专题02 等比数列及其前n项和（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题02 等比数列及其前n项和 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、等比数列的通项公式 3 题型二、等比数列的证明 3 题型三、等比数列中与的关系 4 题型四、等比数列的前n项和 5 题型五、等比数列通项公式与前n项和的性质及其应用 5 压轴能力测评（15题） 6 一、等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 三、等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【常用结论】 （1）若，则． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． （4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （5）为等比数列，若，则成等比数列． （6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方． （8）若为正项等比数列，则为等差数列． （9）若为等差数列，则为等比数列． （10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 【题型一 等比数列的通项公式】 一、单选题 1．（2024·湖南常德·一模）已知等比数列中，，，则公比为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 3．（2024·湖北·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为正项等比数列，为等差数列，若，，则 ． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在正项等比数列中，，则 ． 【题型二 等比数列的证明】 一、解答题 1．（24-25高二上·甘肃天水·阶段练习）已知数列满足，. (1)求证：数列为等比数列； 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)证明：数列为等差数列； 3．（23-24高一下·北京·期末）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； 4．（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； 5．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且．证明：数列为等比数列． 【题型三 等比数列中与与的关系】 一、单选题 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列的前项和，则（    ） A．3 B．9 C． D． 2．（2023·山西·二模）已知等比数列的前项和，满足，则（    ） A．16 B．32 C．81 D．243 3．（21-22高三下·河南·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江西赣州·二模）已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型四 等比数列的前n项和】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知等比数列的前n项和为.若，，则（　　） A．3 B．6 C．12 D．14 2．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）正项等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B． C．9或 D．18 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，，，则m等于（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．4 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和．若，，则下列说法不正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 【题型五 等比数列通项公式与前n项和的性质及其应用】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）等比数列中，，，则数列的前10项和等于（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24高二下·湖北恩施·期中）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．5 D． 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数列为正项递增等比数列，，，则该等比数列的公比（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A．90 B．50 C．40 D．30 5．（23-24高二下·北京·期中）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 二、填空题 6．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知等比数列满足，，则 . 7．（23-24高二下·安徽池州·期中）已知等比数列为递增数列，且，，则 ． 8．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 9．（2024高二下·贵州贵阳·竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 一、单选题 1．（24-25高三上·湖北·阶段练习）数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，若且成等比数列，则（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知等比数列满足，则的最小值为（   ） A．48 B．32 C．24 D．8 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知数列为无穷项等比数列，为其前n项和，，则“存在最小项”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设等比数列前n项和为，且，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 二、填空题 7．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则 . 8．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，则 . 9．（23-24高一下·上海·期中）等差数列中，，若，则 . 10．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列中，，且满足，则 ． 11．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为 . 三、解答题 12．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并指出其首项及公比； (2)求数列的通项公式． 13．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等比数列． 14．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）在数列中，. (1)若，求证：为等差数列； (2)求的前项和. 15．（23-24高三下·全国·开学考试）设数列的前n项和，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等比数列及其前n项和 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、等比数列的通项公式 3 题型二、等比数列的证明 5 题型三、等比数列中与的关系 7 题型四、等比数列的前n项和 9 题型五、等比数列通项公式与前n项和的性质及其应用 12 压轴能力测评（15题） 15 一、等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 三、等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【常用结论】 （1）若，则． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． （4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （5）为等比数列，若，则成等比数列． （6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方． （8）若为正项等比数列，则为等差数列． （9）若为等差数列，则为等比数列． （10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 【题型一 等比数列的通项公式】 一、单选题 1．