专题9.1 复数及其运算（考点精练）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（湖南专用）

专题9.1 复数及其运算 1．若复数满足，则（    ） A．13 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算求复数，再根据复数的模的公式易得答案. 【详解】由得，则， 所以. 故选：D. 2．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 B．z的虚部为 C．z的共轭复数 D．z的模为 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简求出，即可依次判断每个选项. 【详解】， 的共轭复数为，故C错误，共轭复数对应的点在第一象限，故A错误； 的虚部为，故B错误；z的模为，故D正确. 故选：D. 3．若复数在复平面内所对应的点在实轴上，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】由题意先将复数化简，然后令其虚部等于0即可求解. 【详解】由题意，其对应的点在实轴上， 所以，得. 故选：B. 4．给出复平面内的以下各点：，则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据复数的坐标表示即可求解. 【详解】解：A，C，E三点对应的复数分别为，是虚数， B，D对应的是实数，因此共有3个点． 故选：C 5．向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出向量的坐标，再由向量的加法的坐标运算求解，即可求解对应的复数. 【详解】向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 所以， 所以向量对应的复数为． 故选:B. 6．设，若复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则（    ） A．0 B．–1 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用复数除法运算化简，根据其对应点在实轴上列方程来求得的值. 【详解】∵复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴，即. 故选：B 7．已知复数，和在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数a的值为（    ） A．5 B．－2 C．－5 D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义求出，再由A，B，C三点共线，则，代入化简即可得出答案. 【详解】设复数，，对应的向量分别为，，（O为坐标原点）， 则，，． ∵A，B，C三点共线，∴， 即， ∴， ∴，解得，故实数a的值为5． 故选：A. 8．已知z是复数，且与都是纯虚数，则=（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算，结合纯虚数的定义即可得，，根据模长公式即可求解. 【详解】设，则，， 依题意有，所以，，因此， 故选:C． 9． ． 【答案】 【分析】利用复数运算解答即可. 【详解】, 故答案为：. 10．复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则 ． 【答案】 【分析】应用复数的加减运算求、，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求目标复数的模即可. 【详解】由题设为实数，故， ，故， 所以. 故答案为： 11．已知复数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据共轭复数的概念求出，再根据复数的加法运算求出，再根据复数模的公式求值即可. 【详解】已知复数，则， 所以， 所以. 故答案为：2. 12．已知复数，，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算即可求解. 【详解】． 故答案为：. 13．证明复数的加法满足交换律、结合律. 【答案】证明见解析 【解析】设，根据复数的加法运算证明，即可. 【详解】证明：复数的加法满足交换律. 设，则有，， ∵，，∴. 即复数的加法满足交换律. 复数的加法满足结合律. 设，有，∴， 即复数的加法满是结合律. 【点睛】本题考查复数加法运算的交换律、结合律的证明，属于基础题. 14．已知复数满足. (1)求的最小值与最大值； (2)若z所对应的点在第一象限，且为实数，求证：. 【答案】(1)最小值为1，最大值为3 (2)见解析 【分析】（1）利用复数的几何意义，结合图形关系即可求解， （2）利用模长关系以及为实数，可得，代入化简即可求解. 【详解】（1）复数在复平面内对应的点为，由可知，表示点到的距离为1，故点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆上，所以表示圆上的点到点的距离，由图可知：当点时，此时最大，且最大值为3，当点时，此时最大，且最小值为1， （2）， 由于为实数，所以，解得或， z所对应的点在第一象限，所以，故舍去，取， 又得 ，所以解得 . 15．证明：z为实数的充要条件是． 【答案】证明见解析． 【分析】设，则，然后分别证明必要性和充分性． 【详解】设，则， 必要性：若是实数，则，所以， 充分性：若，即，则，所以，． 所以z为实数的充要条件是． 1．若复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复平面象限坐标的特点求参数范围即可. 【详解】， 复数在复平面内对应的点落在第一象限， 则，解得． 故选：． 2．已知是虚数单位，若，则（    ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用复数的模的公式计算. 【详解】∵，∴． 故选：D． 3．已知i为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数为纯虚数求得a，进一步求出的坐标即可求得答案． 【详解】解;因为为纯虚数， 即且，解得， 则，其对应的点为，在第四象限． 故选：D. 4．已知复数z满足，是z的共轭复数，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念，与复数的四则运算求解即可. 【详解】由可得 ， 则， 所以， 则 . 故选：B. 5．若复数满足为纯虚数，则（    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】A 【分析】将代入条件化简，然后根据其为纯虚数，可求出结果. 【详解】是纯虚数，所以， 所以. 故选：. 6．已知复数为纯虚数（，是虚数单位），且，则（    ） A．且 B．且 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解． 