专题07 立体几何（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

专题七 立体几何 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲要求·考情分析 01 考点突破·考法探究 03 04 课堂小结·查漏补缺 02 知识清单·网络构建 √ √ √ √ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.01 考纲要求·考情分析 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考查方向 本章内容一般以选择题、填空题、解答题的形式考查，难度中等偏高，主要考查方向如下： ①空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； ②几何体的体积 复习建议 在本章的复习过程中，理解平面基本性质；理解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理；掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理；了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的概念；了解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球及其简单组合体的结构特征和性质，会求简单几何体的表面积和体积 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.02 知识清单·网络构建 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 知识要点 1．平面的基本性质 性质1：如果直线l上的两点都在平面α内，那么_______________________________．用符号语言表达为_________________________. 性质2：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面必____________________________，用符号语言表达为______________________________. 这条直线上所有的点都在这个平面内 若A，B∈l，A，B∈α，则l⊂α　 相交于经过这点的一条直线 若A∈α，A∈β，则α∩β＝l，且A∈l 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 7 性质3：经过不在__________上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和______________，有且只有一个平面． 推论2：经过两条________直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条________直线，有且只有一个平面． 性质4：平行于同一直线的两条直线________. 知识要点 同一直线 该直线外一点 相交 平行 互相平行 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 8 知识要点 2．空间直线 (1)空间两条直线的位置关系为________、________和________. (2)不同在任何一个平面内的两条直线叫作________. 两条异面直线的特征性质是它们既不平行也不相交． (3)两条平行直线与两条异面直线的相同之处是________. 相交 平行 异面 异面直线 无公共点 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 9 知识要点 (4)异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内______________的直线是异面直线． (5)经过空间内任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫作两条异面直线所成的角． (6)异面直线所成角的范围是________，当异面直线所成角等于90°时，两条异面直线________. 不经过该点 互相垂直 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 10 知识要点 (7)空间两条直线互相垂直，它们的位置关系是________、________. 相交 异面 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 11 基础过关 1．下列说法中，错误的是(　　) A．三角形的两边可以确定一个平面 B．两条直线可以确定一个平面 C．圆的两条直径可以确定一个平面 D．梯形的两边可以确定一个平面 B 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12 基础过关 2．若点A在直线l上，且l在平面α内，则A，l，α三者关系为(　　) A．A∈l∈α B．A⊂l⊂α C．A∈l⊂α D．A⊂l∈α C 【提示】 在空间中，点为元素，线和面都是点的集合． 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13 基础过关 3．空间中两条没有公共点的直线，一定是(　　) A．异面直线 B．平行直线 C．不相交的直线 D．以上都不对 C 【提示】 ∵空间中两条没有公共点的直线可能平行，也可能异面，∴一定是不相交的直线． 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 14 基础过关 4．下列命题中，正确的是(　　) A．若a和b是异面直线，b和c也是异面直线，则a和c也是异面直线 B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．若a和b是相交直线，b和c也是相交直线，则a和c也是相交直线 C 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 15 基础过关 5．相交于一点的三条直线可以确定________个平面． 1或3 【提示】 当三条直线在同一平面内时，只可以确定1个平面；当三条直线不在同一平面时，可以确定3个平面，如：墙角． 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 16 基础过关 6．在如图37-1所示正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C与A1A是________直线，所成的角为________；A1D与B1C是________直线，所成的角为________. 1 2 3 4 5 6 图37-1 异面 45° 平行 0° 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 17 知识要点 3．直线a与平面α的位置关系：______________、______________或______________. 4．直线与平面平行的判定与性质 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 判定 性质 定义 定理 图形 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 18 知识要点 判定 性质 定义 定理 条件 结论 a∥α a∥α a∩α＝∅ a∥b a∩α＝∅ b⊂α，a⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 19 5．直线与平面垂直的判定与性质 知识要点 判定 性质 定义 定理 图形 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 20 知识要点 判定 性质 定义 定理 条件 结论 a⊥α a⊥α a⊥α a∥b a⊥b a垂直于α内任意一条直线 b⊂α，c⊂α，b∩c＝O，a⊥b，a⊥c b⊥α，a∥b a⊥α，b⊥α a⊥α，b⊂α 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 21 知识要点 6．