专题06 直线与圆的方程（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

专题六 直线与圆的方程 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲要求·考情分析 01 考点突破·考法探究 03 04 课堂小结·查漏补缺 02 知识清单·网络构建 √ √ √ √ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.01 考纲要求·考情分析 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲解读 1.掌握两点间的距离公式及线段的中点坐标公式． 2.理解直线的倾斜角和斜率，掌握直线的点斜式、斜截式及一般式方程． 3.理解两条直线平行与垂直的条件，掌握求两条相交直线的交点的方法． 4.理解点到直线的距离公式． 5.掌握圆的标准方程及一般方程． 6.理解直线与圆的位置关系． 7.能运用直线和圆的知识解决有关实际问题． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考点方向 直线与直线方程是平面解析几何中最基础的概念，它的知识点的运用贯穿于整个平面解析几何之中。近几年的考题中都有单独考查，题型以选择题和填空题为主，但也出现在解答题中，考查的重点是倾斜角和斜率的概念、直线方程、直线的位置关系等。近年来对圆的考查主要集中于圆的基本概念、标准方程和一般方程。主要题型有两种：一是已知圆的方程，求圆心坐标和半径或者讨论参数系数；二是求圆的方程。另外，圆中也考到了与向量结合的综合题。 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.02 知识清单·网络构建 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 知识要点 1．直线的倾斜角 (1)当直线l与x轴相交时，直线l向上的方向与x轴________所成的最小正角，叫作直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为____；平面上任意一条直线都有唯一确定的倾斜角，且它的取值范围是_______________. 正方向 0° {α|0°≤α<180°} 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 8 知识要点 2．直线的斜率 直线的倾斜角α≠90°时，倾斜角α的_______叫作直线的斜率，即斜率k＝_____；当α＝90°时，直线的斜率_______；当α＝0°时，k＝__；当α∈(0°，90°)时，k__0；当α∈(90°，180°)时，k__0. 正切值 tanα 不存在 0 > < 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 9 知识要点 3．斜率的三个计算公式 (1)若直线的倾斜角为α，则斜率k＝_____，α≠90°. (2)若直线经过P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1≠x2)两点，则斜率k＝________. (3)若直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)，则斜率k＝________. tanα 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 10 基础过关 1．若直线l经过(0，0)，(1，2)两点，则直线l的斜率为 (　　) A．2 B．1 C．－1 D． 1 2 3 4 5 6 【提示】 k＝ ＝2. A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 11 基础过关 2．已知直线的倾斜角为150°，则斜率k等于(　　) A. B. C. D.－ 【提示】斜率k＝tan150°＝ － . 1 2 3 4 5 6 C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12 基础过关 3．已知直线l1的倾斜角α1＝30°，且直线l1⊥直线l2，则直线l2的倾斜角为(　　) A.－30° B.150° C.60° D.120° 【提示】 ∵α1＝ 30°，∴α2＝ 90°＋30°＝120°. 1 2 3 4 5 6 D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13 基础过关 4．若经过A(2，m)，B(－3，4)两点的直线倾斜角为 ，则m的值为(　　) A.－5 B.－1 C.3 D.9 【提示】 k ＝ tan ＝ ＝1，解得m＝9. 1 2 3 4 5 6 D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 14 基础过关 5．已知直线方程为 x＋y＋1＝0，则倾斜角为_____. 【提示】 k＝ ＝ ＝ tanα，则α＝120°. 1 2 3 4 5 6 120° 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 15 基础过关 6．直线x＋2＝0的倾斜角为____，斜率_______. 1 2 3 4 5 6 90° 不存在 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 16 名称 已知条件 方程形式 适用范围 点斜式 直线经过点P(x0，y0)且斜率为k 不垂直于x轴 斜截式 斜率为k，直线在y轴上截距为b 不垂直于x轴 两点式 直线经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点 不与坐标轴垂直 y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0) 知识要点 4．直线方程的几种形式 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 17 名称 已知条件 方程形式 适用范围 截距式 直线在x，y轴上的截距分别为a，b 不与坐标轴垂直，且不过原点 一般式 A，B不同时为零 适用于任意直线 Ax＋By＋C＝0 知识要点 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 18 知识要点 5．与坐标轴垂直的直线方程 (1)若直线经过点P(x0，y0)且垂直于x轴，则直线方程为________________； (2)若直线经过点P(x0，y0)且垂直于y轴，则直线方程为________________. x－x0＝0 y－y0＝0 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 19 知识要点 6．直线的截距 (1)横截距是直线与________轴交点的________坐标； (2)纵截距是直线与________轴交点的________坐标． 注：截距为一个实数，可以是正数、负数，也可以为0. x 横 y 纵 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 20 基础过关 1．已知直线l经过点(3，－2)，且斜率为－2，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y－4＝0 B．2x＋y＋8＝0 C．2x－y－4＝0 D．2x－y－8＝0 A 1 2 3 4 5 6 【提示】 由点斜式方程得y＋2＝－2(x－3)，整理得2x＋y－4＝0. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 21 基础过关 2．直线y＝－3x－6在x轴上的截距为(　　) A．x＝－2 B．－2 C．2 D．(－2，0) B 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 22 基础过关 3．已知直线l经过A(1，－2)，B(－3，2)两点，则直线l的方程为(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0 A 【提示】 ，即x＋y＋1＝0. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 23 基础过关 4．若直线l在x轴上的截距为－1，在y轴上的截距为1，则直线l的方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 C 【提示】 由截距式得 ，即x－y＋1＝0. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 24 基础过关 5．若直线l经过点P(1，2)且倾斜角为 ，则直线l的方程为________. x－1＝0 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 25 基础过关 6．已知直线的斜率为3，在y轴上的截距为－6，则直线的斜截式方程为__________. y＝3x－6 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 26 知识要点 7．两条直线的位置关系 (1)当两条直线不平行于坐标轴时． