3.5确定二次函数的表达式（第2课时）（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

3.5 确定二次函数的解析式 第三章 二次函数 第二课时 五四制鲁教版九年级上册 教学目标 2、通过自主探究,认识二次函数的三种表达式.经过合作交流,师生互动,学会用待定系数法确定二次函数的表达式及其一般步骤,提高学生的分析总结能力. 1 2 3 1、已知抛物线上任意三点坐标确定二次函数的表达式。能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式 3、经历确定二次函数表达式的过程，熟练运用二次函数的表达式解决问题；体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识． 知识回顾 用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式. 待定系数法 一、设 二、代 三、解 四、还原 已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0) 确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？ 思考： 3个条件 一般式 y=ax2+bx+c (a≠0) 由函数图象经过 (−1，10 )，(1，4)，(2，7) 三点代入一般式，得关于 a，b，c 的三元一次方程组 新知导入 已知一个二次函数的图象经过（- 1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标。 教材p93例3 用一般式法求二次函数的解析式 思考： （1）、（- 1，10），（1，4），（2，7）三点在不在一条直线上？ （2）、二次函数的图象经过（- 1，10），（1，4），（2，7）三点说明这三点坐标满足什么关系式？ 任意的不在一条直线上的三点 满足二次函数解析式 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0) 一般式 y=ax2+bx+c (a≠0) （- 1，10），（1，4），（2，7）三点代入哪一个解析式计算较容易？ 请大家试一试 新知导入 已知一个二次函数的图象经过（- 1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标。 用一般式法求二次函数的解析式 ∴所求二次函数解析式为 y = 2x2 − 3x + 5. 解：设所求二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c. 将(−1，10 )，(1，4)，(2，7) 三点坐标代入解析式，得： 1.设： 一般式 2.代： 坐标代入 3.解： 方程(组) 4.还原： 写出解析式 a – b + c=10 a + b + c=4 4a +2 b + c=7 解这个方程组，得 a = 2， b = - 3， c = 5。 由三点 (不在同一条直线上) 的坐标，可以确定二次函数的解析式. 新知导入 已知一个二次函数的图象经过（- 1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标。 用一般式法求二次函数的解析式 所求二次函数解析式为 y = 2x2 − 3x + 5. ∵y = 2x2 − 3x + 5 =2（x2 − x+（）² - （）² ）+ 5 =2（x − ）² + ∴二次函数对称轴： 顶点坐标： 直线x= 利用配方法求出对称轴和顶点坐标 若二次函数的图象经过点（- 2，3），（- 1，0），（1，6），试确定这个二次函数的表达式 。 新知巩固 做一做 解： 设所求的二次函数为　 ∵二次函数的图象过点（-2,3），（－1, 0），（1，6） y=ax2+bx+c. 解得 ∴ a-b+c=0. a+b+c=6， c=1 x=-2时,y=3; x=-1时,y=0; x=1时,y=6. 4a-2b+c=3， a=2 b=3 ∴二次函数解析式为：y=2x2+3x+1. 你做对了吗？ 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值. 若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可设解析式为y=ax2+bx+c,列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式. 归纳 任意两点的连线不与y轴平行 三点式求二次函数的解析式 新知总结 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4， c=-3. ∴所求的二次函数的表达式：y=-x2-4x-3. 待定系数法步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写表达式） 已知某二次函数经过（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 新知再探 议一议 思考： 抛物线与x轴的交点坐标由什么特殊意义？ y=ax2+bx+c =a（x+3）（x+1） 新知再探 交点式求二次函数的表达式 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点. ∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标） ∴ y=a(x+3)(x+1). 把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 已知某二次函数经过（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 议一议 两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？ 若已知抛物线与x轴的两交点坐标， 可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2）， 把另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程. 