专题10 概率与统计初步（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

专题十 概率与统计初步 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲要求·考情分析 01 考点突破·考法探究 03 04 课堂小结·查漏补缺 02 知识清单·网络构建 √ √ √ √ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.01 考纲要求·考情分析 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4 考纲解读 1.理解随机事件和概率的概念，掌握概率的简单性质。 2.了解直方图与频率分布，理解总体与样本的概念及抽样方法。 3.理解总体均值、标准差的概念，掌握用样本均值、标准差估计总体均值、 标准差的方法。 4.理解离散型随机变量及其分布，掌握离散型随机变量的期望与方差。 5.能运用概率、统计的知识解决简单的实际问题。 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考点方向 概率与统计初步是对口升学重点考查的内容，重点考查概率与统计的相关概念、计算公式、应用等。题型上一般都有解答题、2 ～3个选择题和填空题，分数比例一般都在15%以上。 该部分知识概念多而杂，要通过一定数量的练习才能理解并掌握这些知识，概率与统计知识和生活联系十分紧密，考查方式多变，只有掌握知识的实质，才能应对自如。 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.02 知识清单·网络构建 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 一、随机事件的相关概念 随机事件的相关概念 具体内容 随机试验 在相同条件下，通过试验和观察的方法研究随机现象，试验和观察可以重复进行，并可提前预测可能发生的各种结果，但无法预测确切的结果，这类试验和观察称为随机试验 随机事件 随机试验的结果称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C等表示 必然事件 在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，用 表示 不可能事件 在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件，用 表示 基本事件 在试验和观察中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件 复合事件 可以用基本事件来描绘的随机事件称为复合事件 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．频数、频率与概率的概念 二、频数、频率与概率 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 01 02 03 04 性质1 对于任意事件A，都有 ． 性质4 如果事件 ，那么 ． 性质2 必然事件 发生的概率是1，即 ． 性质3 不可能事件 发生的概率是0，即 ． 2．概率的性质 二、频数、频率与概率 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 如果一个随机试验满足条件： ① 基本事件只有有限个； ② 每个基本事件发生的可能性相同，那么称这样的随机试验的数学模型为古典概率模型，简称古典概型．在古典概型中，如果试验共包含n个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性相同，事件A包含m个基本事件，那么事件A发生的概率为 （ ）． 三、古典概型 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 敲黑板 古典概型常见实例： ① 投掷质地均匀的硬币； ② 投掷质地均匀的骰子； ③ 有放回的抽样； ④ 已知次品率的抽样； ⑤ 已知命中率的若干次射击等． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1. 互斥事件 在随机试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件（或互不相容事件）．一般地，两个互斥事件A与B事件至少有一个发生的概率为 ， 该式称为互斥事件的概率加法公式． 不可能同时发生，且必有一个发生的两个事件称为对立事件．如果事件A与B对立，那么 ． 四、互斥事件与相互独立事件 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 事件A的对立事件记作 ，有 ． 对立事件是互斥事件的特例，它满足互斥的情况，还满足A并B为全集的条件，即A，B有且只有一个发生．例如，在掷骰子试验中，事件A={出现的点数为偶数}，事件B={出现的点数为奇数}， 为不可能事件， 为必然事件，所以事件A与事件B互为对立事件． 如果事件A与B互斥，那么 ； 1 如果事件 彼此互斥，那么 ； 2 如果事件A与B互斥，那么 ； 3 推广： 四、互斥事件与相互独立事件 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2. 相互独立事件 事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件称为相互独立事件．如果事件A与B同时发生，记作 ，那么两个相互独立事件A与B同时发生的概率为 或 ， 该式称为相互独立事件的概率乘法公式，即两个相互独立事件同时发生的概率为两个事件发生概率的乘积． 四、互斥事件与相互独立事件 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2. 相互独立事件 如果事件 相互独立，那么 2 如果事件A与B相互独立，那么 表示事件A与B至少有一个不发生． 3 如果事件A与B相互独立，那么 与B，A与 ， 与 相互独立； 1 推广： 四、互斥事件与相互独立事件 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1. 离散型随机变量 如果随机变量所有可能的取值可以一一列出，则称这种随机变量为离散型随机变量． 五、离散型随机变量及其分布 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 这个表叫作离散型随机变量的分布列．离散型随机变量 的概率分布有以下性质． 性质1 ． 性质2 ． 2. 离散型随机变量 的概率分布 离散型随机变量 所有可能的取值 ，与其对应的概率 所组成的表，称为离散型随机变量 的概率分布（或分布列）． 五、离散型随机变量及其分布 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 敲黑板 （1）求离散型随机变量的分布列的基本步骤：① 确定随机变量的所有可能取值；② 求出各取值的概率；③ 列表． （2）求出离散型随机变量的分布列后，一定要检验所有的概率之和是否等于1． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量 的分布列如表所示，则称 为随机变量 的均值或数学期望，简称期望，它反映了随机变量 取值的平均水平． 