专题08 二次曲线（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

专题八 二次曲线 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲要求·考情分析 01 考点突破·考法探究 03 04 课堂小结·查漏补缺 02 知识清单·网络构建 √ √ √ √ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART。01 考纲要求·考情分析 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 二次曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。本章内容是高考命题的热点题材之一，主要考查曲线定义的应用、曲线的方程、几何性质及综合运用等。三种题型都有出现，并且必有解答题。在解答题中，一般都是几种曲线或直线的综合运用。分数比例一般在15%左右。 考点解读 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART。02 知识清单·网络构建 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 知识要点 定义 图像 标准方程 范围 平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 7 Administrator (A) - Administrator (A) - 顶点 　 焦点 焦距 轴 离心率 知识要点 |F1F2|=______，c2=a2-b2 a>b>0,a>c>0 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 8 基础过关 1．在平面内，若F1，F2是定点，|F1F2|=8，动点M满足|PF1|+|PF2|=10，则点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．线段 1 2 3 4 5 6 【提示】 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10>|F1F2|. A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 9 基础过关 2．若P是椭圆x2+4y2=16上一点，且|PF1|=5，则|PF2|等于 (　　) A．1 B．3 C．5 D．9 B 1 2 3 4 5 6 【提示】 椭圆方程可化为 ，∴a=4，∴|PF1|+|PF2|=8，∴|PF2|=3. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 10 基础过关 3．椭圆4x2+y2=1的离心率为(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 6 【提示】 ∵a=1，b= ，c= ，∴e= = . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 11 基础过关 4．已知椭圆的长轴长是8，焦距是6，则此椭圆的标准方程是(　　) A． B． 或 C． D． 或 B 1 2 3 4 5 6 【提示】 椭圆的焦点在x轴上时，标准方程为 ；椭圆的焦点在y轴上时，标准方程为 . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12 基础过关 5．椭圆5x2+3y2=15的两个焦点坐标为_______________. 1 2 3 4 5 6 (0，- ) ，(0， ) 【提示】 ，焦点在y轴上，且a2=5，b2=3，∴c ，∴焦点坐标为(0，- )，(0， ). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13 基础过关 6．若某椭圆的离心率为 ，一个短轴的顶点坐标是(0，-8)， 则此椭圆的标准方程为________． 1 2 3 4 5 6 【提示】 由题意，焦点在x轴上，且b=8，e ，∴ 又∵a2=b2+c2=64+c2，∴a2=100，b2=64，∴此椭圆的标准方程为 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 14 知识要点 项目 内容 定义 图象 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于同一常数2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 15 知识要点 项目 内容 标准方程 ____________ (a>0，b>0) ____________ (a>0，b>0) 几何性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 顶点 焦点 (±a，0) (0，±a) (±c，0) (0，±c) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 16 知识要点 项目 内容 几何性质 渐近线方程 ________ (或 ＝0) ________ (或 ＝0) 焦距 |F1F2|＝________，c2＝a2＋b2，c>b>0，c>a>0 2c y＝± x y＝± x 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 17 知识要点 项目 内容 几何性质 轴 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；实轴长：|A1A2|＝________；虚轴长：|B1B2|＝________ 离心率 e＝________(e>1)，e越大，双曲线开口越开阔 2a 2b 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 18 知识要点 2．等轴双曲线 (1)等轴双曲线的离心率e＝________. (2)渐近线方程为________. (3)等轴双曲线的两条渐近线互相垂直． (4)等轴双曲线的方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0). y＝±x 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 19 基础过关 1．已知两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，则满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是(　　) A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6 C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0 1 2 3 4 5 6 【提示】 ∵两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，∴|F1F2|＝6，由双曲线定义得||PF1|－|PF2||∈(0，6)，∴||PF1|－|PF2||＝5满足条件． A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 20 基础过关 2．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D．2 B 【提示】 根据等轴双曲线的特点． 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 21 基础过关 3．双曲线 的渐近线方程为(　　) A．y＝± x B．y＝± x C．y＝± x D．y＝± x 1 2 3 4 5 6 C 【提示】 ∵焦点在x轴上，且a＝3，b＝5，∴渐近线方程为y＝± x. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 22 基础过关 4．双曲线 ＝1的焦距是(　　) A．4 B．6 C．8 D．与m有关 C 1 2 3 4 5 6 【提示】 双曲线 ＝1的焦点在x轴上，即4－m2>0， 则a2＝m2＋12，b2＝4－m2，c2＝a2＋b2＝16，则c＝4，焦距2c＝8. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 23 基础过关 5．若双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，焦距为8，一个顶点坐标为(2，0)，则此双曲线的标准方程为________. 1 2 3 4 5 6 【提示】 ∵焦点在x轴上，且c＝4，a＝2，∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，∴双曲线的标准方程为 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 24 基础过关 6．