3.6二次函数的应用（第1课时）（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

3.6 二次函数的应用 第三章 二次函数 第一课时 五四制鲁教版九年级上册 教学目标 1 2 3 1、.经历探究几何图形中的最值问题,学会用二次函数来解决几何图形中最值问题.体会二次函数的应用意义以及数学的转化思想. 2、通过自主探究,理解二次函数的应用.经过合作交流,了解二次函数解决几何图形最值问题的基本思路,提高学生的分析总结能力. 3、通过几何图形中的最值问题的探究活动,建立学生对二次函数应用的以及数形结合的思维,培养学生勇于探索的学习习惯. 知识回顾 顶点： 对称轴： y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 二次函数的性质与解析式系数的关系 当x=-=, y最小值= =- 知识回顾 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时有最大值或最小值？ a＞0 a＜0 当x=-,函数值有最大值，y最大值= 当x=-,函数值有最大值，y最小值= 1、求下列函数的最大值或最小值： ①y=x2-4x+7 ②y=-5x2+8x-1 配方法 公式法 练一练 选择合适的方法 ①y=x2-4x+7 =（x-2）2+3 当x=2时，y最小值=3 练一练 知识回顾 2.二次函数y=ax2+bx+c,b2=ac,且x=0时y=-4,则(　　) A 、y最大=-4 B、y最小=-4 C、y最大=-3 D、y最小=3 把x=0，y=-4代入得： c=-4 ∵b2=ac＞0 ∴a＜0 解析： ∴抛物线开口向下，函数有最大值 ∴y最大值= = =-3 C 新知导入 何 时 面 积 最 大 如图 ，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上 D A B C 40m 30m （1）如果设矩形的一边 AB = x m，那么 AD边的长度如何表示？ 讨论 x m E F 如图 ∵AF∥DC ∴△AFE∽△DCE ∴ = x m ∴ = ∵四边形ABCD矩形 ∴AB=DC=Xm ∴ = 30 - x的取值范围是什么？ 0＜x ＜40 新知导入 何 时 面 积 最 大 如图 ，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上 讨论 由（1）得 D A B C 40m 30m x m E F x m （2）设矩形的面积为 y m ²，当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ 矩形ABCD的面积 y= × = × = ； AB AD x （30 - ） - +30 y是x的二次函数 y= - +30 =- +300 = 30 - （0＜x ＜40） 填一填 当 x =20m时，y 最大值=300m² 7 新知探究 议一议 矩形改为如图 所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ D A B C 40m 30m x m E F x m 设矩形的一边 AB = x m G H M 过M作MG⊥EF,垂足为G,交AD于H ∴GH=xm 由勾股定理得：EF=50m ∵S△MEF =EF =ME ∴MG=24m ∵AD∥EF ∴△AMD∽△FME ∴ = ∴ = ∴ = 50 - y= - +50 y=x （50 - ） =- +300 当 x =12m时，y 最大值=300m² （0＜x ＜24） 第一步：审题理解问题； 第二步：分析问题中的 和常量， 自变量； 第三步：分析问题中的变量和常量之间的关系，建立函数的 ； 第四步：确定 的取值范围； 第五步：根据顶点坐标公式或配方法求出最 值或最 值（在自变量的取值范围内）。 议一议 新知探究 确定图形面积的最值 变量 设出 关系式 自变量 大 小 思考 你能总结出解决此类问题“最大面积”的基本思路吗? 例题讲解 做一做 例1、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)?此时,窗户的面积是多少? x x y 2x 分析： 变量 半圆半径x 矩形的一边长2x，另一边长y 窗户面积S 自变量 相等关系 材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15 7x+4y+πx=15 窗户的面积=半圆面积+矩形面积 找出y与x之间关系式 把y用x的代数式替换的S与x的函数关系式 例题讲解 做一做 例1、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)?此时,窗户的面积是多少? x x y 解：∵7x+4y+πx=15 2x ∴0＜x＜1.48. 设窗户的面积是S m2, 则 答：当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积约为4.02 m2. 方 法 规 律: 新知总结 (1)理清题目中的变量和常量. (2)熟记常用几何图形的面积公式. (3)选择合适的二次函数表达式解题. 何 时 面 积 最 大 例题讲解 做一做 例2、如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60-2x 设菜园面积为S，垂直于墙的边长为x米，由题意得 解： S＝x(60－2x) ＝－2x2＋60x =-2（x-15）+450 自变量x的取值范围是什么？ 思考： ∵0＜60－2x≤32， ∴14≤x＜30. 墙长32m ∴最值在其顶点处， 即当x=15m时，S最大值=450m2. ∴抛物线开口向下，顶点坐标（15,450） 13 例题讲解 做一做 变式 x x 60-2x 墙长18m 墙长32m 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 问题1 变式与例2有什么异同？ 思考： 问题2 可否模仿例2设未知数、列函数关系式？ 