2025年中考数学反比例函数专题培优讲义

反比例函数（培优版） 一、反比例函数的定义、图象、性质和解析式 示意图（草图） 所在的象限 性质（增减性） 解析式 一、三 在每个象限内，y随x的增大而减小 反比例函数过，则． 二、四 在每个象限内，y随x的增大而增大 二、反比例函数面积模型 三、反比例函数和一次函数综合 AB//ED//CF 模块一 反比例和一次函数综合 例1.如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像都经过点． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图像直接比较：当时，和的大小． 例2.一次函数的图象与反比例函数的图象交点个数为___________． 例3.若关于t的不等式组恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为____________． 例4.已知直线与双曲线的交点坐标为，则的值为__________． 例5.在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数满足：当时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则满足条件的实数k有__________个． 例6.如图，已知双曲线，直线 过定点F且与双曲线交于A，B两点，设，．若，则k的值为___________． 例7.如图4-1，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，，反比例函数在第一象限经过点A与BC的中点，且以A，O，F为顶点的三角形面积等于，则F点的坐标是________________．例6图 例8.如图4-2，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作轴于M，过点F作轴于N，直线EM与FN交于点C．若（m为大于1的常数）．记的面积为，的面积为，则_________．（用含m的代数式表示） 例9.如图4-3，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线于点D、C两点．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，则的值为__________． 图4-1 图4-2 图4-3 模块二 反比例函数和相似综合 例1.如图5-1，已知双曲线（为常数）与直线（为常数）相交于A，B两点，双曲线在第一象限内部分有一点M（点M在A的左侧）在双曲线上，设直线MA，MB分别与x轴分别交于P，Q两点．若，，则的值是________． 例2.如图5-2，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使，延长BA至点E，使，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当时，图中阴影部分的面积等于_________． 图5-1 图5-2 例3.如图6-1，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别是、，反比例函数的图象经过顶点C，AD边交y轴于点E，若四边形BCDE的面积等于面积的5倍，则k的值等于_______． 例4.如图6-2，已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是_________． 图6-1 图6-2 例5.如图，直线与x轴、y轴分别相交于B、A两点，E、F是线段AB上的两个动点（点E比F更靠近点A），且满足， （1）求证：； （2）作于M，于N，ME、NF的延长线交于点P，求过点P的双曲线的解析式； （3）求线段EF长的最小值． 课后巩固 演练一： 1.如图，一次函数（k为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，B两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若将直线AB向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求m的值． 演练二： （1）如图2-1，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为，则k的值为_______． （3）如图2-2，直线与双曲线交于点A，与x轴交于点B，则__________． 图2-1 图2-2 演练三： （1）已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4，过原点O的另一条直线l交双曲线于P、Q两点（P点在第一象限），由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，则点P的坐标为________． （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若的面积是20，则点C的坐标为___________． 演练四： （1）如图4-1，反比例函数的图象上有点P，过P点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，使四边形OAPB为正方形，又在反比例函数图象上有点，过点分别作BP和y轴的垂线，垂足分别为、，使四边形为正方形，则点的坐标是__________． （2）如图4-2，是反比例函数在第一象限图像上的一点，点的坐标为．若，，…，均为等边三角形，则的坐标是___________． 图4-1 图4-2 演练五： （1）如图5-1，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使，延长BA至点E，使，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当时，图中的阴影部分的面积等于__________． （2）如图5-2，已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是__________． （3）如图5-3，直线（，且b为常数）与双曲线 相交于A、B点，与坐标轴交于C、D点，连接OA、OB，过点B、点A分别作x轴、y轴的垂线，交坐标轴于E、F点，两垂线的交点为G，双曲线经过点G，其中点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②图中全等的三角形共有3对；③若，则；④四边形GAOB的面积为：；⑤若，则．其中正确的结论是____________________（只填序号）． 图5-1 图5-2 图5-3 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 反比例函数（培优版） 一、反比例函数的定义、图象、性质和解析式 示意图（草图） 所在的象限 性质（增减性） 解析式 一、三 在每个象限内，y随x的增大而减小 反比例函数过，则． 