双曲线x2－ ＝1的实轴长为________，虚轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________． 2 1 2 3 4 5 6 4 y＝±2x 【提示】 ∵a2＝1，b2＝4，∴c2＝a2＋b2＝5，∴a＝1，c＝ ，∴离心率 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 25 项目 内容 定义 图象 标准方程 ________(p>0) ________(p>0) ________(p>0) ________(p>0) 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 26 知识要点 项目 内容 对称轴 焦点 准线 顶点 离心率 x轴 x轴 y轴 y轴 (0，0) e＝1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 27 基础过关 1．在平面直角坐标系中，到直线x＝－2与到点F(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 C 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 28 基础过关 2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　) A．(0，2) B．(0，1) C．(2，0) D．(1，0) D 【提示】 对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为 ，即y2＝4x的焦点坐标为(1，0). 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 29 基础过关 3．抛物线y＝－4x2的焦点到准线的距离为(　　) A．1 B．2 C． D． C 【提示】 化为标准方程得 ，∴ ，∴ . 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 30 基础过关 4．顶点在原点，且经过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－4x B．x2＝4y C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y C 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 31 基础过关 5．若抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，准线方程为y＝3，则此抛物线的方程为___________. x2＝－12y 【提示】 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，∵ ＝3，∴2p＝12，即x2＝－12y. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 32 基础过关 6．若抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到此抛物线的焦点的距离是________． 1 2 3 4 5 6 6 【提示】 抛物线的准线方程为x＝－2，∵点P到y轴的距离为4，∴点P到准线的距离为6，∴点P到焦点的距离为6. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 33 1．直线与圆锥曲线的位置关系有________、________和________. 2．判断直线与圆锥曲线的位置关系 知识要点 相交 相切 相离 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 34 知识要点 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 35 知识要点 3．计算直线与圆锥曲线的相交弦长 联立 ax2＋bx＋c＝0，当a≠0，Δ≥0时，由韦达定理得x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，则弦长＝ (其中k为直线的斜率，x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 36 知识要点 4．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题：常用中点坐标公式、韦达定理、点差法等． 5．关于对称性问题：可根据点的对称性的求法类推． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 37 基础过关 1．直线y＝x＋2与抛物线y2＝4x的公共点有(　　) A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 C 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 38 基础过关 2．经过椭圆 的一个焦点，且垂直于y轴的弦长为(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 39 基础过关 3．直线 与双曲线 的交点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 【提示】 双曲线的渐近线方程为y＝± x，直线y＝ x＋1与渐近线平行，∴与双曲线有1个交点． 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 40 基础过关 4．若经过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C 1 2 3 4 5 6 【提示】 满足题意的直线有3条，如：直线x＝0、直线y＝1及经过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 41 基础过关 5．若直线2x－y－2＝0与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，则弦AB的中点坐标的横坐标为________. 2 【提示】 由 得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，∴x中＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 42 基础过关 6．已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆 (a>b>0)的左焦 点F1(－c，0)和上顶点B(0，b)，则椭圆的离心率为________. 1 2 3 4 5 6 【提示】 F1(－2，0)，B(0，1)，即c＝2，b＝1，∴a2＝b2＋c2 ＝5，∴a＝ ，∴ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 43 1．平面解析几何是中职教材的重点内容，也是高职考试的重要考点．研究的主要内容有：直线方程；圆的标准方程以及直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程及其性质；双曲线的标准方程及其性质；____________的标准方程及其性质． 知识要点 抛物线 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 44 知识要点 2．重点考查曲线方程和曲线方程的性质以及曲线之间的关系等基本知识；考查斜率公式、距离公式、夹角公式、中点坐标公式等重要公式的应用；考查坐标法、数形结合法、________法等重要数学思想方法． 3．从近几年的考题分析，以考查单一的知识点为主，但也有多个知识点的综合应用．因此，要求学生能够解决直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线之间相互关系的综合性问题． 分类讨论 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 45 基础过关 1．已知圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＝0，下列直线经过圆心的是(　　) A．2x＋3y＋1＝0 B．3x－2y－1＝0 C．2x＋3y－4＝0 D．2x＋3y＋4＝0 C 1 2 3 4 5 6 【提示】 圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C(－1，2)，代入可知点(－1，2)在直线2x＋3y－4＝0上． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 46 基础过关 2．若直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于(　　) A． B． C． D．