专题强化05：垂直平分线 等腰（边）三角形题型归纳【4大题型 培优】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化05：垂直平分线 等腰（边）三角形题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：垂直平分线的性质 · 题型二：等腰三角形的性质和判定 · 题型三：等边三角形的性质和判定 · 题型四：等腰（边）三角形的综合问题 【题型归纳】 题型一：垂直平分线的性质 1．（24-25八年级上·全国）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A． B． C．13 D．43 2．（24-25八年级上·江苏镇江）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为点，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八年级上·江苏扬州）如图，已知：平分，，，，，垂足分别为E、F ． (1)求证； (2)若，，求的长． 题型二：等腰三角形的性质和判定 4．（2024八年级上·北京）如图，在中，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①③ D．①②③ 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知和都是等腰直角三角形，，、交于点，连接、、下列结论：①；②；③平分；④其中结论正确的序号是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，且C，D，E三点在同一条直线上，连接以下四个结论中：①；②；③；④ ．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：等边三角形的性质和判定 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是等边三角形，点D是下方的一点，，点E和点F分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，等腰，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 题型四：等腰（边）三角形的综合问题 10．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案） 11．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是等边三角形．，是边上的高，点E在边上，连接，以为边在其下方作等边，连接． (1)当是等腰三角形时，__________度； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的大小． 12．（24-25八年级上·湖北武汉）已知和都是以点A为直角顶点的直角三角形且，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上且点E在下方时，请画图并直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【专题训练】 一、单选题 13．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·江苏南通）如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连结，，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为　　 （　　） A．36 B．22 C．20 D．21 15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 17．（24-25八年级上·广东江门）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有（   ） （1）平分，（2），（3），（4），（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点为线段上一点，分别以、为边，在同侧作等边和等边，连接，相交于点，则的度数为（      ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边三角形，是上一点，于点E，F为上一点且，连接垂直平分，交于点H，交于点G，连接、．下列结论中正确的有（   ） ①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④． A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 21．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交，于点，，连接，，下列结论：①；②当时，的周长为；③；④，共中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，的垂直平分线与边所在的直线相交所得的锐角为，则的度数为 ． 23．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，、分别垂直平分、，则的大小为 ． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 25．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为 ． 26．（24-25八年级上·江苏苏州）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的有 ． ；；若，则；． 27．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，点D为外一点，连接、、，使得，，，则的度数是 ．    28．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的横坐标为 ． 29．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，为的中点，于点，其延长线交于点，连接．下列结论：①，②，③，④．其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题 30．（24-25八年级上·江苏南京）如图，在中，，D为线段上一点，连接，且，于点E，F是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求证：． 31．（24-25八年级上·山东临沂）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，_____，______． (2)若，试说用． 32．（2024八年级上·北京·专题练习）如图①：中，，延长到E，过点E作交的延长线于点F，延长到G，过点G作交的延长线于H，且． (1)求证：； (2)如图②，连接与相交于点D，若，求的长． 33．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在和中，，，． (1)如图1，当点在上时，若，连接，若，求的度数； (2)如图2，若，连接、、为中点，连接，请你探索线段与线段的数量关系，并证明你的结论． 34．（24-25八年级上·浙江宁波）综合与实践： 已知：等边． 【观察猜想】如图①：为线段上一点，，交于点．可知为______三角形． 【深入探究】：为线段上一点，为线段延长线上一点，且． (1)特殊感知：如图②，已知等边三角形的边长为2，当点为的中点时，求线段的长； (2)特例启发：如图③当为上任意一点，其余条件不变，猜想线段与的数量关系？并说明理由； (3)拓展延伸：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，则的长为______． 35．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分； (3)若，则的度数为______．（用含的代数式表示） 36．