 所以， 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 且，，所以； 综上所述：函数的最大值为1. 故答案为：1. 14．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义在上的函数满足，且，则使成立的x的取值范围是 ． 【解题思路】变形给定不等式，构造函数，并探讨其单调性，再利用单调性解不等式即可. 【解答过程】由，且，则两边同时除以可得， 令，则原不等式为，因此函数在上单调递减， 由，得，又，于是，解得， 所以使成立的x的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 【解题思路】（1）根据单调性的定义，先任取，且，然后作差，变形判断符号可得结论； （2）由在上递增，可求出其最大值和最小值. 【解答过程】（1）证明：，且，则 由，得，， 所以，即. 所以函数在区间上单调递增. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间的两个端点上分别取得最小值和最大值， 即时取得最小值，最小值为， 时取得最大值，最大值为. 故的最小值是1，最大值是. 16．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【解题思路】（1）根据条件得到方程组，可求出答案； （2），且，变形判断符号可得结论. 【解答过程】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 17．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 【解题思路】（1）由定义法证明函数的单调性； （2）通过单调性比较函数值的大小. 【解答过程】（1）函数，任取， ， 由，，，，即， 所以函数在上单调递增. （2），则，当且仅当，即时等号成立， ， 由，有，则，， 函数在上单调递增，所以. 18．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【解题思路】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【解答过程】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 19．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象过点，且. (1)求的解析式； (2)已知，，求函数在上的最小值； (3)若，若函数在上是单调函数，写出正实数的取值范围（不用写过程） 【解题思路】（1）根据对称轴得到，代入点坐标计算得到答案. （2）确定函数解析式，画出函数图像，再考虑，，三种情况，计算最值得到答案. （3）确定函数解析式，画出函数图像，根据图像得到答案. 【解答过程】（1），所以函数关于对称，则，所以， 又，即，所以， 所以； （2）， 即，由， 当时，令，即，解得（舍去）， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述； （3）， 画出函数图像，如图所示： 函数在上是单调函数，根据图像知：，即，故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 函数的单调性与最值 【人教A版2019】 模块一 函数单调性的判断 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. 2．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 3．判断函数单调性的方法： (1)定义法； (2)图象法； (3)简单函数单调性； (4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减； (5)复合函数：“同增异减”. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1.1】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式1.1】（23-24高一上·河南安阳·期中）若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1.2】（2024高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 模块二 函数单调性的应用 1．函数单调性的应用 函数单调性的主要应用有以下几个方面： (1)利用函数的单调性求参数； (2)利用函数的单调性比较大小； (3)利用函数的单调性解不等式. 2．利用函数的单调性求参数的方法 (1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. (2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解. 需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 3．利用函数的单调性比较大小的方法 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上. 4．利用函数的单调性解不等式的方法 解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可. 【题型2 已知单调性求参】 【例2.1】（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是是（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二下·河南·期末）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 【例3.1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【例4.1】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一上·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于x的不等式的解集. 【变式4.2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 模块三 函数的最值 1．利用函数单调性求最值的常用结论 (1)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； (2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型5 求函数的最值】 【例5.1】（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 【例5.2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若，则函数的最小值是（    ） A． B． C．4 D．5 【变式5.1】（23-24高三·河南郑州·阶段练习）已知函数满，当时，. （1）求的解析式； （2）求在上的最大值. 【变式5.2】（23-24高一上·宁夏银川·期末）设函数. (1)当时，求函数在区间的最大值和最小值： (2)设函数在区间的最小值为，求. 【题型6 根据函数的最值求参数】 【例6.1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【例6.2】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一上·河南周口·阶段练习）已知函数. （1）求证：在上是增函数； （2）若在上的最大值是最小值的2倍，求a的值. 【变式6.2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北·期中）已知函数，，则函数（  ） A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值 C．既有最小值又有最大值 D．既无最小值，又无最大值 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数的图象关于直线对称，当且，时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 7．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·江西·期中）已知函数的定义域是，当时，，且对任意正数，，都有，，给出下列四个说法： ①；②函数在上单调递增；③；④满足不等式的的取值范围为．（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 10．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（    ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 11．（23-24高一上·江苏·单元测试）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ） A．最大值为3，最小值为 B．最大值为，无最小值 C．单调递增区间为和，单调递减区间为和 D．单调递增区间为和，单调递减区间为和 三、填空题 12．（23-24高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 13．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，设，则函数的最大值是 ． 14．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义在上的函数满足，且，则使成立的x的取值范围是 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 16．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 17．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 18．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 19．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象过点，且. (1)求的解析式； (2)已知，，求函数在上的最小值； (3)若，若函数在上是单调函数，写出正实数的取值范围（不用写过程）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$