4 C 1 2 3 4 5 6 【提示】 由 消去y得ax2－x＋1＝0，∴ 解得a＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 47 基础过关 3．若直线x－2y＋3＝0与圆(x＋2)2＋(y－3)2＝9相交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为(　　) A． B． C． D． B 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 48 基础过关 【提示】 ∵圆心(－2，3)，半径r＝3，∴圆心到直线的距离d＝ ，弦长|EF|＝2 ＝4，原点到直线EF的距离为 ，∴S△EOF＝ . 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 49 基础过关 4．直线y＝x－2被椭圆 截得的弦长是(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 50 基础过关 【提示】 设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．联立方程组 消去y得5x2－16x＋12＝0，∴x1＋x2＝ ， x1x2＝ . ∴|AB|＝ . 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 51 基础过关 5．若两直线l1：3x＋4y＋a＝0，l2：3x＋4y＋b＝0都与圆x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0相切，则|a－b|＝________. 20 【提示】 圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，两条平行直线间的距离d＝ ＝2×2，即|a－b|＝20. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 52 基础过关 6．若抛物线y2＝2ax的焦点与双曲线 的某一焦点重合，则a＝________. 1 2 3 4 5 6 【提示】 ∵双曲线的焦点坐标为(±2，0)，∴ ＝±2，∴a＝±4. ±4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 53 考点突破·考法探究 PART。03 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　如图48－1所示，已知椭圆 的焦点分别为F1和F2，经过左焦点F1的直线与椭圆相交于A，B两点，则△ABF2的周长为________. 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【思路点拨】　结合图形，不难发现△ABF2的周长C△ABF2= |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|，再根据椭圆的定义得C△ABF2=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a， ∴△ABF2的周长为20. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】 已知椭圆 的两个焦点分别为F1 和F2,短轴的一个端点为A,则△AF1F2 的周长为______ . 典例剖析 【提示】 C△AF1F2=2a+2c=2×3+2×2=10. 10 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为8,且经过点(-2 ,2),求椭圆的标准方程. 典例剖析 【思路点拨】　椭圆的焦点在x轴上，可设方程 ，根据两个已知条件，代入求得a2，b2. 【解】　∵焦点在x轴上，且2a=8，∴a=4， 设椭圆的标准方程为 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 将点(-2，2)代入，得b2=8， ∴椭圆的标准方程为 . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 已知椭圆的中心在坐标原点，求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过A(3，0)，B(0，5)两点； (2)长轴长为12，焦距为8. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 解：(1)由题意知A，B两点分别为椭圆的短轴和长轴的顶点，且焦点在y轴上，a=5，b=3， ∴椭圆的标准方程为 . (2)∵2a=12，2c=8， ∴a=6，c=4，∴b2=a2-c2=20， ∴椭圆的标准方程为 或 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】已知椭圆 的离心率为 ,求m的值. 典例剖析 【思路点拨】由于2和m的大小关系不确定，因此椭圆的焦点位置可能在x轴上，也可能在y轴上，于是可以分两种情况讨论． 【解】当焦点在x轴上时，a2=2，b2=m，∴c2=a2-b2=2-m， 由e= 得 ，∴m= ； 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 当焦点在y轴上时，a2=m，b2=2，∴c2=a2-b2=m-2， 由e= 得 ，∴m= . 综上所述，m的值为 或 . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 (1)若椭圆5x2+ky2=5的一个焦点坐标是(0,2),则k=________; (2)若方程 表示的曲线是椭圆,则m的取值范围 是_______________ . 1 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【提示】(1) 方程化为 .∵焦点在y轴上，∴a2= ，b2=1 且c=2，∴ =1+4=5，k=1. (2)由题意得 解得3<m<4且m≠ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】如图48 2所示,已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是短轴的 一个端点.若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA= ,求椭圆的标准方程. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【思路点拨】　借助图形可知，若焦点在x轴上，在Rt△FOA中，AF=a=3，OF=c，OA=b，由cos ∠OFA= 可求出c，进而求出b，可确定方程． 【解】　在Rt△FOA中，|AF|=a，|OA|=b，|OF|=c且a=3， ∴cos ∠OFA= ，∴c=2， ∴b2=a2-c2=9-4=5，∴椭圆的标准方程为 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练4】 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是其中一个焦点，A是一个顶点．若椭圆的长轴长是26，且cos ∠OFA= ，则此椭圆的标准方程是_____________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【提示】 由题意得 解得 ∴b= =12.∴当焦点在x轴上时，此椭圆的标准方程是 ； 当焦点在y轴上时，此椭圆的标准方程是 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【例5】　已知椭圆的两个焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0)，A为椭圆上一点，且∠F1AF2=90°，△AF1F2的面积为6，求： (1)△AF1F2的周长； (2)椭圆的标准方程 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【思路点拨】　由题意得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2=(|AF1|+|AF2|)2-2|AF1|·|AF2|，再结合条件和椭圆的定义可算出周长． 【解】　∵∠F1AF2=90°，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2 =(|AF1|+|AF2|)2-2|AF1|·|AF2|.又∵S△AF1F2=|AF1|·|AF2|=6， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 ∴|AF1|·|AF2|=12， ∴62=(|AF1|+|AF2|)2-2×12，∴|AF1|+|AF2|=2 . (1)△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2 +6. (2)∵|AF1|+|AF2|=2 =2a，∴a= ， ∴b2=a2-c2=15-9=6， ∴椭圆的标准方程为 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练5】　已知椭圆 的两个焦点分别为F1和 F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，则△AF1F2的面积为______. 