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，等边中，D，E分别在边上运动，且始终保持，点D、E始终不与等边的顶点重合，连接交于点． (1)试说明； (2)求度数； (3)点在射线上，当，为直角三角形时，________． 37．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 38．（24-25八年级上·江苏无锡）如图1，在中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作，使得，，连接． (1)证明：； (2)延长交的延长线于点，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，______； (3)当在线段上时，若线段，面积为6，则四边形周长的最小值是______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化05：垂直平分线 等腰（边）三角形题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：垂直平分线的性质 · 题型二：等腰三角形的性质和判定 · 题型三：等边三角形的性质和判定 · 题型四：等腰（边）三角形的综合问题 【题型归纳】 题型一：垂直平分线的性质 1．（24-25八年级上·全国）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A． B． C．13 D．43 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等以及求得是解题的关键． 根据垂直平分线得到、，结合的周长为得到，再根据的周长为即可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ∴、， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·江苏镇江）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为点，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，由的平分线与的垂直平分线相较于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，从而得到，可证的，则可得，即可得到结果． 【详解】解：连接、， 是的平分线，，， ，， ∵， ∴ ， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ， ，， ． 故选：A 3．（24-25八年级上·江苏扬州）如图，已知：平分，，，，，垂足分别为E、F ． (1)求证； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1））连接，，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，， ∵平分， ，， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二：等腰三角形的性质和判定 4．（2024八年级上·北京）如图，在中，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．根据三角形内角和定理对①进行判断；根据角平分线定义和三角形内角和定理得到，则可对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；先根据角平分线的性质得到，然后根据平行线的性质对④进行判断． 【详解】∵， ∴，所以①正确； ∵的平分线相交于F，， ∴ ∴，所以②错误； ∵， ∴，所以③正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，所以④错误． 答案：C． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知和都是等腰直角三角形，，、交于点，连接、、下列结论：①；②；③平分；④其中结论正确的序号是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】证明证明，再利用全等三角形的性质即可判断①；由可得，再由，证得即可判断②；分别过作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，可无法得到平分，可判断③；由平分结合即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故①符合题意； 设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故②符合题意； 分别过作，垂足分别为，如图： ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ， ，与题干条件互相矛盾，故③不符合题意； ∵平分，， ，故④符合题意． 综上，正确的是①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，且C，D，E三点在同一条直线上，连接以下四个结论中：①；②；③；④ ．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． ①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确；④延长交于F， 证明，推出，再证明，即可． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中，， ∴， ∴，故①正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， 则，故③正确； ④如图，延长交于F， ∴.， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 题型三：等边三角形的性质和判定 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是等边三角形，点D是下方的一点，，点E和点F分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，延长至点P，使，连接，根据等边三角形以及等腰三角形的性质可得，通过证明，，可得，利用的周长，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长至点P，使，连接， ∵是等边三角形，的周长为12， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长， 故选：C． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得，即结论④正确；证明，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ， ， ，， 设， ， ， ， ， 解得：， ，， 是的中垂线 ，， 边上的高为， ， 结论④正确； ，， ， ， 又， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③④正确，共3个结论正确， 故选C． 9．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，等腰，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由题意得，垂直平分，，如图，连接，则，，，可求，可判断①的正误；由不一定相等，可判断②的正误；由，可得，由，可求，即是等边三角形，可判断③的正误；如图，作于，则，由，可得，由，可判断④的正误． 【详解】解：∵等腰，， ∴，垂直平分，， 如图，连接， ∴， ∴，， ∴，①正确，故符合要求； ∵不一定相等， ∴②错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴是等边三角形，③正确，故符合要求； 如图，作于， ∴， ∵， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键． 题型四：等腰（边）三角形的综合问题 10．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是等边三角形．