（2024·湖南常德·一模）已知等比数列中，，，则公比为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论. 【详解】. 故选：C. 2．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可. 【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比， 且成等差数列，可得, 即得 可得， . 故选：C. 3．（2024·湖北·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列和等差数列的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】由为等差数列，为等比数列，， 可得. 由，当且仅当时取等， 可得，故A正确，C错误. 当时，； 当且仅当时取等， 当时，， 当且仅当时取等，故B，D都错误. 故选：A. 二、填空题 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为正项等比数列，为等差数列，若，，则 ． 【答案】8 【分析】根据题意，利用等差数列、等比数列的通项公式可得，，进而得，即可求解. 【详解】由题得，即，， 又，即，则， 所以． 故答案为：8. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在正项等比数列中，，则 ． 【答案】486 【分析】先根据等比数列项的性质得出，再结合已知应用等比数列的基本量运算得出公比，再应用等比数列通项公式，代入求出. 【详解】由得． 因为，所以， 所以，即， 所以，所以，故． 故答案为：486. 【题型二 等比数列的证明】 一、解答题 1．（24-25高二上·甘肃天水·阶段练习）已知数列满足，. (1)求证：数列为等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的概念，计算证明为常数，即可； 【详解】（1）证明：因为，所以， 又， 所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)证明：数列为等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由已知等式构造应用等差数列定义证明即可； 【详解】（1）由题得，则数列是以为首项，3为公差的等差数列． 3．（23-24高一下·北京·期末）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； 【答案】(1)证明见解析， 【分析】（1）先取倒数，然后通过构造法可得答案； 【详解】（1）因为，所以， 可得，即， ， 所以数列是以为首项为公比的等比数列， 所以，； 4．（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据退一相减法，结合等差数列定义可证； 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，则， 即，即 又数列为递增数列， 所以，故， 即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 5．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且．证明：数列为等比数列． 【答案】证明见解析 【分析】根据已知的递推关系式应用等比数列定义证明等比数列即可. 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以， 所以，又， 所以数列为等比数列． 【题型三 等比数列中与与的关系】 一、单选题 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等比数列的前项和，则（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据，再结合为等比数列，表示，求出的值. 【详解】当时，； 当时，， 又是等比数列，所以，解得. 故选：D. 2．（2023·山西·二模）已知等比数列的前项和，满足，则（    ） A．16 B．32 C．81 D．243 【答案】A 【分析】根据，作差得到等比数列的公比为，再求出，最后根据等比数列的通项公式计算可得. 【详解】等比数列的前项和为，且， ∴， ∴，∴，故等比数列的公比为． 在中， 令，可得，∴，则． 故选：A． 3．（21-22高三下·河南·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据通项与的关系可得递推公式，再构造等比数列求的通项公式，进而代入求得得到即可 【详解】当时，，解得. 当时，， 所，即， 所以，即， 所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则， 从而，故. 故选：C 4．（2023·江西赣州·二模）已知数列的前项和为，满足，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据前n项和与通项之间的关系分析可得数列是以首项，公比的等比数列，结合等比数列运算求解. 【详解】因为，则，整理得， 且，所以数列是以首项，公比的等比数列， 则， 所以. 故选：C. 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的性质确定也是等比数列即可求解. 【详解】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 【题型四 等比数列的前n项和】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知等比数列的前n项和为.若，，则（　　） A．3 B．6 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由，结合已知求出公比及首项，再借助通项公式求解即得. 【详解】等比数列中，由，得，即， 设数列的公比为，则，解得，由，得， 即，所以. 故选：C 2．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）正项等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B． C．9或 D．18 【答案】C 【分析】运用等比数列性质解题即可. 【详解】正项等比数列的前项和为， 若，则，则. 又，则，即，即， 则，化简，解得都满足题意. 则或. 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和公式及基本量运算得出，再应用等比数列的通项化简求值. 【详解】由题， 得， 设等比数列的公比为，则， 即． 故选：B. 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，，，则m等于（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组即可解得的值． 【详解】等比数列的前n项和为，，，， 则，， 因此公比，由，得，而， 解得， 所以m等于5. 故选：C 5．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】由条件先确定数列的公比，结合等比数列求和公式可得，再结合求和公式求的值. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，， 则，与已知矛盾，所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以. 故选：C. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和．若，，则下列说法不正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 【答案】D 【分析】依题意利用等比数列项的性质联立方程组求出首项和公比，即得数列通项，利用等比数列的定义可判断B项，代值检验C项；利用等差数列的定义判断D项. 【详解】因为数列为等比数列，由可得，又， 则可看成方程的两根，解得或， 因公比q为整数，故，即，解得，故得. 对于A，由上分析知，即A正确； 对于B，依题意，， 则， 由可知数列是等比数列，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由， 可知数列是公差为的等差数列，故D错误. 故选：D. 【题型五 等比数列通项公式与前n项和的性质及其应用】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）等比数列中，，，则数列的前10项和等于（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】先应用等比数列的项的性质再根据对数运算性质计算. 【详解】∵数列是等比数列，，，∴， ∴． 故选：B. 2．（23-24高二下·湖北恩施·期中）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】利用成等比数列求解可得答案. 【详解】，，可得， 可得，，， 则. 故选；A. 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数列为正项递增等比数列，，，则该等比数列的公比（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由已知结合等比数列的性质求出，进而可求出公比. 