16 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 解:∵|AF1|+|AF2|=2a=10,|F1F2|=2c=6, ∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2 =(|AF1|+|AF2|)2-2|AF1|·|AF2|, 即62=102-2|AF1|·|AF2|, ∴|AF1|·|AF2|=32, ∴S△AF1F2 = |AF1|·|AF2|= ×32=16. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1.求椭圆方程应充分运用椭圆的定义、标准方程、参数间的关系,画出图象,并运用数形结 合的思想解决问题. 2.求椭圆方程常用的方法有两种: (1)直接法:由椭圆的几何性质及相关条件,直接求出a,b的值; (2)待定系数法:设出椭圆的标准方程,根据已知条件列方程组,用待定系数法求解a,b 的值. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 注意:当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式. 3.当题目涉及距离或长度问题时,考虑运用椭圆的定义,结合勾股定理、余弦定理等相关知识. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　求双曲线7x2－9y2＝63的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、渐近线方程及离心率． 变2 【思路点拨】　求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程等问题的关键是先将双曲线方程化为标准方程，先判断焦点位置，再确定a，b，c的值． 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　∵7x2－9y2＝63，∴双曲线的标准方程为 ∴焦点在x轴上，且a2＝9，b2＝7，∴c2＝16， ∴a＝3，b＝ ，c＝4， ∴焦点坐标为(±4，0)，顶点坐标为(±3，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝ ， 渐近线方程为y＝± x，离心率 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】 求双曲线16x2－9y2＝－144的顶点坐标、焦距、实轴长、虚轴长、渐近线方程及离心率． 典例剖析 解：∵16x2－9y2＝－144， ∴双曲线的标准方程为 ∴焦点在y轴上，且a2＝16，b2＝9， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 ∴c2＝a2＋b2＝25，∴a＝4，b＝3，c＝5， ∴顶点坐标为(0，±4)，焦距2c＝10， 实轴长2a＝8，虚轴长2b＝6， 渐近线方程为y＝± x，离心率e＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点坐标为(0，±5)，离心率为 ； (2)顶点坐标为(±4，0)，焦距为12. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【思路点拨】　求双曲线的标准方程实质上是求出a，b，利用双曲线的几何性质以及三个参数之间的关系．一般分三步：①确定焦点所在坐标轴，若不能判断，则需要分类讨论；②根据条件确定焦点坐标、顶点坐标等，进而确定a，b，c三个参数值；③写出标准方程． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　(1)∵焦点在y轴上，且c＝5，e＝ ∴a＝3，∴b2＝c2－a2＝16， ∴双曲线的标准方程为 (2)∵焦点在x轴上，且a＝4，2c＝12， ∴c＝6，∴b2＝c2－a2＝36－16＝20， ∴双曲线的标准方程为 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 (1)虚半轴长为6，且其中一个焦点坐标为(－10，0)的双曲 线的标准方程为________； 【提示】 ∵b＝6，c＝10，∴a＝8. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 (2)实轴长为4，离心率为 的双曲线的标准方程为 ________________________. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【提示】 ∵2a＝4，a＝2，e＝ ∴c＝3，∴b2＝c2－a2＝5.∵焦点的位置不确定，∴此双曲线的标准方程为 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】　已知双曲线的渐近线方程为y＝± x，且经过点P( ，－4)，求双曲线的标准方程． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　已知渐近线求双曲线的标准方程，有两种方法：一是先要判断焦点的位置，再设出标准方程，利用已知条件列出方程组，解方程组求出参数a，b即可；二是根据渐近线方程设双曲线方程为 ＝λ的形式，再将已知的点代入求出λ，第二种方法可以避免讨论焦点的位置． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　方法一：作图可判断双曲线的焦点在y轴上， 设双曲线方程为 (a>0，b>0)，则 ∴双曲线的标准方程为 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 方法二：设双曲线方程为 ＝λ， 将点P( ，－4)代入得λ＝－2， ∴双曲线的标准方程为 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 (1)若某双曲线的两条渐近线互相垂直，且经过点P(2，1)， 则此双曲线的标准方程为__________； 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【提示】 由题意知此双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将P(2，1)代入得λ＝3，∴此双曲线的标准方 程为 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 (2)与双曲线 ＝1有相同渐近线，且经过点(2， )的 双曲线的标准方程为________. 解：设所求双曲线方程为 ＝λ， 将(2， )代入，得λ＝2， ∴双曲线的标准方程为 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　设F1，F2为双曲线 －y2＝1的焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　根据三角形的面积公式 ＝ |PF1|·|PF2|·sin 60°，而|PF1|·|PF2|可以在△F1PF2中利用余弦定理求出．关键是在计算过程中利用双曲线的定义以及配方的形式凑出|PF1|·|PF2|.解题过程中，要充分利用圆锥曲线的定义以及图形的平面解析几何的知识． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　如图所示． ∵∠F1PF2＝60°，||PF1|－|PF2||＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝ ∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60° ＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|， 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 即|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴20＝16＋|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴S△PF1F2＝ |PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练4】 已知双曲线 ＝1的两个焦点分别为F1和F2，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积． 