第四章 代数式-2024-2025学年七年级上学期《2024浙教新版数学七年级上册常考题型精讲•精练•精测》

2024浙教新版《七年级数学上册精讲•讲练•精测》 2024浙教新版 七年级上册常考题型精讲•讲练•精测 第四章 代数式 学习目标 1.理解代数式的意义，能解释简单代数式的实际意义和几何背景； 2.理解代数式的值的概念，会求代数式的值； 3.理解整式、单项式、多项式的相关概念及其联系，能正确识别单项式、多项式，并能正确说出单项式的系数、次数和项； 4.理解同类项的概念； 5.掌握合并同类项的法则，能正确合并同类项进行整式的化简； 6.掌握去括号法则，能正确去括号； 7.能熟练地进行整式的加减运算及求值，并能解决简单的实际问题。 思维导图 知识精讲 知识点1：字母表示数 字母表示数的特点： 1.任意性：字母可以表示任意的数或式子； 2.限制性：字母的取值受现实问题条件的限制；比如：分母不能为0等； 3.确定性：字母虽然可以代表任意的数，但字母的取值一旦确定，式子的值也就随之确定； 4.一般性：字母表示数能更准确地反映数学规律。 名师点拨 （1）字母虽然可以表示任意的数，但字母所能代表的数受实际问题的限制: 例如，长方形的面积=(表示长，表示宽)，这里的、只能取大于0的数，而不能取负数或0； （2）长方形的面积=(表示长，表示宽) 这里的、虽然可以取任意的正数，但当它们一旦确定了，那这个长方形的面积也就确定了，而不能再随便取了． 知识点2代数式的概念 代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 名师点拨 单独一个数或一个字母也是代数式； 知识点3：代数式的书写要求 · 数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号×通常用“·”代替或者省略不写； · 除法运算中，用分数线代替除号“÷”； · 数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； · 数与字母相乘时，数在字母前面； · 带分数一般写成假分数； · 代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 知识点4：代数式的值概念及求法 1. 代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 名师点拨 · 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； · 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 2. 代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 知识点5 单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 名师点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． （3）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （4）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （5）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成； （6）单独的一个数或单独的一个字母也是单项式； （7）例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 知识点6： 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 名师点拨 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 名师点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点7：整式 单项式与多项式统称为整式． 名师点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点8：同类项 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2． 名师点拨 （1）正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： · “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； · “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． （2）所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 3． 名师点拨 合并同类项法则简记：系数相加，其它不变． 知识点9：去括号法则 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 名师点拨 · 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； · 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 知识点10：整式的加法与减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 名师点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 常考题型精讲精练 题型1 单项式的系数与次数、多项式的项、次数 例题1．下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．是四次二项式 C．的系数为 D．的次数是6 变式训练 1．下列说法正确的是（    ） A．系数是 B．是三次单项式 C．的次数是6次 D．是二次三项式 2．下列说法正确的是（   ） A．的次数是5 B．的系数是 C．的一次项系数是3 D．的最高次数是3 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．的次数是4 B．是整式 C．的项是、、1 D．是三次二项式 4．下列说法正确的是（    ） A．单项式的次数是9 B．不是单项式 C．是三次三项式 D．单项式的系数是 题型2 同类项的识别 例题2．下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式训练 1．下列各组式子中为同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各组代数式中，是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列各组代数式中，同类项是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 4．在下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和100 C．和 D．和 题型3 整式的化简 例题3．化简下列各式： (1)； (2)． 变式训练 1．化简： (1)； (2)． 2．化简： (1)； (2)． 3．化简 (1) (2) 4．化简： (1)； (2)． 题型4 整式的化简求值 例题4．先化简，再求值：，其中． 变式训练 1． 先化简，再求值：已知，且，求的值．其中，． 2． 先化简，再求值：，其中． 3． 先化简，再求值，其中． 4． 先化简，再求值，其中 题型5 整式加减的实际应用 例题5．如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用整式表示花圃的面积； (2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 变式训练 1．