江苏省如东高级中学2024-2025学年高一上学期10月阶段性考试数学试卷

试卷第 1页，共 5页 如东高级中学 2024 级高一阶段性考试试题 2024.10 数 学 制题人：福佑崇文阁 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1.本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2.答题前，请将自己的姓名、考试号(智学号)用 0.5 毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置。 3.选择题答案用 2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用 0.5mm 的黑色签字笔在每题对 应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合    23, 1,0,2,5 , 5A B x x    ∣ ，则 A B  （ ） A． 3, 1  B． 1,0, 2 C． 3, 1,2  D． 0,2,5 2．若集合  2Z|4 0A x x x    ，则满足  1,2,3,4,5A B U 的集合 B的个数为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．已知2 5a  ，8 3b  ，则 32a b 的值为（ ） A． 25 B．5 C． 25 9 D． 5 3 4．设非空集合 P，Q满足 P Q P  ，则下列选项正确的是（ ） A． x Q  ，有 x P B． x Q  ，有 x P C． x Q  ，使得 x P D． x P  ，使得 x Q 5．当 1x  时，不等式 1 1 x a x    恒成立，则实数 a的取值范围是（ ） A． ( , 2] B．[2, ) C．[3, ) D． ( ,3] 6．已知集合 3 1 1 2 xA x x       ，集合   2 2 2 0B x x a x a     ，若“ x B ”的充分不必要条件是“ x A ”， 则实数 a的取值范围（ ） A． 1, 2       B． 1, 2      C． 1 ,2 2     D． 1 ,2 2      试卷第 2页，共 5页 7．有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨杨柳，眷风不度玉门关”调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳， 春风不度玉门关”,意思是“羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关(羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了)”, 照此网友的说法推断，“春风度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．已知对任意的      083|,065| 2  yyyyxxxx ，不等式 04 22  yxymx 恒成立， 则实数m的最小值是（ ） A．0 B．2 C． 22 D．4 二、多选题:本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．如图，U是全集， ,M N是U的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A．    NCMC UU  B．   NMCU  C．  UN M N ð D．  UM N ð 10．下列命题正确的是（ ） A． 2 1 0x kx k    在  1,2 上恒成立，则实数 k的取值范围是  ,3 B．关于 x的不等式 0ax b  的解集是  1, ，则关于 x的不等式 0 2 ax b x    的解集是     ,21,  . C．若关于 x的方程  2 2 1 2 0x a x a     的一根比 1大且另一根比 1小，则 a的取值范围是 21 ＜＜a D．若不等式 2 0ax bx c   的解集为{ 2x x  ∣ 或 4}x  ，则 0＞abc 11．用  x 表示不超过 x的最大整数，例如 4.6 4 ，   34.2  ，则（ ） A． Rx  ，    1 1x x   B． 3 1,, ＜yxRyx  ，则    yx  试卷第 3页，共 5页 C．    xxRx 1010,  D．方程  2 4 3x x  的解集为 15, 19 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．能够说明“若 1 1 a b  ，则 a b ”是假命题的一组整数 a，b的值依次为 ． 13．若 0, 0, 2 1x y x y    ，则 2 xy x y 的最大值为 14．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V （单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药 液倒出 5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出 4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的 60%， 则V 的取值范围为 . 