新知总结 归纳 交点式求二次函数的解析式： 已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 新知巩固 例 4 某商贸公司成立以来，5 年的利润情况如图 3-18 所示，图中的折线近似于抛物线的一部分 。 （1）试求出图象过 A，C，D 三点的二次函数的表达式； （1）设图象过 A，C，D 三点的二次函数的表达式为 y = ax² + bx + c 解： 将 A（1，2.6），C（3，3.8），D（4，5）分别代入 y = ax²+ bx + c，得 a + b + c = 2.6 9a + 3b + c = 3.8 16a + 4b + c = 5 解这个方程组得 a = 0.2， b = - 0.2， c = 2.6。 ∴图象过 A，C，D 三点的二次函数的表达式为 y = 0.2x² - 0.2x + 2.6 例 4 某商贸公司成立以来，5 年的利润情况如图 3-18 所示，图中的折线近似于抛物线的一部分 。 新知巩固 （2）利用（1）的结果，分别求出当 x = 2 和 x = 5 时该二次函数的函数值，并分别与点 B、点 E 的纵坐标比较； 由（1）得二次函数的表达式为 y = 0.2x² - 0.2x + 2.6 解： 当 x = 2 时， y = 0.2 × 4 - 0.2 × 2 + 2.6 = 3 此时，y 的值与点 B 的纵坐标相等 当 x = 5 时， y = 0.2 × 25 - 0.2 × 5 + 2.6 = 6.6 此时，y 的值小于点 E 的纵坐标 （3）利用（1）中求得的二次函数的表达式，预测该商贸公司第 6 年的利润。 把 x = 6 代入y = 0.2x² - 0.2x + 2.6 y = 0.2×36- 0.2×6+ 2.6 = 8.6 解： 估计该商贸公司第 6 年的利润可达 860 万元。 提升练习 选一选 一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（       ） A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5 解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5， A ∴ c＝﹣5 ①， a﹣b+c＝﹣4②， 4a﹣2b+c＝5③， a＝4， b＝3， c＝﹣5， 二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5 解得 2．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是（       ） A．当x＜0时，y随x的增大而增大 B．当时，y=-2 C．顶点坐标为(1，2) D．是方程的一个根 提升练习 x -1 0 1 2 y 0 1.5 2 1.5 顶点 B 解：设二次函数的关系式是y＝a（x-1）2+2（a≠0）， ∵当x＝-1时，y＝0，代入得a=-0.5 ∴ y＝-0.5（x-1）2+2 开口向下 选一选 3.如图所示,抛物线的函数表达式是(　 　) A.y= x2-x+4 B.y= -x2-x+4 C.y= x2+x+4 D.y= - x2+x+4 选一选 D 解：设二次函数的关系式是y＝a（x+2）（x-4）（a≠0）， ∵当x＝0时，y＝4，代入得a=-0.5 ∴ y＝-0.5 （x+2）（x-4） =-0.5x²+x+4 与x轴交点（-2,0），（4,0） 提升练习 2、设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线对称轴的距离为1,则抛物线的函数表 达式为　 　.  1、2022东平模拟)如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),则二次函数的图象的顶点坐标是　 　. (2,-1) 填一填 提升练习 （2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为 3m，水柱落地处离池中心 ，水管长度应为____________． 填一填 提升练习 以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为 1m时达到最高，高度为3m ，则设抛物线的解析式为：， 解： 把（3,0）代入得： 令 x=0，则 y=2.25． 故水管长度为 2.25m． 2.25m y x o （1，,3） 提升练习 做一做 1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm. 小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表. A 运动时间 t/s 0 1 2 3 4 运动距离 y/cm 0 9.75 19 27.75 36 求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围). 运动时间 t/s 0 1 2 3 4 运动距离 y/cm 0 9.75 19 27.75 36 提升练习 做一做 解：设所求二次函数的解析式为 y = at2 + bt + c. 将 (0，0 )，(2，19)，(4，36) 三点代入解析式中，得 ∴二次函数解析式为 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4． 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝﹣（x﹣a）2+b经过B，C两点，顶点D在正方形内部，若点D有一条特征线是y＝x+2，则此抛物线的表达式是 。 拓展练习 y＝﹣（x+4﹣4）2+4-2 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 1.二次函数常用解析式：顶点式，一般式，交点式 3、求二次函数解析式的常用思想： 转化思想，解方程或方程组 2.求二次函数解析式的一般方法：待定系数法 课堂小结 y=x2-x+2或y=-x2+x+2 $$