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（）． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 例如：若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民2月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含a的整式表示，并化简） (3)若该户居民4月份用水，4、5两个月共用水，且5月份用水超过4月份，请用含x的整式表示4、5两个月共交的水费多少元？ 3．如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长米，宽米的小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留π） (2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） (3)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．取3.14，结果精确到 4．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)由图可知，每个小长方形较长的一边长是 （用含的式子表示），阴影部分的较短的边长是 （用含、的式子表示） (2)当时，求图中两块阴影，的周长和． 培优精测 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．是四次二项式 C．的系数为 D．的次数是6 2．下列各式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一个多项式与的和是，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 6．化简得到（   ） A． B． C． D． 7．一个长方形的周长为，若一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 8．把如图①的两张大小相同的长方形卡片放置在图②与图③中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，那么＝（    ） A． B． C． D． 9．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 10．为了进一步推进“双减”政策，提升学校课后服务水平，连云港市某校开展了社团活动，每位学生可以选择一个社团参加．已知参加体育类社团的有人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，则参加三类社团的总人数为（    ）人 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题） 11．已知是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ． 12．如果和是同类项，那么的值为 ． 13．合并同类项： ． 14．如果单项式与的和仍然是一个单项式，则 ． 15．将下列各式去括号： （1） ； （2） ； （3） ． 16．用“”定义新运算：对于任意有理数、，都有．例如：．则下列结论：①；②；③对于任意有理数、，恒成立；④的值恒小于的值．正确的是 （填序号）． 17．若a、b满足等式，，则 ． 18．将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则 ．（用含有x的代数式表示） M x N 19．如图将正方形和正方形按如图所示放入长方形中，，，若两个正方形的重叠部分长方形甲的周长为10，则乙和丙的周长之和为 ． 第19题 第20题 20．如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，如图所示，“优美长方形”的周长为39，则正方形d的边长为 ． 三、解答题（本大题共5小题） 21．化简： (1) (2) 22．化简： (1) (2) 23．化简求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 24．为提高学生实践能力，促进学生综合发展，让学生近距离感受自然，北京市某中学利用理科综合实践活动课组织学生前往陶然亭公园进行实地考察．七年级1班共有43人，分成4个小组．第一组有a人，第二组比第一组的一半多4人，第三组的人数等于前两组人数的和． (1)求第四组的人数（用含a的式子表示）． (2)找一个你喜欢并适合的数作为a的值，求出此时第四组的人数． 25．某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价200元，T恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克50件，T恤x件． (1)若该客户按方案①购买，共需付款______元（用含x的式子表示，需化简）；若该客户按方案②购买，共需付款______元（用含x的式子表示，需化简）； (2)若，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024浙教新版《七年级数学上册精讲•讲练•精测》 2024浙教新版 七年级上册常考题型精讲•讲练•精测 第四章 代数式 学习目标 1.理解代数式的意义，能解释简单代数式的实际意义和几何背景； 2.理解代数式的值的概念，会求代数式的值； 3.理解整式、单项式、多项式的相关概念及其联系，能正确识别单项式、多项式，并能正确说出单项式的系数、次数和项； 4.理解同类项的概念； 5.掌握合并同类项的法则，能正确合并同类项进行整式的化简； 6.掌握去括号法则，能正确去括号； 7.能熟练地进行整式的加减运算及求值，并能解决简单的实际问题。 思维导图 知识精讲 知识点1：字母表示数 字母表示数的特点： 1.任意性：字母可以表示任意的数或式子； 2.限制性：字母的取值受现实问题条件的限制；比如：分母不能为0等； 3.确定性：字母虽然可以代表任意的数，但字母的取值一旦确定，式子的值也就随之确定； 4.一般性：字母表示数能更准确地反映数学规律。 名师点拨 （1）字母虽然可以表示任意的数，但字母所能代表的数受实际问题的限制: 例如，长方形的面积=(表示长，表示宽)，这里的、只能取大于0的数，而不能取负数或0； （2）长方形的面积=(表示长，表示宽) 这里的、虽然可以取任意的正数，但当它们一旦确定了，那这个长方形的面积也就确定了，而不能再随便取了． 知识点2代数式的概念 代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 名师点拨 单独一个数或一个字母也是代数式； 知识点3：代数式的书写要求 · 数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号×通常用“·”代替或者省略不写； · 除法运算中，用分数线代替除号“÷”； · 数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； · 数与字母相乘时，数在字母前面； · 带分数一般写成假分数； · 代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 知识点4：代数式的值概念及求法 1. 代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 名师点拨 · 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； · 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 2. 