解：∵a2＝9，b2＝16，∴c2＝a2＋b2＝25， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴||PF1|－|PF2||＝2a＝6，|F1F2|＝2c＝10， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 ∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|， ∴100＝36＋2|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝32， ∴ ＝ |PF1|·|PF2|＝ ×32＝16. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．求双曲线的方程通常有三种题型：(1)常规题，已知三个参数中的两个或一个，再把握另一个已知条件，通过参数间的关系或解方程组求得a2，b2；(2)与椭圆结合的题型，关键是弄清三个参数之间的关系；(3)已知渐近线方程，求双曲线方程，通常设待定系数k(或λ). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 2．与双曲线 ＝1有相同渐近线的双曲线方程可表示为 ＝k(k≠0). 3．给定双曲线，求其他的量，如长度、距离、面积、周长等时，要充分利用双曲线的定义，结合其他章节的知识进行综合应用． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 例1　求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2，4)； (2)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－2y＋4＝0上 . 变2 【思路点拨】　求抛物线的标准方程，先确定焦点的位置，再找一个条件即可．本例中两条抛物线的焦点位置均有两种可能，因此需要通过题目中的具体情况来讨论解题，关键是焦点位置的确定． 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　(1)根据题意，焦点在x轴正半轴或y轴正半轴上， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2py(p>0)， 将点(2，4)分别代入得p＝4或p＝ ， ∴抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y. (2)令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝－4，∴焦点为F(0，2)或F(－4，0)， ∴抛物线的标准方程为x2＝8y或y2＝－16x. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练1　求以原点为顶点，对称轴为坐标轴，且经过点P(－3，－6)的抛物线的标准方程． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：焦点在x轴负半轴或y轴负半轴上， 设方程为y2＝－2px或x2＝－2py(p>0)， 将点(－3，－6)分别代入得p＝6或p＝ ， ∴抛物线的标准方程为y2＝－12x或x2＝－ y. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例2　已知抛物线y2＝－4x上一点P到焦点的距离为4，求点P的坐标． 典例剖析 【思路点拨】　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，于是可将距离与点的横坐标联系起来，进而求解． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　抛物线y2＝－4x的焦点坐标为(－1，0)，准线方程为x＝1， 设P(x0，y0)(x0<0)，由抛物线的定义知4＝|x0|＋ ＝|x0|＋1， ∴x0＝－3，∴y0＝±2 ，∴P(－3，±2 ). 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 变式训练2　(1)已知抛物线x2＝2py(p>0)上一点M(a，3)到焦点F的距离为4，则抛物线的标准方程为________； (2)如图50-1所示，从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图50-1 x2＝4y 10 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (1)【提示】 由抛物线的定义知 ＋3＝4，解得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝4y. (2)【提示】 设P(x0，y0)，则x0>0，∴|PM|＝x0＋ ＝x0＋1＝5，∴x0＝4，代入y2＝4x，得y0＝±4.∴S△MPF＝ |PM|·|y0|＝ ×5×4＝10. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例3　已知抛物线y2＝4x的焦点是F，P是抛物线上的动点，点B的坐标为(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 典例剖析 【思路点拨】　易知点B在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化在抛物线上求一点P，使点P到准线与到点B的距离之和为最小，结合图象不难找出所求点P的位置． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　如图50-2所示，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，∴|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4. 图50-2 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 变式训练3　若例3中点B的坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值． 解：∵点(3，4)在抛物线的外部， ∴|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ ， 即|PB|＋|PF|的最小值为2 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例4　已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点．线段AB的中点的横坐标为2，求线段AB的长． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　将|AB|分解为|AF|＋|BF|，再结合抛物线的定义即可求出结论．但也要注意此题的方法仅适用于直线经过抛物线的焦点的情况． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　∵|AB|＝|AF|＋|BF|， ∴由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ ＋x2＋ ＝x1＋x2＋p. 又∵ ＝2，即x1＋x2＝4，且p＝2， ∴|AB|＝4＋2＝6. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 变式训练4　已知直线y＝x＋2与抛物线x2＝8y相交于A，B两点，求线段AB的长． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 解：由题意，直线y＝x＋2恰好经过抛物线的焦点(0，2)，且p＝4. 联立 消去y得x2－8x－16＝0， 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 由韦达定理得x1＋x2＝8， ∴|AB|＝|AF1|＋|AF2| ＝x1＋ ＋x2＋ ＝x1＋x2＋p ＝8＋4 ＝12. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．已知抛物线方程，求焦点、准线等问题时，先要将方程化为标准方程，再求出参数p. 2．求抛物线的方程，首先要确定顶点位置、开口方向和焦点位置，以便准确设出方程，然后利用已知条件求出参数p. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 3．已知抛物线上一点到焦点的距离问题，通常利用抛物线的定义将其转化为准线的距离． 4．涉及距离或长度问题，充分利用抛物线的定义，能简化解题过程，起到事半功倍的效果． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： . 试问： (1)当m取何值时，直线l与椭圆C有两个不重合的公共点？ (2)当m取何值时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点？ 变2 【思路点拨】　判断直线与二次曲线的位置关系，即判断直线方程与二次曲线方程联立消元后所得一元二次方程的解的个数问题，即通过判别式Δ判断即可． 