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 27 两直线方程 平行 重合 相交 垂直 知识要点 l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2 k1=k2且b1≠b2 k1=k2且b1=b2 k1≠k2 k1k2=－1 l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2=0 A1A2+B1B2=0 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 28 知识要点 (2)当直线平行于坐标轴时，可结合图形进行思考． 8．设互相平行(或垂直)的两条直线方程的方法 (1)与Ax+By+C=0平行的直线方程可设为____________________. (2)与Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为____________________. Ax+By+D=0(D≠C) Bx－Ay+D=0 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 29 知识要点 9．两条直线交点 当两条直线相交时有一个公共点，可通过联立两直线方程解得交点坐标． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 30 基础过关 1．下列直线中，与直线2x－y+3=0平行的是(　　) A．y=2x+3 B．y=2x+1 C．x+2y+3=0 D．2x+y+1=0 1 2 3 4 5 6 B 【提示】 将直线方程都化为一般式方程． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 31 基础过关 2．直线x=1与直线y=1的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 D 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 32 基础过关 3．若直线3x+2y+m=0和直线x－4y+n=0的交点坐标为 (－1，2)，则m+n等于(　　) A．10 B．8 C．－10 D．－8 B 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 33 【提示】 ∵点(－1，2)为两直线的交点，∴将点坐标代入两直线方程均能成立，联立方程组得 解得 ∴m+n=8. 基础过关 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 34 基础过关 4．经过点(－1，3)且与直线2x－3y+1=0垂直的直线方程为 (　　) A．3x－2y+9=0 B．3x－2y－9=0 C．3x+2y－3=0 D．3x+2y+3=0 C 【提示】 与直线2x－3y+1=0垂直的直线方程可设为3x+2y+D=0，将点(－1，3)代入得D=－3，∴所求直线方程为3x+2y－3=0. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 35 基础过关 5．经过点(3，2)且与直线3x－4y+1=0平行的直线方程为____________. 3x－4y－1=0 【提示】 设直线方程为3x－4y+C=0，将(3，2)代入得C=－1. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 36 基础过关 6．已知直线l与直线 x+y－2=0垂直，则直线l的倾斜角的大小是_____. 30° 1 2 3 4 5 6 【提示】 ∵tan α·( )＝－1，∴tan α= . ∵0°≤α<180°，∴α=30°. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 37 知识要点 10．中点坐标公式和两点之间的距离公式 (1)中点公式：若线段P1P2的两个端点坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段的中点坐标为P(x0，y0)，则x0=________，y0=________. (2)两点之间的距离公式：若两点坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点之间的距离公式为|P1P2|=________________. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 38 知识要点 11．点到直线的距离、两平行直线之间的距离 (1)已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0(A，B不全为0)，则点P到直线l的距离为d=________________. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 39 知识要点 (2)若直线l1∥l2，且其方程分别为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(A，B不全为0)，则直线l1与直线l2之间的距离为d=________________. 说明：当两平行直线的方程中x，y的系数不相等时，需先化成相等后再运用公式计算． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 40 基础过关 1．已知A(－2，3)，B(6，1)两点，则线段AB的中点坐标是 (　　) A．(4，1) B．(4，2) C．(－2，2) D．(2，2) 1 2 3 4 5 6 D 【提示】 中点坐标x ， y 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 41 基础过关 2．已知A(－1，2)，B(3，－1)两点，则线段AB的长为(　　) A． B．5 C． D． B 1 2 3 4 5 6 【提示】 AB= =5. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 42 基础过关 3．点(1，－1)到直线x－y+2＝0的距离是(　　) A．1 B．2 C． D． D 1 2 3 4 5 6 【提示】 由点到直线的距离公式可得d . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 43 基础过关 4．两平行直线3x－4y+1=0与6x－8y+9=0之间的距离是(　　) A． B． C． D．1 A 【提示】 将直线方程3x－4y+1=0化为6x－8y+2=0，∴两平行直线之间的距离为d 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 44 基础过关 5．点P(－1，2)到直线x－3=0的距离为________；直线y=1与直线y+2=0的距离为________. 4 【提示】 数形结合． 1 2 3 4 5 6 3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 45 基础过关 6．已知原点到直线2x－3y+m=0的距离是 ，则m=________. 13或－13 1 2 3 4 5 6 【提示】 d ，∴|m|=13，即m=±13. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 46 知识要点 12．曲线的方程和方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果曲线C上的点与方程F(x，y) ＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是____________________. (2)以这个方程的解为坐标的点都在________上． 那么曲线C叫作方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫作曲线C的方程． 方程的解 曲线 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 47 知识要点 13．求曲线的方程的步骤 (1)建立____________________，设所求曲线上的____________________. (2)写出动点在曲线上的____________________. (3)用________的关系式表示这个条件，列出方程． (4)____________________. (5)证明化简后的方程就是所求的方程． 平面直角坐标系 x，y 任意动点P(x，y) 化简方程 等量关系式 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 48 知识要点 14．求曲线的交点 求曲线的交点就是求曲线的方程组成的方程组的实数解，方程组的实数解的个数就是曲线交点的个数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 49 基础过关 1．已知曲线C的方程为2x2－y2－4x＋6y－8＝0，则下列各点在曲线C上的是(　　) A．(1，2) B．(－1，3) C．(2，4) D．