二、四 在每个象限内，y随x的增大而增大 二、反比例函数面积模型 三、反比例函数和一次函数综合 AB//ED//CF 模块一 反比例和一次函数综合 例1.如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像都经过点． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图像直接比较：当时，和的大小． 【解析】： （1），； （2）当时，； 当时，； 当时，． 【教师备课提示】这道题主要练习函数比大小问题． 例2.一次函数的图象与反比例函数的图象交点个数为1或2． 例3.若关于t的不等式组恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为0或1． 例4.已知直线与双曲线的交点坐标为，则的值为3． 例5.在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数满足：当时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则满足条件的实数k有0个． 例6.如图，已知双曲线，直线 过定点F且与双曲线交于A，B两点，设，．若，则k的值为或． 例7.如图4-1，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，，反比例函数在第一象限经过点A与BC的中点，且以A，O，F为顶点的三角形面积等于，则F点的坐标是．例6图 例8.如图4-2，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作轴于M，过点F作轴于N，直线EM与FN交于点C．若（m为大于1的常数）．记的面积为，的面积为，则；．（用含m的代数式表示） 例9.如图4-3，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线于点D、C两点．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，则的值为． 图4-1 图4-2 图4-3 模块二 反比例函数和相似综合 例1.如图5-1，已知双曲线（为常数）与直线（为常数）相交于A，B两点，双曲线在第一象限内部分有一点M（点M在A的左侧）在双曲线上，设直线MA，MB分别与x轴分别交于P，Q两点．若，，则的值是2． 例2.如图5-2，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使，延长BA至点E，使，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当时，图中阴影部分的面积等于． 图5-1 图5-2 例3.如图6-1，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别是、，反比例函数的图象经过顶点C，AD边交y轴于点E，若四边形BCDE的面积等于面积的5倍，则k的值等于． 例4.如图6-2，已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是． 图6-1 图6-2 例5.如图，直线与x轴、y轴分别相交于B、A两点，E、F是线段AB上的两个动点（点E比F更靠近点A），且满足， （1）求证：； （2）作于M，于N，ME、NF的延长线交于点P，求过点P的双曲线的解析式； （3）求线段EF长的最小值． 【解析】： （1）证明：，， ， ， ， 又， ，； （2），， 四边形为矩形 设，即表示矩形ONPM的面积， 由得到， 过E作OB的垂线交OB于G，过F作OA的垂线交OA于H， ，， ，即，， （3）设，则，， ，， 当时，EF最小； 即时，时，EF最小为． 【教师备课提示】这道题主要练习反比例函数+斜A相似综合，这道题为各大学校考题． 课后巩固 演练一： 1.如图，一次函数（k为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，B两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若将直线AB向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求m的值． 【解析】： （1）解得：，， ∴一次函数为：， （2）向下平移m个单位长度后，直线为： ， ， 化为：， ， 解得：或9． 演练二： （1）如图2-1，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为，则k的值为2或． （3）如图2-2，直线与双曲线交于点A，与x轴交于点B，则2． 图2-1 图2-2 演练三： （1）已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4，过原点O的另一条直线l交双曲线于P、Q两点（P点在第一象限），由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，则点P的坐标为或． （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若的面积是20，则点C的坐标为． 演练四： （1）如图4-1，反比例函数的图象上有点P，过P点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，使四边形OAPB为正方形，又在反比例函数图象上有点，过点分别作BP和y轴的垂线，垂足分别为、，使四边形为正方形，则点的坐标是． （2）如图4-2，是反比例函数在第一象限图像上的一点，点的坐标为．若，，…，均为等边三角形，则的坐标是． 图4-1 图4-2 演练五： （1）如图5-1，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使，延长BA至点E，使，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当时，图中的阴影部分的面积等于． （2）如图5-2，已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是． （3）如图5-3，直线（，且b为常数）与双曲线 相交于A、B点，与坐标轴交于C、D点，连接OA、OB，过点B、点A分别作x轴、y轴的垂线，交坐标轴于E、F点，两垂线的交点为G，双曲线经过点G，其中点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②图中全等的三角形共有3对；③若，则；④四边形GAOB的面积为：；⑤若，则．其中正确的结论是①③④⑤（只填序号）． 图5-1 图5-2 图5-3 2 学科网（北京）股份有限公司 $$