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　由直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ∴Δ＝(8m)2－36(2m2－4)＝144－8m2. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 (1)当Δ>0时，即－3 <m<3 时，方程组有两组不同的实数解，即直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3 时，方程组有两组相同的实数解， 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练1　 (1)判断直线x－y－1＝0与双曲线x2－2y2＝2的交点个数； (2)已知直线y＝kx－2与抛物线y2＝6x只有一个公共点，求k的值． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 解：(1)由 得x2－4x＋4＝0， ∴Δ＝0，∴只有一个交点． (2)由 消去y得k2x2－(4k＋6)x＋4＝0. ∴当k＝0时，直线方程为y＝－2，符合条件； 当k≠0时，Δ＝(4k＋6)2－4×4k2＝0，解得k＝ . 综上所述，k的值为0或 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例2　已知直线x－y＋1＝0与椭圆 相交于A，B两点，求弦AB的长． 典例剖析 【思路点拨】　直线方程与曲线方程联立，消去x或y得到一元二次方程，通过韦达定理，利用弦长公式，减小运算量． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　由 得7x2＋8x－8＝0， 由韦达定理得x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， ∴|AB|＝ 即弦AB的长为 . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 变式训练2　 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，经过点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求直线l的方程． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：由题意得F(1，0). 设直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由 消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， ∴Δ＝16k2＋16>0，∴x1＋x2＝ . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝ . 由题意得 ＝8(k>0)，解得k＝1. ∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例3　已知某直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点为M(1，1)，求直线AB的方程． 典例剖析 【思路点拨】　求中点弦所在直线方程，已知一点再求其斜率即可，根据题意应该考虑弦的端点坐标和弦的中点坐标之间的关系，于是可以利用韦达定理或点差法求解． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据题意x1≠x2. ∵弦AB的中点为M(1，1)， ∴ ＝1， ＝1，即x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. 由 作差得4(x22－x12)＋9(y22－y12)＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 ∴4(x2＋x1)(x2－x1)＋9(y2＋y1)(y2－y1)＝0， ∴8(x2－x1)＋18(y2－y1)＝0， ∴ ，即kAB＝ ， 由点斜式得y－1＝ (x－1)， 即直线AB的方程为4x＋9y－13＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 变式训练3　 已知经过点A(2，1)作直线l交双曲线 于P，Q两点，点A平分弦PQ，求直线l的方程． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1≠x2，且 ＝2， ＝1， 即x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 由 作差得2(x22－x12)－(y22－y12)＝0， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 ∴2(x2＋x1)(x2－x1)－(y2＋y1)(y2－y1)＝0， ∴8(x2－x1)－2(y2－y1)＝0， ∴8(x2－x1)＝2(y2－y1)， ∴ ，即kPQ＝4， 由点斜式，得y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例4　已知抛物线y2＝2px(p>0)有内接直角三角形OAB，直角顶点在原点，一条直角边所在直线方程是y＝2x，直角三角形的斜边长为5 ，求p的值． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　先利用直线OA，OB的方程与抛物线方程联立，可以求出A，B两点的坐标，再与斜边AB的长结合距离公式建立关于p的方程，即可求出参数p的值． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝2x1. ∵OA⊥OB，∴y2＝－ x2. ∵ 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∴ ∴A ，B(8p，－4p)， ∴|AB|＝ ∴p＝ . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 变式训练4　 已知等边三角形ABC的三个顶点在抛物线y2＝2x上，其中点A与原点O重合，求△ABC的边长． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 解：kOB＝tan30°＝ ， kOC＝tan150°＝ ，且BC⊥x轴， 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 ∴直线OB的方程为y＝ x， 由 得x＝6，y＝2 . ∴B(6，2 )，C(6，－2 )， ∴△ABC的边长|AB|＝|AC|＝|BC|＝4 . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．直线与圆锥曲线的题目最常见的步骤是：联立方程组⇒消元(消去x或y)⇒得到一元二次方程，再根据题意，结合韦达定理和弦长公式解决交点个数、弦长、中点等相关问题． 2．点差法是解直线与圆锥曲线相交问题的一种常用方法，其适用范围是有关弦的中点问题，可以根据已知中点坐标求其他条件，也可以根据其他条件求中点的轨迹方程． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 3．直线与抛物线有一个公共点时，包括与对称轴平行的直线与抛物线相切的直线；直线与双曲线有一个公共点时，包括与渐近线平行的直线及与双曲线相切的直线． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 例1　已知曲线方程x2＋y2sinα＝1，且α∈[0，2π]，试讨论此方程表示的曲线． 变2 【思路点拨】　本题主要是根据角α在一个周期内变化的时候，其正弦值的不同决定了方程表示的曲线类型．同时结合每种曲线方程的特征来判断方程具体表示哪种曲线． 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　①当α＝0，π或2π时，sinα＝0，方程化为x2＝1， 即x＝±1，此方程表示两条与x轴垂直的平行线； ②当α＝ 时，sinα＝1，方程化为x2＋y2＝1， 此方程表示的曲线是以原点为圆心，半径为1的圆； ③当α＝ 时，sinα＝－1，方程化为x2－y2＝1， 此方程表示的曲线是焦点在x轴上的等轴双曲线； 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 ④当α∈ 时，0<sinα<1，原方程化为 ， 此方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆； ⑤当α∈ 时，－1<sinα<0，原方程化为 ，此方程表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练1　若θ∈ ，则方程x2cosθ＋y2sinθ＝1表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【提示】 如解图所示，借助图象可以比较sinθ与cosθ在 内的大小关系为sinθ>cosθ>0， ∴ ，∴方程 表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例2　若椭圆 上一点P到两个焦点的距离之积为m，则当m取最大值时，点P的坐标为(　　) A． B．