直线与平面所成的角 (1)平面的斜线 如图38-1所示，一条直线和一个平面相交，但不和这平面垂直，这条直线叫作这个平面的________(如直线AB)，________和平面的交点B叫作斜足，从斜线上除斜足外的一点A，向平面引垂线，经过垂足O和斜足B的直线叫作斜线在这个平面内的________. 斜线 图38－1 斜线 射影 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 22 知识要点 (2)直线和平面所成的角的定义 ①平面的一条斜线和__________________所成的锐角，叫作这条直线和这个平面所成的角； ②一条直线垂直于一个平面，这条直线与平面所成的角是________； 一条直线平行于一个平面，这条直线与平面所成的角是________； 它在平面内的射影 90° 0° 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 23 知识要点 ③直线和平面所成角的取值范围是____________，斜线和平面所成角的取值范围是____________． [0°，90°] (0°，90°) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 24 知识要点 7．三垂线定理及其逆定理 (1)定理：如图38-2所示，平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 图38-2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 25 基础过关 1．已知直线l与平面α成30°角，则在α内(　　) A．没有直线与l垂直 B．至少有一条直线与l平行 C．有无数条直线与l异面 D．有且只有一条直线与l共面 1 2 3 4 5 6 C 【提示】 由线面所成角的位置关系可得． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 26 基础过关 2．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α B 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 27 【提示】 若m∥α，n∥α，则m与n相交或平行或异面，故A项错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B项正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C项错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D项错误． 基础过关 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 28 【提示】 ∵cos θ＝ ，∴θ＝60°，故选C. 基础过关 3．若长为10 cm的线段在平面β内的射影长为5 cm，则它与平面β所成角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 29 基础过关 4．若直线m∥平面α，直线n∥m，则(　　) A．n∥α B．n与α相交 C．n⊂α D．n∥α或n⊂α 1 2 3 4 5 6 D 【提示】 直线与平面位置关系的判定． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 30 基础过关 5．若a，b是平面α的两条斜线，则“a，b与α所成角相等”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 B 【提示】 结合图形分析． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 31 基础过关 1 2 3 4 5 6 6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B与平面ABCD所成角的大小为(　　) A．45° B．60° C．90° D．30° A 【提示】 直线与平面所成角的定义． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 32 知识要点 8．空间两个平面的位置关系有________和________，两个平面垂直是两个平面________的特殊情况． 9．两个平面平行的判定与性质 平行 相交 相交 判定 性质 定义 定理 推论 图形 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 33 注：两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面的距离． 知识要点 判定 性质 定义 定理 推论 条件 结论 α∥β α∥β α∥β α∥γ a∥b a∥α α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α l⊥α，l⊥β α∥β，β∥γ α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 34 10．两个平面垂直的判定与性质 知识要点 判定 性质 定义 定理 图形 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 35 知识要点 判定 性质 定义 定理 条件 平面α与平面β所成二面角为________ 结论 α⊥β α⊥β l⊥α 直角 l⊥β，l⊂α α⊥β，α∩β＝a，l⊂β，l⊥a 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 36 知识要点 11．二面角的定义 平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫作________，从一条直线出发的两个半平面所组成的________叫作二面角，这条直线叫作二面角的________，这两个半平面叫作二面角的________，棱为AB，面分别为α，β的二面角记为二面角α-AB-β. 半平面 图形 棱 面 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 37 知识要点 12．二面角的平面角 (1)定义：以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的________； (2)二面角的平面角的取值范围是____________. 平面角 [0°，180°] 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 38 基础过关 1．若平面α⊥平面β，则下列命题正确的是(　　) A．若a⊂α，则a⊥β B．若a∥α，则a⊥β C．若a⊥α，则a∥β D．若a⊥α，则a∥β或a⊂β 1 2 3 4 5 【提示】 建立长方体模型进行观察． D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 39 基础过关 2．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的充要条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α，β平行于同一条直线 C．α内有两条相交直线与β平行 D．α，β垂直于同一平面 C 【提示】 面面平行的判定定理． 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 40 基础过关 3．有不大于90°的二面角α - l - β，半平面α内有一点P，它到棱l的距离为4，到半平面β的距离为 ，则二面角 α - l - β的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° C 【提示】 利用二面角平面角的定义，将问题转化为解直角三角形问题． 