综合模拟试卷03-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

2025年湖南对口升学数学综合模拟试卷03 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 2．若，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定已知角所在象限、利用平方关系求参数 【分析】根据角所在的象限确定余弦值符号，再根据三角函数基本关系求解. 【详解】∵为第二象限角，∴. 根据，得到. 故选：D. 3．已知，则“”是“与共线”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算 【分析】由向量内积可以得到向量的夹角，从而判断向量是否共线. 【详解】由可知，， 所以，所以夹角为，可以得到与共线， 若与共线，则可得到向量夹角为或，所以得不到， 故“”是“共线”的充分不必要条件. 故选:B. 4．已知，，，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，借助中间量0、1来比大小. 【详解】因为在上为增函数，所以； 因为在上为减函数，所以； 又因为在上为增函数，所以. 所以. 故选：C 5．8名学生在一次数学测试中的成绩为，这组成绩的平均数是77，则的值为（    ） A．73 B．74 C．75 D．76 【答案】D 【知识点】平均数的概念与计算 【分析】利用平均数的计算公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】根据题意，可得， 可得 两边同乘以8，得，解得. 故选：D. 6．不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式恒成立问题 【分析】根据题意得，解关于的不等式即可. 【详解】不等式的解集是， ，即，解得， 实数的取值范围是. 故选：B. 7．若双曲线与椭圆有公共焦点，且，则a的值为（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求共焦点的双曲线方程 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，即可求解双曲线的焦点坐标即可求解a的值. 【详解】因为双曲线为与椭圆有公共焦点， 所以，解得， 所以焦点坐标为，， 所以，为双曲线的焦点， 所以，解得，. 故选:A. 8．若两条直线与重合，则=（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】两直线重合 【分析】根据两直线重合需满足的条件即可列式求解. 【详解】因为两条直线与重合， 即直线与直线重合， 当时，即时，两直线为，， 此时两直线不重合，不满足题意，舍去； 当时，有， 所以，解得，经检验，满足题意； 综上所述， . 故选：D. 9．已知等差数列中，，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为是等差数列，，， 所以，解得， 所以等差数列的公差为. 故选：B. 10．如图，在正方体中，分别为和的中点，则和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求异面直线所成的角 【分析】根据已知线面垂直证明线线垂直即可解得. 【详解】由题，为正方体， 则平面， 平面， 则， 故与所成的角为 故选：D 二、填空题 11．若，则 . 【答案】7或9 【知识点】组合数方程或不等式 【分析】利用组合数的性质，得到关于的方程，解之再检验即可得解. 【详解】因为， 所以或，解得或， 经检验，或都满足且. 故答案为：7或9 12．学校开运动会，某班有40名学生，其中24人报名参加赛跑项目，14人参加跳远项目，两项都没参加的有8人，则两项都参加的有 人． 【答案】6 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、Venn图 【分析】设两项都参加的有x人，画出韦恩图，根据图示列式即可求解. 【详解】设两项都参加的有x人， 因为全班有40名学生，两项都没参加的有8人，则参加跳远或赛跑的有人， 又因为24人报名参加赛跑项目，14人参加跳远项目， 所以两项都参加的有人. 故答案为：6. 13．已知向量，，，则 ． 【答案】 【知识点】已知模求参数、内积的坐标表示 【分析】根据向量的模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 14．高为的直三棱柱，它的底面是边长为的正三角形，则直三棱柱的体积是 ． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】利用三角形面积公式及直三棱柱体积公式可求. 【详解】底面是边长为的正三角形，则三角形的高为， 则底面积， 则体积； 故答案为：. 15．经过点且垂直于直线的直线方程为 ； 【答案】 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】由两直线垂直，根据直线的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可． 【详解】由直线方程可知直线斜率为， 因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为， 又所求直线过点，所以所求直线的方程为， 即. 故答案为： 三、解答题 16．下图的正四棱柱的底面边长为，高为1，O为下底面的中心．求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)正四棱锥的体积． 【答案】(1) (2)1 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、锥体体积的有关计算、棱柱的结构特征和分类 【分析】（1）根据棱柱的几何特征可知，得出为异面直线与所成角，再由特殊角的三角函数值求角即可. （2）根据棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）连接，已知为正四棱柱，所以， 则为异面直线与所成角， 因为底面边长为，高为1，所以， 在直角三角形中，，所以， 则异面直线与所成角为. （2）已知O为下底面的中心， 则正四棱锥的高与正四棱柱高相同， 即，底面积为， 所以， 即正四棱锥的体积为1 17．若不等式的解集是， (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)； (2) 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）利用韦达定理由一元二次不等式的解集求参数即可； （2）利用一元二次不等式的解法可解. 【详解】（1）依题意可得：=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：，解得：；. （2）不等式，可化为， 即，所以，解得：， 故不等式的解集． 