专题05 平面向量（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

专题五 平面向量 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲要求·考情分析 01 考点突破·考法探究 03 04 课堂小结·查漏补缺 02 知识清单·网络构建 √ √ √ √ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.01 考纲要求·考情分析 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考查方向 本章内容一般以选择题、填空题和解答题的形式考查，难度适中，主要考查方向如下： ①平面向量的线性运算； ② 平面向量的坐标运算； ③ 平面向量的内积； ④ 平面向量共线、垂直的条件 复习建议 在本章的复习过程中，要准确理解向量的相关概念，平面向量坐标表示的定义及向量坐标与其起点、终点坐标的关系，向量内积的定义；能够区分共线向量和相等向量，能够运用运算法则、运算律和向量的坐标进行平面向量的加、减、数乘运算，能够运用向量内积的公式和运算律准确计算出向量的内积，并能够根据条件判断两向量是否共线或垂直 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.02 知识清单·网络构建 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．向量的定义 既有　　　　又有　　　　的量叫作向量．向量可以 用　　　　　表示，如图20－1所示向量 ，方向是由　　　指 向　　　　．向量也可以用小写黑体字母表示，如向量a，b．向 量的　　　　叫作向量的模， 的模记作　　　　． 图20－1 大小 方向 有向线段　 点A　 点B　 大小　 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．零向量(单位向量) 　　　　的向量叫作零向量，记作0，0的方向　　　　． 　　　　的向量叫作单位向量．与非零向量a同向的单位向量 为　　　　． 模为零 不确定 模为1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．平行向量 方向　　　　或　　　　的　　　　　向量，称为平行向量或　　　　　．任一组平行向量都可以平移到同一条直线上．零向量与任意向量共线． 相同 相反 两个非零 共线向量 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．相等向量、相反向量 　　　　　　　　　　的向量叫作相等向量； 　　　　　　　　　　的向量叫作相反向量． 大小相等、方向相同 大小相等、方向相反 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．起点和终点重合的向量记为(　　) A．1 B．0 C．0 D．自由向量 B 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 2．向量的长度一定是(　　) A．非负实数 B．有理数 C．正数 D．无法确定 A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 3．下列说法正确的是(　　) A．平行向量方向一定相同 B．零向量的模为零 C．模相等的两个向量是相等向量 D．共线向量是在一条直线上的向量 B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 4．以A为起点、B为终点的有向线段记作(　　) A．AB B．BA C.　 D.　 C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．已知与向量a等长且方向相反的向量为b，则它们的和向量a＋b等于(　　) A．0 B．0 C．2a D．2 1 2 3 4 5 6 B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 6．下列命题中，正确的个数是(　　) ①零向量就是没有大小，没有方向的向量；②零向量只有大小，没有方向；③单位向量都相等；④单位向量的模都相等． A．0 B．1 C．2 D．3 1 2 3 4 5 6 【提示】根据零向量和单位向量的定义可知只有④正确． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例1】　“两个向量共线”是“两个向量相等”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 【思路点拨】　两个向量共线是指两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是指大小相等、方向相同． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】　 已知非零向量a与b是互为相反向量，则下列结论错误的是(　　) A．a与b方向相反 B．a与b必在同一直线上 C．a与b共线 D．a与b的长度相等 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　已知平面向量a，b，则“a∥b”是“|a－b|＝|a|－|b|” 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 B 【思路点拨】　若a∥b，则a与b的方向相同或相反，|a－b|＝|a|－|b|或|a－b|＝|a|＋|b|，反之则成立． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练2】　 已知A(12，5)，B(3，y)两点，且 ，则y＝　　　　． 1或9 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 【提示】∵A(12，5)，B(3，y)，∴ ， 解得y＝1或y＝9. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】　如图20－2所示，已知D，E，F分别为△ABC中边AB，BC，CA的中点． (1)写出与 ， 相等的向量； (2)写出 ， 的相反向量； (3)写出与 平行的向量． 图20－2 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】(1)与 相等的向量即与 大小相等，方向相同的向量，有两个；同理，与 相等的向量也有两个． (2) 的相反向量即与 大小相等，方向相反的向量，有三个；同理 的相反向量也有三个．(3)与 平行的向量即与 方向相同或相反的向量，有七个．　 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】　(1)与 相等的向量： ， ；与 相等的向量： ， . (2) 的相反向量： ， ， ； 的相反向量： ， ， . (3)与 平行的向量： ， ， ， ， ， ， . 