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 41 基础过关 4．平行于同一条直线的两个平面(　　) A．互相平行 B．相交 C．互相垂直 D．以上均有可能 1 2 3 4 5 【提示】 平行于同一直线的两个平面可能平行或相交或垂直，故选D. D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 42 基础过关 5．下列四个命题中，真命题的个数是(　　) ①一条直线和一个点可以确定一个平面； ②过平面外一点有且仅有一条直线与平面垂直； ③若直线l∥平面α，且直线m∥直线l，则直线m∥平面α； ④三个不同的平面最多可将整个空间分割为七个部分． A．1 B．2 C．3 D．4 1 2 3 4 5 【提示】 ①③④错，②对，故选A. A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 43 知识要点 1．棱柱 (1)棱柱的性质 ①棱柱的每一个侧面都是______________，所有的侧棱都________且相等；直棱柱的每一个侧面都是________；正棱柱的各个侧面都是______________； ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是____________； ③经过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是______________. 平行四边形 平行 矩形 全等的矩形 全等的多边形 平行四边形 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 44 知识要点 (2)公式：S直棱柱侧＝________；V棱柱＝________. (3)几种六面体的关系(如图40－1所示)： C·h S底·h 图40－1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 45 2．棱锥 (1)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面正多边形的________，这样的多面体叫作正棱锥． (2)棱锥的性质 知识要点 中心 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 46 知识要点 ①正棱锥的各侧棱________，各侧面都是________的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高________(它叫作正棱锥的斜高)； ②正棱锥的高、斜高及其底面上的射影组成一个____________，高、侧棱及其在底面上的射影也组成一个____________； ③公式：S正棱锥侧＝_______________；V棱锥＝________. 相等 全等 相等 直角三角形 直角三角形 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 47 知识要点 3．圆柱 (1)以矩形的一边所在直线为轴，其余三边绕轴旋转一周的曲面所围成的几何体叫作________. (2)圆柱的轴截面为________，侧面展开图为________. (3)公式：S圆柱侧＝________；V圆柱＝________. 圆柱 矩形 矩形 2πrl πr2l 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 48 知识要点 4．圆锥 (1)以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕轴旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫作________. (2)圆锥的轴截面为__________，侧面展开图为_______. (3)公式：S圆锥侧＝________；V圆锥＝________. 圆锥 等腰三角形 扇形 πrl 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 49 知识要点 5．球 (1)以半圆的直径为轴，旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫作________. (2)球心到截面圆的距离为d，球的半径R及截面圆半径r之间的关系式为d＝________. (3)公式：S球面＝________；V球＝________. 球 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 50 基础过关 1．下列命题中，正确的是(　　) A．正四棱柱的各个面都是正方形 B．底面为正多边形的棱锥是正棱锥 C．圆柱是由矩形绕它的一边旋转一周而成的几何体 D．圆锥是由直角三角形绕它的一边旋转一周而成的几何体 1 2 3 4 5 6 C 【提示】 多面体和旋转体的相关定义． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 51 基础过关 2．如果圆柱的高为4，底面半径为2，那么圆柱的侧面积等于(　　) A．4π B．8π C．16π D．24π C 1 2 3 4 5 6 【提示】 S圆柱侧＝2πrh. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 52 【提示】 V圆锥＝ . 基础过关 3．已知圆锥的体积为12π，高为1，则底面半径r等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 53 基础过关 4．若球的半径为3，则球的体积为(　　) A．9π B．18π C．24π D．36π 1 2 3 4 5 6 D 【提示】 V球＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 54 基础过关 5．已知圆锥的底面半径为4，侧面积为60，则母线长为 (　　) A． B．15 C． D． 1 2 3 4 5 6 D 【提示】 直接利用侧面积公式． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 55 基础过关 1 2 3 4 5 6 6．已知正四棱锥的体积为8，底面边长为2，则正四棱锥的顶点到底面的距离为(　　) A．8 B．6 C．3 D．4 B 【提示】 由棱锥的体积公式V锥＝ 可得h＝6，故选B. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 56 考点突破·考法探究 PART.03 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　下列命题中，正确的个数为(　　) ①梯形可以确定一个平面； ②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 B．1 C．2 D．3 变2 例3 变3 例4 变4 C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】　在②中，两条直线可以平行、相交或异面；在④中，若三点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】 下列命题正确的是(　　) A．一个平面的长为4 m，宽为2 m B．四边形一定是平面图形 C．一个平面可以把空间分成两部分 D．将书的一角接触课桌面，此时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【关键点评】　平面的基本性质． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　设a，b，c是空间中3条不同的直线，且a∥b，b⊥c，则a，c的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．异面 D．不平行 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】　构造一个长方体模型，找出适合条件的直线，在长方体内判断它们的位置关系．