专题09 排列组合与二项式定理（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

专题九 排列组合与二项式定理 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲要求·考情分析 01 考点突破·考法探究 03 04 课堂小结·查漏补缺 02 知识清单·网络构建 √ √ √ √ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.01 考纲要求·考情分析 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4 考纲解读 1.掌握分类计数原理和分步计数原理。 2.理解排列、组合的概念。 3.掌握排列数计算公式、组合数计算公式和组合数的性质。 4.能运用排列组合的知识解决简单的实际问题。 5.了解二项式定理。 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 排列组合与二项式定理是高考的常考内容，主要考查基本概念、基本知识和基本运算。排列组合是学习概率的基础，在高考中一般以实际应用题的形式出现。 二项式定理一般在选择题或填空题中出现，主要是求二项式中参数的值、特定项的系数等。 考点方向 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.02 知识清单·网络构建 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．分类计数原理 完成一件事可以有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法······在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　　　　　　　　种不同的方法，它又称为　　　　原理． m1＋m2＋···＋mn 加法 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．分步计数原理 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法······做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　　　　　　　　种不同的方法，它又称 为　　　　原理． m1·m2·····mn 乘法 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．分类计数原理与分步计数原理的区别 都是涉及　　　　　的不同方法的种类，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法互相独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互独立，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 做一件事 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．现在有4件不同款式的上衣与3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的选法有(　　) A．7种 B．64种 C．12种 D．81种 C 1 2 3 4 5 6 【提示】　N＝4×3＝12(种)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 2．某校开设A类素养课3门，B类素养课4门，若要求从这两类课程中选一门，则不同的选法共有(　　) A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 C 【提示】　N＝3＋4＝7(种)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 3．若从5名男生和4名女生中选两人担任班干部，要求男、女生各选一名，则不同的选法有(　　) A．9种 B．16种 C．18种 D．20种 D 【提示】　N＝5×4＝20(种)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 4．若点A的坐标为(x，y)，且x∈{1，2，3}，y∈{5，6}，则这样的点A有(　　) A．2个 B．3个 C．5个 D．6个 D 【提示】　N＝3×2＝6(种)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．从6本语文书和5本数学书中任取1本给老师，则不同的取法有　　　　种． 1 2 3 4 5 6 【提示】　运用加法原理． 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 6．某班有7名音乐爱好者，8名美术爱好者，若从中任选一名作为文艺委员，则不同的选法有　　　　种． 1 2 3 4 5 6 15 【提示】　N＝7＋8＝15(种)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．排列 从　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　 ，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列． n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素，按一定的 次序排成一列 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．组合 从　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合． n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素组成一组 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 6．排列数公式 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示(也可用 表示，本书统一采用 )． ＝　　　　　　　　　　　　，该公式一般适用于运算． n(n－1)(n－2)···(n－m＋1) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 当n＝m时为全排列， ＝n(n－1)(n－2)×···×3×2×1 ＝　　　　． 排列数公式还可以表示成： ＝　　　　(规定0！＝1)，该公式多用于化简． n！ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 7．组合数公式 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的组合的个数，用 表示． ＝ ＝　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　 ＝　　　　　　　　． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 8．组合数的性质 (1) ． (2) ＝　　　　　(m≤n，且m，n∈N)． (3) ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．计算： (1) ＝　　　　； (2)6！＝　　　　； (3)0！＝　　　　． 20 1 2 3 4 5 6 720 1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 2．计算： (1) ＝　　　　； (2) ＝　　　　； (3) ＝　　　　． 10 1 1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 3．若 ＝13×12×11×10，则m＝　　　　，n＝　　　　． 4 13 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 4．