设菜园面积为S，垂直于墙的边长为x米，由题意得 S＝x(60－2x) ＝－2x2＋60x =-2（x-15）+450 问题3 自变量x的取值范围是什么？ ∴抛物线开口向下，顶点坐标（15,450） ∵0＜60－2x≤18， ∴21≤ x＜30. 问题4 当x=15时，S取最大值，此结论是否正确？ 不正确. 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 例题讲解 做一做 设菜园面积为S，垂直于墙的边长为x米，由题意得 S＝x(60－2x) ＝－2x2＋60x =-2（x-15）²+450 ∴抛物线开口向下，顶点坐标（15,450） x x 60-2x 解： 变式 ∵0＜60－2x≤18， ∴21≤ x＜30. 利用函数的增减性求其最值 ∵15＜21， ∴顶点（15,450）不在自变量取值范围内 ∵当x≥21时，S岁x的增大而减小 ∴当x=21m时，S有最大值， S最大值=378（m²） 新知总结 何 时 面 积 最 大 当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定： 1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. 2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. 3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值. 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围 新知巩固 选一选 1、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H盼别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x，则S关于x的函数图象大致是( ) B 小正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-4倍Rt△AEH的面积 S=1-2x（1-x） =2x²-2x+1 =2（x-）²+ （0＜x ＜1） 分析： 新知巩固 选一选 2、如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）. A．60平方米 B．63平方米 C．64平方米 D．66平方米 A B C D 分析： 矩形ABCD的面积S =AB×BC =x（16-x） x 16-x B （2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1，在平行四边形ABCD 中，∠ABC=120 ，已知点P 在边AB 上，以1m/s的速度从点A 向点B 运动，点Q 在边BC 上，以 的速度从点B 向点C 运动．若点P ，Q 同时出发，当点P 到达点 B时，点 Q恰好到达点 C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ 的面积y（m²） 与点 P的运动时间t（s） 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ） A．12m² B． 24m² C． 12m² D． 24m² B 新知巩固 选一选 新知巩固 做一做 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为t s，四边形APQC的面积是S (1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围； A B C P Q 解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°， AB＝8cm，BC＝6cm ∴运动ts时，AP=2t，BP=8－2t，BQ=t ∴S=S△ABC－S△PBQ=×AB×CB－×PB×QB =×8×6－×（8－2t）×t =t2－4t+24（0≤t≤4） 新知巩固 选一选 （3）∵S=t2－4t+24 =(t-2)2+20， ∴当t=2时，S有最小值，S最小值=20 A B C P Q (2)若S是21cm2时，确定t值； S=t2－4t+24（0≤t≤4） （2）由（1）得： 当S=21时，代入得 t2－4t+24=21， 解得t=1或t=3 (3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值． 课堂小结 实际问题 数学模型 转化 回归 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课后拓展 如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，求该纸盒侧面积的最大值 解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC． ∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH， ∴AD=BE=BF=CG=CH=AK． ∵折叠后是一个三棱柱， ∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形． ∴∠ADO=∠AKO=90°． 连结AO， 在Rt△AOD和Rt△AOK中， ∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）． ∴∠OAD=∠OAK=30°． 设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x ∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=6x2+18x， =﹣6（x-）²+ ∴当x= 纸盒侧面积最大为 如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ） A． m B．6m C．25m D． m 课后拓展 D 分析： $$