精品解析： 广东省惠州市惠城区2024-2025学年九年级上学期第一次月考模拟数学试题

2024年惠州市惠城区九年级上册第一次月考模拟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列为一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 2. 一元二次方程配方后变形为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 4. 若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线经过三点，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，那么抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 9. 若菱形一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 20或28 10. 对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是________． 12. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 13. 对于实数a、b、c、d，我们定义运算=ad-bc，例如：=2×5-1×3=7，上述记号就叫做二阶行列式．若=4，则x=______． 14. 抛物线 的对称轴是直线，则该函数的最小值是________ 15. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 16. 小颖与小明两位同学解方程过程如下框： 小颖： 两边同除以，得． 小明： 移项，得， 提取公因式，得． 所以，或， 解得，． （1）你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______； （2）写出你的解答过程． 17. 如图，某中学准备建一个面积为矩形花园，它的一边利用图书馆的后墙，另外三边所围的栅栏的总长度是，求垂直于墙的边AB的长度？（后墙MN最长可利用25米） 18. 已知二次函数，当时，，时，． （1）求a，c的值． （2）当时，求函数y的值． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y，的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线经过点（，__________），对称轴为__________； ②当时，x取值范围是__________； （2）求该抛物线的解析式． 20. 已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． （1）求点A、点B的坐标． （2）求的面积． 21 已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求a的值； （2）已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长． 三、解答题（每小题12分，共24分） 22. 在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以速度移动，同时，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，的面积等于？ （2）设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S关于t的关系式，并指出t的取值的范围； （3）t为何值时，S最小？求出S的最小值． 23. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年惠州市惠城区九年级上册第一次月考模拟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．也考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、为一元一次方程，所以该选项不符合题意； B、为一元二次方程，所以该选项符合题意； C、为分式方程，所以该选项不符合题意； D、对于，只有当时，它为一元二次方程，所以该选项不符合题意． 故选：B． 2. 一元二次方程配方后变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：B 3. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程解是解题的关键． 先根据已知方程，求出根的判别式，然后根据判别式的正负，判断方程根的情况即可． 【详解】解：在关于x一元二次方程中，，，， ， 因为，所以， 所以关于x的一元二次方程根的情况是有两个不相等的实数根． 故选A． 4. 若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．把代入方程，解得的值．注意：二次项系数不为零． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 解得或1； 又， 即； 所以． 故选：C 5. 某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解∶二月份工业产值为， 三月份工业产值为， ∴第一季度总产值为， 根据题意，得， 故选∶B． 6. 已知抛物线经过三点，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 依据题意，由抛物线为，从而对称轴是直线，再由和进行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， ∴对称轴直线． 若，则， ∴抛物线开口向上． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵经过三点， 又， ∴，故A错误，C正确． 若，则， ∴抛物线开口向下． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∵经过三点， 又， ∴，故B、D错误． 故选：C． 7. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即， 故选D 8. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，那么抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的两根即可得出抛物线与x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即可得出抛物线的对称轴． 【详解】∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=-1，x2=2， ∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(-1，0)、(2，0)， ∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与x轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴是解答本题的关键． 9. 若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 20或28 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形三边关系的应用，以及因式分解法解一元二次方程，先用因式分解法解一元二次方程，得出菱形的边长，再利用三角形三边关系的应用得出菱形的适合边长，最后根据菱形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 或， 解得或， 分两种情况： 当时， ∵， ∴不能构成三角形； 当时， ∵， ∴能构成三角形， 综上所述：该菱形的边长为7， ∴菱形的周长为：， 故选：C． 10. 对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在到之间， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时，， 而当时，， ∴ ， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：因式分解得，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 12. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根， ∴m2+3m-1=0， ∴3m-1=-m2， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 13. 对于实数a、b、c、d，我们定义运算=ad-bc，例如：=2×5-1×3=7，上述记号就叫做二阶行列式．若=4，则x=______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】利用题中的新定义列出关于x方程，解方程即可求解； 【详解】解：利用题中的新定义化简得： 解得：，． 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14. 