若离散型随机变量 的分布列如表所示，则称 为离散型随机变量 的方差，它反映了随机变量 与其均值 的平均偏离程度．方差的算术平 方根 称为随机变量 的标准差． 五、离散型随机变量及其分布 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 敲黑板 方差的简化计算公式： 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．独立重复试验及其概率 在相同条件下，重复进行 次试验，如果每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，那么这 次重复试验称为 次独立重复试验． 在 次独立重复试验中，如果每次试验的可能结果只有两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件 和 ，并且在每次试验中，事件A发生的概率都相同，这样的 次独立重复试验称为 次伯努利试验． 伯努利公式：如果在每次试验中事件 发生的概率为 ，事件 不发生的概率， ，那么在 次伯努利试验中，事件 恰好发生 次的概率为 六、独立重复试验与二项分布 （ ）． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．二项分布 一般地，在 次独立重复试验中，设每次试验中事件 发生的概率为 ，用 表示事件 发生的次数，则 六、独立重复试验与二项分布 （ ） 此时称随机变量 服从二项分布，记作 ～ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 敲黑板 在 次独立重复试验中， 若 ～ ，则 ， ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 统计的相关概念 具体内容 总体 在统计中，所研究对象的全体称为总体 个体 组成总体的每个对象称为个体 样本 从全体研究对象中抽取的考察对象的集体称为总体的一个样本 样本容量 样本中所含个体的数目称为样本容量 简单随机抽样 设一个总体含有有限个个体，且其个体总数为N，如果通过逐个抽取（不放回）的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等，那么这种抽样称为简单随机抽样 系统抽样 当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一定数目的个体，得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样 分层抽样 当总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本能更充分地反映总体的情况，通常将总体分成几个部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样称为分层抽样，其中分成的各部分称为层 七、统计的相关概念 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 敲黑板 （1）简单随机抽样需满足的条件：① 总体中每个个体被抽到的机会是均等的；② 总体中个体较少. （2）系统抽样需满足的条件：① 总体中每个个体被抽到的机会是均等的；② 总体中个体较多. （3）分层抽样需满足的条件：① 总体是由有明显差异的几部分组成；② 每层按个体总数所占的比例来进行抽样；③ 每层中个体被抽到的机会均等. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．平均数 如果样本中有n个数据 ， 那么这个样本的平均数为 ，也称为样本均值． 八、样本的数据特征 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．方差与标准差 如果样本中有n个数据 ，那么样本的方差为 样本的标准差为 八、样本的数据特征 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 敲黑板 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 九、样本的频率分布 1．频率分布 样本中某数据（或数据组）的频数与样本容量的比，就是该数据的频率，所有数据（或数据组）的频率分布变化规律叫作频率分布． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 九、样本的频率分布 2．频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤：① 求极差，即一组数据中最大值与最小值的差；② 确定组距和组数；③ 将数据分组；④ 计算各小组的频率，列频率分布表；⑤ 绘制频率分布直方图． 在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 一般有两种方法： 一种是用样本的频率分布估计总体的分布， 另一种是用样本的数字特征（如平均值、方差、标准差）估计总体． 用样本的频率分布估计总体的步骤： ① 选择恰当的抽样方法得到样本数据； ② 找出数据的最大值、最小值，求极差； ③ 确定组距和组数； ④ 确定分点，计算各小组的频率，并列出频率分布表； ⑤ 绘制频率分布直方图； ⑥ 观察频率分布表与频率分布直方图，根据样本的频率分布，估计总体中某事件发生的概率． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考点突破·考法探究 PART.03 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例1  在10件同类产品中，有8件正品和2件次品．若从10件产品中任意抽取3件，则下列事件为必然事件的是（ ）． A．3件都是正品 B．至少有1件是正品 C．3件都是次品 D．至少有1件是次品 解析 A和D是随机事件；次品只有2件，抽出3件时，则必有1件是正品，B是必然事件；次品只有2件，不可能有3件，C是不可能事件． 【名师点睛】 正确理解必然事件和不可能事件的概念，并根据题干所给条件解题． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练1  下列事件中，是随机事件的为（ ）． A．在常温常压状态下，锡块熔化 B．若 ，则 C．没有水分，种子会发芽 D．锐角三角形中，两内角的和大于90 ⋄ ⋄ 答案： B B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 解析 当个位为0时，组成的偶数有10，20，30，共3个；当个位为2时，组成的偶数有12，32，共2个．所以可组成的偶数有3+2=5个． 【名师点睛】 应用列举法，找出所有可能的基本事件． 例2  从 四个数字中随机选取两个，可以组成 无重复数字的两位数偶数． A．4 B．5 C．8 D．10 （ ）个 B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练 2  从 五个数字中随机选取两个不同的数，使其和为偶数，则不同的选法共有（ ）种． A．2 B．3 C．4 D．