精品解析：2024-2025学年苏科版九年级上册数学期中测试卷（第一章-第二章）

2024-2025学年苏科版九年级上册数学期中测试卷（第一章-第二章） 一、单选题(共9题；共27分) 1. 为迎接端午促销活动，合肥百大银座从6月份开始对春装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动．已知一件原价1000元的春装，优惠后实际仅需490元，设该店春装原本打折，则有（ ）． A. B. C. D. 2. 关于x一元二次方程无实数根，则反比例函数的图像一定过（ ）象限 A. 第一和第二 B. 第二和第三 C. 第二和第四 D. 第一和第三 3. 如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某公司去年8~12月份生产成本统计图，设9~11月每个月生产成本的下降率都为，根据图中信息，得到所满足的方程是（ ） A. B. C D. 5. 新冠肺炎是一种传染性极强疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知一副三角板如图所示放置，含角的三角板的直角顶点 D 在含角的三角板斜边的中点处，点 M，N 分别是直角边 ，上的两点，且．连接，，其所在的两条直线相交于点 H，连接．当直角板在绕 D点旋转时，若，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1+ B. 1+ C. 2sin20°+ D. 二、填空题(共8题；共27分) 10. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是___． 11. 扇形的圆心角为，半径为3，则这个扇形的面积为__________．（结果保留） 12. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m=________． 13. 某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为______． 14. 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留） 15. 已知关于x的方程的两实数根分别为m，n，则______. 16. 如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则________，________． 17. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O上的点，连接，且，，设，则y与x之间的函数表达式为______． 三、解答题(共7题；共46分) 18. 关于一元二次方程，若方程的一个根，求的值和方程的另一个根． 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数． 21. 如图，在三角形ABC中，∠ C=90°，I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F．证明：DF ⊥ AI． 22. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）设此方程的两个根分别为，，若，求的值． 23. 如图，在长60米，宽40米的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（图中阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，求观赏路面宽是多少米？ 24. 已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版九年级上册数学期中测试卷（第一章-第二章） 一、单选题(共9题；共27分) 1. 为迎接端午促销活动，合肥百大银座从6月份开始对春装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动．已知一件原价1000元的春装，优惠后实际仅需490元，设该店春装原本打折，则有（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： 依题意得：， 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2. 关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图像一定过（ ）象限 A. 第一和第二 B. 第二和第三 C. 第二和第四 D. 第一和第三 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式得出m的取值范围，进而结合反比例函数图象分布规律得出答案． 【详解】解：∵关于x一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴反比例函数的图象一定分布在第一、三象限， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质以及根的判别式，正确得出m的取值范围是解题关键． 3. 如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解． 【详解】解：连接OE，如图所示： ∵OB=OC，， ∴， ∴， ∵E是劣弧的中点， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键． 4. 如图是某公司去年8~12月份生产成本统计图，设9~11月每个月生产成本的下降率都为，根据图中信息，得到所满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设9~11月每个月生产成本的下降率都为x，根据该公司9月份及11月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患病，第一轮有（x+1）人患病，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患病，由此列方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得， x+1+（x+1）x=81 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 6. 如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图所示：为中、、角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、， ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 7. 如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，，在Rt中，为中点，，当时，最小，此时矩形的对角线最小. 、、三点共线时，最小，此时在Rt中，设，知道，长度，根据勾股定理建立方程，即可求解的长度，进而求得的长度. 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 在Rt中，为中点，， 当时，最小，此时矩形的对角线最小， ∵，为弦，为中点， ∴在过的直径上， 而为圆心，则、、三点都在一条直线上； 故、、三点共线时，最小； 此时Rt中，设，知道，， 有， 有， 解得，(舍去)， ， 故选A． 【点睛】本题考查了圆内动点问题、垂径定理等知识，根据垂径定理作出图形是解题的关键． 8. 已知一副三角板如图所示放置，含角的三角板的直角顶点 D 在含角的三角板斜边的中点处，点 M，N 分别是直角边 ，上的两点，且．连接，，其所在的两条直线相交于点 H，连接．当直角板在绕 D点旋转时，若，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先证明连接，可得，进而可证明，即可知点H在以为直径的圆上，圆心O在线段的中点，据此问题随之得解． 【详解】连接，如图， 根据题意可知：是等腰直角三角形，点D 为斜边的中点，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点H在以为直径的圆上，圆心O在线段的中点，如图， ∴半径， 在中，，， ∴， 当A、H、O三点共线时，可得最小， ∵半径， 则最小， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理的推论等知识，确定点H在以为直径的圆上，是解答本题的关键． 9. 如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1+ B. 1+ C. 2sin20°+ D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OT、OC，可求得∠COM=30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH=1，于是，S阴影=S△AOC+S扇形OCB，代入可得结论． 详解】连接OT、OC， ∵PT切⊙O于点T， ∴∠OTP=90°， ∵∠P=20°， ∴∠POT=70°， ∵M是OP的中点， ∴TM=OM=PM， ∴∠MTO=∠POT=70°， ∵OT=OC， ∴∠MTO=∠OCT=70°， ∴∠OCT=180°-2×70°=40°， ∴∠COM=30°， 作CH⊥AP，垂足为H，则CH=OC=1， S阴影=S△AOC+S扇形OCB=OA•CH+=1+， 故选A. 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系． 二、填空题(共8题；共27分) 10. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 11. 扇形的圆心角为，半径为3，则这个扇形的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：， 故这个扇形的面积为． 故答案为：． 12. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m=________． 【答案】-2． 【解析】 【详解】试题解析：由题意可得m2-m-4=2，且m-3≠0， 解得m=-2． 考点：一元二次方程的定义． 