在如图37-2所示的长方体中，不妨设a为直线AA1，b为直线CC1，则直线c可以是BC ，也可以是AD，则a，c的位置关系为相交或异面，故选D. 图37-2 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 设a，b，c是空间中3条不同的直线，有下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线． 上述命题正确的是 (写出所有正确命题的序号). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 ① 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】 垂直于同一直线的两条直线的位置关系可能是平行、相交、异面，∴②错；与同一直线相交的两条直线位置关系也是不确定的，∴③错；根据异面直线定义可知④错． 【关键点评】　判断空间中线、面位置关系的方法：一是如例2构建长方体模型，在长方体内找它们的位置关系；二是利用公理、定理直接进行判断．本题可以直接根据公理、定理进行判断． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】　在如图37-3所示正方体ABCD-A1B1C1D1中，先判断各组直线的位置关系，并填写所成夹角的大小： (1)AD与A1D ，夹角为 ； (2)AA1与BB1 ，夹角为 ； (3)BC1与AC ，夹角为 ； (4)BD1与AC ，夹角为 ． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 相交 图37-3 平行 异面 异面 45° 0° 60° 90° 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】　空间直线位置关系的判别及异面直线夹角确定方法：通过寻找平行线，将异面直线平移后得到相交直线． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AC成60°角的面对角线有、(　　) A．0条 B．2条 C．4 和 D．8条 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 D 【关键点评】　直线的位置关系的判别及异面直线夹角的确定方法． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　如图37-4所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E是BB1的中点，求异面直线AE与DD1所成角的余弦值． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图37-4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】　找异面直线的夹角关键是寻找平行线，而本题是在正方体中，DD1与AA1是平行的，∴求异面直线AE与DD1所成的角就是求直线AE与AA1所成的角． 图37-4解 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　如解图所示，连接A1E. ∵AA1∥DD1，∴∠EAA1是异面直线AE与DD1所成的角． ∵在△AA1E中，A1E＝AE＝ AB， ∴cos ∠EAA1＝ ＝ ＝ . ∴异面直线AE与DD1所成角的余弦值为 . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练4】 如图37-5所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E为CC1的中点，求异面直线AD1与BE所成角的余弦值． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图37-5 【关键点评】　延用例4中找平行线的思路，即可得到AD1的平行线，则异面直线所成的角就出现了． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：如解图所示，连接BC1. ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1， ∴∠EBC1是异面直线AD1与BE所成的角． ∴在△EBC1中，BE＝ ＝ a， C1E＝ ，BC1＝ a，由余弦定理得 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） cos ∠EBC1＝ ＝ ＝ . ∴异面直线AD1与BE所成角的余弦值为 . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．平面的基本性质1是判断直线在平面内的依据；基本性质2是判定两个平面相交，作两个平面交线的依据；基本性质3及其推论是确定平面的依据． 2．判断两条直线平行的常用方法为平行的传递性． 3．判断两条直线是异面直线的主要方法：连接平面内一点，与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 4．求异面直线所成角的基本思想方法：①“平移法”是以异面直线所成角的定义为基础；②计算方法为解三角形． 5．判断空间中线、面的位置关系时，除了可以用公理、定理直接判断外，遇到比较复杂的问题时还可以构建长方体模型，在模型中找到合适条件的直线与平面，在长方体中判断它们的位置关系，可以更直观地得出答案． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　经过平面β外一点P，且平行于平面β的直线(　　) A．只有一条，且一定在平面β内 B．只有一条，但不一定在平面β内 C．有无数条，但都不在平面β内 D．有无数条，都在平面β内 变2 例3 变3 例4 变4 C 【思路点拨】　由直线与平面平行的性质可知，经过平面外一点与平面平行的直线有无数条，且一定不在平面内． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】 下列命题中，正确的是(　　) ①平行于同一个平面的两直线平行； ②垂直于同一个平面的两直线平行； ③平行于同一直线的两平面平行； ④垂直于同一直线的两平面平行． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【关键点评】　直线与平面位置关系的判定． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】 平行于同一个平面的两直线可能相交、平行或异面，平行于同一直线的两个平面平行或相交． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　如图38-3所示，在空间四边形ABCD中，已知E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图38-3 【思路点拨】　利用线面平行的判定定理：若a⊂α，b⊄α，a∥b，则a∥α . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【证明】　连接BD. ∵在△BAD中，EF为中位线， ∴EF∥BD. ∵BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD， ∴EF∥平面BCD. 图38-3 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 如图38-4所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱A1B1的中点，经过点P画一条直线，使之与截面A1BCD1平行． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图38-4 【关键点评】　直线与平面平行的判定的灵活运用． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：答案不唯一，如： 可以取D1C1的中点M，连接PM；也可以取B1B的中点N，连接PN.