【详解】复数为纯虚数，则，即，故， 由，则或． 故选：D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合共轭复数的概念以及复数的运算和复数相等得到，进而可以求出结果. 【详解】设，则．由得，则，所以，，所以． 故选：B. 8．设虚数和是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实系数的一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数，得，设虚数，且，利用复数相等求得，再利用根与系数的关系，即可求出结果． 【详解】因为方程的两根互为共轭复数， 设虚数，且， 所以． 所以，所以， 所以方程的两根为， 所以， 所以． 故选：D． 9．“”是“复数的实部与虚部之和为7”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由复数的乘法运算，结合充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，复数为， 实部为，虚部为，所以实部与虚部之和为， 所以，得不到复数的实部与虚部之和为7，故充分性不成立， 复数， 实部为，虚部为，若实部与虚部之和为7， 则有，因为，方程无解， 所以复数的实部与虚部之和为7，得不到，故必要性不成立. 故“”是“复数的实部与虚部之和为7” 的既不充分也不必要条件. 故选：D. 10．若复数是实数，则实数 ． 【答案】0 【分析】利用复数是实数时虚部为0即可得出答案． 【详解】复数是实数，则复数的虚部为0，即． 故答案为：0． 11．已知复数z满足为虚数单位，则复数z的模 ． 【答案】 【详解】分析：先求出，在结合模长公式即可. 详解：由题得： 故答案为 点睛：考查复数的除法运算，复数的模长，属于基础题. 12．在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】首先分解为，再在复数范围内分解因式. 【详解】 故答案为： 13．已知，其中，i是虚数单位，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】根据复数除法运算，可得，根据复数相等的条件，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 根据复数相等的条件可得：，解得. 故答案为：2；1 1．（23-24高三下·江苏·职教高考）若复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法运算计算，再分析选项即可. 【详解】因为复数， 所以. 故选：B. 2．（22-23高三·云南·职教高考）复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先化简复数，再判断所对应的点即可. 【详解】， 所以该复数在复平面内对应的点为， 所以在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B. 3．（19-20高三下·江苏·对口/高职单招）若复数z满足，则z的模等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解. 【详解】由，得. 所以. 故选：A. 4．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）已知i是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.1 复数及其运算 1．若复数满足，则（    ） A．13 B． C．5 D． 2．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 B．z的虚部为 C．z的共轭复数 D．z的模为 3．若复数在复平面内所对应的点在实轴上，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 4．给出复平面内的以下各点：，则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 6．设，若复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则（    ） A．0 B．–1 C．1 D． 7．已知复数，和在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数a的值为（    ） A．5 B．－2 C．－5 D． 8．已知z是复数，且与都是纯虚数，则=（    ） A． B．4 C． D．2 9． ． 10．复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则 ． 11．已知复数，则的值为 ． 12．已知复数，，则 ． 13．证明复数的加法满足交换律、结合律. 14．已知复数满足. (1)求的最小值与最大值； (2)若z所对应的点在第一象限，且为实数，求证：. 15．证明：z为实数的充要条件是． 1．若复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知是虚数单位，若，则（    ） A．1 B．0 C．2 D． 3．已知i为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数z满足，是z的共轭复数，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 5．若复数满足为纯虚数，则（    ） A．-3 B． C． D．3 6．已知复数为纯虚数（，是虚数单位），且，则（    ） A．且 B．且 C．或 D．或 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．设虚数和是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 9．“”是“复数的实部与虚部之和为7”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．若复数是实数，则实数 ． 11．已知复数z满足为虚数单位，则复数z的模 ． 12．在复数范围内分解因式： ． 13．已知，其中，i是虚数单位，则 ， ． 1．（23-24高三下·江苏·职教高考）若复数，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三·云南·职教高考）复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（19-20高三下·江苏·对口/高职单招）若复数z满足，则z的模等于（    ） A． B． C．2 D．3 4．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）已知i是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$