13. 某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点A，B．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据主视图的面积为计算即可． 【详解】解：设圆心为O，过O作，，和相交于点，连接，如图， ∵，分别与所在圆相切于点A，B． ∴， ∵， ∴，， ∴优弧对应的圆心角为，， ∵该圆半径是， ∴， ∴主视图的面积为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是解题的关键． 14. 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留） 【答案】400π 【解析】 【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图， ∵AC=11，BC=21， ∴AB=AC+BC=32， ∵OD⊥AB于D， ∴AD=BD=AB=16， ∴CD=AD-AC=5， 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 OD==12, 在Rt△OBD中，由勾股定理，得 OB==20， ∴这个花坛的面积=202π=400π， 故答案为：400π． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键． 15. 已知关于x的方程的两实数根分别为m，n，则______. 【答案】19 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出，，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于x的方程的两实数根分别为m，n， ∴，， ∴． 故答案为：19． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系为和． 16. 如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先利用已知条件得到为直径，然后可以证明为等腰直角三角形，由此求出，接着把绕逆时针旋转得到，证明为等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：内接于且， 为的直径， ， ， 弦平分， ， ， ，， ，， 如图把绕逆时针旋转得到， ，， ， 、、三点共线， 为等腰直角三角形， ， ． 故答案为：，． 【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆、圆周角定理及其推论、角平分线的性质及勾股定理，有一定的综合性． 17. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O上的点，连接，且，，设，则y与x之间的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，过O作于E，过点C作于F，连接，利用垂径定理求得，证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理建立方程，解之即可得到答案． 【详解】解：过O作于E，过点C作于F，连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得：． 故答案为：． 三、解答题(共7题；共46分) 18. 关于的一元二次方程，若方程的一个根，求的值和方程的另一个根． 【答案】， 【解析】 【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由一个根为2，求出另一根，进而确定出k的值． 【详解】设另一根为x2， ∴2+x2=6，2x2=k， 则x2=4，k=8， 则k的值为8，方程的另一个根x2为4． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或 ∴； 【小问2详解】 ， ∴， ∴， ∴或， ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． 20. 如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数． 【答案】54° 【解析】 【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】 如图，连接． ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴90°-36°=54°， ∴的余角的度数为54°． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 如图，在三角形ABC中，∠ C=90°，I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F．证明：DF ⊥ AI． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求得∠AID=45°，证明E、C、D、I四点共圆，得到∠DIF=45°，再证明△ADI≌△AFI (ASA)，得到△ADF是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 而， ∴E、C、D、I四点共圆， ∴， ∴， 又 ，AI=AI， ∴△ADI≌△AFI (ASA)， ∴，即是等腰三角形 ，且AI是顶角的角平分线， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆，等腰三角形的判定和性质，三角形内心的性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 22. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）设此方程的两个根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可； （2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值． 【小问1详解】 解： 关于的一元二次方程有实数根， ，即， 整理得：， 解得：； 【小问2详解】 该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ，即， 整理得， 或， ， ． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 23. 如图，在长60米，宽40米的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（图中阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，求观赏路面宽是多少米？ 【答案】观赏路面宽是5米 【解析】 【分析】设路宽为米，则所剩下的观赏面积的宽为米，长为米，根据要使观赏路面积占总面积的列出方程求解即可． 【详解】解：设路宽为米，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：观赏路面宽5米． 【点睛】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24. 已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由． 【答案】(1) k≥﹣1且k≠1且k≠2；(2) x1=0，x2=3；(3)成立 【解析】 【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值； （2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可； （3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断． 【详解】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数， ∴x≥0且x≠1， 又∵x=≥0，且≠1， ∴解得k≥﹣1且k≠1， 又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0， ∴k≠2， 综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2； （2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时， ∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0， ∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）， ∵x1、x2是整数，k、m都是整数， ∵x1+x2=3，x1•x2==1﹣， ∴1﹣为整数， ∴m=1或﹣1， ∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0， x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3； 把m=﹣1,k=m+2=1不符合题意舍去. （3）|m|≤2成立，理由是： 由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是负整数， ∴k=﹣1， （2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==， x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k）， x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2， x12+x22═x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2， （x1+x2）2﹣3x1x2=k2， （﹣m）2﹣3×=（﹣1）2， m2﹣4n=1， Δ=（3m）2-4（2-k）（3-k）n=9m2-48n≥0②， 把①代入②得： m2≤4， ∴|m|≤2成立． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$