取C1C的中点Q，只要在平面PMQN内取经过点P的直线皆可． 图38-4 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】　如图38-5①所示，已知△BCD为正三角形，DA为BC边上的高．若沿DA将△BCD折成空间四边形，且将AB和AC两边放在平面α内，如图38-5②所示，求证：直线DA⊥平面α. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图38-5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】　利用线面垂直的判定定理：若b⊂α，c⊂α，b∩c≠ ∅，a⊥b，a⊥c，则a⊥α. 图38-5 【解】∵在正三角形BCD中，DA为 BC边上的高，∴DA⊥AB，DA⊥AC. 又∵AB ∩AC＝A，且AB，AC都在平面α内， ∴直线DA⊥平面α. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 如图38-6所示，已知AB是⊙O的直径，VA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点． (1)证明：BC⊥平面VAC； (2)若D为VC的中点，求异面直线BC 与AD所成角的大小． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图38-6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 图38－6 【关键点评】　①证明直线与平面垂直的关键是找平面内两条相交直线；②在圆中，直径所对的圆周角为90°；③求两异面直线所成角的另一种方法：可以通过证明直线与平面垂直得两条异面直线垂直． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 图38－6 (1)证明：∵VA⊥⊙O所在的平面， ∴VA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径， C是圆上一点， ∴AC⊥BC. ∵VA∩AC＝ A，∴BC⊥平面VAC. (2)解：∵AD⊂平面VAC，∴BC⊥AD， ∴异面直线BC 与AD所成角的大小为90°. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　如图38-7所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求： (1)A1B与底面ABCD所成角的大小； (2)B1D与底面ABCD所成角的正弦值． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图38-7 【思路点拨】　经过直线上一点找平面的垂线和射影，以及直线与平面所成的角． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 图38-7 【解】　(1)∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD， ∴A1B在底面ABCD的射影为AB， 即∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角． ∵ ∠A1BA＝45°， ∴A1B与底面ABCD所成角的大小为45°. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 图38-7 (2)连接BD. ∵B1B⊥底面ABCD， ∴B1D在底面ABCD的射影为BD， 即∠B1DB是B1D与底面ABCD所成的角． ∵在Rt△B1BD中，sin∠B1DB＝ ， ∴B1D与底面ABCD所成角的正弦值为 . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练4】 如图38-8所示，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥底面ABC，且PC＝ ，求PA与侧面PBC所成角的大小． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【关键点评】　求直线与平面所成的角，关键是找到直线在平面内的射影． 图38-8 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：如解图所示，取BC的中点D，连接AD，PD. ∵△ABC是正三角形， ∴AD⊥BC. 又∵PC⊥底面ABC， ∴PC⊥AD，即AD⊥侧面PBC， ∴PD是PA在侧面PBC上的射影， ∴∠APD是PA与侧面PBC所成的角． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∵在Rt△PDA中，AD＝ AB＝ ， PD＝ ＝3， ∴tan ∠APD＝ ＝ ，∴∠APD＝30°， 故PA与侧面PBC所成角的大小为30°. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．判断线面平行、线面垂直的基本思想方法是“从欲证想，判定看已知，由已知用性质推结论”． 2．解决有关线面角问题的关键是先根据定义，找出斜线与射影所成的角，再在斜线、射影构成的直角三角形中求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　如图40－2所示，已知圆柱的侧面展开图是矩形ABCD，AC＝8 cm，∠BAC＝30°，求圆柱的侧面积和体积． 变2 例3 变3 例4 变4 图40－2 【思路点拨】　圆柱的侧面积就是矩形ABCD的面积，求圆柱的体积关键是求出圆柱的底面半径r. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　设圆柱的底面半径r， ∵AC＝8 cm，∠BAC＝30°， ∴BC＝4 cm，AB＝4 cm. 又∵2πr＝AB，∴r＝ cm， ∴S侧＝AB·BC＝16 (cm2)， V＝S底·h＝πr2h＝π· ×4＝ (cm3). 典例剖析 图40－2 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】 如图40－3所示，在Rt△ABC中，AB＝20 cm，AC＝15 cm.若以斜边BC为旋转轴，将△ABC旋转一周，求这个旋转体的体积． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图40－3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：在Rt△BAC中，AB＝20 cm，AC＝15 cm， ∴BC＝25 cm， 如解图所示，作BC边上的高AD， 则AD＝12 cm， ∴V＝ πAD2·BC＝ π×122×25＝1200π(cm3). 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　如图40－4所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求三棱锥A1－BCC1的体积． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　注意三棱锥底面及高的确定． 图40－4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】 ＝ ·A1B1 ＝ × ×2×2×2 ＝ . 图40－4 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 如图40－5所示，已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，∠PBD＝45°，求它的体积和全面积． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图40－5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 解：∵在正四棱锥P－ABCD中， 底面边长为AB＝6， ∴BD＝6 ，∴BO＝3 . ∵∠PBD＝45°，∴PO＝3 ， ∴斜高h＝ ＝ ＝ ， 图40－5 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 ∴VP－ABCD＝ ×6×6×3 ＝36 ， ∴S全＝6×6＋4× ×6×3 ＝36＋36 . 