若 ，则m＝　　　　，n＝　　　　． 2 10 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．若 ，则n的值为　　　　． 1 2 3 4 5 6 【提示】　4＋5＝n． 9 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 6． ＝　　　　． 1 2 3 4 5 6 36 【提示】　原式＝ ＝ ＝36. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 9．排列问题大致分为两类 (1)不含限制条件的简单排列问题，可依题意利用公式求得结果． (2)带限制条件的排列问题，一般可采取两种途径计算： ①直接法：把　　　　　　　　　　　　　　　　计算出来； ②间接法： 先算出　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 然后再从中减去　　　　　　　　　　　　　　　　． ①满足限制条件的排列数 满足限制条件和不满足限制条件的排列数的总和 不满足限制条件的排列数 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 10．几种典型的排列问题及其处理方法 (1)元素相邻问题，一般用　　　　，即将必须相邻的元素“捆”在一起当作一个元素进行排列． (2)元素不相邻问题：一般用　　　　，即把可相邻的两个元素之间各留出一个空位，将不能相邻的元素插入空位中进行排列． 捆绑法 插空法 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 11．组合问题 组合问题可分为两类：一类是不含限制条件的组合问题，可直接利用公式求解；另一类是含有限制条件的组合问题． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12．典型组合应用问题 (1)“含”与“不含”问题． (2)至多(至少)含某类元素中r个元素的组合问题． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．数字1，2，3，4，5可组成　　　　个不同的三位数(数字可重复)．(　　) A．15 B．48 C．100 D．125 1 2 3 4 5 6 D 【提示】　N＝5×5×5＝125(个)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 2．若从4名男生和3名女生中各选一人参加比赛，则不同的选法有(　　) A．7种 B．12种 C．64种 D．81种 B 【提示】　N＝4×3＝12(种)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 3．现有10支足球队，若采用单循环赛制(任意两支足球队仅需比赛一场)，则需比赛的场次是(　　) A．10场 B．45场 C．90场 D．100场 B 【提示】　N＝ ＝45(场)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 4．从4双不同的鞋子中任取4只，结果都不成双的取法有(　　) A．24种 B．16种 C．18种 D．70种 B 【提示】　N＝24＝16(种)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．集合A＝{1，2，3，4，5，6}的所有子集中，含有3个元素的子集有　　　　个． 1 2 3 4 5 6 20 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 6．某班上午要上语文、数学、体育和外语四门课，但体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同的排课方案 有　　　　种． 1 2 3 4 5 6 12 【提示】　N＝ ＝12(种)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13．二项式定理 (1)对于n∈N*， (a＋b)n＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　，该公式所表示的定理叫作　　　　　　，右边的多项式叫作(a＋b)n 的　　　　　　；展开式共有项数为　　　　项． (2)二项展开式的通项Tr＋1＝　　　　，表示第　　　　项． 二项式定理 二项展开式 n＋1 r＋1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (3)二项展开式中的二项式系数为　　　　　　　　． (4)二项展开式中项的系数是指　　　　　　　　　　　　． 　　　　　　　　． 各项中的未知数前面的数字 或字母的乘积 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 15．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端　　　　的两项的二项式系数相等，即 (r＝0，1，2，3，···，n)． (2)二项式系数最大的项在中间：当幂指数n为偶数时，中 间　　　　项的二项式系数最大，为第　　　　项；当n为奇数 时，中间　　　　项的二项式系数最大，为第　　　　　　　项． 等距离 一 两 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (3)二项式系数之和为　　　　．二项展开式中，各偶数项的二项式系数之和与各奇数项的二项式系数之和相等，即：　　　　＝　　　　　　　　＝　　　　　　　　＝　　　　　　　　． 2n 2n－1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 16．求展开式的各项系数之和的方法：　　　　　　　　． 　　　　　　　　． 赋值法，令二项式 中的未知数为1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 17．求特定项的方法 利用通项公式可求特定项，如：常数项、有理项、系数、参数值等，其基本方法是先运用通项公式写出特定表达式，再根据特定项的要求列出r，n满足的条件，求出r与n，再确定所求． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．(a＋b)n的展开式有11项，则n等于(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 1 2 3 4 5 A 【提示】　∵n＋1＝11，∴n＝10． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 2．(x－2)6的展开式中第4项是(　　) A． B． C． D． B 【提示】　 T4＝T3＋1＝ ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 3．若(a＋b)n中n满足关系式 ，则此二项展开式的二项式系数最大项为(　　) A．第4项 B．第5项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 D 【提示】　 ⇒n＝9，展开式有10项，故中间两项即第5或6项二项式系数最大． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 4．(x－1)5的展开式中第4项的二项式系数为(　　) A．10 B．－10 C． D． A 【提示】　展开式中第4项的二项式系数为 ＝10． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．(1－x)5的展开式中的二项式系数之和与系数之和分别 为(　　) A．32，32 B．16，32 C．0，32 D．32，0 1 2 3 4 5 D 【提示】　二项式系数之和25＝32；令x＝1，系数之和为 05＝0． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考点突破·考法探究 PART.03 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例1】　书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． (1)若从书架上任取一本书，则有多少种不同的取法？ (2)若从书架的第1，2，3层各取一本书，则有多少种不同的取法？ 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 【思路点拨】　本题主要考查分类计数原理和分步计数原理．解决一件事是能够一步完成还是需要多步完成，若能一步完成就用分类计数原理，若不能则用分步计数原理． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】(1)从书架上任取一本书，有3类办法：第1类是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类是从第3层取1本体育书，有2种办法．根据分类计数原理，不同取法有4＋3＋2＝9(种)．∴从书架上任取1本书，有9种不同的取法． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)从书架上的第1，2，3层各取一本书，可以分成3个步骤：第1步，从第1层取一本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取一本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取一本体育书，有2种方法．根据分步计数原理，不同的取法有4×3×2＝24(种)．∴从书架上的第1，2，3层各取一本书，有24种不同的取法． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】　 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有10人，A型血的共有7人，B型血共有8人，AB型血共有5人． (1)若从中任选一人去献血，则有多少种不同的选法？ (2)若从四种血型中各选一人去献血，则有多少种不同的选法？ 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 解：(1)N＝10＋7＋8＋5＝30(种)． (2)N＝10×7×8×5＝2 800(种)． 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】小丽忘记行李箱密码了，只记得密码第1位不小于5，已知行李箱上的密码锁有4个拨盘，每个拨盘上有0～9十个数字，最多尝试　　　　次，可以打开锁．(用数字填写) 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 5 000 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】　本题主要考查分步计数原理的应用．开启行李箱需要一个正确的密码，该密码锁有4个拨盘，分四步来完成：第1步确定第1位，可任取5，6，7，8，9中的1个，有5种取法；第2步确定第2位，可任取0，1，2，···，9这十个数字中的1个，有10种取法······第4步确定第4位，可任取0，1，2，···，9这十个数字中的1个，有10种取法．由分步计数原理可得密码的个数． 分四步：第1步确定第1位，有5，6，7，8，9共5种，后三位可以重复，都是10种．故共有N＝5×10×10×10＝5 000(种)． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练2】　 一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．小林的手机是双卡双待机，若小林想得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用，则不同的取法共有(　　) A．120种 B．22种 C．12种 D．10种 A 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】　根据分步计数原理，共有10×12＝120(种)取法． 故选A． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】　现有4种不同的颜色为图22－1所示的4个词语涂色，要求1个词语只涂1种颜色，相邻的词语涂不同的颜色，则不同的涂法有　　　　种． 图22－1 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 108 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】本题主要考查分步计数原理的应用．词语“爱国”有4种涂色，词语“敬业”有3种涂色，词语“诚信”有3种涂色，词语“友善”有3种涂色．根据分步计数原理得N＝4×3×3×3＝108(种)不同的涂色方法． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练3】　 如图22－2所示，用4种不同的颜色为图中A，B，C，D 4个矩形区域涂色，要求相邻(有公共边)的矩形区域涂不同的颜色，则不同的涂色方案共有　　　　种． 图22－2 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 A D B C 48 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解法一：按顺序图分A，C同色和A，C不同色两种类型： N＝4×3×1×2＋4×3×2×1＝48(种)． 解法二：先涂相邻边多的D，则4×3×2×2＝48(种)． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　某公司新出两款手机，A款存储容量有3种，颜色有4种，B款存储容量有4种，颜色有5种，问：某手机消费者在购买该公司手机时能够有几种选择？ 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 【思路点拨】本题主要是对两个计数原理的综合性考查．综合性问题既有分类又有分步，一般先分类考虑，然后分步对每一类进行分析． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】手机分为两类： A款分两步：存储容量有3种，颜色有4种，共有3×4＝12(种)． B款分两步：存储容量有4种，颜色有5种，共有4×5＝20(种)． ∴共有12＋20＝32(种)． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练4】　 设从杭州到北京的高铁每天有13车次，可选择一等座、二等座和商务座；从杭州到北京的飞机每天有38架次，可选择头等舱、公务舱和经济舱．试问：某人从杭州坐高铁或飞机到北京，有多少种购票方法？ 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：第1类，坐高铁，有N1＝13×3＝39(种)； 第2类，坐飞机，有N2＝38×3＝114(种)． 共N＝39＋114＝153(种)． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【回顾反思】 分类计数原理和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题．区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互独立，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例1】　现有6名候选人． (1)若从中选出2人担任组长，则有多少种不同的选法？ (2)若从中选出2人分别担任正、副班长，则有多少种不同的选法？ 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 【思路点拨】　(1)从6名候选人中选出2人当组长，与顺序无关，属于组合问题． (2)从6名候选人中选出2人担任正、副班长，与顺序有关，属于排列问题． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　(1)选2人担任组长的选法有 ＝15(种)． (2)选2人担任正、副班长的选法有 ＝30(种)． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】　 平面内有8个点，其中无三点共线，可以构成直线　　　　条；射线　　　　条；非零向量　　　　个；三角形　　　　个． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 28 56 56 56 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】现有0～9这十个数字． (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 【思路点拨】 (1)①位置分析法：先确定千位上的数字，由于千位数字不能为0，故有9种排法；再用剩余的9个数字排剩余的三位数字，有 种排法，由分步计数原理可得没有重复数字的四位数的个数是 ． 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ②元素分析法：没有重复数字的四位数分为两类：没有数字0的四位数与有数字0的四位数．没有数字0的四位数的个数是 ，有数字0的四位数的个数是 ，由分类计数原理可得没有重复数字的四位数的个数是 ． ③间接法：用0～9这十个数字可以组成没有重复数字的四位数的个数是 － ． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)没有重复数字的四位偶数可分为两类：个位数是0的四位偶数与个位数是2，4，6，8的四位偶数，故没有重复数字的四位偶数的个数是 ＋ ． 【解】　(1)没有重复数字的四位数共有N＝ ＝4 536(个)． (2)没有重复数字的四位偶数共有N＝ ＋ ＝2 296(个)． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练2】　 (1)若用0～9这十个数字组成没有重复数字的三位数，则共 有　　　　个； (2)若用0，1，2，3，4，5组成能被5整除且没有重复数字的三位数，则共有　　　　个． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 648 36 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (1)【提示】∵首位选择的方法有9种，其他数位选择的方法有 种，∴共有 ＝9×9×8＝648(个)． (2)【提示】N＝ ＋ ＝36(个)． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】3名男生和4名女生站成一排． (1)若女生必须站在一起，则有多少种不同的站法？ (2)若女生必须全分开，则有多少种不同的站法？ (3)若女生不能站两端，则有多少种不同的站法？ 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】(1)捆绑法：先把4名女生捆绑成一个整体，同男生站成一排，有 种不同的站法；4名女生之间又有 种不同的站法．由分步计数原理可得，共有 ＝576(种)不同的站法． (2)插空法：3名男生先站好，留出四个空位，再把4名女生插入这四个空位，就能保证女生全分开．由分步计数原理可得，共有 种不同的站法． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (3)①位置分析法：由于两端不能站女生，故两端只站男生，有 种站法；剩余5名学生站5个位置，有 种站法．由分步计数原理可得，共有 种不同的站法． ②元素分析法：由于女生不能站两端，故4名女生只能站中间的5个位置，有 种站法；剩余3个位置站3名男生，有 种站法．由分步计数原理可得，共有 种不同的站法． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　(1)N＝ ＝576(种)． (2)N＝ ＝152(种)． (3)N＝ ＝720(种)． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练3】　 (1)8个人站成一排，若甲、乙、丙3人必须站在一起，则不同的排法有(　　) A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 D 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)3名女生和2名男生站成一排照相，若要求男生站在两端，则不同的排法有(　　) A．5种 B．6种 C．12种 D．15种 (3)现有3男3女站成一排照相，要求男女相间排列，总共排法有　　　　种． C 72 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (1)【提示】(捆绑法)将甲、乙、丙3人看成一个整体，与其他5人进行全排列，有 种，且3人内部的全排列为 种．根据乘法原理可得，不同的排法有 (种)． (2)【提示】 N＝ ＝12(种)． (3)【提示】 N＝ ＝72(种)． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　若从6名运动员中选4人参加4×100 m接力赛，其中甲、乙不跑第1棒，则共有多少种不同的安排方法？ 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 【思路点拨】有特殊要求的一般用“优先法”，即对有特殊要求的人(或位置)优先安排，但本题人多位置少，需优先安排位置． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　分两步： 第1步，安排第1棒，甲、乙不跑第1棒，有 种； 第2步，其他3棒，有 种． 故共有 ＝40(种)． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练4】　 甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选的课程中有1门相同的选法有　　　　种． 例1 变1 例2 例3 变3 变4 变2 180 【提示】　 N＝ ＝180(种)． 例4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【回顾反思】 1．对于带限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑： (1)元素分析法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素； (2)位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【回顾反思】 2．分类处理：处理较复杂的问题时，一般先分成若干类，再由分类计数原理得出结论． 3．分步处理：处理较复杂的问题时，一般先分成若干步，再由分步计数原理解决．在解题过程中，常常既要分类又要分步，其原理是先分类再分步． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【回顾反思】 4．排除法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的情况去掉． 5．插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【回顾反思】 6．捆绑法：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列． 7．枚举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来，这种方法常用于方法数较少的问题． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例1】　化简：(1－x)5＋(x＋1)5． 例1 变1 例2 例3 变3 变2 【思路点拨】此题为二项式定理的直接运用，两个二项式分别展开，合并同类项即得． 