5 答案： C C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例3  从分别标有 的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得第二张卡片上的数字大于第一张卡片上数字的概率是（ ）． A． B． C． D． 解析 随机抽取1张卡片，抽得每张卡片的概率相等，随机抽取两次的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9个，基本事件的总数n=9．其中第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的事件有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，即m=3．所以抽得第二张卡片上的数字大于第一张卡片上数字的概率是： ． 【名师点睛】 确定基本事件的总数 和满足条件的基本事件的个数 ，其比值 为所求概率． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练3  有两个兴趣小组，甲、乙两位同学想加入小组，每位同学加入各小组的可能性相同，则这两位同学加入同一个兴趣小组的概率是（ ）． A． B． C． D． 答案： B B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例4  甲、乙两人独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.7，乙击中目标的概率为0.6，现各射击一次，则目标被击中的概率为（ ）． A．0.42 B．0.58 C．0.88 D．0.12 解析 方法一：目标被击中的情况有三类：① 甲击中，乙未击中；② 甲未击中，乙击中；③ 甲、乙都击中．所以 ． 方法二：如果目标未被击中，则甲未击中，乙也未击中，其概率为 ，所以目标被击中的概率为 ． 【名师点睛】 可利用概率加法公式和概率乘法公式求解此类问题． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练4  甲、乙二人独立解答某数学题，甲独立解出的概率是 ，甲、乙二人都独立解出的概率是 ，则乙独立解出的概率是____________，恰有1人独立解出的概率是____________． 答案： ； 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例5  从含有8个正品、2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1个，用 表示抽到次品的次数．求： （1） 的分布列；（2）至少有1次抽到次品的概率；（3） ， ． 解析 （1）随机变量 的所有可能取值为0，1，2，且 ， ，所以 的分布列如表所示． （2）由（1）知至少有1次抽到次品的概率为 ． （3）由（1）知 【名师点睛】 计算离散型随机变量分布列的主要步骤如下： （1）写出随机变量的所有取值；（2）计算出各个取值对应的随机事件的概率． ， ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练5  现有5道题，其中甲类题有3道，乙类题有2道．王同学从这5道题中随机抽取2道题解答，设抽到甲类题的个数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望． 答案： 分布列 ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例6  一袋子中装有7只大小相同的球，其中4只白球，3只黑球． （1）有放回地从中任取3次，每次取1球，求3次都取到白球的概率； （2）无放回地从中任取3次，每次取1球，求3次中至少有1次取到白球的概率． 解析 （1）设事件 {从中任取一球为白球}，则 ，则3次都取到白球的概率为 ． （2）无放回地取球，所有可能的结果为 ，3次全取到黑球的结果为 ，所以3次中至少有一次取到白球的概率为 ． 【名师点睛】 注意有放回与无放回情况的区别，有放回的情况可用伯努利公式求概率，无放回情况需要根据计数原理和排列、组合求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练6  一个袋子中装有10个形状和大小都相同的小球，其中8个红球、2个白球．若从中有放回地任取1个，连取2次，两次都出现白球的概率是__________． 答案： 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例7  已知离散型随机变量 服从二项分布 ～ ，则 （ ）． A． B． C． D． 解析 因为离散型随机变量 服从二项分布 ～ ，所以 ． D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练7  小明每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在每个交通岗遇到红灯的事件都是独立的，且概率都是 ． （1）求小明在途中遇到红灯的次数 的分布列； （2）求小明在途中至少遇到一次红灯的概率； （3）求 ， ． 答案： （1）分布列 （2） ． （3） ； 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例8  某学校为了解该校高二学生的视力情况，从高二年级的582人中抽取了100名学生进行检测．请指出其中的总体、个体、样本和样本容量． 解析 总体是该校所有高二学生的视力情况，个体是该校每一名高二学生的视力情况，样本是从中抽取的100名高二学生的视力情况，样本容量是100． 【名师点睛】 根据一项试验表述总体、个体、样本等概念时，一定要弄清考察对象是人还是人的某项指标． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练8  为了解某地区高一年级7 000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重．下列说法中，正确的是（ ）． A．7 000名学生是总体 B．每个学生是个体 C．500名学生是抽取的一个样本 D．样本容量是500 答案： D D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例9  某学校有员工160人，其中，高级教师48人，一般教师64人，管理人员16人，行政人员32人．若采用分层抽样，从中抽取一个容量为20的样本，应如何进行抽样？ 解析 因为四类人员的人数比为3∶4∶1∶2，且 ， 所以需要从高级教师、一般教师、管理人员、行政人员中分别抽取6人、8人、2人、4人． 【名师点睛】 本题考查分层抽样法的运用． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解题通法 分层抽样的一般步骤： ① 确定抽样比， ； ② 确定每层需要抽取的个数， . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练9  某学校共有三个年级，其中高一年级有1 600名学生．现采用分层抽样法在全校抽取100名学生进行体能测试，已知在高二年级中抽取了36名学生，高三年级中抽取了24名学生，则该校高三年级有_____________名学生． 