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练3】　 如图20－3所示，已知E，F分别是平行四边形ABCD中边AB，CD的中点，试写出 的相等向量、相反向量和共线向量． 图20－3 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解： 的相等向量： ， ， ； 的相反向量： ， ， ， ； 的共线向量： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例4】　下列说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．方向相反的向量可能相等 B．共线的单位向量一定相等 C．若 ＝ ，则A，B，C，D四点构成平行四边形ABCD D．若a，b不共线，则a，b都是非零向量 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【思路点拨】　向量相等，方向要相同．共线的单位向量，方向有可能相反．若 ＝ ，则A，B，C，D四点有可能在同一直线上． 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练4】　 下列四个命题中，正确的个数是(　　) ①两个相反向量的和向量为0；②因为温度有零下和零上之分，所以温度是向量；③若a与b互为相反向量，则|a|＝|b|． A．0 B．1 C．2 D．3 例1 变1 例2 例3 变3 例4 变4 变2 C 【提示】①③正确． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【回顾反思】 1．有关向量的基本概念较多，要注意相等向量、相反向量、平行向量(共线向量)之间的联系与区别：大小是否相等，方向是否相同或相反． 2．两个特殊向量：单位向量与零向量，都仅对大小有限制要求．因为零向量方向任意，所以其与任意向量共线．因此向量共线不具有传递性． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．向量的加法 (1)已知向量a，b，在平面内任取一点A，作 ＝a， ＝b，则向量 叫作a与b的　　　　　　　，记作　　　　　　　． 和向量 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)向量加法的几何意义 三角形法则：已知a，b，作 ＝a， ＝b，则向量 叫作a与b的和向量，如图21－1所示． 平行四边形法则：设A为任意一点， ＝a， ＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量 为a与b的和向量，如图21－2所示． 图21－1 图21－2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．向量的减法 (1)向量a加上b的相反向量，叫作a与b的　　　　，即a－b＝a＋(－b). 差向量 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝a－b，即差向量为连接两个向量的终点(这两个向量具有共同起点)，方向指向为　　　　　　　　　　　　　　　　　，如图21－3所示． 图21－3 减向量的终点指向被减向量的终点 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．数乘向量 (1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作　　　　，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝　　　　； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向　　　　；当λ<0时，λa的方向与a的方向　　　　；当λ＝0或a＝0时，λa＝　　　　． ③向量a与非零向量b共线的充要条件是　　　　． λa 相同 相反 0 a＝λb 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)运算法则 ①λ(μa)＝　　　　； ②(λ＋μ)a＝　　　　； ③λ(a＋b)＝　　　　． λμa λa＋μa λa＋λa 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．平面向量的坐标运算 (1)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，根据平行四边形法则，对平面上任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，(x，y)叫作向量a在平面直角坐标系xOy中的坐标，记作　　　　　． a＝(x，y) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)若O(0，0)，A(x，y)，则 ＝　　　　　　　　． (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝　　　　　　　　． (4)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝　　　　　　　　，a－b＝　　　　　　　　． (5)若a＝(x，y)，λ为实数，则λa＝　　　　． (6)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标 为　　　　　　　　． (x，y) (x2－x1，y2－y1) (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx，λy) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．已知A(2，－2)，B(－3，2)两点，则 的坐标为(　　) A．(－1，－2) B．(5，2) C．(1，2) D．(－5，4) D 1 2 3 4 5 6 【提示】 的坐标等于点B的坐标减去点A的坐标． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 2．已知a＝(0，0)，b＝(1，－2)，且c＝2a－3b，则c等 于(　　) A．(－3，6) B．(3，－6) C．(－1，2) D．(0，3) A 【提示】　2a－3b＝2(0，0)－3(1，－2)＝(－3，6)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 3．化简：4(a＋b)－3(a－b)＋3b等于(　　) A．a－2b B．a C．a＋10b D．a－8b C 【提示】　4(a＋b)－3(a－b)＋3b＝a＋10b． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1 2 3 4 5 6 4．若平面向量a＝(3，1)，b＝(－9，x)，且b＝－3a，则x等 于(　　) A．