代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 知识点5 单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 名师点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． （3）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （4）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （5）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成； （6）单独的一个数或单独的一个字母也是单项式； （7）例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 知识点6： 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 名师点拨 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 名师点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点7：整式 单项式与多项式统称为整式． 名师点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点8：同类项 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2． 名师点拨 （1）正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： · “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； · “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． （2）所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 3． 名师点拨 合并同类项法则简记：系数相加，其它不变． 知识点9：去括号法则 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 名师点拨 · 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； · 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 知识点10：整式的加法与减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 名师点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 常考题型精讲精练 题型1 单项式的系数与次数、多项式的项、次数 例题1．下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．是四次二项式 C．的系数为 D．的次数是6 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式和多项式的相关定义，根据单项式的定义及其系数，项解答，判断A，C，D，再根据多项式的项和次数解答，判断B即可． 【详解】因为不是单项式，是多项式，所以A不正确； 因为是四次二项式，所以B正确； 因为的系数是，所以C不正确； 因为的次数是，所以D不正确． 故选：B． 变式训练 1．下列说法正确的是（    ） A．系数是 B．是三次单项式 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数与次数，多项式的次数与项数，正确理解单项式的系数与次数及多项式的次数与项数是解题的关键．根据单项式的系数与次数及多项式的次数与项数的概念，即可判断答案． 【详解】A、系数是，原说法错误，不符合题意； B、是三次二项式，原说法错误，不符合题意； C、的次数是3次，原说法错误，不符合题意； D、是二次三项式，原说法正确，符合题意． 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的次数是5 B．的系数是 C．的一次项系数是3 D．的最高次数是3 【答案】B 【分析】本题考查单项式、多项式，根据单项式和多项式的有关概念逐项判断即可，注意是数字． 【详解】解：A、的次数是3，此选项说法错误，不符合题意； B、的系数是，此选项说法正确，符合题意； C、的一次项系数是，此选项说法错误，不符合题意； D、的最高次数是4，此选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．的次数是4 B．是整式 C．的项是、、1 D．是三次二项式 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式、多项式、整式，熟练掌握单项式以及次数、多项式以及次数的定义、整式的定义是解决本题的关键．根据单项式以及次数、多项式以及次数的定义、整式的定义解决此题． 【详解】解：A．根据单项式的次数的定义，所有字母的指数的和是单项式的次数，得的次数是4，故正确，不符合题意． B．根据整式的定义，单项式和多项式统称为整式，是多项式，得是整式，故正确，不符合题意． C．根据多项式的定义，的项是、、1，故正确，不符合题意． D．根据多项式以及次数的定义，是二次二项式，故不正确，符合题意． 故选：D． 4．下列说法正确的是（    ） A．单项式的次数是9 B．不是单项式 C．是三次三项式 D．单项式的系数是 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：A、单项式的次数是，原说法错误，不符合题意； B、不是单项式，原说法正确，符合题意； C、是四次三项式，原说法错误，不符合题意； D、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 题型2 同类项的识别 例题2．下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，解答的关键是熟知同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项．根据同类项的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，不符合题意； B、与，所含字母不尽相同，不是同类项，符合题意； C、与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，不符合题意； D、与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，不符合题意， 故选：B． 变式训练 1．下列各组式子中为同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，逐项判定即可． 【详解】解：A、与字母不同不是同类项，故此选项不符合题意； B、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母不全相同，不是同类项，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各组代数式中，是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，熟记同类项的含义是解题关键．根据同类项的定义分别判断即可：如果两个单项式，它们所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么称这两个单项式是同类项． 【详解】解：A．与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； B．与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； C．