抛物线 的对称轴是直线，则该函数的最小值是________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴和最值。熟练掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式得出b的值，再把代入即可得出该函数的最小值． 【详解】解：∵抛物线 的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线 的解析式为， 把代入中，得， ∴则该函数的最小值是1． 故答案为：1． 15. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质． 把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解． 【详解】解：把代入，则， 解得：， 二次函数解析式为：， 令，则， 故， ∵抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 16. 小颖与小明两位同学解方程过程如下框： 小颖： 两边同除以，得． 小明： 移项，得， 提取公因式，得． 所以，或， 解得，． （1）你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______； （2）写出你的解答过程． 【答案】（1）×，× （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程判断即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，小颖×，小明×， 故答案为：×，×； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， 解得，，． 17. 如图，某中学准备建一个面积为的矩形花园，它的一边利用图书馆的后墙，另外三边所围的栅栏的总长度是，求垂直于墙的边AB的长度？（后墙MN最长可利用25米） 【答案】 【解析】 【分析】花园总共有三条边组成，可设AB为，则BC为，根据题意有，解得x=15或5，又因为BC不大于25m，可知x=5要舍去． 【详解】解：设AB为，则BC为， 根据题意得方程：， ， 解得：，， ∵， ∴， ∴不合题意，应舍去， ∴垂直于墙的边AB的长度为． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键，注意BC边不能大于25，这是一个陷阱． 18. 已知二次函数，当时，，时，． （1）求a，c的值． （2）当时，求函数y的值． 【答案】（1） （2）21 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， ∴当时，． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y，的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线经过点（，__________），对称轴为__________； ②当时，x取值范围是__________； （2）求该抛物线的解析式． 【答案】（1）①8，直线；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等； （1）抛物线与x轴的交点坐标是和，可得抛物线的对称轴为，由函数的对称性可得及时的函数值相等，故由对应的函数值可得出所对应的函数值，从而得出正确答案； ③由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，从而求解； （2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标和，与y轴的交点坐标代入即可求出． 【小问1详解】 解：由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是和， ∴对称轴直线； ∵抛物线经过点，点和关于直线轴对称， ∴抛物线经过点， 故答案为：8，直线； ②由①可得：对称轴为直线， 由表格可得：在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上， 由①得：抛物线与x轴的交点坐标是和， ∴当时，； 故答案为： 【小问2详解】 解：由表格可得：抛物线与x轴的交点坐标是和，与y轴的交点坐标是， 代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为： 20. 已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． （1）求点A、点B的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1）交点A，B的坐标分别为， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）根据题意得到，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 解得：或 在的右边 交点，的坐标分别为，； 【小问2详解】 解：直线与轴交于点 当时，，即点坐标为 又， 点，到的距离分别为3，1 ． 21. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求a的值； （2）已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长． 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】（1）根据已知和根与系数关系得：，解得：，，因为关于的一元二次方程的两实数根，则，列式可得：，所以； （2）分类讨论：①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得的值，并根据三角形三边关系取舍；②当时，即方程有两个相等实根，，则△，，同理根据三角形三边关系舍去． 此题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的判定、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）时，方程有两个不相等的实数根；（2）时，方程有两个相等的实数根；（3）时，方程没有实数根；（4）；（5）． 【小问1详解】 解：由根与系数关系得：， 依题意得：， ， ， ， 解得：，， 由得：， ， ； 【小问2详解】 解：分两种情况： ①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得：， 整理得，解得，， 当时，，解得,，由，则此情况不存在； 当时，，解得，则三角形周长为； ②当时，即方程有两个相等实根，，则，，方程化为，解得，则，故舍去， ∴这个三角形的周长为17． 三、解答题（每小题12分，共24分） 22. 在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，的面积等于？ （2）设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S关于t的关系式，并指出t的取值的范围； （3）t为何值时，S最小？求出S的最小值． 【答案】（1）或4 （2）（） （3）， 【解析】 【分析】（1）设运动时间为秒，则，然后再根据的面积得到关于的一元二次方程，求解之即可得答案； （2）根据即可得出答案； （3）利用配方法将S关于t的关系式变形为顶点式，然后根据二次函数的性质求其最小值． 【小问1详解】 解：设运动时间为秒，则， ， 的面积等于， ， ， 整理，得， ， 或； 故运动开始后第2秒或第4秒时，的面积等于； 【小问2详解】 解：运动开始后第t秒时， ， ， （）； 【小问3详解】 解：， 又二次项系数为， 抛物线开口向上， 当时，最小，的最小值为63． 【点睛】此题考查了一元二次方程与二次函数在解决图形面积问题中的应用，熟练掌握一元二次方程的解法与运用配方法求二次函数的最值是解答此题的关键． 23. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）先由直线与轴、轴分别交于点、点，求出点和点的坐标，再将点、点的坐标代入列方程组求出、的值即可； （2）存在以，，顶点的等腰三角形，先由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按或或为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出的长即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：直线与轴、轴分别交于点、点， 当时，由得；当时，， ，， 把、代入，得，解得， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在． 理由如下： ， 该抛物线的顶点为，对称轴为直线， 设， ①等腰三角形以为底边，如图1所示： ， 由得，或， ，，； ②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示： ， ， ， ， ； ③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示： ， ， ， ， ，， ，解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，在解第（2）题时，应注意分类讨论，此题难度较大，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$