，是边上的高，点E在边上，连接，以为边在其下方作等边，连接． (1)当是等腰三角形时，__________度； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的大小． 【答案】(1)75 (2)见解析 (3)1 (4)或或 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． （2）根据等边三角形性质得，，，得． （3）根据等边三角形性质得到，，根据，得，，根据全等三角形性质得，得当时，最小，值为1． （4）根据是等腰三角形，其中，若， 则，得； 若，则，得；若，则，得． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴． ∴． ∴． 故答案为：75 （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． 在和，， ∴． （3）解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴当时，最小． 最小值为． （4）解：当是等腰三角形时， 若， ∵， ∴． ∴． 若， 则． ∴． 若， 则． ∴． 故的大小为或或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，含30度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键． 12．（24-25八年级上·湖北武汉）已知和都是以点A为直角顶点的直角三角形且，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上且点E在下方时，请画图并直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为 (3)存在的数量关系为，位置关系为 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ， ， 又，， ， ， ； （2）解：不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2， ， ， 又，， ， ， ， ； （3）解：存在的数量关系为，位置关系为 如图3， ， ， 又，， ， ，， ． ，， ， ， ， ． 【专题训练】 一、单选题 13．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的的判定与性质,叠的性质．连接，过作于点，于点，由折叠性质可得，，，从而证明是等边三角形，证明，可证，最后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】如图，连接，过作于点，于点， ∵平分， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 14．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连结，，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为　　 （　　） A．36 B．22 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：四边形与四边形的面积分别为8和13， ， 是的中线， ， ， 是边的中垂线， 是的中点， ， ， ， 故选：B 15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由垂直平分线的性质得到，，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识．利用等边三角形的性质得到，，，即可证明，即可判断①；证明，则，即可判断②；过点B作于M，于根据全等三角形的性质和三角形面积得到，即可判断③；根据，，即可证明④． 【详解】解：，都是等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ，故①正确， ， 在和中， ， ∴， ∴， 故②错误； 过点B作于M，于 ， ∴， ∵，， ∴， ， 平分，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：A 17．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有（   ） （1）平分，（2），（3），（4），（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定与性质即可判断（1）、（3）和（4）正确；根据平行线的判定即可判断（5）正确；假设，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，据此即可判断（2）错误． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，（等腰三角形的三线合一），则说法（1）和（4）正确； 又∵，，， ∴，则说法（3）正确； 假设， ∴， ∴， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即说法（2）错误； ∵， ∴， ∴，则说法（5）正确； 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 18．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，则，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的性质、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握线段垂直平分线的性质． 19．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点为线段上一点，分别以、为边，在同侧作等边和等边，连接，相交于点，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平角定义得到，再结合等边三角形性质确定，进而求出，再由三角形全等的判定确定，从而得到，在8字形的和中，由三角形内角和定理得到，最后由邻补角定义求解即可得到答案． 【详解】解：点为线段上一点， ， 和是等边三角形， ， ，则， 在和中， ， ， 在和中，如图所示： ， ， 由三角形内角和定理可得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查求角度，涉及平角定义、等边三角形性质、三角形全等的判定与性质、对顶角定义、三角形内角和定理、邻补角等知识，识别“手拉手模型”证全等是解决问题的关键． 20．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边三角形，是上一点，于点E，F为上一点且，连接垂直平分，交于点H，交于点G，连接、．下列结论中正确的有（   ） ①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④． A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵垂直平分，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误． 综上可知正确的结论为①②③． 故选B． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键． 21．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交，于点，，连接，，下列结论：①；②当时，的周长为；③；④，共中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质．根据轴对称的性质可得，，，由此可得，再根据等腰三角形的性质可得，当时，则，根据等边三角形的判定与性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，，由此可得的周长，根据三角形三边关系可得，最后根据四边形的内角和可得，进而可得，再根据等边对等角可得，，由此可得． 