与所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，是同类项，符合题意； D．与所含字母不同，不是同类项，不符合题意， 故选：C． 3．下列各组代数式中，同类项是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类项．根据同类项的定义：字母相同，相同字母的指数相同的两个单项式是同类项即得． 【详解】解：A、与，对应的指数不同，不是同类项，本选项不符合题意； B、与，字母不完全相同，不是同类项，本选项不符合题意； C、与，字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，本选项符合题意； D、与字母不同，不是同类项，本选项不符合题意； 故选：C． 4．在下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和100 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查同类项，熟练掌握所含字母相同，相同字母指数也相同的项叫同类项是解题的关键． 根据同类项的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、和，字母x的指数不同，不是同类项，故此选项符合题意； B、和100是同类项，故此选项不符合题意； C、和是同类项，故此选项不符合题意； D、和是同类项，故此选项不符合题意； 故选：A． 题型3 整式的化简 例题3．化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据合并同类项法则计算即可； （）先去括号，再根据合并同类项法则计算即可； 本题考查了整式的加减运算，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ． 变式训练 1．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）移项，然后直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及去括号与合并同类项等知识，准确计算是关键； （1）把第一、三项，第二、四项分别合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练的掌握整式的加减运算法则． （1）根据去括号法则去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）根据去括号法则去括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型4 整式的化简求值 例题4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 变式训练 1． 先化简，再求值：已知，且，求的值．其中，． 【答案】； 【分析】此题考查了整式的混合运算，主要考查了整式的加减法、去括号、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的处理．先去括号，再合并同类项，将原整式化简，然后再将a，b的值代入求解即可． 【详解】解：，， ， 当，时， 原式 ． 2． 先化简，再求值：，其中． 【答案】，90 【分析】本题考查绝对值的非负性，非负数的性质，整式化简求值．熟练掌握非负数的性质和整式加减运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并 同类项，把整式化简，然后根据非负数的性质求出x、y的值，最后把x、y的值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， 解得：，， 当，时， 原式 ． 3． 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值．先去括号，再合并同类项后，把x和y的值代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 4． 先化简，再求值，其中 【答案】，76 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值．先将多项式去括号，再合并同类项，然后将和的值代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 题型5 整式加减的实际应用 例题5．如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用整式表示花圃的面积； (2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 【答案】(1)米2 (2)17600元 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减，以及列代数式，根据题意列出关系式是解本题的关键． （1）根据大矩形面积减去两个小矩形面积表示出花圃面积即可； （2）把a的值代入计算即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 答：花圃的面积是米2． （2）解：当时，花圃面积为米2， 修建花圃所需费用：（元）． 答：修建花圃所需费用是17600元． 变式训练 1．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（）． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1) (2)购买150根跳绳时，A种方案所需要的钱数为8000元，B种方案所需要的钱数为8100元 (3)按A方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按B方案购买，付款7800元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键： （1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：； （2）把代入（1）中的结果计算AB两种方案所需要的钱数即可； （3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可． 【详解】（1）解：A方案购买可列式：元； 按B方案购买可列式：元； 故答案为：； （2）由（1）可知， 当，A种方案所需要的钱数为（元）， 当，B种方案所需要的钱数为（元）， 答：购买150根跳绳时，A种方案所需要的钱数为8000元，B种方案所需要的钱数为8100元． （3）按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买150个跳绳合计需付款： （元）； ∵， ∴省钱的购买方案是： 按A方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按B方案购买，付款7800元． 2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 例如：若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民2月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含a的整式表示，并化简） (3)若该户居民4月份用水，4、5两个月共用水，且5月份用水超过4月份，请用含x的整式表示4、5两个月共交的水费多少元？ 