第02讲 与圆有关的位置关系（3个知识点+9类题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第02讲 与圆有关的位置关系 课程标准 学习目标 ①点与圆的位置关系 ②直线与圆的位置关系 ③切线 1. 掌握点和直线与圆的位置关系，并与半径结合求解． 2. 掌握切线的判定与性质． 知识点01 点与圆的位置关系 1.判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 2.判定几个点在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上. 知识点02 直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. （1）直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. （2）直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. （3）直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 知识点03 切线 切线的判定、性质 （1）切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. （2）切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. （3）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. （4）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 题型01 点与圆的位置关系 【典例1】已知的半径为，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵ 即的半径， ∴点P在内， 故选：A． 【变式1】在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴点A在外， 故选：． 【变式2】已知⊙O的半径为5cm，A为线段的中点，当cm时，点A在⊙O ． 【答案】内 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．根据题意求出 即可判断． 【详解】解：∵A为线段的中点，当cm时， ∴cm5cm， ∴点A在⊙O内， 故答案为：内 【变式3】已知的半径是，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【答案】在内 【分析】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外．先解一元二次方程，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解： 解得 点到圆心的距离 的半径是， 在内 故答案为：在内 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，、、．    (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（内、外、上）； (4)在方格中，连接，，，将以原点O为位似中心，缩小为原来的，请在方格纸中画出缩小后的图形． 【答案】(1) (2) (3)内 (4)见解析 【分析】本题主要考查与圆有关的作图，垂径定理、点与圆的位置关系和位视变化， （1）连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M即为圆的圆心点，由图即可求得点M的坐标； （2）连接，利用勾股定理得，即为圆的半径； （3）连接，由勾股定理得的长，与半径做对比即可判定与圆的位置关系； （4）根据位视的性质作图即可； 【详解】（1）解：如图，    连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，则点M即为经过点A、点B和点C三点的圆弧所在圆的圆心点，M的坐标为； （2）连接，由勾股定理得，， 则这个圆的半径为； （3）连接，由勾股定理得，， 则点在内； （4）如图上图，即为所求； 题型02 运用点与圆位置关系求半径 【典例1】已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵点P在半径为r的内，且， ∴， 比较四个选项，只有， 故选：D． 【变式1】已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：， 故选：D． 【变式2】已知的半径为6，若点在外，则 6（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的关系，根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．解题关键是熟知点与圆的三种关系． 【详解】解：∵的半径为6，点在外， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据“点C在内且点B在”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点C在内且点B在， ∴． 故答案为：． 【变式4】如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 题型03 直线与圆的位置关系 【典例1】的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，且，设斜边上的高为，根据等面积法求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，且， 设斜边上的高为，则， ∴， ∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切， 故选：C． 【变式1】已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D， 根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， ∴， 以长为半径作，则与的位置关系是相交， 故选：A． 【变式2】已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，求出半径为6cm，再根据圆心到直线的距离可得答案． 【详解】根据题意可知半径，圆心到直线的距离， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相切． 故答案为：相切． 【变式3】已知，的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【答案】相切 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的特征，直线与圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离，掌握利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系是解题的关键．过点O作于点C，根据含30度角的直角三角形的特征，得到，由的半径为2，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，， ， 的半径为2， 与射线的位置关系为相切， 故答案为：相切． 【变式4】在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式：，例如，求点到直线的距离． 解：由直线知：，，，所以到直线的距离为， 根据以上材料，解决下列问题： (1)求点到直线的距离； (2)在（1）基础上，若以点为圆心，半径为2作圆，请直接写出直线与圆的位置关系． 【答案】(1)1 (2)直线与圆的位置关系是相交 【分析】（1）根据题中给出的点到直线的距离公式求解即可； （2）根据圆心到直线的距离小于半径即可判断出直线与圆相交． 【详解】（1）解：点到直线的距离． （2）解：∵点到直线的距离为1， 的半径为2， ∴直线与圆的位置关系是相交． 【点睛】本题考查了新定义问题，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到直线的距离的求法． 题型04 运用直线与圆位置关系求半径 【典例1】如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点时有两个交点，再结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是， 故选：A． 【变式1】已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况． 【详解】解：依题意，， 根据勾股定理求得． 