(1，－2) 1 2 3 4 5 6 C 【提示】 把点的坐标代入方程． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 50 基础过关 2.曲线x2＋y2＝1与直线y＝x－1的交点有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定 C 1 2 3 4 5 6 【提示】 联立 消去y得x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝ 1，方程有两个解，∴有2个交点． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 51 基础过关 3．方程x2－y2＝0表示(　　) A．一个点 B．一条直线 C．两条相交直线 D．双曲线 C 1 2 3 4 5 6 【提示】 ∵x2－y2＝0，∴y＝±x. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 52 基础过关 4．若动点M到定点P(－2，3)的距离为3，则动点M的轨迹是(　　) A．一条直线 B．一个圆 C．两条平行直线 D．四个点 【提示】 设动点M的坐标为(x，y)，则 ＝3， 整理得(x＋2)2＋(y－3)2＝9，∴动点M的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝9. 1 2 3 4 5 6 B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 53 基础过关 5．若曲线x＝y2＋2经过点M(a， )，则a＝________. 【提示】 a＝( )2＋2＝4. 1 2 3 4 5 6 4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 54 基础过关 6．若曲线kx＝y2＋4k经过点P(2，1)，则k＝________. 1 2 3 4 5 6 【提示】 把P(2，1)代入方程得2k＝1＋4k，∴k＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 55 知识要点 15．圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆，其中定点为________，定长为________. 16．圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的标准方程是________________________.特别地，圆心在原点，半径为r的圆的标准方程是________________. 圆心 半径 (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 56 知识要点 17．圆的一般方程是_______________________________(D2+E2-4F>0)，圆心坐 标是________，半径r＝______________. x2+y2+Dx+Ey+F＝0 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 57 基础过关 1．以原点为圆心，4为半径的圆的方程是(　　) A．x2+y2=4 B．x2+y2=16 C．x2+y2=2 D．(x-4)2+(y-4)2=16 1 2 3 4 5 6 B 【提示】 由圆的标准方程可知x2+y2=42. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 58 基础过关 2．圆(x-3)2+(y+4)2=16的圆心坐标和半径分别为(　　) A．(-3，4)，16 B．(-3，4)，4 C．(3，-4)，16 D．(3，-4)，4 D 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 59 基础过关 3．若方程x2+y2-2x+m=0表示的曲线是一个圆，则m的取值范围是(　　) A．{m|m<1} B．{m|m<2} C． D．{m|m≤1} A 1 2 3 4 5 6 【提示】 ∵D2+E2-4F=4-4m>0，∴m<1. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 60 基础过关 4．若圆的方程为x2+y2-8x+2y+12=0，则圆心坐标和半径分别为(　　) A．(4，-1)，5 B．(-4，1)，5 C．(-4，1)， D．(4，-1)， D 【提示】 圆的方程可化为(x-4)2+(y+1)2=5， ∴圆心坐标为(4，-1)，半径r= . 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 61 基础过关 5．已知圆心坐标为(-1，2)，且圆上有一点(3，4)，则此圆的标准方程为_____________. 【提示】 由题意得，半径 r= . 1 2 3 4 5 6 (x+1)2+(y-2)2=20 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 62 基础过关 6．已知圆x2+y2+ax+by-4=0的圆心坐标是(2，-1)，则此圆的半径是________. 3 1 2 3 4 5 6 【提示】 由x2+y2+ax+by-4=0得圆心 ，∴ 2， 1， ∴a= -4，b=2，∴圆的方程为x2+y2-4x+2y-4=0， 即(x-2)2+(y+1)2=9，∴r=3. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 63 知识要点 18．点与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系有____________、____________、____________. (2)判断方法：设点到圆心的距离为d，当d_______r时，点在圆内；当d________r时，点在圆上；当d_______r时，点在圆外． 点在圆内 点在圆上 点在圆外 < = > 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 64 知识要点 19．直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 (1)判断直线与圆的位置关系这类问题通常有两种方法 ①Δ法：联立直线方程与圆的方程，消元，得到关于x(或y)的一元二次方程，当一元二次方程根的判别式Δ________0时相交；Δ________0时相切；Δ________0时相离． < > = 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 65 知识要点 ②d，r法：先求出圆心坐标(a，b)和半径r，再求出圆心到直线的距离d，当d________r时相交；当d________r时相切；当d________r时相离． (2)直线与圆的相交问题 ①求交点坐标即解方程组； ②弦长问题：弦长、直线方程、圆方程知其二求第三个量， < > = 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 66 知识要点 公式：弦长＝________(关键找出圆心、半径r，求出圆心到直线的距离d). (3)直线与圆相切的切线问题 ①求切线长：找出圆心C和圆外一点P，求出半径r，切线长＝________； ②求切线方程， 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 67 知识要点 a．经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程：________________； b．经过圆C外一点P(x0，y0)的切线方程求法：先由已知条件设出切线方程，再采用d=r法求解． 其步骤：设切线的斜率为k，得到切线方程y-y0=k(x-x0)，求圆心C到直线的距离d，通过d=r(半径)求出k x 0 x + y0 y-r2 =0 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 68 知识要点 (切线一般两条，若结果只有一个k值，别忘了还有一条切线的斜率k不存在). (4)直线与圆的相离问题：求圆上的一点到与圆相离的直线距离最大值和最小值及相应点的坐标时，先求圆心到直线的距离d，最大值为d+r，最小值为d-r. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 69 知识要点 20．圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系有________、________、________、________、________. (2)判断方法：设两圆半径r1，r2，圆心距d. ①相离⇔__________________；②外切⇔__________________；③相交⇔__________________； 相离 外切 相交 内切 内含 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 70 知识要点 ④内切⇔__________________；⑤内含⇔__________________. (3)两圆的相交弦方程：两圆的方程相减，所得结果即为两圆相交弦方程． d=|r1-r2| d<|r1-r2| 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 71 基础过关 1．