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题 13分） 计算（1）：   3 1 2 064.026113   ； （2）已知 12 1 2 1   aa ，求 2 3 2 3 22 3     aa aa 的值： 16．（本小题 15分） 已知命题 p：对 Rx  ,都有 2 1 0ax ax   成立；命题 q：关于 x的方程 2 2 4 0x ax   有实数根. (1)若命题 p为真，求实数 a的取值范围； (2)若 p与 q有且仅有一个真命题，求实数 a的取值范围. 试卷第 4页，共 5页 17．（本小题 15分） 某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第 x（ Nx  且 1x  ）年花在该项目的其他 费用（不包括收购费用）为  20x x  万元，该项目每年运行的总收入为50万元． (1)试问该项目运行到第几年开始盈利？ (2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案： ①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出； ②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出． 假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由． 18．（本小题 17分） 请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二 个问的证明. （1） 0xy  是 2 2 0x y  的 条件 （2）已知 0ab  ，证明： 1a b  成立的 条件是 3 3 2 2 0a b ab a b    ． 试卷第 5页，共 5页 19．（本小题 17分） 为了方便，我们可将函数 cbxaxy  2 的自变量 x对应的函数值记为  xf ，从而函数 cbxaxy  2 可 以写成   cbxaxxf  2 ，进而 0xx  时对应函数值为   cbxaxxf  0200 . 已知二次函数 2( ) ( 1) , Rf x x a x a a     . (1)若关于 x的不等式 ( ) 1f x   对 (1,3]x  恒成立，求 a的取值范围； (2)已知函数 ( ) 1g x x  ，若对 1 [0,1]x  ， 2 [ 1,2]x   ，使不等式 1 2( ) ( )g x f x 成立，求 a的取值范围. 试卷第 1页，共 12页 如东高级中学 2024 级高一阶段性考试试题 2024.10 数 学 制题人：福佑崇文阁 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1.本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2.答题前，请将自己的姓名、考试号(智学号)用 0.5 毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置。 3.选择题答案用 2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用 0.5mm 的黑色签字笔在每题对 应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合    23, 1,0,2,5 , 5A B x x    ∣ ，则 A B  （ ） A． 3, 1  B． 1,0, 2 C． 3, 1,2  D． 0,2,5 【答案】B 【分析】先化简得出集合 B,再应用交集运算即可. 【详解】由 { 5 5}B x x   ∣ ，结合已知集合 A，可得  1,0,2A B   . 故选：B. 2．若集合  2Z|4 0A x x x    ，则满足  1,2,3,4,5A B U 的集合 B的个数为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】解不等式求出集合A，再由并集概念求解即可得出结果. 【详解】对于集合A，由 24 0x x  ,解得0 4x  ， 又∵ xZ ，∴    2Ζ 4 0 1,2,3A x x x     . 又∵  1,2,3,4,5A B U ， ∴满足条件的集合 B可能为 4,5 ， 1,4,5 ， 2,4,5 ， 3,4,5 ， 1,2,4,5 ， 1,3,4,5 ， 2,3,4,5 ， 1,2,3,4,5 ， 共 8个． 故选：C． 试卷第 2页，共 12页 3．已知2 5a  ，8 3b  ，则 32a b 的值为（ ） A． 25 B．5 C． 25 9 D． 5 3 【答案】D 【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可. 【详解】 8 3b  ，  3 32 2 3b b   ， 3 32 52 2 3 a a b b    . 故选：D. 4．设非空集合 P，Q满足 P Q P  ，则下列选项正确的是（ ） A． x Q  ，有 x P B． x Q  ，有 x P C． x Q  ，使得 x P D． x P  ，使得 x Q 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系和集合间的包含关系对选项逐一判断即可． 