【详解】由题意， 由，， 得，所以（舍去）， 所以， 整理得，解得（舍去）， 所以. 故选：A. 4．（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A．90 B．50 C．40 D．30 【答案】B 【分析】由，可得，由等比数列前n项和的性质可得，代入求解即可. 【详解】解：因为是正项等比数列的前项和， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 解得或(舍). 故选：B. 5．（23-24高二下·北京·期中）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求结论. 【详解】根据题意，成立时，有结合， 得，即， ①当时，可得，所以，即； ②当时，为偶数时，，可得，所以， 为奇数时，，可得，所以，因此不存在满足成立， 综上所述，若成立，则必定有， 若，结合，可知等比数列是递增数列，必定有成立 因此，若等比数列的首项，则“”是“”的充要条件. 故选：C 二、填空题 6．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知等比数列满足，，则 . 【答案】1533 【分析】根据等比数列片段和的性质求解. 【详解】由，可知， 所以成等比数列， 所以，解得. 故答案为：1533 7．（23-24高二下·安徽池州·期中）已知等比数列为递增数列，且，，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意分析可知，，可得，，结合等比数列的性质分析求解. 【详解】因为递增的等比数列中，，，且， 可知和是一元二次方程的两个根， 且，解得，， 可得，所以 故答案为：2. 8．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 【答案】6或7 【分析】首先求数列的通项公式，再根据数列的单调性，由前项积最大时满足的不等式，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7. 故答案为：或 9．（2024高二下·贵州贵阳·竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用等比数列的性质得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为数列为正项等比数列，， 设，则，则， 由于是等比数列，所以也成等比数列， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高三上·湖北·阶段练习）数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，若且成等比数列，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据等差数列性质可得，再根据等比中项运算可得，即可得结果. 【详解】设等差数列的公差， 因为，即， 又因为成等比数列，则， 即，整理可得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【答案】D 【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案. 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】分别设出为和的形式，由此求得，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列和等比数列的前项和分别为和， 当等比数列的公比时，，显然不合题意； 所以，等比数列为常数列，所以可设，，， 所以可得，故C正确. 故选：C. 4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知等比数列满足，则的最小值为（   ） A．48 B．32 C．24 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到，，然后利用基本不等式即可得到结论． 【详解】由，得，解得， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B. 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知数列为无穷项等比数列，为其前n项和，，则“存在最小项”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】按照公比的取值范围讨论，分别从条件到结论、结论到条件两个方面考虑是否可推出. 【详解】设数列的公比为， 当时，，存在最小项，； 当时，，， 所以存在最小项，； 当时，，所以存在最小项，； 当时，，所以不存在最小项，； 所以当存在最小项时，；当时，存在最小项. 所以“存在最小项”是“”的充分必要条件. 故选：C. 6．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设等比数列前n项和为，且，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式、前n项和公式，结合 【详解】设该等比数列的公比为， 因为，所以， 由， ， 即， 显然当，或时，最大，最大值为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要根据指数复合函数的单调性进行求解. 二、填空题 7．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则 . 【答案】 【分析】由数列是等比数列，及是与的等差中项，得出公比的值， 再由即可得出答案． 【详解】设等比数列的公比为， 因为是与的等差中项， 所以， 所以，解得， 所以 故答案为：. 8．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】18 【分析】根据与之间的关系分析可知是以2为首项，3为公比的等比数列，即可得结果. 【详解】因为， 当时，，得， 当时，，两式相减得，即， 可知是以2为首项，3为公比的等比数列，所以. 故答案为：18. 9．（23-24高一下·上海·期中）等差数列中，，若，则 . 【答案】682 【分析】利用等差数列的性质计算基本量得到，进而求出，用等比数列的定义判定其为等比数列，再求和即可. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为， 若，则有，解得， 故， 又由，则， 而，所以， 故得数列是首项，公比为4的等比数列， 故. 故答案为：682. 10．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列中，，且满足，则 ． 【答案】 【分析】先根据已知递推公式构造是等比数列，再得出为等差数列，计算即可. 【详解】由题意可得，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 又，所以为首项为2，公差为1的等差数列，则， 则． 故答案为： 11．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为 . 【答案】 【分析】根据已知条件可得出，化简即可求出公比. 【详解】由已知条件可知，又因等比数列， 所以，且，代入到， 可得，化简， 解之可得或(舍). 故答案为： 三、解答题 12．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并指出其首项及公比； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析，首项为2，公比为2. (2) 【分析】（1）根据所证数列的结构，对条件进行变形，然后根据等比数列的定义证明即可. （2）由（1）可得到数列的通项，再用累加法求数列的通项公式即可. 【详解】（1）， ， ，， 数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得， 当时，， 当时，也满足上式， 故 13．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等比数列． 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义，即可证明； 【详解】（1）证明：由，两边取倒数，并整理得， 则，因为，所以数列是等比数列． 14．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）在数列中，. (1)若，求证：为等差数列； 【答案】(1)证明见详解； 【分析】（1）将已知条件代入化简即可得证； 【详解】（1）因为， 所以 ， 又，所以是以为首项和公差的等差数列. 15．（23-24高三下·全国·开学考试）设数列的前n项和，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，再通过化简结合等比数列的定义即可证明； （2）先结合（1）求出，再根据时，求出，最后验证即可. 【详解】（1）， ， 即， 即， 即， 即， 又， 数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知：， 即， 当时，， ， 又也适合上式， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$