下列各点中，在圆(x-1)2+(y+2)2=9内的是(　　) A．(0，1) B．(1，1) C．(0，0) D．(2，1) 1 2 3 4 5 6 C 【提示】 将点代入圆的方程，满足“方程左边<方程右边”的即在圆内． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 72 基础过关 1 2 3 4 5 6 2．直线3x-4y=0与圆(x-1)2+(y+3)2=16的位置关系是(　　) A．相交且经过圆心 B．相离 C．相切 D．相交但不经过圆心 D 【提示】 ∵【提示】 ∵圆心坐标为(1，-3)，半径r=4，∴圆心到直线的距离d <4，∴圆心不在直线上. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 73 基础过关 1 2 3 4 5 6 3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-3)2+(y+4)2=25的位置关系是 (　　) A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 B 【提示】 C1(0，0)，r1=1，C2(3，-4)，r2=5，圆心距|C1C2| =5，r1+r2=6，|r1-r2|=4.∵|r1-r2|<|C1C2|＜r1+r2，∴两圆相交． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 74 基础过关 4．经过圆x2+y2=4上的点( ，1)的切线方程是(　　) A． x+y-4=0 B．3x+y-4=0 C． x-y+4=0 D．3x-y+4=0 A 【提示】 根据x0x+y0y-r2=0，得切线方程为 x+y-4=0. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 75 基础过关 5．直线x+y+1=0被圆(x-1)2+(y+1)2=2所截弦长为________. 【提示】 圆心(1，-1)到直线x+y+1=0的距离d ，则 弦长l . 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 76 基础过关 6．若经过圆(x-2)2+y2=9外一点M(1，7)引圆的切线，则切线长为________. 1 2 3 4 5 6 【提示】 圆心(2，0)到点M(1，7)的距离d ，则切线长为l＝＝＝. 则切线长为l . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 77 考点突破·考法探究 PART.03 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【例1】　已知直线经过A(3，－2)，B(－5，6)两点，求直线AB的倾斜角． 【思路点拨】　本题主要考查已知两点求直线斜率公式k＝ 以及斜率k＝tanα，再结合倾斜角范围确定α的大小． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　k＝ ＝ ＝－1.又∵k＝tanα＝－1，α∈[0，π)，∴倾斜角α＝ π. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】 k ＝ ＝ 2，解得t＝－1. 【变式训练1】 已知直线的斜率为2，且经过(1，3)，(－1，t)两点，则t的值为(　 ) A.－1 B.2 C.4 D.7 典例剖析 A 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　已知经过P(1－a，1＋a)，Q(3，2a)两点的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围． 典例剖析 【思路点拨】　由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　∵经过P(1－a，1＋a)，Q(3，2a)两点的直线的倾斜角α为钝角， ∴直线的斜率小于0，即 ，即 ，解得－2<a<1， 故实数a的取值范围是(－2，1). 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 已知直线l不经过第二象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B． C．{α|0≤α<π} D．无法确定 A 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【例3】　已知直线(m－2)x＋2y－m＋2＝0的斜率为2，求m的值． 【思路点拨】　本题主要考查已知直线方程求斜率的知识． 【解】　∵斜率k＝ ＝2，∴m＝－2. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 已知直线ax＋y＋1＝0的倾斜角为 ，求a的值． 解：∵k＝ tan ＝ － ，∴a＝ －1. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　已知A(5，1)，B(a，2)，C(2a，－2)三点在同一直线上，则a的值为_______. 典例剖析 【思路点拨】　三点共线则斜率相等，即kAB＝kAC . ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴ ＝ ， 解得a＝4. 4 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练4】 已知A(－1，a)，B(2，3)，C(b，2)三点都在倾斜角135°的直线上，求a，b的值． 解：∵kAB＝kBC＝tan135°， ∴ ＝ ＝－1， 解得a＝6，b＝3. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．直线的斜率有三种计算方法，要能根据已知条件选择适当的公式． 2．由于斜率是倾斜角的正切值，因此可与三角函数知识相结合，并注意倾斜角的范围是[0°，180°). 3．根据k的正负，能判断出倾斜角α的范围． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　根据下列条件求直线方程： (1)经过点P(－1，3)，且倾斜角为45°的直线方程； (2)经过P(－2， )，Q(－1，0)两点的直线方程． 变2 【思路点拨】　(1)直线l经过点P(－1，3)，倾斜角为45°，利用点斜式可得直线方程．(2)直线经过P(－2， )，Q(－1，0)两点，利用两点式可得直线PQ的方程． 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】(1)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y－3＝x＋1，即x－y＋4＝0. (2)直线PQ的方程为 ， 即 x＋y＋ ＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练1　已知直线l经过点P(－1,2) 且斜率为 ,则直线l的方程为 (　　) A．3x＋4y－5＝0 B．3x－4y＋5＝0 C．4x＋3y－5＝0 D．4x－3y＋5＝0 典例剖析 【提示】利用点斜式求直线方程. A 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　已知直线l经过点(－4，0)，且倾斜角的正弦值为 ，求直线l的方程． 典例剖析 【思路点拨】　利用同角三角函数的基本关系式求出倾斜角的正切值． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　∵sin α＝ ，且0≤α<π，∴cos α＝± ， ∴tan α＝ ＝± ， ∴直线l的方程为y－0＝± (x＋4)， 即x－3y＋4＝0或x＋3y＋4＝0. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 已知直线l经过点(0，1)，且倾斜角的余弦值为 ，求直线l的方程． 解：∵cos α＝ ，且0≤α<π，∴tan α＝ ， ∴直线l的方程为y－1＝ (x－0)，即4x＋3y－3＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】　已知直线l经过点(2，3)，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程． 典例剖析 【思路点拨】　已知直线l上一点坐标求直线方程时，还需知直线l上另一点或直线的斜率，因此要从截距相等上分析，注意分直线经过原点和不经过原点两类，由截距的概念分别求解． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　当截距不为0时，若截距相等则k＝－1， ∴直线方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0； 当直线经过原点时，截距均为0， 则直线l的方程可设为y＝kx，将(2，3)代入得k＝ ， ∴直线l的方程为y＝ x，即3x－2y＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y－5＝0或3x－2y＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练3】 已知直线l与两坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，且经过点M(2，1)，求直线l的方程． 典例剖析 解：由题意可知直线l的斜率为1或－1， ∴直线l的方程为y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)， 整理得x－y－1＝0或x＋y－3＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【例4】　已知直线2x＋my－6＝0与坐标轴围成的三角形面积为3，求m的值． 【思路点拨】　直线与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两直角边分别为在坐标轴上的截距的绝对值，因此S△＝ |a·b|. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　直线2x＋my－6＝0与两坐标轴的截距分别为3， ， 则三角形面积S＝ ×3· ＝3，解得m＝±3. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练4】 已知直线l的斜率为2，且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求直线l的方程． 解：设直线l的方程为y＝2x＋b， 则两截距分别为 ，b， ∴S＝ · ＝ 1，b2＝4， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∴b＝±2， 即y＝2x±2. ∴直线l的方程为2x－y＋2＝0或2x－y－2＝0. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例5】　已知直线l1的方程为x－2y＋4＝0，求直线l1关于x轴对称的直线l2的方程． 典例剖析 【思路点拨】　本题主要考查利用数形结合思想，将直线的对称问题转化为点的对称问题，从而求直线方程 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　∵直线l1经过点(－4，0)和点(0，2)， 且点(0，2)关于x轴的对称点坐标为(0，－2)， ∴直线l2的斜率k＝ ＝ ， ∴直线l2的方程为 y＝ x－2， 化为一般式得x＋2y＋4＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练5】 已知直线l的方程为 x－y＋1＝0，求直线l关于y轴轴对称的直线方程． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 解： 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 由图分析得对称后直线倾斜角与原直线倾斜角互补，且经过点(0，1).直线l的斜率为 ＝tan α，α＝60°， ∴所求直线倾斜角为120°，斜率k＝tan 120°＝－ ， ∴所求直线方程为y＝－ x＋1，即 x＋y－1＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．理解直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式、一般式方程，并注意各方程适用范围． 2．在应用直线方程解题时，要注意斜率不存在的情况，必要时补充说明． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　求经过点P(0，5)，且与直线l：3x－y+2=0平行的直线方程． 变2 【思路点拨】　与直线3x－y+2=0平行的直线方程可设为3x－y+D=0；或从互相平行的直线斜率相等入手． 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　设所求直线方程为3x－y+D=0，将P(0，5)代入得 0－5+D=0，即D=5， ∴所求直线方程为3x－y+5=0. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】 (1)求经过点P(0，5)，且与直线l：3x－y+2=0垂直的直线方程； (2)求经过直线l1：2x+y－1=0和l2：x+y+1=0的交点，且与直线3x－2y+1=0平行的直线方程. 典例剖析 解：(1)设所求直线方程为x+3y+D=0. 将(0，5)代入得0+3×5+D=0，即D=－15， ∴所求直线方程为x+3y－15=0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)联立 解得 即交点坐标为(2，－3). 设所求直线方程为3x－2y+D=0， 将(2，－3)代入6－2×(－3)+D=0得D=－12. ∴所求直线方程为3x－2y－12=0. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　已知直线l1：ax+3y－1=0与直线l2：2x+(a－1)y +1=0平行，求a的值． 典例剖析 【思路点拨】利用 求a的值时，要注意取舍．本题属于易错题型． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【解】 由题意得 ，∴ ∴ ∴a=3. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 (1)已 知 直 线l1:(a－1)x+ (a+2)y－a=0,l2:(3－a)x+ (1－a)y +1=0.若l1 ⊥l2, 则a=______ ; (2)若直线2x+my+1=0与直线mx+8y+2=0平行,则m=_______ . 【提示】(1) (a－1)(3－a)+(a+2)(1－a)=0，解得a=1或a= . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 1或 －4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】 (2)若两直线平行，则 ， ∴ ，解得m=－4. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】已知△ABC 的三个顶点分别是A(－6,－2),B(6,－5), C(9,－8).求: (1)BC 边所在直线的方程; (2)BC 边上的高所在直线的方程. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】(1)已知两点，可先求斜率，再用点斜式求直线方程； (2)高与底边BC垂直，且经过点A. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】(1)∵kBC ， ∴BC边所在直线的方程为y－(－5)=－(x－6)，整理得x+y－1=0. (2)BC边上的高与BC垂直且经过点A(－6，－2). ∵k·kBC=－1，∴k=1，∴BC边上的高所在直线的方程为y+2=x+6，即x－y+4=0. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 已知A(2，4)，B(－2，2)两点，求线段AB的垂直平分线所在直线的方程． 解：kAB ，∵k·kAB=－1，∴k=－2. 又∵线段AB的中点坐标为(0，3)， ∴线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y－3=－2(x－0)，即2x+y-3=0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】设直线l1：x+y－1=0，l2：x－2y+2=0，l3：3x+my－6=0，且直线l1，l2，l3相交于同一点，求m的值． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】求l1，l2的交点坐标并代入l3的方程可得m的值． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】联立 解得 ∴l1与l2的交点坐标为(0，1)， 将点(0，1)的坐标代入l3的方程，得3×0+m·1－6=0，解得m=6. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练4】 已知直线l1：x+y－1=0，l2：2x+3y－5=0，l3：6x－8y+3=0，求： (1)l1与l2的交点P的坐标； (2)经过交点P且与l3垂直的直线方程. 解：(1)联立 解得 即点P(－2，3). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)由l3：6x－8y+3=0可得直线的斜率为 ，则经过交点P且与l3垂直的直线的斜率为 ，其直线方程为y－3= (x+2)，即4x+3y－1=0. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．认清直线平行、垂直的充要条件，特别注意平行与重合的关系． 2．