【详解】 P Q P  ， P Q  ， 当 P⫋ Q时， 0x Q  ，使得 0x P ，故 A错误； P Q ， x P  ，必有 xQ ，即 x Q  ，必有 x P ，故 B正确； 由 B正确，得 x Q  ，必有 x P ， x Q  ，使得 x P 错误，即 C错误； 当 P Q 时，不存在 0x P ，使得 0x Q ，故 D错误， 综上只有 B是正确的． 故选：B． 5．当 1x  时，不等式 1 1 x a x    恒成立，则实数 a的取值范围是（ ） A． ( , 2] B．[2, ) C．[3, ) D． ( ,3] 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当 1x  时， 1 0x   ，故    1 1 11 1 2 1 1 3 1 1 1 x x x x x x               ，当且仅当 11 1 x x    ， 即 2x  时等号成立， 所以不等式 1 1 x a x    恒成立，故 min 1 1      a x x ，故 3a  ， 故选：D 试卷第 3页，共 12页 6．已知集合 3 1 1 2 xA x x       ，集合   2 2 2 0B x x a x a     ，若“ x B ”的充分不必要条件是“ x A ”， 则实数 a的取值范围（ ） A． 1, 2       B． 1, 2      C． 1 ,2 2     D． 1 ,2 2      【答案】A 【分析】解分式不等式可求得集合A；根据充分不必要条件的定义可知A ⫋ B；解一元二次不等式，分别 讨论 2a  ， 2a  和 2a  的情况，根据包含关系可求得结果. 【详解】由 3 1 1 2 x x    得： 3 1 2 11 0 2 2 x x x x        ，   2 1 2 0 2 0 x x x        ，解得： 1 2 2 x   ， 1 ,2 2 A       ； 由  2 2 2 0x a x a    得：   2 0x x a   ； “ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件， A ⫋ B， 当 2a  时，  2,B a ，不满足A ⫋ B；当 2a  时， B ，不满足A ⫋ B； 当 2a  时，  , 2B a ，若A ⫋ B，则需 1 2 a   ； 综上所述：实数 a的取值范围为 1, 2       . 故选：A. 7．有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨杨柳，眷风不度玉门关”调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳， 春风不度玉门关”,意思是“羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关(羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了)”, 照此网友的说法推断，“春风度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】捋清逻辑关系，即得答案. 【详解】羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关，即羌笛怨杨柳是春风不度玉门关的充分条件，所以春风度玉 门关是羌笛不怨杨柳的充分条件，又因为羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了，所以春风度玉门 关是羌笛不怨杨柳的不必要条件。 故选：A 8．已知对任意的      083|,065| 2  yyyyxxxx ，不等式 04 22  yxymx 恒成立， 则实数m的最小值是（ ） 试卷第 4页，共 12页 A．0 B．2 C． 22 D．4 【答案】D 【分析】令 yt x  ，分析可得原题意等价于对一切  4,1 x yt ， 24 ttm  恒成立，根据恒成立问题结合二 次函数的性质分析运算. 【详解】∵ [2,3]x ，  8,3y ，则 1 1 1[ , ] 3 2x  ， ∴  4,1 x y ， 又∵ 04 22  yxymx ，且 2[2,3], 0x x  ， 可得 2 24 x y x ym  ， 令  4,1 x yt ，则原题意等价于对一切  4,1t ， 24 ttm  恒成立， ∵ 24 tty  的开口向下，对称轴 2t ， 则当 2t 时， 24 tty  取到最大值 448max y ， 故实数m的最小值是 4. 故选：D. 【点睛】结论点睛： 对 x M  ，  f x a 恒成立，等价于   minf x a    ； 对 x M  ，  f x a 恒成立，等价于   maxf x a    . 二、多选题:本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．如图，U是全集， ,M N是U的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A．    NCMC UU  B．   NMCU  试卷第 5页，共 12页 C．  UN M N ð D．  