当圆与相切时，此时半径最小，即； 当点在圆上，此时半径最大，即， 综上：即． 故选：D． 【变式2】如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解答本题的关键要画出图形，利用数形结合可轻松解答． 根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答.若，则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：作由图可知，的取值范围在和之间． 在直角三角形中， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 则的取值范围是， 故答案为：． 【变式3】我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本主要考查三角形重心以及点与圆的位置关系，根据重心的性质得由勾股定理求出，运用面积法求出，从而得出结论 【详解】解：设点O为的重心， ∵为中线， ∴ 连接则 ∴, 过点作于点E，F， ∴ ∵, ∴ ∴ ∴的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是或 故答案为：或 【变式4】已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 题型05 切线的理解 【典例1】下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．垂直于半径的直线是圆的切线 C．两直线平行，同旁内角相等 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据切线的定义、平行线的性质、矩形的判定逐一判断即可得出答案．熟练掌握相关概念是解题关键． 【详解】解：A、若，则或，故A选项错误； B、过半径的外端且垂直于圆的半径的直线是切线，故B选项错误； C、两直线平行，同旁内角互补，故C选项错误； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D正确； 故选：D． 【变式1】下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【变式2】当点P在⊙O上时, 经过点P能作 条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O (填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 【变式3】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 【答案】切线． 【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断. 【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：切线． 【点睛】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键. 【变式4】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）． （1）求AD的长； （2）设四边形BFED的面积为y，求y 关于t的函数关系式并写出自变量的取值范围 （3）当t为何的值时，以EE为半径的⊙F与CD边只有一个公共点． 【答案】（1）cm．（2），0＜t＜5．（3），，. 【详解】试题分析：（1）首先根据已知条件“BD⊥DC，∠A=90°”及平行线的性质（两直线AD∥CB，内错角∠ADB=∠DBC）证明△ABD∽△DCB；然后由勾股定理及相似三角形的对应边成比例求得AD的长度； （2）过点E作BC的垂线，垂足为G．在Rt△DBC和在Rt△EGC中，利用正弦函数求得EG=t，然后利用割补法求得四边形EFDB的面积； （3）进行分类讨论. （1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，所以BD=8cm． 因为AD//BC，所以∠ADB=∠CBD． 在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD=， 所以AD="BD" cos∠ADB=cm． （2）△BCD的面积为24． 如图，过点E作EH⊥AB，垂足为H． 在Rt△CEH中，CE=t，sin∠C=，所以EH=CE sin∠C=t． 因此． 所以．定义域为0＜t＜5． （3）①如图1，当⊙F经过点D，则⊙F与边CD有两个交点 所以过点D作DH⊥BC，EK⊥BC 所以DF=EF 所以在Rt△DFH和Rt△EFK中， 所以当⊙F与边CD只有一个交点． ②如图2， 当时，⊙F与边CD相切 ③如图3，时，⊙F经过点C，所以当时，⊙F与边CD只有一个交点． 综上所述，当，，时，⊙F与边CD只有一个交点． 考点：1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.直角梯形；4.直线与圆的位置关系. 题型06 切线的性质 【典例1】如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弦切角定理，角平分线的性质及垂直的定义，难度适中． 连接，并延长交于点F，连接，根据弦切角的性质，得，再由已知条件可得，从而求出． 【详解】解：连接，并延长交于点F，连接，如图所示： ∴， ∴， 是切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 平分， ， ， ， ． 故选：A． 【变式1】如图，与的边相切干点B，将绕点B顺时针方向旋转得到，使得点落在上，边交线段于点C，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆切线的性质定理、等边三角形的性质和判定，旋转中角度的计算，旋转过程中对应边相等，对应角相等，旋转角处处相等．本题中利用圆的半径相等得到边长关系进而求得角度关系是解题的关键． 连接，先证为等边三角形，求出，由与的边相切，可求，利用三角形内角和公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵与的边相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，已知半径为1的经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为，的切线与直线交于点C．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质定理，三角形的外角性质等知识，在中，已知了直径和的长，即可求得、的度数，而由弦切角定理，进而可由三角形的外角性质求出的度数，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴，， 如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度． 【答案】55 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，掌握切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质可得，进而求出的度数，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：55． 【变式4】如图，已知是的直径，是的切线，交于． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，从而推出 ，得证； （2）由（1）可知，，然后利用勾股定理得到，最后利用面积法，即可得到答案． 【详解】（1）证明：是的直径，是的切线 ， ， ； （2）解：由（1）可知， ， ，即 题型07 切线的判定 【典例1】如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的证明，涉及圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质等知识，根据选项，逐项判定即可得到答案，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【详解】解：A、， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； B、， ，则， ， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ， ， ，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（    ） A． B． C．AC是直径 D．且 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理对各个选项进行判断即可. 