答案： 960 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例10  从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔相同的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）． A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43 C．1，2，3，4，5 D．2，4，6，16，32 解析 由题可知，采用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该分别 k， ， ， ， ，其中 ，k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求． 【名师点睛】 本题考查系统抽样法的运用． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解题通法 系统抽样的一般步骤： ① 给个体随机编号，将总体中的N个个体编上号； ② 确定分组的间隔 ，n为样本容量（也是组数）； ③ 抽样，在第一组内取 号 （ ），在第二组内取 号，在第三组内取 号， ，在第n组内取 号. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练10  将参加数学竞赛的1 000名学生按照000，001，002，…，999分别编号，从中抽取一个容量为50的样本，采用系统抽样的方法将所有学生分成50个组，第一组编号分别为000，001，…，019，如果在第一组随机抽取的一个号码为015，则抽取的第40个号码为_________． 答案： 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例11 已知甲、乙两台自动售货机一周售出的某种饮料（单位：瓶）的统计结果如表所示． 解析 （1）设甲、乙两台自动售货机这一周售出该饮料的日平均销售量分别为 ， ，故 ， ． （2）设甲、乙两台自动售货机销售量的方差分别为 ， ，故 ， ． 因 ， ，故乙自动售货机的销售情况较好． 【名师点睛】 考查用样本均值和方差估计总体，理解并掌握样本均值和方差的公式． （1）求甲、乙两台自动售货机这一周售出该饮料的日平均销售量； （2）哪台自动售货机的销售情况较好，为什么？ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练11  为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株，测得苗高（单位：cm）如下： 甲：15， 9，16，18，14， 8，12，10，17，11， 乙：12，15，14，16，15，13，12，10，12，11． 分别计算两个样本的均值和方差，并根据计算结果估计哪种小麦长得比较整齐． 答案：样本甲的均值是13，方差是12.2，样本乙的均值是13，方差是3.78，乙种小麦长得比较整齐． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  例12 已在参加世界杯足球赛的32支球队中，随机抽取20名队员，调查其年龄情况，得到的频率分布表如表所示． （1）画出频率分布直方图； （2）求这20名队员的平均年龄． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 解析 【名师点睛】 本题考查频率分布直方图的绘制以及通过频率分 布直方图求样本平均值，方法是用每组的中点值乘以该组的频率 后相加． （1）根据频率分布表绘制的频率分布直方图如图所示． （2）这20名队员的平均年龄为 ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练12  某棉纺织厂为了解一批棉纤维的长度情况，从这批棉纤维中随机抽取了100根，测量其长度（单位：mm），并将所得数据分组： [0，5]，(5，10]，(10，15]， ，(35，40]， 画出频率分布直方图，如图所示． （1）求频率分布直方图中 的值； （2）求抽取的100根棉纤维中长度不超过20 mm的纤维根数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 答案：（1） 解得 ． （2）100根棉纤维中长度不超过20 mm纤维的频率是 ， 频数是 ．所以长度不超过20 mm的纤维有30根． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例13  某工厂对200名员工的体重情况进行了统计，其频率分布直方图如图所示，则体重在[60，65)（单位：kg）内的人数为（ ）． A．70 B．80 C．100 D．120 解析 由图可知，组距为5，所以员工体重在[60，65)内的频率为 ，人数为 ． 【名师点睛】 本题考查频数、频率、组距和样本容量的概念，需注意： （1）频率对应矩形的面积：底 高，即频率 组距 纵坐标； （2） ， ． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  变式训练13 某校高三年级500名学生的数学月考成绩（满分：150分）的频率分布直方图如图所示， 则分数不低于130分的人数为（ ）． A．75 B．110 C．125 D．150 答案： C C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.04 课堂小结·查漏补缺 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 65 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 66 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 67 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 68 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 69 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 70 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 71 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 72 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 73 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 74 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 75 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 76 本课结束 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） $$