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　(1－x)5＋(x＋1)5 ＝(1－x)5＋(1＋x)5 ＝( )＋ ( ) ＝10x4＋20x2＋2． 例1 变1 例2 例3 变3 变2 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】　 (1)写出(x＋ )4的二项展开式； (2)化简：(1－x)5＋5x－10x2－1． 例1 变1 例2 例3 变3 变2 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：(1) (2)(1－x)5＋5x－10x2－1＝1－5x＋10x2－10x3＋5x4－x5＋5x－10x2－1＝－10x3＋5x4－x5. 例1 变1 例2 例3 变3 变2 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】求(3 － )6展开式中的常数项． 例1 变1 例2 例3 变3 变2 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】 展开式中的常数项即为该项不含x的项，也就 是x的指数为0.设常数项为Tr＋1，则Tr＋1＝ ， 运用同底数幂运算，令x的指数为0，即可求出r.此题型的关键是利用通项Tr＋1＝ 写出指定项，根据已知条件求出n或r，计算过程要注意“－”号及指数运算． 例1 变1 例2 例3 变3 变2 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】设常数项为Tr＋1，则 Tr＋1＝ ＝ ＝ ， 令3－r＝0，得r＝3， 故常数项为T3＋1＝(－1)3·36－3 ＝－540. 例1 变1 例2 例3 变3 变2 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练2】　 (1)求(2x－y)5的展开式中倒数第3项的系数； (2)求(x－ )9展开式中含x6的项． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：(1)展开有6项，倒数第3项为 T4＝T3＋1＝ (2x)2(－y)3＝－40x2y3， ∴所求项系数为－40． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)Tr＋1＝ ＝ ， 令9－3r＝6，得r＝1， 所求项为T1＋1＝ ＝－9x6． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】已知( － )n的展开式中，第5项的二项式系数与第3 项的二项式系数之比是5∶3，求展开式中的第4项． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 【思路点拨】关键是第r＋1项的二项式系数是 .因为5＝4＋1，所以第5项的二项式系数为 ；同理，第3项的二项式系数 ， 由题意得 ，求出n的值，再根据通项公式求出第4项． 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】由题意得 ，即 ， ， 整理得n2－5n－14＝0，解得n＝7或n＝－2(舍去)， ∴n＝7，所求项为 T4＝T3＋1＝ ． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练3】　 (1)(a＋b)11的展开式中，与第3项的二项式系数相等的项为 第　　　　项； (2)在二项式(x－ )n的展开式中，第3项的二项式系数比第2 项的二项式系数大44，求n的值及展开式中的系数最大项． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 10 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (1)【提示】∵ ，9＋1＝10，∴为第10项． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)解：由题意得 ＝44， ∴n2－3n－88＝0，得n＝11或n＝－8(舍去)， ∴n＝11，∴展开式有12项，中间两项为T6，T7， T6＝ ＝ ＝－462x－4(舍去)， 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） T7＝ ＝ ＝462x－7， ∴系数最大项为T7＝462x－7. 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　已知(1＋x)n的展开式只有第4项的二项式系数最大，求展开式的第5项． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 【思路点拨】(x＋1)n展开式中项的系数等于二项式系数，当n为偶数时，中间一项，第 ＋1项的二项式系数最大；当n为奇 数时，中间两项，即第 项和第 ＋1项的二项式系数最大．故n为偶数． 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　由题意得 ＋1＝4，解得n＝6． 故展开式的第5项为 ． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练4】　 已知( ＋ )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，问： 此展开式是否含有常数项？若有，求此常数项；若没有，则说明理由． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：由题意得 ＋1＝5，∴n＝8. Tr＋1＝ ＝ ， 令 ＝0，则r＝2， ∴常数项为 ＝7. 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例5】　已知(2－x)7＝a0＋a1x＋···＋a7x7(x∈R)，求： (1)a0的值； (2)a0＋a1＋a2＋···＋a7的值； (3)a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7的值． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 【思路点拨】　本题属于“赋值法”题型，可令x为适当值，求所求值． 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　(1)令x＝0，则a0＝128． (2)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋···＋a7＝1． (3)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝2 187． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练5】　 若(1－3x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋···＋a7x7，求a1＋a2＋···＋a7的值． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋···＋a7＝ (－2)7＝－128； 令x＝0，则a0＝1． 故a1＋a2＋···＋a7＝－129． 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【回顾反思】 1．二项式定理 往往被忽略，当n的数值不大时可以直接展开或用杨辉三角直接写出各项或各项的二项式系数． 2．求指定项时只需利用通项公式Tr＋1＝ ，根据已知条件求出n或r. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【回顾反思】 3．项的系数与二项式系数是不同的两个概念，只有当二项式中两个项的系数均为1时，系数等于二项式系数． 4．审题时，要注意区分所求的是第r项还是第r＋1项；求的是项的系数还是二项式系数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.04 课堂小结·查漏补缺 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【A组基础训练】 一、单项选择题 1．