【详解】解：A.当，则AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切； B.AC不一定是的直径，所以不能判断EF直线EF与相切； C. AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切； D. 当，则AC为的直径，且，所以EF直线EF与相切. 故选D. 【点睛】本题主要考查切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【变式2】如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键． 【变式3】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 【变式4】如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识， （1）如图，连接，，证明即可； （2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型08 切线长定理 【典例1】如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理、圆周角定理、圆的切线性质等知识点，连接，可得，，；据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：，，， ∵， ∴ ∴； 的周长 故选：D 【变式1】如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 【变式2】如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由圆的内接四边形的性质可得，进而可得，再根据切线长定理可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，是的切线，切点为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则 ． 【答案】 【分析】连接，，，作，设，证是等边三角形，得出，证，，得出，得出是直径，再利用勾股定理列方程求出，即可． 【详解】解：连接，，，过点A作作于F，设， 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，， ， ， 是等边三角形， ，， ，是的切线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 得出：， ， ，， ， 是直径， ， ，，， ，， ， ， ， ， (负值已舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式4】如图，分别与相切于两点，是的直径． (1)求证：； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，由切线的性质和切线长定理可得，，，进而由可得平分，得到，，再由即可求证； （）由（）可得，即得，，，可得，由可得，得到，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵分别与相切于两点， ∴，，， ∵， ∴平分， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，角平分线的判定和性质，余角性质，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型09 动圆相切求t 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（    ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 【答案】C 【分析】平移分在x轴的下方和x轴的上方两种情况写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于x轴的下方且与x轴相切时，平移的距离为2s； 当⊙P位于x轴的上方且与x轴相切时，平移的距离为4s． 故选C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【变式3】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 【答案】4 【分析】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解． 【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm， ∴ ， ， ∵ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 若l与⊙O相切， 则点 到直线l的距离等于OC=10cm， ∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式4】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线向终点C运动，P点在上的运动速度为每秒5个单位，在上的运动速度为每秒3个单位．点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点A运动．P、Q两点同时出发，连结，设点P运动的时间为t（秒）． (1)__________； (2)连结，当是直角三角形时，求t的取值范围； (3)当点P在边上，且将的周长分为相等的两部分时，求的面积； (4)作点A关于直线的对称点，连结，当点在直线的左侧，且直线与的一边平行时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)或 (3) (4)当或或时，直线与的一边平行， 【分析】本题是三角形综合题，考查直角三角形的性质、勾股定理、三角函数、直线与圆的关系等知识； （1）直接利用勾股定理计算可得的长； （2）当点P在线段上运动时，；当点P在线段上运动时，，则或，分别计算即可； （3）根据将的周长分为相等的两部分求得，结合（2）可得此时，求解面积即可； （4）分点P在线段、上，分别画出，再根据与的一边平行，根据等腰直角三角形的性质以及线段的和差即可求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：6； （2）∵，，，P点在上的运动速度为每秒5个单位，在上的运动速度为每秒3个单位．点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点A运动． ∴点P运动到的时间为：秒，运动到的时间为：秒， 点的运动的时间为：秒， ∴当点P在线段上运动时，，此时，是直角三角形， 当点P在线段上运动时，，此时，， ∴或 当时，， ∴， 解得； 当时，过中点作于， 则， ， ∴， ∵， ∴， ∴以为圆心，为半径的圆与直线没有交点， ∴不存在， 综上所述，当或时，是直角三角形； （3）根据题意得：， ∵将的周长分为相等的两部分时， ∴ ∴， 解得：， ∴ 由（2）可得当时， 此时， 解得 ∴的面积为：； （4）当点P在线段上运动时，，此时， 当时，连接，过作于， ，点、关于直线对称， ， ， ，， ∴， ∴， ， ，， ， 即， ； 当时，连接交于， ∵点、关于直线对称， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即， 解得， 此时，，, ∴， ∴在直线右边，不符合题意； 当时，在上，与重合，不合题意； 当点P在线段上运动时，，此时， 当时， ，点、关于直线对称， ， ， ， ， ， ； 当时，作角平分线交于，作于，则，，， ∴， ∵, ∴，解得， ∵点、关于直线对称， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或或时，直线与的一边平行， 1．已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（  ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴点P到圆心的距离小于的半径， ∴点P在圆内， 故选：B． 2．如图，是⊙O的直径，，与⊙O相切于点A，交⊙O于点D，连接，若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、切线的性质定理、直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由是⊙O的直径，，得，，由切线的性质得，而，所以，则是等边三角形，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵与⊙O相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，是圆的直径，是延长线上一点，与相切于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理．