图40－5 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】　如图40－6所示，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1. (1)写出四面体D′－ACD中所有不同的二面角； (2)求点D到平面ACD′的距离． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图40－6 【思路点拨】　利用等积法求点到平面的距离． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　(1)四面体D′－ACD中的二面角有：D－AC－D′，C－AD′－D，A－CD′－D，C－DD′－A，D′－AD－C，A－CD－D′. (2)设点D到平面ACD′的距离为h， ∵VD′－ACD＝VD－ACD′， ∴ × ×1×1×1＝ S△ACD·h， 典例剖析 图40－6 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 图40－6 ·( )2 h＝ ，解得h＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 如图40－7所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，斜边AB＝2，∠ABC＝30°，D是棱CC1上的点，且CD＝ ，经过斜边AB和点D作一个截面．求： (1)二面角D－AB－C的大小； (2)点C到平面ABD的距离． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 图40－7 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 解：(1)如解图所示，经过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE. ∵DC⊥平面ABC， ∴CE是DE在平面ABC内的射影． ∵CE⊥AB， ∴DE⊥AB， ∴∠DEC是二面角D－AB－C的平面角． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 ∵在Rt△DCE中，CD＝ ，CE＝ ， ∴tan ∠DEC＝ ＝ ，∠DEC＝60°， 即二面角D－AB－C的大小为60°. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 (2)设点C到平面ABD的距离为h. ∵VD－ABC＝VC－ABD， ∴ × × ×1× ＝ × ×2× ×h， 解得h＝ ，即点C到平面ABD的距离为 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　如图40－8所示，已知ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，以BC为直径挖去一个半圆，求以BC为轴旋转一周所得几何体的体积． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　本题主要考查旋转体的体积和球的体积公式． 图40－8 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　V＝V圆柱－V球 ＝π×42×2－ π×13 ＝ π. 图40－8 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【变式训练4】 若将一个棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则此球的表面积为________. 【提示】 表面积是4×π×12＝4π. 4π　 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1.有关几何体的面积、体积计算问题,涉及线面关系、二面角、距离等概念,要灵活应用相 关知识将空间问题转化为平面问题是解决问题的关键. 2.要了解圆锥中母线长、高和半径之间的相互关系. 3.能正确使用相关的计算公式. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.04 课堂小结·查漏补缺 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 116 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 117 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 118 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 119 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 120 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 121 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 122 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 123 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 124 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 125 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 126 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 127 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 128 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 129 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 130 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 131 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 132 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 133 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 134 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 135 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 136 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 137 本课结束 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 立体几何 直线与平面的位置关系 平面的基本性质 直线与平面垂直的判定和性质 直线与平面平行的判定和性质 平面与平面的位置关系 平面与平面平行的判定和性质 平面与平面垂直的判定和性质 空间几何体 直线与平面所成的角 空间两条直线的位置关系 二面角的定义和求法 直线与直线平行的判定 异面直线的判定 直线与直线所成的角 平面的概念、表示和画法、集合符号表示、基本性质 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球 $$