UM N ð 【答案】BC 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合 N但不属于集合M ，故  U NM ð  UN M N ð 符 合要求， 故选：BC 10．下列命题正确的是（ ） A． 2 1 0x kx k    在  1,2 上恒成立，则实数 k的取值范围是  ,3 B．关于 x的不等式 0ax b  的解集是  1, ，则关于 x的不等式 0 2 ax b x    的解集是     ,21,  . C．若关于 x的方程  2 2 1 2 0x a x a     的一根比 1大且另一根比 1小，则 a的取值范围是 21 ＜＜a D．若不等式 2 0ax bx c   的解集为{ 2x x  ∣ 或 4}x  ，则 0＞abc 【答案】ABD 【分析】A：令   2 1g x x kx k    ，则    1 0, 2 0 g g     即可求得 k的范围； B：根据题意求出 a和 b的关系，化简 0 2 ax b x    即可求出解集； C：令    2 2 1 2f x x a x a     ，则  1 0f  即可求得 a的范围； D：根据二次方程根与系数的关系求出 a、b、c间的关系，即可判断 abc的符号． 【详解】A：∵ 2 1 0x kx k    在  1,2 上恒成立， 令   2 1g x x kx k    ，则    1 0, 2 0 g g     ，即 2 2 1 1 0, 2 2 1 0 k k k k           ，解得 3k  ，故 A正确； B：∵关于 x的不等式 0ax b  的解集是  1, ，∴ 0a b  ， 则关于 x的不等式 0 2 ax b x    等价于   2 0ax b x   ，即  1 (a x x  2) 0 ， 解得 1x   或 2x  ，故 B正确； C：要使关于 x的方程  2 2 1 2 0x a x a     的一根比 1大且另一根比 1小， 令    2 2 1 2f x x a x a     ，则有  1 0f  ，即  2 21 1 2 0a a     ， 解得 2 1a   ，故 C错误； 试卷第 6页，共 12页 D：若不等式 2 0ax bx c   的解集为{ 2x x  ∣ 或 4}x  ， 则 0a  ，且    2 24 2 2 8 , 2 , 8ax bx c a x x ax ax a b a c a             ， 又 30, 16 0a abc a    ，故 D正确． 故选：ABD． 11．用  x 表示不超过 x的最大整数，例如 4.6 4 ，   34.2  ，则（ ） A． Rx  ，    1 1x x   B． 3 1,, ＜yxRyx  ，则    yx  C．    xxRx 1010,  D．方程  2 4 3x x  的解集为 15, 19 【答案】ACD 【分析】设出 x的整数部分与小数部分，再由 [ ]x 的意义判断 A；利用特殊值判断 BC；确定[ ]x 的范围，进 而确定其值，代入计算判断 D. 【详解】对于 A，设 x的整数部分为 a，小数部分为 b，则[ ] [ ] , 1] [ 1 ] 1[x a b a x a b a         ， 因此    1 1x x   ，A正确； 对于 B， 4 3,1  yx ，满足 3 1 4 1 ＜ yx ，此时     0,1  yx ，B错误； 对于 C，当 1x 时，符合题意，C正确； 对于 D，由  2 4 3x x  ，知 2x 为整数且  4 3 0 x ，解得   34 x ，显然  0x  ，于是 0x  ， 因为     2 2 21x x x   ，即       22 4 3 1x x x    ，由    2 4 3x x  ，解得  2 7 2 7x    ，则  0 4 x ； 由     24 3 1  x x ，解得  1 3x   或[ ] 1 3x   （舍去），因此  3 4 x ，即   3x  或  4x  ， 当  3x  时， 2 4 3 3 15   x ，解得 15x  ；当   4x  时， 2 4 4 3 19   x ，解得 19x  ， 所以方程  2 4 3x x  的解集为 15, 19 ，D正确． 故选：ACD 试卷第 7页，共 12页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．能够说明“若 1 1 a b  ，则 a b ”是假命题的一组整数 a，b的值依次为 ． 【答案】 1a  ， 1b   ，答案不唯一， a，b分别取大于 0，小于 0的整数即可 【解析】 a，b分别取大于 0，小于 0的整数即可得到答案. 【详解】取 1a  ， 1b   ，满足 1 1 a b  ，但 a b ，得到命题为假命题. 故答案为： 1a  ， 1b   ； 【点睛】本题考查了举例判断假命题，意在考查学生的推断能力. 13．若 0, 0, 2 1x y x y    ，则 2 xy x y 的最大值为 【答案】 1 9 【分析】化简 1 1 22 xy x y x y    ，根据题意结合基本不等式，取得 1 2 1 2( )( 2 ) 9x y x y x y      ，即可求解. 【详解】由题意，实数 0, 0x y  ，且 1 1 2 1 22 xy x yx y xy x y     ， 又由 1 2 1 2 2 2 2 2( )( 2 ) 5 5 2 9y x y xx y x y x y x y x y            ， 当且仅当 2 2y x x y  时，即 1 3 x y  时，等号成立， 所以 1 2 9 xy x y   ，即 2 xy x y 的最大值为 1 9 . 