【答案】(1)48 (2)元 (3)元或元或36元 【分析】本题主要考查代数式表示数量关系的运用，整式的加减运算的应用； （1）根据材料提示的计算方法即可求解； （2）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，结合（1），（2）的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：应收水费（元）， 故答案为：48； （2）解：应收水费＝不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费， ∴应收水费为元， ∴应收水费为元； （3）解：因为5月份用水量超过了4月份， ∴4月份用水量少于， ①当4月份用水量少于时，则5月份用水量超过， ∴4，5两个月共交水费元； ②当4月份用水量大于或等于但不超过时，则5月份用水量不少于但不超过， ∴4、5两个月共交水费元； ③当4月份用水量超过但少于时，则5月份用水量超过但少于， ∴4，5两个月共交水费（元）． 故答案为：元或元或36元． 3．如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长米，宽米的小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留π） (2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） (3)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．取3.14，结果精确到 【答案】(1)， (2)长方形场地上种草的面积为平方米 (3)该长方形场地上种草的面积为27平方米 【分析】本题主要考查了利用长方形和扇形的面积公式列出代数式，然后利用代数式求值解决实际问题，熟练准确的求出结果是本题的关键． （1）利用长方形和扇形面积公式求解； （2）根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可； （3）由此利用已知数据求出种草的面积即可． 【详解】（1）解：依题意得小路的面积为平方米，种花的面积为平方米， 故答案为：，； （2）该长方形场地上种草的面积为： 平方米， 故长方形场地上种草的面积为平方米； （3）当，时，平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27平方米． 4．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)由图可知，每个小长方形较长的一边长是 （用含的式子表示），阴影部分的较短的边长是 （用含、的式子表示） (2)当时，求图中两块阴影，的周长和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，整式加减的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式． （1）从图可知，每个小长方形较长一边长大长方形的长小长方形宽的倍；阴影部分的较短的边长大长方形的宽每个小长方形较长一边长； （2）从图可知，分别列出阴影，的长和宽，再求出两块阴影、的周长和并化简，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：每个小长方形较长一边长是， 则阴影部分的较短的边长是， 故答案为：；； （2）解：根据题意，得阴影的长为，宽为， 阴影的宽为，长为， 则阴影，的周长和为： ， 当时，原式． 培优精测 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．是四次二项式 C．的系数为 D．的次数是6 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式和多项式的相关定义，根据单项式的定义及其系数，项解答，判断A，C，D，再根据多项式的项和次数解答，判断B即可． 【详解】因为不是单项式，是多项式，所以A不正确； 因为是四次二项式，所以B正确； 因为的系数是，所以C不正确； 因为的次数是，所以D不正确． 故选：B． 2．下列各式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相等的单项式叫做同类项，据此求解即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，四个单项式中只有与是同类项， 故选：B． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．与无法合并，故此选项不合题意； C．与无法合并，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意． 故选：A． 4．下列各式从左到右正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，若括号前面是“”，则去括号时，括号内的每一项都要变号，若括号前面是“”， 则去括号时，括号内的每一项都不变号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式正确，符合题意； 故选：D． 5．一个多项式与的和是，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减，根据题意可知多项式为，再根据运算法则计算即可． 【详解】解：这个多项式为 ． 故选：C． 6．化简得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，先去括，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 7．一个长方形的周长为，若一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减的运算方法是解题的关键，根据题意列出算式，再去括号、合并同类项即可． 【详解】解：∵长方形的周长为，若一边长为， ∴另一边长为， ， 故选：A． 8．把如图①的两张大小相同的长方形卡片放置在图②与图③中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，那么＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，熟练根据实际意义列出相对应的代数式并化简是解题的关键． 列代数式分别表示出与，然后作差求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 由图③可得，， ∵这两个大长方形的长比宽长， ∴， 由图②可知：阴影部分的周长， 由图③可知：阴影部分的周长， ∴， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出的值；再对进行运算，转化成关于的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 则： ， 故选：． 10．为了进一步推进“双减”政策，提升学校课后服务水平，连云港市某校开展了社团活动，每位学生可以选择一个社团参加．已知参加体育类社团的有人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，则参加三类社团的总人数为（    ）人 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先求出参加文艺类社团的人数和参加科技类社团的人数，再计算整式的加法即可得． 【详解】解：由题意得：参加文艺类社团的人数为人， 则参加科技类社团的人数为（人）， 所以参加三类社团的总人数为（人）， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题） 11．已知是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了单项式的概念单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．根据次数等于5且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：3． 12．