江西省2025届高三上学期10月联考数学试题

江西省2025届高三上学期10月联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，，则集合(    ) A. B. C. D. 2.(    ) A. B. C. D. 3.已知函数的定义域为R，且，则(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4.已知，，且，则的最小值为(    ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足若，不变，在，后该物体的温度分别为，，且，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 若，则若，则 D. 若，则若，则 7.已知且，，，则(    ) A. B. C. D. 8.在中，，，，点P在内部，且，，记，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知命题，命题，，则(    ) A. p是真命题 B. 是真命题 C. q是真命题 D. 是真命题 10.已知函数，则(    ) A. 为偶函数 B. 的最大值为 C. 在上单调递减 D. 在上有6个零点 11.已知函数，下列结论正确的是(    ) A. 若是的极小值点，则在上单调递减 B. 若是的极大值点，则且 C. 若，且的极小值大于0，则b的取值范围为 D. 若，且在上的值域为，则b的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数的图象关于y轴对称，则__________. 13.已知函数的最小值为，则__________. 14.已知函数，若，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知函数的部分图象如图所示. 求的解析式; 求在上的值域. 16.本小题12分 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 证明： 若D是BC的中点，求的最大值. 17.本小题12分 已知函数 讨论的单调性; 若，，，求a的取值范围. 18.本小题12分 已知集合A，B中的元素均为正整数，且A，B满足：①对于任意，，若，都有②对于任意，，若，都有 已知集合，求 已知集合，求 若A中有4个元素，证明：B中恰有5个元素. 19.本小题12分 已知函数 若是增函数，求a的取值范围. 若有极小值，且极小值为m，证明： 若，求a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 根据集合的运算求出B即可． 本题考查了集合的运算，是基础题． 【解答】 解：， ，则集合 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了二倍角余弦公式、诱导公式，属于基础题. 逆用二倍角余弦公式，再用诱导公式即可. 【解答】 解：  故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查求抽象函数的函数值，属于基础题. 令，代入，即可求出的值. 【解答】 解：令，代入， 可得， 故选 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题. 通过乘1法，构造积为定值可以求最小值. 【解答】 解：因为，， 所以， 当即取等号，所以 故选 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查导数几何意义，属于基础题. 借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积. 【解答】 解：，则， 则曲线在点处的切线方程为 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 故选 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了指数函数与对数函数的性质，属于基础题. 将化简求解得，根据选项逐一分析即可. 【解答】 解：因为，所以 若，则是减函数， 因为，所以 若，则是增函数， 因为，所以 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了对数的运算性质，属于中档题. 根据对数的运算性质分析且，，从而得到或两种情况，然后结合得到，进而可得结论. 【解答】 解：因为且，，所以或 若，则，与矛盾， 所以，， 故选 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查的是余弦定理，同角三角函数关系，二倍角公式，属于中档题. 由平面几何的性质可得，则，利用余弦定理可得 ，利用二倍角公式可得，利用同角三角函数关系可得，即可求得 【解答】 解：由题意可得 在中， 在中，， 即， 化简得，两边平方得， 则， 所以，解得 故选 9.【答案】BC  【解析】【分析】 本题主要考查了命题真假的判定，属于基础题. 根据条件判断命题p、q的真假. 【解答】 解：因为所以， 又，所以，p是假命题，是真命题. 由诱导公式可得，，所以q是真命题，是假命题. 故选 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查了函数的奇偶性，函数的最值，复合函数的单调性，函数的零点及余弦函数的性质，属于中档题. 对于A，根据偶函数的定义判断即可;对于B，由余弦函数的性质，即可判断;对于C，令函数，在上单调递增，的值域为，再结合在上单调性即可判断;对于D，时，的值域为，根据的性质即可判断. 【解答】 解：因为，所以为偶函数，A正确. 的最大值为1，B错误. 令函数，在上单调递增，且当时，的值域为， 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，C正确. 当时，的值域为，，函数在上有5个零点， 所以在上有5个零点，D错误. 故选： 11.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题. 先根据极值点必是方程 的根，结合选项进行讨论分析即可. 