3 B．－3 C．－9 D．9 B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．已知ABCD是正方形，下列关于向量的关系式中，一定成立的是(　　) A． B． C． D． 1 2 3 4 5 6 【提示】　∵ ，∴ ． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 6．化简： ＝　　　　． 1 2 3 4 5 6 【提示】 ． 0 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例1】如图21－4所示，四边形ABCD是平行四边形，O为对角线交点，则 ＝　　　　， ＝　　　　　． 图21－4 例1 变1 例2 例3 变3 变2 【思路点拨】　(1)可把 转化为 ，∵ ＝ ，∴可知 － 即 ＋ ． (2)∵ ＝ ，∴ ＋ 即 ＋ ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练1】　 如图21－5所示，ABCDEF为正六边形，则 ＝ 　　　　　　　　　　， ＝　　　　． 图21－5 例1 变1 例2 例3 变3 变2 0 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例2】　如图21－6所示，在平行四边形ABCD中， ＝a， ＝b，则 等于(　　) A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b 图21－6 例1 变1 例2 例3 变3 变2 B 【思路点拨】　 可分解为 ＋ ， ＝ ＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练2】　 如图21－7所示，若正方形ABCD的边长为2，则 等于(　　) A．0 B． C．4 D 图21－7 例1 变1 例2 例3 变3 变2 C 【提示】 ＝4，故选C．　 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【例3】　已知A(3，－3)，B(3，6)两点， ，则点P的坐标为(　　) A．(3，0) B．(1，5) C．(－1，4) D．(2，1) 例1 变1 例2 例3 变3 变2 A 【思路点拨】设P(a，b)，由已知可得(a，b)－(3，－3)＝ [(3，6)－(3，－3)]. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【变式训练3】　 (1)已知a＝(1，2)，b＝(2，3)，实数x，y满足xa＋yb＝(3，4)，则x＝　　　　，y＝　　　　； (2)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－5，－3)，B(3， －1)，C(5，4)，求点D的坐标． 例1 变1 例2 例3 变3 变2 －1 2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例1 变1 例2 例3 变3 变2 【提示】 ∵x(1，2)＋y(2，3)＝(3，4)， ∴ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)解：设D(x，y). ∵ ， ∴(3，－1)－(－5，－3)＝(5，4)－(x，y)， ∴(x，y)＝(－3，2)，即点D的坐标为(－3，2)． 例1 变1 例2 例3 变3 变2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【回顾反思】 1．向量的加法、减法的运算关键是数形结合思想，向量是一个几何量，因此在研究向量时通常要结合图形，灵活转换向量的加减法，如把 转化为 . 2．向量的坐标运算实质是向量的代数形式，但共线、垂直等向量关系及模长、中点坐标求解通过数形结合可理解得更为透彻． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 知识点 平面向量的内积 1．向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b,过O点作 =a, =b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)称为向量a 与 b 的夹角,用符号表示为‹a,b›. 【注意】 ①当 a 与 b 方向相同时,θ=0°. ②当 a 与 b 方向相反时,θ=180°. ③如果两个向量 a 与 b 的夹角是90°,我们就说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. ④在两个向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 53 结论： (1)当a·b＜0(或 ≤0)时,则 a 与 b 的夹角‹a,b›的取值范围为(90°,180°](或 [90°,180°]); (2)当a·b＞0(或 ≥0)时,则 a 与 b 的夹角‹a,b›的取值范围为(0°,90°](或 [0°,90°]). 知识点 平面向量的内积 方法清单 判断两向量的夹角最关键的点就是让它们的起点重合,若它们的起点不重合,一定要利用相等向量(不改变其方向和大小)的性质进行平移. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 54 2．向量的内积(又叫数量积) 两个向量的内积的定义：向量 a 与 b 的模与它们的夹角的余弦之积称为 a 与 b 的内积 (即数量积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos‹a,b›. 【注意】在书写向量内积时,特别注意箭头与中间的点,必须写上,不能省略,且数量 积的运算结果是一个实数. 说明：零向量与任一向量的内积为0. 知识点 平面向量的内积 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 55 向量的内积 方法清单 1．数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 56 向量的内积 方法清单 2．求平面向量数量积的步骤 (1)求向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π]; (2)分别求|a|和|b|; (3)求数量积,即a·b=|a||b|cosθ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省略. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 57 3．向量内积的性质 知识点 平面向量的内积 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 58 向量内积的性质 方法清单 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 59 4．