在设与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程时，注意系数与符号的改变． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　下列各点中，与点M(－1，0)关于点H(2，3)中心对称的点是(　　) A．(0，1) B．(5，6) C．(－1，1) D．(－5，6) 变2 例3 变3 例4 变4 B 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】　理解中心对称的含义，若点M关于点H中心对称的点为M ′，则H为线段MM ′的中点．设所求点的坐标为(x，y)， 则 解得　 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】 (1)点A(－1，5)关于坐标原点对称的点的坐标为________； (2)已知A(－1，5)，B(3，9)两点，则A，B两点的对称中心的坐标为________. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 (1，－5) (1，7) 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　已知A(1，2)，B(4，6)两点，则两点间的距离|AB|=________. 典例剖析 【思路点拨】　直接应用两点间的距离公式求解． |AB|= =5. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 5 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 已知x轴上一点P到点A(2，3)的距离为5，求点P的坐标． 解：设P(x，0)，则 =5， (x－2)2=16，得x=6或x=－2， ∴点P的坐标为(6，0)或(－2，0). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】求与直线3x－4y－10=0平行且距离为3的直线方程． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　先根据平行关系设出所求直线方程，再用平行线间距离公式求出待定系数． 【解】　设所求直线方程为3x－4y+D=0，则d ， 即|10+D|=15，解得D=5或D=－25， ∴直线方程为3x－4y+5=0或3x－4y－25=0. 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 如果两平行直线y=3x－b 与y=3x+5之间的距离为 ,那么b=________ . 【提示】 两直线方程化为3x－y－b=0与3x－y+5=0，则 ，解得b=5或b=－15. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 5或－15 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】已知△ABC 的三个顶点分别为A(2,4),B(3,3), C(－2,6),求此三角形的面积. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　先用两点间距离公式求出一边长，再求出这一边所在直线方程，利用点到直线的距离公式求得这一边上的高，最后求出面积． 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】∵kAB ，∴直线AB的方程为y－4=－(x－2)，即x+y－6=0. ∵点C(－2，6)到AB边的距离d ， |AB| ， ∴S△ABC＝ |AB|·d . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练4】 若点P(2，m)到直线6x－8y+5=0的距离为1，则m的值为(　　) A． B． C． 或 D． 或 【提示】 d ，解得m= 或 . C 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例5】　求点P(4，5)关于直线y=3x+3的对称点P′的坐标． 【思路点拨】　设点P′的坐标为(a，b)，则线段PP′的中点在直线y=3x+3上，PP′与直线y=3x+3垂直，利用这两个条件可求得P′的坐标． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　设P′(a，b)，则kPP′ ，线段PP′的中点坐标 为 ，∴ 解得 ∴点P′的坐标为(－2，7). 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练5】 点A(－2，1)关于x轴的对称点坐标为__________；关于y轴的对称点坐标为________；关于选y=x的对称点坐标为________；关于直线2x+y－1=0的对称点坐标为________. (－2，－1) (2，1) (1，－2) 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．点到直线的距离公式适用于任意点和任意直线，但与坐标轴垂直的直线可以根据图象直接得出． 2．求两平行线间的距离时，要注意将直线方程都化为一般式，并先将x，y的系数化为相等数字后再求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　下列各点中，不在曲线x2＋y2＝25上的是(　　) A．(－4，－3) B．(2，4) C．(5sin θ，5cos θ) D．(5，0) 变2 【思路点拨】　因为曲线上点的坐标满足曲线方程，所以只要将点的坐标代入方程，验证方程是否成立即可． 例3 变3 例4 变4 B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】 已知点(2，－1)在曲线C：x2＋y2－6x＋ay＝0上，则a的值是(　　) A．16 B．7 C．－16 D．－7 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　设点P到点A(3，0)的距离与点P到直线x＝－3的距离相等，求动点P的轨迹方程． 典例剖析 【思路点拨】　①设动点P(x，y)；②根据点P到点A距离等于到直线x＝－3的距离，列出方程；③化简方程；④检验． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【解】　设动点P的坐标为(x，y)，则 ＝|x＋3|， 整理得y2＝12x， ∴动点P的轨迹方程为y2＝12x. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 已知动点P到两定点A(1，2)，B(2，5)的距离相等，求动点P的轨迹方程 解：设动点P的坐标为(x，y)，则 整理得x＋3y－12＝0， ∴动点P的轨迹方程为x＋3y－12＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】　已知定点A(－2，0)，B(2，0)，且动点P使得PA⊥PB，求点P的轨迹方程． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　因为PA⊥PB，所以可以利用kPA·kPB＝－1. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　设动点P的坐标为(x，y). ∵PA⊥PB，∴kPA·kPB＝－1，即 ＝－1， 整理得x2＋y2＝4. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 又∵A，B，P三点不能共线，∴x≠±2， ∴动点P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 已知经过平面上两定点A(－a，0)，B(a，0)的两条直线互相垂直，求这两条直线的交点M的轨迹方程． 解：设交点M为(x，y)，则MA⊥MB， ∴ ，整理得x2＋y2＝a2. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 又∵M，A，B三点不能共线， ∴x≠±a， ∴点M的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　已知直线l：y＝x＋k和曲线C：y＝x2－3x＋1.求： (1)当k为何值时，直线l与曲线C有两个交点？ (2)当k为何值时，直线l与曲线C有且只有一个交点？ (3)当k为何值时，直线l与曲线C没有交点？ 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　判定曲线交点个数，一般用联立、消元后一元二次方程的判别式Δ来判断． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　联立 消去y得x2－4x＋1－k＝0， Δ＝(－4)2－4(1－k)＝4k＋12. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 (1)当Δ＝4k＋12>0，即k>－3时，直线l与曲线C有两个交点． (2)当Δ＝4k＋12＝0，即k＝－3时，直线l与曲线C有且只有一个交点． (3)当Δ＝4k＋12<0，即k<－3时，直线l与曲线C没有交点． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练4】 求直线2x－y＝0与曲线x2＋2y2＝1的交点． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 解：联立方程组 解得 ∴交点坐标为 和 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．求轨迹方程一般有三种方法． (1)直接法：将动点满足的几何条件利用有关定理、公式、性质等进行“坐标化”，具体有五个步骤，注意特殊点的取舍． (2)坐标代换法：以已知曲线上的点为“主动点”，所求轨迹上的点为“从动点”进行坐标代换． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 (3)定义法：当动点轨迹的条件符合某一曲线的定义时，可直接根据定义写出方程． 2．求出轨迹方程后一定要进行检验，检验方程的解对应的点是否都在曲线上． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心坐标为(-2，1)，且半径为3的圆； (2)以A(2，1)，B(-2，-1)为直径的两个端点的圆； (3)圆心坐标为(2，-3)，且与x轴相切的圆； (4)经过点(1，-1)，且圆心坐标为(4，3)的圆； (5)经过A(1，1)，B(-3，5)两点，且圆心在x轴上的圆． 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】　求圆的标准方程只要求出圆心坐标和半径． 【解】(1)圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=9. (2)∵圆心为线段AB的中点(0，0)，r= |AB|= ∴圆的标准方程为x2+y2=5. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (3)∵圆心坐标为(2，-3)，且与x轴相切，∴r=3， ∴圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=9. (4)∵r ， ∴圆的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=25. (5)设圆心坐标为(a，0)，则 ， 解得a=-4，∴圆心坐标为(-4，0)，半径r ，∴圆的标准方程为(x+4)2+y2=26. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】 求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆C：(x-2)2+(y-3)2=9关于直线y=x对称的圆的标准方程； (2)已知圆过点(5，2)，半径r=3，且圆心在直线x-y=0上； (3)圆心坐标为(-4，3)，且与y轴相切的圆． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：(1)∵圆C的圆心坐标为(2，3)， 关于直线y=x对称后得(3，2)， 半径为r=3不变． ∴圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=9. (2)设圆心坐标为(a，a)，r ，解得a1=2或a2=5， 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∴圆心坐标为(2，2)或(5，5)， ∴圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=9或(x-5)2+(y-5)2=9. (3)由题意可知，半径r=4， ∴圆的标准方程为(x+4)2+(y-3)2=16. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　若圆x2+y2+2ax+by+ab=0的圆心坐标为(-1，2)，则圆的半径是(　　) A．2 B．4 C．3 D．9 【思路点拨】　已知圆的一般方程求圆的圆心坐标、半径，要将一般方程化为圆的标准方程．圆的方程可配方为(x+a)2+ =a2+ -ab，则 C 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 得 ∴r2=1+ +4=9，∴半径为3. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练2】 已知圆x2+y2+2ax+ay-4=0的半径是3，则a的值是(　　) A．2 B．-2 C．±2 D．±2 【提示】 圆的方程配方得(x+a)2+ =a2+ + 4， 则9=a2+ +4，解得a=±2. C 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】　求经过A(2，2)，B(2，-2)，C(1，0)三点的圆的一般方程，并求出圆心坐标和半径． 【思路点拨】　已知三点求圆的方程时，可设圆的一般式方程，采用待定系数法． 【解】　设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解得 ∴圆的一般方程为x2+y2-7x+6=0，化为 +y2= ，∴圆心坐标为 ， 半径r= . 将三点的坐标分别代入得 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练3】 在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)，求△ABC的外接圆的一般方程． 解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 将三点的坐标分别代入得 解得 ∴圆的方程为x2+y2-8x+6y=0. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　已知圆经过A(1，-2)，B(-1，4)两点，求： (1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程． 【思路点拨】　(1)根据题意，求出线段AB为直径的圆，即为所求周长最小的圆的方程． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)先求出线段AB的中垂线与直线2x-y-4=0的交点C(3，2)，可得所求圆的圆心，再求出半径即得． 【解】　(1)∵圆经过A(1，-2)，B(-1，4)两点，且周长最小， ∴所求的圆是以线段AB为直径的圆，圆的方程为x2+(y-1)2=10. (2)线段AB的中垂线方程为y= x+1，与直线2x-y-4=0的交点为C(3，2). 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∴圆心在直线2x-y-4=0上的圆，圆心坐标为C(3，2)，半径r . ∴圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练4】 已知圆C的圆心在直线y=x+1上，半径为 ，且圆C经过点(3，6)和点(5，6).求圆C的方程． 解：设圆C的圆心坐标为(a，a+1)，则圆C的方程为 (x-a)2+[y-(a+1)]2=2， ∴ 解得a=4， ∴圆C的方程是(x-4)2+(y-5)2=2. 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，即a，b，r或D，E，F.一般情况下，只有在已知圆上三个点时设圆的一般方程，而其他题设条件一般可求出圆心和半径，从而得到标准方程． 2．解决圆的问题，应注意数形结合，充分利用圆的几何性质来简化运算． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 例1 变1 例2 【例1】　问：当b为何值时，直线y=x+b与圆x2+y2=2相交、相切、相离？ 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　直线与圆的位置关系可以用判别式Δ；也可用圆心到直线的距离d与半径r的关系判断． 【解】　圆心(0，0)到直线x-y+b=0的距离为d . 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 当d<r， < ，即-2<b<2时，直线与圆相交． 当d=r， = ，即b=±2时，直线与圆相切． 当d>r， > ，即b<-2或b>2时，直线与圆相离． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】 若经过点(2,0)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的斜率k 的取值范围是________________ . 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【提示】 设直线方程为y＝k(x－2)即kx－y－2k＝0，圆心(0，0)到直线的距离d= ，∵直线与圆有公共点，∴ ≤1， 解得 . 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】已知点 M(1,1)在圆(x-2)2+(y-3)2=16内.