连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 与圆相切于点， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（     ） A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接．    ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴，是的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．若的半径为4，点A到圆心O的距离为3，则点A在 ． 【答案】内 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内,据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，点A到圆心O的距离为3，且， ∴点A在内， 故答案为：内． 7． 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，当 时， 与 相切． 【答案】/5厘米 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，当时，直线与圆相切，即可得出结果． 【详解】解：当时， 与相切； 故答案为：． 8．如图，是的直径，C，D是上的两点，，过点C作的切线交延长线于点E，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据同弧所对的圆周角相等推出，得出的度数，再根据切线的性质结合直角三角形量锐角互余即可推出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，的直径，为延长线上一点，与相切于点，过点作交于点，连接．若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，根据三角形内角和得到，根据平行线的性质得到，再推出四边形是平行四边形，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接，交于点． ，， ， 与相切于点， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足为交于此时垂线段最短，最小值为求出当与B重合时，的延长线与交于点 最大值． 本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定等知识，关键是确定的最小值与最大值的位置． 【详解】解： 中，， 设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足，交于连接，延长与相交于点F，过F作于点G，如图1， 此时垂线段最短，最小值为，则四边形为矩形，平分 ． 设则 由勾股定理得， 解得： 即 如图2，当与B重合时，连接，延长与交于点 此时为最大值， ， ∴的最大值与最小值的和为： ， 故答案为：． 11．如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据切线的性质，得到，利用互余关系求出的度数，利用切线长定理，得到是等腰三角形，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质和切线长定理．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 12．如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 【答案】（1）r<3时，点A在⊙C外；（2）3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外 【分析】（1）根据点A在圆外，则点A到圆心C的距离大于半径r，从而可得r的取值； （2）根据点A在圆内，则点A到圆心C的距离小于半径r，根据点B在圆外，则点B到圆心C的距离大于半径r，两者结合起来即可得到r的取值范围． 【详解】（1）点A在⊙C外，则AC>r，即r<3 即当r<3时，点A在⊙C外； （2）点A在⊙C内，则AC<r，即r>3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4， 综合起来，当3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可确定点与圆的位置关系，掌握它是解答本题的关键． 13．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 14．如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据等腰三角形的性质得，由角平分线定义得，等量代换得，根据平行线得判定定理得到，由平行线得性质得出答案； 对于（2），设，则，即可得的值，再根据勾股定理求出的值，证明，可得答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵， 设，则， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等，连接圆心和圆上一点的线段是证明切线的常用方法． 15．如图，在矩形中，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，点P、Q同时出发，运动时间为秒，是的外接圆．    (1)当时，的半径是 ，与直线的位置关系是 ； (2)在点P从点A向点B运动过程中，当与直线相切时，求的t值； (3)连接，交于点N，如图，当时，求t的值． 【答案】(1)，相离 (2) (3) 【分析】（）过点作于，交于，由得到的直径是，求出即可得到的半径，证明得到，进而得到，即可判断与直线的位置关系； （）当与相切时，设切点为，连接并延长交于，根据得到方程，解方程即可求解； （）过作，交的延长线于点，连接，证明，得到，由得到方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于，    ∵ 四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离， 故答案为：，相离； （2）解：如图，当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，，    ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直线和圆的位置关系，勾股定理、中位线的判定和性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 与圆有关的位置关系 课程标准 学习目标 ①点与圆的位置关系 ②直线与圆的位置关系 ③切线 1. 掌握点和直线与圆的位置关系，并与半径结合求解． 2. 掌握切线的判定与性质． 知识点01 点与圆的位置关系 1.判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 2.判定几个点在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上. 知识点02 直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. （1）直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. （2）直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. （3）直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 知识点03 切线 切线的判定、性质 （1）切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. （2）切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. （3）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. （4）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 题型01 点与圆的位置关系 【典例1】已知的半径为，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【变式1】在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定 【变式2】已知⊙O的半径为5cm，A为线段的中点，当cm时，点A在⊙O ． 