【详解】解：∵点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点， ∴分别垂直平分，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴，故①正确； 当时，则， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵分别垂直平分，，点M、N分别在上， ∴，， ∴的周长，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③错误； 如图，∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴，， ∴ ，故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 二、填空题 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，的垂直平分线与边所在的直线相交所得的锐角为，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了线段垂直平分线和三等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论，分当的垂直平分线与边相交和当的垂直平分线与的延长线相交两种情况求解即可． 【详解】解：当的垂直平分线与边相交时，如图①，边的垂直平分线与边交于点D，，则， ∵， ∴． 当的垂直平分线与的延长线相交时，如图②，边的垂直平分线与的延长线交于点D，，则， ∴． ∵， ∴． 综上所述：为或． 故答案为：或． 23．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，、分别垂直平分、，则的大小为 ． 【答案】 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理、垂直平分线的性质、三角形外角的性质等知识．根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线和三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理即可求出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别垂直平分、， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 24．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出△为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，， ， 的最小值为的长． ，，，， ，， ， △为等边三角形， ， 即 的值最小为3； 故答案为：3 25．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，由折叠可知，，，易证，所以，所以的周长为由此可得出结论． 【详解】解：∵等边的周长为6， ∴，， ∵沿着翻折得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴的周长为： ， ∴的周长为2． 故答案为：2． 26．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的有 ． ；；若，则；． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，角平分线的定义，三角形的中线，等角对等边，根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；当是的中线时， ，进而可以进行判断；延长至，使，连接，根据，证明得，然后根据等角对等边进而可以进行判断；如图，作的平分线交于点G，易得，，通过证明，，得出，，即可解答；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】①在中， ， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，故正确； 当是的中线时，，而平分， 故错误； 如图，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 如图，作的平分线交于点G，由得， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故正确； 综上：正确， 故答案为：． 27．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，点D为外一点，连接、、，使得，，，则的度数是 ．    【答案】/19度 【分析】如图，延长使得，连接，证明，得出，证明是等边三角形，得出，根据三角形外角的性质得出，再算出，根据三角形内角和定理得出，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长使得，连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 28．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质等等．过点作轴于点，根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后利用等腰三角形的性质可得的长，即可得点的横坐标，同样的方法分别求出点的横坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，即点的横坐标为， 同理可得：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 归纳类推得：点的横坐标为（为正整数）， 则点的横坐标为， 故答案为：． 29．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，为的中点，于点，其延长线交于点，连接．下列结论：①，②，③，④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，正确作出辅助线，并证明、是解题的关键．过点作，交的延长线于点，过点作于，证明，由全等三角形的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质得出，，，即可判断结论①②；根据全等三角形的性质可得，由三角形面积公式可推导，结合在中，，即可判断结论③；推导，，即可判断结论④． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作于，如下图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的中点，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 故结论①②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，故结论③错误； ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题 30．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D为线段上一点，连接，且，于点E，F是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，，再结合三角形内角和定理得出，，即可得证； （2）作交的延长线于，证明，得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：如图，作交的延长线于， 则， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，_____，______． (2)若，试说用． 【答案】(1)，； (2)证明见解析． 【分析】（）根据角的和差关系可求出，由等腰三角形的性质可得，再利用三角形外角性质即可求出； （）由三角形外角性质可得，由等腰三角形的性质可得，进而由即可证明； 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴． 32．