如果和是同类项，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义即可求解，熟记：“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：2． 13．合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，合并同类项时字母部分不变，系数相加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．如果单项式与的和仍然是一个单项式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加法、同类项的概念、代数式求值，根据和仍为一个单项式可得单项式与是同类项，然后根据同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍然是一个单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，，则， ∴， 故答案为：1． 15．将下列各式去括号： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】此题主要考查了去括号，正确掌握去括号法则是解题关键． （1）直接利用去括号法则得出答案； （2）直接利用去括号法则得出答案； （3）直接利用去括号法则得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 16．用“”定义新运算：对于任意有理数、，都有．例如：．则下列结论：①；②；③对于任意有理数、，恒成立；④的值恒小于的值．正确的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查整式的加减运算，根据定义的新运算列得正确的算式是解题的关键．根据新运算列式计算后进行逐项判断即可． 【详解】解：，则①错误； ，则②正确； ，，两式不一定相等，则③错误； ， ， ， ， 不一定小于0， 的值不一定小于的值，则④错误； 综上，正确的是②， 故答案为：②． 17．若a、b满足等式，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，将两式作差后得到是解题的关键． 用第一个式子减去第二个式子后整理并计算即可． 【详解】解：已知，， 则得：， 解得：， 故答案为：． 18．将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则 ．（用含有x的代数式表示） M x N 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示出和． 设最中间的代数式为，然后根据题意用含的代数式表示出，进而可求出． 【详解】解：设最中间的代数式为， ∵九宫格的每一横行、每一坚列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等， ， ∴解得：， ∴第一列中间的代数式为， ∵第一列的三个数之和等于第三行的三个数之和， ， 化简得，． 故答案为：． 19．如图将正方形和正方形按如图所示放入长方形中，，，若两个正方形的重叠部分长方形甲的周长为10，则乙和丙的周长之和为 ． 【答案】36 【分析】本题考查列代数式及整式加减的应用，在每个字母未知时，采用整体代入是解题的关键． 设正方形和正方形的边长分别为和，表示出甲、乙、丙的长和宽，根据甲的周长求出，从而求出乙和丙的周长即可解答． 【详解】解：设正方形和正方形的边长分别为和， 则甲的长和宽为：，， 丙的长和宽为：，， 乙的长和宽为：，， 甲的周长为10， ， ， 乙的周长为， 丙的周长为：， 乙和丙的周长之和为36． 故答案为：36． 20．如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，如图所示，“优美长方形”的周长为39，则正方形d的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减与几何图形，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；由图可知，然后根据长方形的周长可进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵“优美长方形”的周长为39， ∴， 解得：； 故答案为． 三、解答题（本大题共5小题） 21．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算：熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）去括号后，合并同类项即可； （2）去括号后，合并同类项即可． 【详解】（1）原式， ． （2）原式， ． 23．化简求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，24 (2)，17 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则化简式子后，代入，运算即可； （2）根据运算法则化简式子后，代入，运算即可； 【详解】（1） 解：原式 当，时 原式 （2） 原式 ． 当，时 原式 24．为提高学生实践能力，促进学生综合发展，让学生近距离感受自然，北京市某中学利用理科综合实践活动课组织学生前往陶然亭公园进行实地考察．七年级1班共有43人，分成4个小组．第一组有a人，第二组比第一组的一半多4人，第三组的人数等于前两组人数的和． (1)求第四组的人数（用含a的式子表示）． (2)找一个你喜欢并适合的数作为a的值，求出此时第四组的人数． 【答案】(1)第四组的人数为人 (2)第四组的人数是29人（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了列代数式，熟练掌握加减乘法意义，根据字母的取值范围取值，求代数比的值，是解决问题的关键 （1）根据第二组：人，第三组：（人），得第四组：（人）； （2）根据，得，根据是整数，得a可取2，4，6，8，10，a取整数2，得． 【详解】（1）解：第一组：a人；第二组：人， 第三组：（人）， 第四组：（人）． 故第四组的人数为人； （2）∵， ∴， ∴， ∵是整数， ∴a可取2，4，6，8，10， a取整数2， ． 故此时第四组的人数是29人（答案不唯一）． 25．某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价200元，T恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克50件，T恤x件． (1)若该客户按方案①购买，共需付款______元（用含x的式子表示，需化简）；若该客户按方案②购买，共需付款______元（用含x的式子表示，需化简）； (2)若，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)； (2)方案①：13000元，方案②：14400元，选方案①合算 (3)先按方案①购买夹克50件，送一件T恤50件，再按方案②购买T恤30件更为省钱；理由见解析 【分析】此题考查方案类问题，整式的加减计算，已知字母的值求代数式的值： （1）根据题意列代数式表示； （2）将代入（1）的代数式计算即可； （3）先按方案①购买夹克50件，送一件T恤50件，再按方案②购买T恤30件更为省钱． 【详解】（1）该客户按方案①购买，共需付款元； 该客户按方案②购买，共需付款元; 故答案为：，； （2）当时， 方案①需付款：元， 方案②需付款：元； , 故方案①合算. （3）先按方案①购买夹克50件，送一件T恤50件，再按方案②购买T恤30件更为省钱． 理由如下： 先按方案①购买夹克50件所需费用10000， 按方案②购买T恤30件的费用， 所以总费用为（元），小于13000元， 所以此种购买方案更为省钱． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$