【变式3】已知的半径是，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，、、．    (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系．点在______（内、外、上）； (4)在方格中，连接，，，将以原点O为位似中心，缩小为原来的，请在方格纸中画出缩小后的图形． 题型02 运用点与圆位置关系求半径 【典例1】已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】已知的半径为6，若点在外，则 6（填“”“”或“”）． 【变式3】如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的取值范围是 ． 【变式4】如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 题型03 直线与圆的位置关系 【典例1】的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【变式1】已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 【变式2】已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【变式3】已知，的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【变式4】在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式：，例如，求点到直线的距离． 解：由直线知：，，，所以到直线的距离为， 根据以上材料，解决下列问题： (1)求点到直线的距离； (2)在（1）基础上，若以点为圆心，半径为2作圆，请直接写出直线与圆的位置关系． 题型04 运用直线与圆位置关系求半径 【典例1】如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是 ． 【变式3】我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【变式4】已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 题型05 切线的理解 【典例1】下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．垂直于半径的直线是圆的切线 C．两直线平行，同旁内角相等 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【变式1】下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【变式2】当点P在⊙O上时, 经过点P能作 条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O (填”上”或”外”或”内”) 【变式3】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 【变式4】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）． （1）求AD的长； （2）设四边形BFED的面积为y，求y 关于t的函数关系式并写出自变量的取值范围 （3）当t为何的值时，以EE为半径的⊙F与CD边只有一个公共点． 题型06 切线的性质 【典例1】如图，在中，是弦，是切线，过点作于，交于点，若平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，与的边相切干点B，将绕点B顺时针方向旋转得到，使得点落在上，边交线段于点C，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知半径为1的经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为，的切线与直线交于点C．则 度． 【变式3】如图，已知是的直径，切于点C，，则等于 度． 【变式4】如图，已知是的直径，是的切线，交于． (1)求证：； (2)若，，求． 题型07 切线的判定 【典例1】如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（    ） A． B． C．AC是直径 D．且 【变式2】如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 【变式3】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【变式4】如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，，求的长． 题型08 切线长定理 【典例1】如图，为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交于点C，D．F为⊙O上的点，连若，则的周长和的度数分别为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【变式2】如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则 ． 【变式3】已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则 ． 【变式4】如图，分别与相切于两点，是的直径． (1)求证：； (2)连接交于点，若，，求的长． 题型09 动圆相切求t 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（    ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【变式3】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 【变式4】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线向终点C运动，P点在上的运动速度为每秒5个单位，在上的运动速度为每秒3个单位．点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点A运动．P、Q两点同时出发，连结，设点P运动的时间为t（秒）． (1)__________； (2)连结，当是直角三角形时，求t的取值范围； (3)当点P在边上，且将的周长分为相等的两部分时，求的面积； (4)作点A关于直线的对称点，连结，当点在直线的左侧，且直线与的一边平行时，直接写出t的值． 1．已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（  ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 2．如图，是⊙O的直径，，与⊙O相切于点A，交⊙O于点D，连接，若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 3．如图，是圆的直径，是延长线上一点，与相切于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（     ） A．7 B．3 C． D． 6．若的半径为4，点A到圆心O的距离为3，则点A在 ． 7． 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，当 时， 与 相切． 8．如图，是的直径，C，D是上的两点，，过点C作的切线交延长线于点E，则的度数为 ． 9．如图，的直径，为延长线上一点，与相切于点，过点作交于点，连接．若，则四边形的面积为 ． 10．已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 11．如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数． 12．如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 13．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 14．如图，是的直径，C 是圆上的一点， 于点D，交于点 F，连接，若平分，过点 F 作于点 G，交于点 H． (1)求证：是的切线； (2)延长与交于点 E，若，求的值． 15．如图，在矩形中，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，点P、Q同时出发，运动时间为秒，是的外接圆．    (1)当时，的半径是 ，与直线的位置关系是 ； (2)在点P从点A向点B运动过程中，当与直线相切时，求的t值； (3)连接，交于点N，如图，当时，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$