湖南省长沙市长郡梅溪湖中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

第 1页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 长郡梅溪湖中学高二年级 2023-2024-2 期中检测试题卷 数 学 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合  0A x x  ，集合    2ln 16B x y x    ，则 A B  （ ） A.  0,4 B.  4,3 C.  0,3 D.  2,3 2．“ 2x  ”是 2 1 x  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要分件 3. 函数 1 lg xy x   的定义域为（ ） A.  0,1 B.  0,1 C.  1, D.    0,1 1, 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征. 下面的图象对应的函数可能是（ ） 第 2页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 A.   1 1 f x x   B.   1 1 f x x   C.   3 1 1 f x x   D.   2 1 1 f x x   5. 设 1 2 1log 3 a  ， 1 21 3 b       ， 1 31 2 c       ，则（ ） A. c b a  B. b a c  C. a b c  D. b<c<a 6．设 ( )f x 是定义域为R的以 3为周期的奇函数，且 (2) 0f  ，则方程 ( ) 0f x  在区间 ( 6,6) 内解的个数的最 小值为（ ） A．15 B．13 C．11 D．9 7. 已知函数 ( ) ln ( 0, 0) 1 m xf x m n n x       是奇函数，则 1 2 m n  的最小值为（ ） A. 3 B. 5 C. 3 2 2 D. 3 4 2 8．定义在R上的函数  f x 与  g x 的导函数分别为  f x 和  g x ，若    3 2g x f x   ，    1f x g x   ， 且    2 2g x g x     ，则下列说法中一定不正确的是（ ） A．  2g x  为偶函数 B．  2f x  为奇函数 C．函数  f x 是周期函数 D． 2024 1 ( ) 0 k g k   二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分。 9. 已知 0, 0a b  ，且 4a b  ，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 2 2 8a b  B. 1 1 1 a b   C. 2 2 8a b  D. 1 3 4a b    10. 下列选项正确的是（ ） A．已知函数  20.5log 2 1y ax x   的定义域是 R，则实数 a的取值范围是 1a  . B. 已知函数  20.5log 2 1y ax x   的值域是 R，则实数 a的取值范围是 1a  ． C. 若函数      log 2 0, 1af x ax a a    在区间  1,3 内单调递增，则 a的取值范围是 20, 3      . D.若 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ( ) ( ) 0f a f b  ，则其在 ( , )a b 内有零点． 第 3页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 11. 已知函数   2 1 , 0 4 ln 1 , 0 x x x f x x x         ，若关于 x的方程    Rf x k k  有四个不同的根，它们从小到 大依次记为 1 2 3 4, , ,x x x x ，则（ ） A. 10 4 k  B. 3 4 3e ex  C. 2 1 2 3 40 4 ex x x x  D. 函数      14g x f f x  有 6个零点 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12. 已知函数      2log , 0 3 , 0x x x f x x     ，则 1 4 f f       的值是______. 13．已知函数   2 2 1 4, 2 2 2 4, 2 x x xf x x             ，则满足    4 42 log 1 logf x f x   的 x的取值范围是______． 14.已知 0 1a  且 1 2 a  ，若函数 2( ) 2log loga af x x x  在 (0, ) 上单调递减，则实数 a的取值范围为 ______． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 已知数列 na 和等差数列 nb 的前 n项和分别为 nS ， nT ，且 2n nS a  ， 1 1b a ， 4 24T T . （1）求数列 na ， nb 的通项公式； （2）若 1n n nc a b  ，求数列 nc 的前 n项和. 第 4页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 16．如图，三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中，侧面 1 1BBC C 底面 ABC，且 AB AC ， 1 1A B AC ． (1)证明： 1AA 平面 ABC； (2)若 1 2AA BC  ， 90BAC  ，求平面 1A BC与平面 1 1A BC 夹角的余弦值． 17.已知函数   2lnf x x ax x   . (1)若 1a   ，求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； (2)讨论  f x 的单调性. 第 5页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 18. 全国“村 BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员， 现有一支“村 BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上 场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 45 未上场 3 合计 42 (1)完成 2 2 列联表，并判断依据小概率值 0.01  的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有 关； (2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、 后卫的概率分别为 0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为 0.7，0.8，0.6. （i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到 0.01） 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d       ， n a b c d    .  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 第 6页/共 6页 学科网（北京）股份有限公司 19．已知椭圆 C： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的左、右焦点分别为 1F、 2F ，离心率为 1 2 ，经过点 1 F且倾斜 角为 （ π0 2   ）的直线 l与椭圆交于 A、B两点（其中点 A在 x轴上方）， 2ABF△ 的周长为 8． (1)求椭圆 C的标准方程； (2)如图，将平面 xOy沿 x轴折叠，使 y轴正半轴和 x轴所确定的半平面（平面 1 2AF F ）与 y轴负半轴和 x轴 所确定的半平面（平面 1 2BF F ）互相垂直． ①若 π 3   ，求三棱锥 1 2A BFF 的体积， ②若 π 3   ，异面直线 1AF 和 2BF 所成角的余弦值； ③是否存在（ π0 2   ），使得 2ABF△ 折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 15 16 ？若存在，求 tan 的值； 若不存在，请说明理由．