(－5，0)或(5，0) C． D．(0，3)或(0，－3) 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】　解决椭圆上一点与两个焦点之间的距离问题，都可以结合椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a为定值．又根据均值定理：和为定值，积一定有最大值即可求解．由定义|PF1|＋|PF2|＝10，∴m＝|PF1|·|PF2|≤ ＝25，当|PF1|＝|PF2|＝5时m最大，此时点P与短轴的端点重合，故选D. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 变式训练2　在抛物线y＝2x2 上有一点P，它到点A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标为(　　) A．(－2，1) B．(1，2) C．(2，1) D．(－1，2) 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】 如解图所示．直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，作PN⊥l，AN1⊥l，则由抛物线定义知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号，此时P(1，y0)代入y＝2x2得y0＝2，∴P(1，2). 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例3　已知双曲线以椭圆 的长轴顶点为焦点，渐近线与椭圆的焦点及短轴顶点确定的直线平行． (1)求此双曲线的标准方程； (2)若点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【思路点拨】　(1)根据椭圆的焦点与短轴顶点坐标可求出渐近线的斜率，进而根据双曲线中a，b，c之间的关系求出双曲线的方程．(2)点P到x轴的距离可以理解为△PF1F2中F1F2边上的高，即点P的纵坐标的绝对值，因此可以从求三角形的面积入手或者从求点P的纵坐标入手来解决问题． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　(1)∵椭圆焦点(±3，0)与短轴顶点(0，±4)所确定的直线斜率为± ， ∴双曲线的渐近线斜率为± . 又∵双曲线的焦点坐标为(±5，0)，∴ ，且c＝5， 由c2＝a2＋b2可解得a＝3，b＝4， ∴此双曲线的标准方程为 . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 (2)点P到x轴的距离，即Rt△PF1F2中F1F2边上的高线. 由 得100＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 即|PF1|·|PF2|＝32， 由 ＝ |PF1|·|PF2|＝ |F1F2|·h得h＝ ， ∴点P到x轴的距离为 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 变式训练3　已知双曲线与椭圆 有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为 . (1)求此双曲线的标准方程； (2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2的值． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 解：(1)∵椭圆的焦点坐标为(±4，0)，离心率为 ， ∴双曲线的焦点坐标为(±4，0)， 且离心率e＝ ＝2， 即c＝4，a＝2， ∴b2＝c2－a2＝12， ∴此双曲线的标准方程为 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)不妨设点P在y轴右侧，则 解得 又∵|F1F2|＝8， ∴在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝ 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例4　已知椭圆C： (a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝ ，|PF2|＝ . (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l经过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，M，B三点满足关系 ，求直线l的方程． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【思路点拨】　根据椭圆定义和勾股定理可以求出椭圆中的参数a，b，c，进而求出方程；再由直线经过圆心M，且 ，则可知M是弦AB的中点，即中点弦问题，可用点差法解题． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　(1)∵|PF1|＝ ，|PF2|＝ ， ∴2a＝ ＝6，∴a＝3. 又∵PF1⊥F1F2， ∴2c＝|F1F2|＝ ， ∴c＝ ，∴b2＝a2－c2＝4， ∴椭圆C的标准方程为 . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)∵圆的方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，∴圆心为M(－2，1). 又∵ ，∴M为弦AB的中点． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝－2， ＝1， ∴x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 由 作差得 (x22－x12)＋ (y22－y12)＝0， ∴－ (x2－x1)＝－ (y2－y1)，∴ ，即kAB＝ ， ∴直线l的方程为y－1＝ (x＋2)，即8x－9y＋25＝0. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 变式训练4　已知椭圆C1： 和直线l：x－y＋9＝0，在直线l上取一点M，经过点M且以椭圆C1的焦点F1，F2为焦点作椭圆C2.问：当点M在何处时，椭圆C2的长轴最短？并求出椭圆C2的标准方程． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 解：当M是椭圆C2与直线l的切点时，其长轴最短， 设椭圆C2的方程为 . 联立 消去y得(2a2－9)x2＋18a2x－a4＋90a2＝0， 由题意得Δ＝a4－54a2＋405＝0⇒a2＝45或a2＝9(舍去)， ∴椭圆C2的标准方程为 ，M(－5，4). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，是高职考重点考查的内容，涉及多种数学思想与方法，例如：方程思想方法、函数思想方法、坐标法、对称思想、参数思想、转化思想等． 2．圆锥曲线解决综合应用问题，一般是利用性质和定义解题，即利用椭圆或双曲线上的点与两个焦点之间的距离之和或差为定值，将其平方后与勾股定理或余弦定理联系起来解决相关问题． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART。04 课堂小结·查漏补缺 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 检测练习 1 2 3 4 5 6 7 8 一、单项选择题 1．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9 10 11 12 1 2 3 A A组 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．若经过点P(2，－3)作圆(x＋1)2＋y2＝25的弦，使P为弦AB的中点，则弦AB所在的直线方程为(　　) A．x－y－5＝0 B．x－y＋5＝0 C．x＋y＋5＝0 D．x＋y－5＝0 检测练习 A A组 【提示】 圆心C(－1，0)，P(2，－3)，∴kPC＝ ＝－1，∴kAB＝1，∴y＋3＝x－2，即x－y－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 166 3．已知椭圆 和双曲线 有公共焦点， 则 等于(　　) A．8 B．2 C． D． 检测练习 A 【提示】 2m2＋3n2＝3m2－5n2，即m2＝8n2，∴ ＝8. A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．