【解答】 解：由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，在上不单调，A错误. ，若是的极大值点，则，所以， 若，没有极值点的解为，因为是的极大值点， 所以，即，，B正确. 若，则， 因为的极小值大于0，所以只有一个零点，且的极大值点与极小值点均大于0， 所以方程无实数根，且方程的2个实数根均大于0， 所以 若，则，，，令， 若，即，则，单调递增，符合题意. 由，解得或，此时的2个解为， 当时，，，所以在上单调递减，所以当时，，不符合题意. 当时，，所以在上的最大值为，且，不符合题意. 综上，若，且在上的值域为，则b的取值范围为，D正确. 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查正弦型函数的图象和性质，比较基础． 根据正弦型函数的图象和性质，即可得到结论． 【解答】 解：若函数的图象关于y轴对称 则函数是偶函数， 则， 因为，所以， 故答案为： 13.【答案】2  【解析】【分析】 本题主要考查分段函数的最值，属于基础题. 由题意得出函数在上取得最小值，由此即可列出式子求解. 【解答】 解：当时， 因为的最小值为，所以函数在上取得最小值， 则，解得 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的图象与性质，属于中档题. 根据对称性和周期性，不妨取  ，  ，得到  ，  ，根据函数的单调性计算得到答案. 【解答】 解：根据周期性和对称性， 不妨取  ，  ，因为 故  ， 即，  当且仅当  ，  时等号成立， 故答案为：  15.【答案】解：由图可得，的最小正周期 因为，且，所以，所以 由 所以，，解得， 因为，所以 故 由-，得 当，即时，取得最大值，最大值为 当，即时，取得最小值，最小值为 故在上的值域为  【解析】本题考查了三角函数的图象和性质，利用函数图象的特征是解题的关键，是中档题. 由图象得出周期，可求得，再由特殊点求出得到函数的解析式； 借助正弦函数求出函数在区间上的最值即可得在上的值域． 16.【答案】解：证明：因为，所以 ， 则， 则，即 因为A，，所以，即 由余弦定理的推论可得， 所以，当且仅当时，等号成立 故的最大值为  【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，余弦定理，利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用二倍角公式与同角三角函数的基本关系可将代数式化为，可整理为，即可证明 由余弦定理可得，利用基本不等式即可求得的最小值，得到的最大值. 17.【答案】解：， 当时，，是减函数.当时，是增函数. 令，解得 当时，当， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，是减函数;当时，在上单调递减， 在上单调递增. ，即 令函数，则，所以 因为在上单调递增，所以，即 令函数，则 当时，当， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故a的取值范围为  【解析】本题考查了利用导数研究单调性和极值，属于中档题; 求出函数的导数，对a讨论求出函数的单调区间； ，即，令函数，则，在上单调递增，得，令函数，利用导数求得，可得结果. 18.【答案】解：由①可得2，4，8都是B中的元素. 下面证明B中除2，4，8外没有其他元素： 假设B中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B中最小的元素为1，显然不是A中的元素，不符合题意; 第二种情况，B中最小的元素为2，设B中除2，4，8外的元素为， 因为是A中的元素，所以为4或8，而4，8也是B中的元素，所以B中除2，4，8外没有其他元素. 综上， 解：由①可得，8，16，32，2t，4t，8t都是B中的元素. 显然，，， 由②可得，，，是A中的元素，即，，是A中的元素. 因为，所以，，，解得 证明：设， 由①可得，，都是B中的元素. 显然，由②可得，是A中的元素， 即是A中的元素. 同理可得，，，，，，是A中的元素. 若，则，所以不可能是A中的元素，不符合题意. 若，则，所以，，即， 又因为，所以，，，即， 所以，此时 假设B中还有其他元素，且该元素为k， 若，由②可得，而，与矛盾. 若，因为，所以，，2，3，4，则，，2，3，4， 即，所以B中除，，，，外，没有其他元素.所以，即B中恰有5个元素.  【解析】本题主要考查的是集合的新定义问题，集合的表示法，相等集合，属于难题. 根据定义即可求 根据条件得到B，利用集合相等即可列出关于t的方程，求解即可. 根据集合的概念与新定义证明即可. 19.【答案】解： 令函数，则 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为是增函数，所以，即，解得 若，则在上恒成立，所以在上单调递增. 因为函数与函数的图象有1个交点，所以存在，使得， 即当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，与题设不符. 综上，a的取值范围为 证明：由可得当时，是增函数，不存在极小值. 当时，，在上单调递减，所以在上不存在极小值点. 因为，所以，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，由可得 因为，所以 令函数，则 当时，，当时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增. 当时，，，所以 因为，所以，所以，当且仅当，时，等号成立. 综上， 解：若，，不符合题意. 若，要使得，只需要极小值，即， 所以，解得，即， ，令函数，则 当时，，单调递减. 因为，所以在上单调递减. 又，， 所以在上的值域为 故a的取值范围为  【解析】本题考查了利用导数由函数的单调性求参，利用导数求已知函数的极值，利用导数求函数的单调区间，用导数证明不等式，属于较难题; 对求导，，令函数，则，分和两种情况求解即可; 由可得当时，是增函数，不存在极小值，当时，，在上单调递减，在上不存在极小值点，时，，因为，所以，令函数，求得得证; ，不符合题意，，要使得，只需要极小值，即，因为，令函数，利用导数研究单调性可得在上的值域为，求得结果即可. 第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$