故答案为： 1 9 . 14．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V （单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药 液倒出 5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出 4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的 60%， 则V 的取值范围为 . 【答案】 205 V 【分析】由题目条件，可得   %60 545    V V VV ，后解不等式可得答案. 【详解】第一次将桶中药液倒出 5升后，桶中药液还有  5V 升， 则此时药液含量占容积比例为   V V 5 .第二次倒出的 4升液体中， 试卷第 8页，共 12页 药液有   V V 54  升，则此时药液含量占容积比例为   V V VV 545  ， 由题有   %60 545    V V VV ，，解得 20 2 5 V , 又因为第一次将桶中药液倒出 5升，所以 5V , 故答案为： 205 V . 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题 13分） 计算（1）：   3 1 2 064.026113   ； （2）已知 12 1 2 1   aa ，求 2 3 2 3 22 3     aa aa 的值： 【答案】（1） 2 52  ；（2） 2 5 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式=   2 52 2 5233 8 125233 3 2   ； （2）因为 12 1 2 1   aa ，所以 12 1 2 2 1 2 1          aaaa ，即 31  aa ， 因为   32 3 2 1 2 1 2 3 12 1 2 1         aaaaaaaa ， 所以 43 2 1 2 1 2 3 2 3   aaaa ， 所以原式=   2 5 4 3221   aa 。 16．（本小题 15分） 已知命题 p：对 Rx  ,都有 2 1 0ax ax   成立；命题 q：关于 x的方程 2 2 4 0x ax   有实数根. (1)若命题 p为真，求实数 a的取值范围； (2)若 p与 q有且仅有一个真命题，求实数 a的取值范围. 试卷第 9页，共 12页 【答案】(1) 0,4 (2)0 2a  或 2a   或 4a  . 【分析】（1）分 0, 0a a  讨论求出命题 p为真命题参数 a的范围； （2）命题 p， q一真一假，再分 p真且 q假，和 q真且 p假两种情况分别求出参数 a的范围，再综合得到 答案. 【详解】（1）命题 p为真命题：对任意实数 x都有 2 1 0ax ax   恒成立， 当 0a  时，1 0 恒成立，当 0a  时，则 0 Δ 0 a    ，即 2 0 4 0 a a a     ，解得0 4a  ， 综上 a的取值范围为 0,4 . （2）若 q为真命题，则 24 16 0a    ，解得 2a  或 2a   ， 若 p真 q假，则 0 4 2 2 a a      ，则0 2a  ， 若 p假 q真，则 0 4 2 2 a a a a       或 或 ，则 2a   或 4a  ， 综上，0 2a  或 2a   或 4a  . 17．（本小题 15分） 某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第 x（ Nx  且 1x  ）年花在该项目的其他 费用（不包括收购费用）为  20x x  万元，该项目每年运行的总收入为50万元． (1)试问该项目运行到第几年开始盈利？ (2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案： ①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出； ②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出． 假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由． 【答案】(1)第 4年 (2)选择方案②，理由见解析 【分析】（1）设项目运行到第 x年的盈利为 y万元，可求得 y关于 x的函数关系式，解不等式 0y  可得 x的 试卷第 10页，共 12页 取值范围，即可得出结论； （2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论. 【详解】（1）解：设项目运行到第 x年的盈利为 y万元， 则   250 20 81 30 81       y x x x x x ， 由 0y  ，得 2 30 81 0x x   ，解得3 27x  ， 所以该项目运行到第 4年开始盈利． （2）解：方案①  22 30 81 15 144       y x x x ， 当 15x  时， y有最大值144． 