向量内积的运算律 知识点 平面向量的内积 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 60 5．内积(数量积)的坐标表示 知识点 平面向量的内积 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 61 平面向量的内积 方法清单 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 62 考点突破·考法探究 PART.03 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例1  “ ”是“四边形 为平行四边形”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 因为向量 的充分必要条件是 且 与 同向，所以“ ”是“四边形为 平行四边形”的充分必要条件． 【名师点睛】 向量具有大小和方向两个要素，相等向量的大小和方向完全相同． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例2  下列命题中，正确的是（ ）． ① 若 ，则 ；② 若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件；③ 若 ， ，则 ；④ “ ”的充分必要条件是“ 且 ”；⑤ 若 ， ，则 ． A．①④ B．③⑤ C．②③ D．②⑤ 解析 ，但若 与 方向不同，则 ，①错误；“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件，②正确；向量相等具有传递性，③正确； 不一定满足 与 方向相同，所以“ 且 ”不是“ ”的充分必要条件，④错误；若 为 ，则不能推出 ，⑤错误． 【名师点睛】 本题考查向量的概念、共线及相等． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 易错警示 （1）向量相等具有传递性，即 ， ，则 ． （2）向量共线不具有传递性，若 ，则 ， 不一定推出 ；若 ，则 ， 能够推出 ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例3  在四边形ABCD中，若 ，且 ，则四边形ABCD的形状为_________ ． 解析 因为 ，所以 且 ，所以四边形ABCD为平行四边形．又因为 ，所以四边形ABCD为菱形． 【名师点睛】 本题考查相等向量的定义及应用． 菱形 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例4  设A，B，C，D，O是平面上的任意五点，试化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 解析 （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【名师点睛】 本题考查向量的加法、减法运算及其几何意义，可通过画草图理解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 敲黑板 （1）向量的运算中，合并同类项、去括号、移项等法则仍然适用． （2）向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时要注意三角形法则与平行四边形法则的使用条件． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 易错警示 首尾相连的多个向量之和为零向量．即两个相同的向量相减等于零向量，但不等于实数0，即 ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解题通法 向量的加、减法运算一般运用以下两种方法： （1）几何法：在平面上画出向量，然后运用平行四边形法则或三角形法则求解，或者借助几何图形及相等向量进行转化求解． （2）代数法：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量首尾相连，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序（将首尾相连的向量合在一起），有时可将一个向量拆分成两个或多个向量． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例5  设非零向量 的模为3，对于 ，下列说法中正确的是（ ）． A．它表示与 反向的单位向量 B．它表示与 同向的单位向量 C．它表示实数1 D．它表示方向不确定的单位向量 解析 实数 与向量 的乘积 是一个向量，且与 的方向相同． 【名师点睛】 本题考查向量数乘运算的定义． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例6  计算下列各式． （1） ； （2） ． 解析 （1） ． （2） ． 【名师点睛】 熟练掌握向量线性运算的运算律． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 易错警示 向量的线性运算应注意： ① 当 时， ，当 时，也有 ； ② 实数和向量可以求积，但不能求和、求差； ③ 向量的加法、减法、数乘运算都是向量的线性运算，实质都是向量的变换，因此，运算结果仍是向量． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例7  如图所示，平行四边形ABCD的对角线 AC 和 BD 交于点O，且 ， ，试用 a 和 b 表示向量 ． 解析 因为在平行四边形ABCD中，向量 与 的模相等，方向相反；向量 与 的模相等，方向相反，所以 ， ．根据向量减法的三角形法则，可得 ．又因为向量 与 的模相等，方向相反，所以 ． 【名师点睛】 本题考查用两个非零不共线向量表示其他向量，解题的关键是利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 敲黑板 用线段表示向量时，向量与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解题通法 用两个及以上的非零不共线向量表示某个向量的步骤： ① 观察各向量的位置和方向，寻找相应的三角形或多边形； ② 运用三角形法则或平行四边形法则确定各向量间的关系； ③ 表示出所需向量并化简，得出结果． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例8  已知平行四边形ABCD的三点 ，求顶点 D 的坐标． 解析 设点D的坐标为 ，则 ， ．因为ABCD为平行四边形，所以 ，即 解得 因此，顶点D的坐标为 ． 【名师点睛】 本题考查向量的坐标运算在平行四边形中的应用． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解题通法 在向量问题中求点的坐标的方法： ① 待定系数法，即设所求点的坐标为( x，y )，利用向量之间的关系列出含 x，y 的方程组，求解方程组即可得到所求点的坐标； ② 向量表示法，就是将点的坐标转化为以坐标原点为起点、以该点为终点的向量坐标； ③ 几何法，即根据点所在象限位置及它与两坐标轴的距离来确定点的坐标． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例9  已知 ， ， ，试用 表示 ． 解析 设 ，由向量 的坐标可得 解得 因此， ． 【名师点睛】 本题考查向量坐标的定义及线性运算． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 解析 由已知，得 ， ． 因为 ，所以 ，解得 ． 【名师点睛】 本题考查向量共线的坐标表示．  例10  已知 ，若 ，则 _________． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例11  已知A，B，C三点共线，且坐标分别为 ， 则 _______． 解析 由已知，得 ， ．因为A，B，C三点共线，所以 ，则 ，解得 ． 【名师点睛】 A，B，C三点共线 ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解题通法 根据向量共线求参数： ① 利用向量共线定理，即 列出方程组，解出参数； ② 利用向量共线的坐标关系式 进行求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例13 已知 ， ，则 ________， ________． 解析 方法一：因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 ． 方法二：设向量 ， ．由 ， 可得 且 解得 且 因此， ， ． 【名师点睛】 本题考查向量的坐标运算． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例14 若 ， ，a，b 的夹角θ为60°，求 ． 解析 【名师点睛】 本题考查向量数量积的坐标运算． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例15 正方形ABCD的边长为2，则 __________． 解析 由题意，得 ，且 ，所以 ． 【名师点睛】 本题考查向量的数量积在正方形中的应用． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例16 在∆ABC中， ，若 ，则 __________． 解析 根据向量加法的三角形法则，得 ． 【名师点睛】 本题考查向量的数量积在三角形中的应用． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 易错警示 在三角形中计算两个向量的数量积时，注意根据两个向量的方向判断题中所给角是两个向量的夹角还是夹角的补角． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 敲黑板 向量的应用非常广泛， 如向量与解析几何结合，利用向量来表示某些关系或进行向量的坐标运算； 向量与三角形结合，用于求角； 向量与平面几何结合，用于判断直线的位置关系（如共线、垂直等）． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例17 已知 ，且 与 的夹角为锐角，求 x 的取值范围． 解析 因为 与 的夹角为锐角，所以 且向量 与 不共线，即 解得 或 ，且 ．因此，x 的取值范围为 ． 【名师点睛】 本题考查根据两向量的数量积求参数的取值范围． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例18 已知 ，求 ． 解析 由题意，得 ，所以 ． 【名师点睛】 本题考查向量的内积及求模公式． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解题通法 求单个向量或多个线性组合向量的模的方法： （1）公式法，即运用求模公式或 ，将向量的模运算转化为数量积运算． （2）几何法，即利用向量加、减法的三角形法则或平行四边形法则作出所求向量，再根据题中条件计算出所求向量的模． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例19已知 ，求 和 ． 解析 由 可得， ；由 可得， ．因为 ，所以 ． 【名师点睛】 本题考查向量的数量积及求模公式的坐标运算． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解题通法 求两向量夹角的步骤： ① 求两向量的数量积； ② 求两向量的模； ③ 由夹角公式求出夹角的余弦值； ④ 根据两向量夹角的范围及所求余弦值得出夹角． 若两向量的数量积和模未知，则可通过题中条件列出方程组，求出两向量的数量积和模，再代入夹角公式求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例20 已知 ，判断a与b是否垂直． 解析 因为 ，所以 ． 【名师点睛】 本题考查向量垂直的坐标表示． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例21已知 ，若 与 垂直，则 ________． 解析 由 可得， ．因为 与 垂直，所以 ，解得 ． 【名师点睛】 运用向量垂直的充分必要条件即 列出含参数的方程，解方程即可求出参数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 易错警示 注意区分向量共线和垂直条件下坐标表示形式的不同． 其中，向量共线可总结为“横纵交叉乘积差为0”； 向量垂直可总结为“横纵对应乘积和为0”． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.04 课堂小结·查漏补缺 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 99 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 100 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 101 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 102 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 103 本课结束 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 平面向量 平面向量的线性运算 共线向量与相等向量 向量的相关概念 向量的坐标运算 向量坐标与其起点、终点坐标的关系 平面向量的坐标 向量内积的运算律和应用 向量的内积 两个非零向量的夹角 平面向量的坐标表示 平面向量的内积 平面向量的概念 及线性运算 $$