求: (1)经过点 M 的最长弦所在直线的方程; (2)经过点 M 的最短弦所在直线的方程 典例剖析 【思路点拨】　经过圆内一点的最长弦为经过此点的直径；而经过点M的最短弦则与第(1)问中的最长弦互相垂直，并且M为弦的中点． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　(1)∵经过点M的最长弦经过圆心(2，3)，∴k= = 2， ∴最长弦所在直线的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0. (2)∵经过点M的最短弦与经过此点的最长弦垂直，∴k′= ， ∴最短弦所在直线的方程为y-1=- (x-1)，即x+2y-3=0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练2】 已知A，B两点在圆x2+y2=4上，弦AB的中点为D(1，1)，求直线AB的方程． 解：∵圆心为O(0，0)，∴kOD= =1. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 ∵直线AB⊥OD，∴kAB=-1. ∴直线AB的方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0. 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】已知圆的方程是(x-1)2+y2=1,分别求满足以下条件的圆的切线方程: (1)与直线2x+y+1=0垂直; (2)经过圆上一点(1,1); (3)经过圆外一点(-1,0) 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【思路点拨】求圆的切线方程的一般步骤可归纳为：①根据已知条件设出切线方程；②利用圆心到切线距离等于半径解出待定系数． (1)可由垂直关系设出切线方程；(2)可设切线的点斜式方程，也可利用圆心与切点(1，1)连线与切线垂直得到切线斜率； 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 (1)设切线方程为x-2y+D=0.圆心(1，0)到切线的距离为d = =r=1. 解得D= -1或D=- -1. ∴切线方程为x-2y+ -1=0或x-2y- -1＝0. (3)可设切线的点斜式方程，但要注意经过圆外一点可引两条切线，若只求得一个斜率，则说明另一切线斜率不存在． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (3)设经过点(-1，0)，且斜率存在的切线方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0.∵圆心(1，0)到切线的距离为d= =1，解得k=± ，∴切线方程为y=± (x+1)，整理得x-y+1=0或x+y+1=0. 典例剖析 (2)∵经过点(1，1)和圆心(1，0)的直线与x轴垂直， ∴经过圆上一点(1，1)的切线方程为y=1，即y-1=0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练3】 已知从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2，3)向这个圆引切线，求切线方程． 解：设经过点(2，3)的切线方程为y-3=k(x-2)， 即kx-y-2k+3=0，圆心(1，1)，r=1. d= =1，解得k= . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 ∵点P在圆外，∴另一切线的斜率不存在． ∴切线方程为y-3= (x-2)和x=2， 即3x-4y+6=0和x=2. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　已知经过点(2，0)的直线l与圆x2+y2=4相交，所得弦长为2，求直线l的方程． 典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　圆心到直线的距离d、半径r、半弦长 构成直角三角形，满足勾股定理： = . 【解】　设直线l的方程为y=k(x-2)，即kx-y-2k=0. 圆心(0，0)，r=2，d= . 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 又∵弦长为2，∴d ， 解得k=± ， 典例剖析 ∴直线l的方程为 x-y-2 = 0或 x+y-2 = 0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练4】 已知圆心在直线x-3y=0上的圆C与y轴相切，且被直线y=x截得的弦长为2 ，求此圆的标准方程． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 解：由题意可设圆心坐标为(3b，b)， ∵圆与y轴相切，∴半径r=|3b|. 圆心到直线y=x的距离d= = |b|. 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 又∵d |b|， ∴b=±1， ∴圆心坐标为(3，1)或(-3，-1)，半径为r=3. ∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【例5】　已知圆C：x2+y2-4x+6y+4=0和直线l：x-y+5=0，求直线l上到圆C距离最小的点的坐标，并求最小距离． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　结合如图47－1所示的图形分析，所求点即为点A，是过圆心C且与l垂直的直线与直线l的交点，最小距离为圆心C到l的距离减去半径． 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【解】　圆C的方程化为(x-2)2+(y+3)2=9， 设与直线l垂直的直线方程为x+y+D=0，将圆心(2，-3)代入得2-3+D=0，解得D=1. ∴直线方程为x+y+1=0， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 联立 解得 ∴直线l上到圆心的距离最小的点的坐标为(-3，2)， 圆心(2，-3)到直线l的距离为d ， ∴最小距离为 -3. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例剖析 【变式训练5】 求圆x2+y2-2x+4y+1=0上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值和最小值． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 解：∵圆的方程化为(x-1)2+(y+2)2=4， ∴圆心(1，-2)到直线3x-4y+4=0的距离为d= =3， 例5 变5 ∴最大值为d+r=3+2=5，最小值为d-r=3-2=1. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．判断直线与圆的位置关系，一般情况下用圆心到直线的距离与半径比较的方法． 2．求圆的切线方程时，主要应用圆心到切线的距离等于半径这一性质．若具体分，则主要分为两大类：一类是已知斜率(或方向)；另一类是已知切线上一点．若已知斜率，则切线一般有两条；若已知直线上一点，又分两种：一种是已知点在圆上，则切线只有一条；另一种是已知点在圆 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 外，则切线有两条． 3．在研究直线与圆的位置关系时，要善于利用圆的几何性质，简化解题过程，如：计算弦长时利用弦长公式(弦长= )，求切线长时用点到圆心的距离d、半径、切线长，三者之间用勾股定理得“切线长= ”，避免求切点． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.04 课堂小结·查漏补缺 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 193 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 194 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 195 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 196 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 197 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 198 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 199 本课结束 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 平面解析几何 直线的方程 直线的斜率 直线的倾斜角 点到直线的距离、两条平行线间的距离 两条直线的位置关系 两条相交直线的交点及其夹角 点、直线与圆的位置关系及判定方法 圆的方程 圆 两点间的距离公式和中点公式 直线的方程 两直线的位置关系 圆的切线方程 椭圆、双曲线和抛物线 定义、标准方程和性质 $$