即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为144 56 200  万元， 方案② 81 81 8130 30 30 2 12y x x x x x x x                ， 当且仅当 81x x  ，即 9x  时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12 9 92 200   万元. 综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②． 18．（本小题 17分） 请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二 个问的证明. （1） 0xy  是 2 2 0x y  的 条件 （2）已知 0ab  ，证明： 1a b  成立的 条件是 3 3 2 2 0a b ab a b    ． 【答案】（1）必要不充分，（2）充要，证明见解析 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义判断即可， （2）利用充分条件和必要条件的定义判断即可， 【详解】（1）当 0xy  时， 0x  或 0y  ，此时 2 2 0x y  不一定成立，如 0, 1x y  满足 0xy  ，而不满足 2 2 0x y  ，当 2 2 0x y  时，可得 0x  且 0y  ，所以 0xy  ， 所以 0xy  是 2 2 0x y  的必要不充分条件， （2）证明：先证必要性： ∵ 1a b  ，∴ 1b a  试卷第 11页，共 12页 ∴      3 23 3 2 2 3 21 1 1a b ab a b a a a a a a           3 2 3 2 2 21 3 3 1 2 0a a a a a a a a a          再证充分性： ∵ 3 3 2 2 0a b ab a b    ∴      2 2 2 2 0a b a ab b a ab b    即：    2 2 1 0a ab b a b    ∵ 2 2 22 3 0 2 4 0, bab a ab bab           ， ∴ 1 0a b   ，即 1a b  . 综上所述： 1a b  的充要条件是 3 3 2 2 0a b ab a b    . 19．（本小题 17分） 为了方便，我们可将函数 cbxaxy  2 的自变量 x对应的函数值记为  xf ，从而函数 cbxaxy  2 可 以写成   cbxaxxf  2 ，进而 0xx  时对应函数值为   cbxaxxf  0200 . 已知二次函数 2( ) ( 1) , Rf x x a x a a     . (1)若关于 x的不等式 ( ) 1f x   对 (1,3]x  恒成立，求 a的取值范围； (2)已知函数 ( ) 1g x x  ，若对 1 [0,1]x  ， 2 [ 1,2]x   ，使不等式 1 2( ) ( )g x f x 成立，求 a的取值范围. 【答案】(1) 3a  (2) 1a   或 3a  【分析】（1）分离参数得 2 1 1 x xa x     对 (1,3]x  恒成立，只需 2 min 1 1 x xa x        ，令 1t x  得 2 1 11t ta t t t       ，利用均值不等式求最小值即可； （2）由 1 [0,1]x  ， 2 [ 1,2]x   ，使不等式 1 2( ) ( )g x f x 成立可得 min min( ) ( )g x f x ， ( )f x 是一元二次函数， 利用对称轴位置求最小值即可. 【详解】（1）由   1f x   得   21 1a x x x    ， 试卷第 12页，共 12页 当 (1,3]x 时， 1 0x   ，所以 2 1 1 x xa x     对 (1,3]x  恒成立，只需 2 min 1 1 x xa x        即可， 令 1t x  ，由 (1,3]x 得 (0,2]t 且 1x t  ， 则 2 1 11t ta t t t       ， 因为 1 11 1 2 3t t t t       ，当且仅当 1t t  即 1t  ， 2x  时等号成立， 所以 2 min 1 3t t t        ， 即 3a  . （2）由 1 [0,1]x  ， 2 [ 1,2]x   ，使不等式 1 2( ) ( )g x f x 成立可得 min min( ) ( )g x f x 即可， 由 ( ) 1g x x  在 [0,1]上单调递增可得 min( ) (0) 1g x g   ， 而     2 2 2 1 2 11 2 4 a a af x x a x a x               的对称轴为 1 2 ax  ， ①当 1 1 2 a    即 3a   时 ( )f x 在[ 1,2] 上单调递增， 则 min( ) ( 1) 2 2 1f x f a      ，解得 3 2 a   ，综上 3a   ； ②当 11 2 2 a     即 3 3a   时， 2 min 1 2 1( ) 1 2 4 a a af x f            ，解得 1a   或 3a  ， 综上 3 1a    ； ③当 1 2 2 a   即 3a  时 ( )f x 在[ 1,2] 上单调递减， 则 min( ) (2) 2 1f x f a     ，解得 3a  ； 综合①②③可得 a的取值范围为 1a   或 3a  .