若点A(a，1)在椭圆 的内部，则a的取值范围是(　　) A．{a |－ <a< } B．{a|a<－ 或a> } C．{a |－2<a<2} D．{a|－1<a<1} 检测练习 A 【提示】 由 得 . A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的标准方程是(　　) A．x2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋y2＝1 检测练习 B A组 【提示】 ∵F(1，0)，r＝p＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 6．若一只虫子从点O(0，0)出发，先爬到直线l：x－y＋1＝0上的点P，再从点P出发爬到点A(1，1)，则虫子爬行的最短距离是(　　) A． B．2 C．3 D．4 检测练习 A组 B 【提示】 O(0，0)关于直线l：x－y＋1＝0上的对称点为O′(－1，1)，则|O′A|＝2，即为所求． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 二、填空题 7．若经过椭圆 内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是___________． 检测练习 A组 x＋2y－4＝0 【提示】 利用点差法能简化运算． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 8．已知F1，F2是椭圆 (a>b>0)的焦点，经过点F1的直线交椭圆于P，Q两点．若△PF2Q的周长为24，短轴的一个顶点是圆x2＋y2－4y－2＝0的圆心，则椭圆方程为 ___________. 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】 ∵4a＝24，∴a＝6.又∵圆心C(0，2)，∴短轴顶点为(0，2)即b＝2，∴b2＝4，∴椭圆方程为 . 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 9．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为20，短轴长为16，F1和F2为椭圆的两个焦点，且A是椭圆上任意一点，则△AF1F2的面积的最大值为________. 检测练习 A组 【提示】 ＝ |F1F2|·|yA|，其中|F1F2|的长度是定值12，且当点A在短轴两个端点时，|yA|的最大值是8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，其准线经过双曲线 的焦点，则抛物线的标准方程为__________. 检测练习 A组 y2＝±16x 【提示】 双曲线 的焦点坐标为(±4，0)，∴ ＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝±16x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 三、解答题 11．已知椭圆的中心在原点，有一个焦点与抛物线y2＝－8x的焦点重合，且椭圆的离心率e＝ ，求此椭圆的标准方程． 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 检测练习 解：抛物线y2＝－8x的焦点坐标为F (－2，0)， ∴椭圆的一个焦点(－2，0)， ∴e＝ ，且c＝2， ∴a＝3，∴b2＝a2－c2＝5. ∴此椭圆的标准方程为 . A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，经过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．若直线l的斜率为1，求以弦AB为直径的圆的方程． 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵y2＝4x，∴F(1，0)，准线方程为x＝－1. 又∵直线l的斜率为1， ∴直线l的方程为y＝x－1. 代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0. 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 由根与系数的关系，得 易得AB的中点，即所求圆的圆心坐标为(3，2). 又∵由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8， ∴所求圆的半径r＝4， ∴以弦AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16. 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13．根据图中所给的信息，解答下列问题： (1)写出椭圆方程，并按椭圆定义叙述椭圆上动点M(x，y)的特征； (2)求经过椭圆的右焦点F，且垂直于x轴的大圆弦长|AB|. 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：(1)∵焦点在x轴上，且a＝2，b＝1， ∴c＝ . ∴椭圆方程为 ， 点M(x，y)到两定点(－ ，0)，( ，0)的距离之和为4. (2)大圆的方程为x2＋y2＝4，F( ，0)， 令x＝ ，得y＝±1，∴|AB|＝2. 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 14.已知方程x2cosθ＋y2＝1. (1)当θ＝ π时，求此方程表示的曲线的离心率； (2)当θ在(0，π)范围内变化时，判断方程表示图形的形状如何变化． 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：(1)当θ＝ π时，cosθ＝ ， 方程为y2－ ＝1. ∴a＝1，b＝ ， ∴c＝ ， ∴e＝ . 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)①当0<θ< 时，0<cosθ<1，方程可化为 ， 曲线C是焦点在x轴上的椭圆； ②当θ＝ 时，cosθ＝0，方程为y2＝1， 即y＝±1，表示与x轴平行的两条直线． ③当 <θ<π时，－1<cosθ<0，方程可化为 ， 表示焦点在y轴上的双曲线． 检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是(　　) A． B． 或 C． 或 D． 检测练习 A组 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 检测练习 【提示】 m2＝2×8＝16，∴m＝±4.当m＝4时， ，表示焦点在y轴上的椭圆，且a2＝4，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝3，∴a＝2，c＝ ，∴e＝ ；当m＝－4时， ，表示双曲线，且a2＝1，b2＝4，∴c2＝5，∴a＝1，c＝ ，∴e＝ .∴离心率为 或 . A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的周长被双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D．2 检测练习 A组 C 【提示】渐近线y＝ x经过圆心(2，1)，∴ ＝1，即b＝ a，由a2＋b2＝c2得 ＝c2，∴e＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．已知椭圆C： (a>b>0)的一个短轴顶点为A，两个焦点为F1，F2 . 若△AF1F2为正三角形，且周长为6，则椭圆C的标准方程为_________. 检测练习 A组 【提示】∵a＝2c，3a＝6，∴a＝2，c＝1，∴b＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．在△ABC中，已知A(3，2)，B(－1，5)两点，点C在直线3x－y＋3＝0上，且△ABC的面积为10，求点C的坐标． 检测练习 A组 解：设点C到直线AB的距离为d，由题意得 |AB|＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 检测练习 A组 ∵S△ABC＝ |AB|·d＝ ×5·d＝10，∴d＝4. ∴直线AB的方程为 ， 即3x＋4y－17＝0. ∵点C在直线3x－y＋3＝0上， ∴可设C(x0，3x0＋3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 检测练习 A组 ∴d＝ ， ∴3x0－1＝±4，∴x0＝－1或 . ∴点C的坐标为(－1，0)或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 B组 4 13 14 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 本课结束 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） $$