2.5.2圆与圆的位置关系同步检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

2.5.2　圆与圆的位置关系（同步检测） 一、选择题 1.圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0 C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0 3.已知点A(1,0)，B(1,6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于(　　) A.－3或3 B.57 C.－3或57 D.3或57 4.与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是(　　) A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝4 5.设a＞0，若圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0与圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0相交，则实数a的取值范围为(　　) A. B.(3，＋∞) C. D.(0,3) 6.过点P(x，y)作圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝1的切线，切点分别为A，B，若|PA|＝|PB|，则x2＋y2的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.8 7.(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，则下列说法正确的是(　　) A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y＝2x＋2 C.线段AB的长为 D.若圆O上有一动点E，圆M上有一动点F，则|EF|的最大值为＋3 8.(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0 C.公共弦AB的长为 D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 9.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　　) A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9 C.(x－2)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49 二、填空题 10.到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条． 11.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是___________________ 12.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________ 13.圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________ 三、解答题 14.求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 15.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 16.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程． 参考答案及解析： 一、选择题 1.C 解析：圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.两圆的圆心距为＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3. 2.A 解析：圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为＝，即x＋y－1＝0. 3.C 解析：由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切． 因为A(1,0)，B(1,6)，所以以AB为直径的圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9，圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.因为两圆相切，所以|CM|＝|3±|，即5＝|3±|，解得m＝57或m＝－3. 4.C　解析：∵圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心为(－1,1)，半径为，∴过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，当所求的圆的圆心在直线x＋y＝0上时，半径最小，排除A，B．圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3，则所求的圆的半径为＝，故选C． 5.A　解析：根据题意，圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，其圆心为M(3,1)，半径R＝1．圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0，即(x－a)2＋(y＋1)2＝a2，其圆心为N(a，－1)，半径r＝|a|＝a．若圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0与圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0相交，则有|a－1|＜＜a＋1，解得＜a＜3，即a的取值范围为．故选A． 6.B　解析：由(x2＋y2－1)－(x2＋y2－4x－4y＋7)＝0得x＋y－2＝0，则P点在直线l：x＋y－2＝0上，原点到直线l的距离d＝，所以(x2＋y2)min＝d2＝2，故选B． 7.AD 解析：因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；又圆O：x2＋y2＝4，① 圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，② 所以由②－①得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；又圆O的圆心为O(0,0)，半径为2，则圆心O到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2×＝，故C错误；圆M的圆心为M(－2,1)，半径为1，所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝＋3，故D正确． 8.ABD 解析：对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，半径r＝1，所以|AB|＝2＝，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确． 9.BCD 解析：由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2.A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.∵|C1C|＝∈(r1－r，r1＋r)，∴两圆相交；B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，∵|C2C|＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件；C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5，∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切；D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切． 二、填空题 10.答案:4 解析:到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5. 半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条． 11.答案：(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 解析：设圆C的半径为r，圆心距d＝＝5，当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4；当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6，则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 12.答案：1 解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1，所以a＝1. 13.答案:(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0) 解析:由解得 所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．由解得所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 三、解答题 14.解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，故＝.② ＝r.③ 由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 15.解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立圆C1与圆C2的方程，得 由①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心(－3,0)，r＝，∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝5，即两圆的公共弦长为5. (2)解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则＝， 解得a＝，故所求圆的圆心为，半径为. 故所求圆的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 16.解：(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意． ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)． 即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2， 所以＝2，即＝2，解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0. (2)依题意，设D(a，a＋2)． 又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知|CD|＝5， 所以＝5，解得a＝－1或a＝6.所以D(－1,1)或D(6,8)， 所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$