若6名学生和1名老师站成一排拍照，要求老师必须站在正中间，则不同的站法有(　　) A．1种 B．7种 C．120种 D．720种 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A组 B组 1 2 【提示】　N＝ ＝720(种)． 3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．若从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市考察，要求每个城市必有人去，每人只考察一个城市，且甲、乙不能去巴黎，则不同的选择方案有(　　) A．72种 B．240种 C．360种 D．24种 B 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 3 【提示】　(位置优先法)N＝ ＝240(种)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．若100件产品中有2件次品，则抽出3件中至少有1件次品的抽法有(　　) A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 C 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 【提示】　 N＝ － ． 3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．从1，2，3，5，7这5个数字中，任取两个不同的数字作为直线Ax＋By＝0的系数A，B，则可以得到不同的直线有(　　) A．22条 B．30条 C．12条 D．20条 D 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 【提示】　 N＝5×4＝20(条)． 3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．某航空母舰在某次训练中，有甲、乙、丙、丁、戊5架舰载机准备着舰．如果甲、乙必须相邻着舰，且丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 C 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 【提示】 ＝24(种)． 3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 6．若 ，则x等于(　　) A．7 B．3或9 C．7或9 D．9 C 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 【提示】　由题意得x＝2x－7或x＋2x－7＝20，解得x＝7或 x＝9． 3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 二、填空题 7．若 (7≤x<10)，则logxy＝　　　　． 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 3 【提示】 x＝8，y＝4． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 8．(1)若 ＝ ＋30，则n的值为　　　　； (2)若 ＝28，则n＝　　　　． 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 10 (2)【提示】 ＝ ＝28． 3 8 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 9．(1)从　　　　个不同的元素中取出2个元素的排列数是56； (2)从　　　　个不同的元素中取出2个元素的组合数是36. 8 3 9 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 10．化简： ＝　　　　．(写出最简式) 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 【提示】原式＝ ． 3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 三、解答题 11．已知 ， ， 成等差数列，求 的值． 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 解：由题意得 ， 即 ， 整理得n2－21n＋98＝0， 3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12．已知(x－ )n二项展开式的二项式系数之和为64，求展开式中的常数项． 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 3 13 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：由题意知2n＝64，得n＝6， 设Tr＋1＝ ＝ ， 令6－ r＝0，得r＝4， ∴常数项为T4＋1＝ ＝240． 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 3 13 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13．已知( ＋3x2)n的展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项． 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 3 13 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：由题意可得：4n－2n＝992，即(2n)2－2n＝992，解得2n＝32(负值舍去)，∴n＝5.则二项式系数最大的项为第三、四项， T3＝ ＝90x6， T4＝ ＝270 ． 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 3 13 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【B组能力提升】 1．若(1－3x)2 022＝a0＋a1x＋···＋a2 022x2 022(x∈R)，则 的值为(　　) A．2 B．0 C．－1 D．－2 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 C 3 13 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】令x＝0，则a0＝1；令x＝ ，则a0＋ ＋ ＋···＋ ＝0，故 ＋ ＋···＋ ＝－1． 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 3 13 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．化简： ． 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 3 解： ＝ (1－3)n＝(－2)n． 13 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m∈N*，n∈N*)的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值． 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 A组 B组 1 2 8 3 解：由题意得m＋n＝19，x2的系数为 ＝ (m2－m) ＋ (n2－n)＝m2－19m＋171，当m＝9或10时，x2的系数最 小值为81． 13 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 本课结束 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） $$