18．已知袋中有10个球，其中7个红球，3个黑球，从中任取3球． (1)写出取到红球个数的分布列； (2)求出红球个数的数学期望． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先列出取到红球个数的所有可能情况，依次计算出其概率，最后列出分布列. （2）根据分布列中的数据计算出数学期望即可. 【详解】（1）由题意可知，可以为0，1，2，3， 所以，， ， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）X的数学期望． 19．在等比数列{}中，已知，. (1)求通项公式； (2)设，求数列{}的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列的通项公式、求等差数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列、对数的运算 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列出方程组，求出首项与公比，从而得解； （2）通过对数的运算性质，求出，验证数列{}是等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）设等比数列{}的公比为， 因为，， 所以，解得， 所以. （2）因为，由（1）问，有， 所以，， 所以数列{}是以首项，公差的等差数列， 所以. 20．已知椭圆C与抛物线有一个公共焦点，且长轴长为6． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆C的另一个焦点为，过且倾斜角为的直线l交椭圆C于P，Q两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】椭圆中的焦点三角形问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线、韦达定理在椭圆中的应用 【分析】（1）根据抛物线方程和椭圆的性质即可解得. （2）设出直线方程与椭圆进行联立，由韦达定理和三角形面积公式即可解得. 【详解】（1）由题，抛物线焦点为， 故，又知长轴长为，即， 则， 故椭圆方程为 （2）由（1）可知，设， 又知过的直线斜率为， 则设直线，即， 联立， 可得， 由韦达定理， ， 故三角形面积为. 21．已知分别为三个内角的对边，且. (1)求角； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合同角三角函数的商数关系整理可得，即可求出. （2）由余弦定理求出，进而利用面积公式即可求出答案. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以. （2）由（1）可得，且， 由余弦定理， 可得，可化为，解得， 故. 22．某化工厂利用原料甲和原料乙生产三种不同的气体产品A，B，C，每消耗一吨原料与产品A，B，C（单位：立方米）的产量有下列关系： 产品 原料 产品A 产品B 产品C 原料甲 10（立方米） 8（立方米） 5（立方米） 原料乙 5（立方米） 16（立方米） 15（立方米） 现知每吨原料甲与原料乙的价格分别为4万元/吨和3万元/吨，现三种产品A，B，C分别需要25立方米、56立方米、45立方米，问如何使用两种原料，才能使该厂成本最低？最低成本是多少？ 【答案】使用原料甲1吨，原料乙3吨，成本最低，最低成本为13万元 【知识点】线性规划问题的应用、图解法、二元一次不等式组表示的平面区域 【分析】设使用原料甲吨，原料乙吨,根据题意建立线性约束条件，画出可行域，利用图解法即可求解. 【详解】由题意知，甲、乙原料的价格分别为4万元/吨和3万元/吨， 设使用原料甲吨，原料乙吨，成本为万元，则， 由题意得，化简得， 作出可行域如图． 作直线并平移，当直线经过点A时，最小， 由可得点坐标为，所以． 答：使用原料甲1吨，原料乙3吨，成本最低，最低成本为13万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年湖南对口升学数学综合模拟试卷03 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“与共线”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 5．8名学生在一次数学测试中的成绩为，这组成绩的平均数是77，则的值为（    ） A．73 B．74 C．75 D．76 6．不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若双曲线与椭圆有公共焦点，且，则a的值为（    ） A．2 B． C． D．6 8．若两条直线与重合，则=（    ） A． B．0 C． D． 9．已知等差数列中，，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在正方体中，分别为和的中点，则和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则 . 12．学校开运动会，某班有40名学生，其中24人报名参加赛跑项目，14人参加跳远项目，两项都没参加的有8人，则两项都参加的有 人． 13．已知向量，，，则 ． 14．高为的直三棱柱，它的底面是边长为的正三角形，则直三棱柱的体积是 ． 15．经过点且垂直于直线的直线方程为 ； 三、解答题 16．下图的正四棱柱的底面边长为，高为1，O为下底面的中心．求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)正四棱锥的体积． 17．若不等式的解集是， (1)求的值； (2)求不等式的解集. 18．已知袋中有10个球，其中7个红球，3个黑球，从中任取3球． (1)写出取到红球个数的分布列； (2)求出红球个数的数学期望． X 0 1 2 3 P 19．在等比数列{}中，已知，. (1)求通项公式； (2)设，求数列{}的前n项和. 20．已知椭圆C与抛物线有一个公共焦点，且长轴长为6． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆C的另一个焦点为，过且倾斜角为的直线l交椭圆C于P，Q两点，求的面积． 21．已知分别为三个内角的对边，且. (1)求角； (2)若，求的面积. 22．某化工厂利用原料甲和原料乙生产三种不同的气体产品A，B，C，每消耗一吨原料与产品A，B，C（单位：立方米）的产量有下列关系： 产品 原料 产品A 产品B 产品C 原料甲 10（立方米） 8（立方米） 5（立方米） 原料乙 5（立方米） 16（立方米） 15（立方米） 现知每吨原料甲与原料乙的价格分别为4万元/吨和3万元/吨，现三种产品A，B，C分别需要25立方米、56立方米、45立方米，问如何使用两种原料，才能使该厂成本最低？最低成本是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$