（2024八年级上·北京·专题练习）如图①：中，，延长到E，过点E作交的延长线于点F，延长到G，过点G作交的延长线于H，且． (1)求证：； (2)如图②，连接与相交于点D，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用即可证明； （2）证明，结合等腰三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 33．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在和中，，，． (1)如图1，当点在上时，若，连接，若，求的度数； (2)如图2，若，连接、、为中点，连接，请你探索线段与线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）由，得到，求出，即可求解． （2）延长到，使，连接，得到，由，得到，因此，得到，由补角的性质推出，由证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明： 如图，延长到，使，连接， 34．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）综合与实践： 已知：等边． 【观察猜想】如图①：为线段上一点，，交于点．可知为______三角形． 【深入探究】：为线段上一点，为线段延长线上一点，且． (1)特殊感知：如图②，已知等边三角形的边长为2，当点为的中点时，求线段的长； (2)特例启发：如图③当为上任意一点，其余条件不变，猜想线段与的数量关系？并说明理由； (3)拓展延伸：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，则的长为______． 【答案】(1)[观察猜想]等边； (2)，理由见详解 (3)或 【分析】[观察猜想]根据等边三角形的判定和性质，平行线的性质，即可求解； （1）根据题意可得，，如图所示，过点作于点，运用含角的直角三角形的性质即可求解； （2）点为上任意一点，如图所示，过点作，可得是等边三角形，再证即可求解； （3）分类讨论，①如图所示，点在延长线上，可得是等边三角形，即，再证，可得；②如图所示，点在延长线上，过点作于点，在中，根据含角的直角三角形的性质可得，由可求出的值；由此即可求解． 【详解】（1）解：[观察猜想]∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 当等边的边长为2，当点为的中点时，，，平分， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； （2）解：点为上任意一点，如图所示，过点作， ∴由“观察猜想”可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； （3）解：∵的边长为，即，， 由（2）的证明可得， ∴点在线段上，点在射线上，次情况不存在 ∴点在线段的延长线上， ①如图所示，点在延长线上， ∵， ∴点在的延长线上， 过点作，交于点， ∴， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴， ∵， ∴，且，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，点在延长线上，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，平行性的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握全等三角形的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 35．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分； (3)若，则的度数为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等角对等边得出，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解； （2）过点作的垂线，垂足分别为点，根据角平分线的性质与判定即可得证； （3）先由三角形内角和定理得到，则，再推出，，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：分别为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作的垂线，垂足分别为点，   ， ， 又， ， ， ， 同理， 平分． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键． 36．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，等边中，D，E分别在边上运动，且始终保持，点D、E始终不与等边的顶点重合，连接交于点． (1)试说明； (2)求度数； (3)点在射线上，当，为直角三角形时，________． 【答案】(1)见详解 (2) (3)8或2 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，由即可证得； （2）由得出，由三角形外角的性质即可解答； （3）根据（2）可得，分为当时，和当时，根据30度直角三角形的性质即可求解； 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ． （3）解：根据（2）可得， ∴分为当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 综上，当为直角三角形时，或2． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 37．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1），由点的运动速度与点的运动速度相等，可得，再根据点为的中点，厘米，厘米，得出，，即可证明． （2）当点的运动速度与点的运动速度不相等时，，只能，时两个三角形全等，再根据点的速度为厘米/秒，得出点和点运动运动的时间为，即点的速度为． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，经过秒后， ∴， ∵点的运动速度与点的运动速度相等， ∴， ∵厘米，厘米，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴在和中，， ∴． （2）解：∵点的运动速度与点的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴使与全等，则，， ∵点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动， ∴点运动的时间为， ∴点运动的时间为， ∴点的速度为， ∴当点的速度为时，． 38．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作，使得，，连接． (1)证明：； (2)延长交的延长线于点，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，______； (3)当在线段上时，若线段，面积为6，则四边形周长的最小值是______． 【答案】(1)见解析 (2)① ② 或 (3) 【分析】（1）由， 可得， 即可证明； （2）①设， 可得， 即得，， 根据， 有 故； ②， 分两种情况： 当时，，当时，； （2）可证， 得， 即得， 知四边形周长最小时， 最小， 而， 可得当最小时， 四边形周长最小时， 此时， 根据， 面积为， 得， 从而可知四边形最小周长为． 【详解】（1）证明：， 。 即， 在和中， ， ∴； （2）①如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ， 解得， ； ②由①知，，， 当时，如图： ， ， 当 时，如图： ， ∴当是等腰三角形时，的度数为或； （3）如图： 同（1）可证， ， ， ∴四边形周长最小时，最小， 。 ∴当最小时，四边形周长最小时，此时， 面积为， ， ∴四边形最小周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理， 证明. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$