2.5.1 圆的标准方程（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 2.5.1 圆的标准方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.掌握圆的标准方程，理解圆的标准方程及其推导过程（重点） 2.能够根据圆的标准方程正确地写出其圆心和半径（重点） 3.掌握圆的标准方程的特点，能根据已知条件求出圆的标准方程（难点） 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘. 又疑瑶台镜，飞在青云端. 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的直角坐标方程如何表示？ 《墨子·经上》云:“圆，一中同长也.”这句朴素的定义用数学语言来描述就是:圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合，这个定点即圆心，而定长就是半径，只要给定了圆心和半径，这个圆就确定了. 情景导入 用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． 代数 几何 几何 在初中，我们用几何方法研究了圆的几何性质. 现在，我们在平面直角坐标系中建立圆的方程，用代数方法进一步研究圆的性质． 情景导入 5 这就得到了圆心为C(a，b)，半径为r的圆的方程： 在平面直角坐标系中，圆心为C(a，b)，半径为 r 的圆的方程，也就是求圆上任意一点P的坐标（x，y）满足的条件． 它叫作圆的标准方程． 特别地，圆心在原点(0，0)， 半径为 r 的圆的方程为： x2＋y2= r2． 新知探究 6 例1 求以C(3，5)为圆心且经过原点O的圆的方程． 课本例题 7 例2 已知某圆经过A(－2，2)，B(6，0)两点，圆心M在直线2x－y=1上， 求该圆的方程． 待定系数法是求曲线方程常用的一种方法． 课本例题 8 例2 已知某圆经过A(－2，2)，B(6，0)两点，圆心M在直线2x－y=1上， 求该圆的方程． 课本例题 9 　已知某圆圆心C在x轴上，半径为10，且在y轴上截得的线段AB的长为16，则圆的标准方程为________． 易错警示　求圆的标准方程 错因分析 (x+6)2＋y2＝100 错解分析：错误的根本原因是借助图形辅助求解时漏掉一解，以及对圆的标准方程的结构形式特点掌握不准确导致错误． 错因分析 错因分析 防范措施： 1．突出图形的作用 图形可以帮助我们直观地分析题意，能有效地避免漏解，提高解题的准确性．如本题通过图形能准确地判定出圆心在y轴左右两侧这两种情形，忽略此点易造成漏解． 2．准确认识圆的标准方程的结构特点 圆的标准方程的结构特点是：等号左边是平方和的形式，右边是半径的平方而非半径． 如本题中若不注意此点则易出现类似(x±6)2＋y2＝10的失误. 错因分析 题型1　用直接法求圆的标准方程 典例剖析 用直接法求圆的标准方程的策略 (1)首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程． (2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等． 提醒：当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系． 归纳总结 经过点A(－1,3)，B(4,2)且圆心在x轴上的圆的方程是________________． 典例剖析 题型2　用待定系数法求圆的标准方程 (x－1)2＋y2＝13 1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 设方程 列方程组 解方程组 得方程 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 由已知条件，建立关于a，b，r 解方程组，求出a，b，r 将a，b，r代入所设方程，得所求原方程 　如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)． (1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上、在圆内、还是在圆外． 题型3　点与圆的位置关系 典例剖析 归纳总结 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2； 点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. 分层练习-基础 1．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝25 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝100 D．(x－1)2＋(y－2)2＝100 A D 22 分层练习-基础 3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 A A 23 分层练习-基础 5．一圆与圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝3为同心圆且面积为圆C面积的两倍，此圆的标准方程为 ． 8．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝________. (x＋2)2＋(y＋1)2＝6 (x＋1)2＋y2＝2 或(x＋3)2＋y2＝2 (x－2)2＋y2＝9 24 分层练习-巩固 9．已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？ 25 分层练习-巩固 11．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6,9)在圆上，求a的值； (2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围． 分层练习-巩固 27 12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的方程． 分层练习-拓展 12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的方程． 分层练习-巩固 圆的标准方程: 圆心为C(a，b)，半径为r的圆的方程： 点与圆的位置关系的判断： 课堂小结 30 圆上的点到定点的最值： 31 错解：由题意可知|AC|＝r＝10，|AB|＝16， 所以|AO|＝8.如图， 在Rt△AOC中，|OC|＝eq \r(|AC|2－|AO|2)＝eq \r(102－82)＝6. 所以圆心坐标为(6,0)，故所求圆的标准方程为 (x－6)2＋y2＝102，即(x－6)2＋y2＝100. 正解：由题意可知|AC|＝r＝10，|AB|＝16， 所以|AO|＝8.如图，有两种情况： 在Rt△AOC中，|OC|＝eq \r(|AC|2－|AO|2)＝eq \r(102－82)＝6. 所以当圆心坐标为(6,0)，所求圆的标准方程为 (x－6)2＋y2＝100，当圆心坐标为(－6,0)， 圆的标准方程为(x＋6)2＋y2＝100. 写出下列各圆的标准方程． (1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)； (2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为eq \f(1,4). 解：(1)设圆的半径为r(r>0)， 则r2＝(5－4)2＋(2＋1)2＝10， 故圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)圆心是两条直线的交点， 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,2x－y＋3＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝\f(5,3)，)) 所以圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(5,3))). 又因为半径长为eq \f(1,4)， 所以圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,3)))2＝eq \f(1,16). 【解析】由于圆心在x轴上，故可设圆心坐标为(a,0)， 设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 因为圆经过A，B两点，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1－a2＋32＝r2，,4－a2＋22＝r2，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,r2＝13.)) 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13. 解：(1)设圆心C(a，b)，半径长为r， 则由C为P1P2的中点， 得a＝eq \f(4＋6,2)＝5，b＝eq \f(9＋3,2)＝6. 又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝eq \r(4－52＋9－62)＝eq \r(10)， 故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离 |CM|＝eq \r(6－52＋9－62)＝eq \r(10)， |CN|＝eq \r(3－52＋3－62)＝eq \r(13)＞eq \r(10)， |CQ|＝eq \r(5－52＋3－62)＝3＜eq \r(10). 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 2．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　) A．－1<a<1 B．0<a<1 C．－1<a< D．－<a<1 4．圆心在x＋y＝0上，且与x轴交于点A(－3,0)和B(1,0)的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝ C．(x－1)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝ 6．圆心在x轴上，半径长为，且过点(－2,1)的圆的方程为____________． 7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为 ． 4 解：设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则解得 所以经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5. 把点D的坐标(－1,2)代入上面方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5. 所以点D在经过A，B，C三点的圆上． 所以A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5. 10.赵州桥位于我国河北省， 是我国现存最早、 保存最好的巨大石拱桥．如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径． 解：作出示意图如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为圆拱高． 以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 根据已知条件有Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，C(0，b)． 可以看出，圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为(0，t)，半径为r，因为B，C都在圆上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋t2＝r2，,b－t2＝r2，))解得r＝eq \f(4b2＋a2,8b). 解：(1)因为点M在圆上， 所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2. 又由a>0，可得a＝. (2)由两点间距离公式可得 |PN|＝＝， |QN|＝＝3， 因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点， 即P，Q两点一个在圆内，另一个在圆外． 由于3<，所以3<a<， 故a的取值范围是(3，)． 解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0， 且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3. 又因为点T(－1,1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0. (2)由得点A的坐标为(0，－2)． 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)， 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又|AM|＝＝2， 从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. $$