第二十六章 反比例函数（综合题拓展训练，10考点94题）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十六章 反比例函数综合题拓展训练 目录与链接 考点一、与反比例函数的定义有关的综合问题……………………………………………………2 考点二、一次函数与反比例函数的综合问题……………………………………………………14 考点三、一次函数、二次函数与反比例函数的图象判断问题…………………………………35 考点四、二次函数与反比例函数的综合问题……………………………………………………44 考点五、根据反比例函数的图象和性质确定参数取值…………………………………………61 考点六、反比例函数与简单几何图形的综合……………………………………………………75 考点七、反比例函数与四边形的综合……………………………………………………………101 考点八、反比例的比例系数与图形面积…………………………………………………………125 考点九、反比例函数的交点问题…………………………………………………………………142 考点十、反例函数的实际应用问题………………………………………………………………163 考点一、与反比例函数的定义有关的综合问题 1．下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 2．定义：若，满足，且(为常数)，则称点为“轮换点”， (1)若是“轮换点”，求的值； (2)若抛物线上存在“轮换点”，求的取值范围： (3)若双曲线()上存在“轮换点”，请判断点是否在该双曲线上，并说明理由． 3．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案） 4．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 5．我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点，，满足，则称此函数为关于m的等和函数，这两点叫做关于m的等和点． (1)下列函数中，是关于1的等和函数的是________； ①；               ②；                    ③． (2)若点，在双曲线上，且C，D两点是关于m的等和点，求k的值； (3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．若，两部分组成的图像上恰有两个关于m的等和点，请求出m的取值范围． 6．已知，，，点A与点B不重合． (1)若点A，B，C都在函数的图象上，计算的值． (2)若点A，B，C都在函数的图象上，求证：． (3)若点A，B，C都在函数（，常数）的图象上，判断与的大小关系，并说明理由． 7．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”． 例如，点是点的“级变换点” (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)动点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求的取值范围． 8．如图，边长为7的正方形放置在平面直角坐标系中，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向O运动，点Q从点O同时出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，到达端点即停止运动，运动时间为t秒，连． (1)写出B点的坐标； (2)填写下表： 时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6 的长度 的长度 的长度 四边形的面积 ①根据你所填数据，请描述线段的长度的变化规律？并猜测长度的最小值． ②根据你所填数据，请问四边形的面积是否会发生变化？并证明你的论断； (3)设点M、N分别是的中点，写出点M，N的坐标，是否存在经过M，N两点的反比例函数？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由． 时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6 的长度 6 5 4 3 2 1 的长度 1 2 3 4 5 6 的长度 5 5 四边形的面积 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5 考点二、一次函数与反比例函数的综合问题 9．通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且    A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 11．类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“的函数图像与性质”，进行了如下活动． (1)【小组合作：讨论交流】 同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置．” 同学乙回应道：“是的，因为自变量的取值范围是 ，所以图像与轴不相交．” 同学丙补充说：“又因为函数值大于0，所以图像一定在第 象限．” …… (2)【独立操作：探究性质】 在平面直角坐标系中，画出的图像．    结合图像，描述函数图像与性质： ①函数的图像是两条曲线； ②该函数图像关于______________对称； ③图像的增减性是__________________； ④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合．”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由． (3)【拓展探究：综合应用】 直接写出不等式的解集是____________________． 12．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 14．已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 15．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．    (1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______． A．      B．  C．  D．   (2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项） A．的图象与x轴没有公共点 B．的图象关于原点对称 C．在每一个象限内，随x的值增大而减小 D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象 ②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论． 16．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．    17．已知反比例函数和，过点作x轴的平行线l与函数，的图象相交于点B，C． (1)如图1，若时，求点B，C的坐标； (2)如图2，一次函数交l于点D． ①若，点B恰好是C、D两点连线的中点，求m的值； ②过点B作y轴的平行线与函数的图象相交于点E．当m值取不大于的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d． 考点三、一次函数、二次函数与反比例函数的图象判断问题 18．函数与（）在同一直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 19．函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 20．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 21．在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 22．二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 23．如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 24．如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A．B．C． D． 25．二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 26．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 27．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 28．某同学利用数学绘图软件探究函数的图象，在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b，c的值应满足（    ）    A． B． C． D． 29．二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，点的坐标为，垂直于轴，连接，则下列说法一定正确的是（　　） A．如图①，四边形是矩形 B．在同一平面直角坐标系中，二次函数，一次函数和反比例函数的图象大致如图②所示 C．在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致如图③所示 D．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在的图象大致如图④所示 考点四、二次函数与反比例函数的综合问题 30．抛物线与双曲线y=-有交点，且满足，则 的取值范围是(    ) A． B．或2 C． D．或 31．如图所示，若双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个，则k的值可能是（   ） A．1 B．2.5 C．3 D．4 32．方程的实数根就是方程的实数根，用“数形结合”思想判定方程的根的情况，正确的是（    ） A．方程有3个不等实数根 B．方程的实数根满足 C．方程的实数根满足 D．方程的实数根满足 33．若直线与函数的图像有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，设，则的取值范围是 ．    34．函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．    35．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 36．如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 37．我们定义：若点P在一次函数图象上，点Q在反比例函数图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”． (1)若二次函数是一次函数与反比例函数的“衍生函数”，则a＝______，b＝______，c＝______． (2)若一次函数和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为2，求“靶点”的坐标； (3)若一次函数和反比例函数的“衍生函数”经过点． ①试说明一次函数图象上存在两个不同的“基点”； ②设一次函数图象上两个不同的“基点”的横坐标为、，求的取值范围． 38．如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米； (1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______； (2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为 ①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？ ②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）. 39．设a，b是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4．当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数” （1）反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由． （2）若二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值； （3）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）． 40．在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程． 下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数的相关性质和应用． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了分段函数图象的一部分，并补全该分段函数的图象如图所示． x ……    写出该分段函数的一条性质：　 　； (2)直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是　 　； (3)若该分段函数图象上有两点、，且，则m的取值范围是　 　； (4)当时，函数值y的取值范围为，当a取某个范围内的任意值时，b为定值，直接写出满足条件的a的取值范围及其对应的b值． 考点五、根据反比例函数的图象和性质确定参数取值 41．已知对称轴为y轴的抛物线y=ax2+bx+3，与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若点（x1，x2）在反比例函数y=的图象上，该抛物线与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x＞0）的图象是（　　） A． B． C． D． 42．已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 43．如图，正方形的顶点在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 44．已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 45．在直角坐标系中，O是坐标原点，点P（m，n）在反比例函数的图象上． （1）若m＝k，n＝k﹣2，则k＝ ； （2）若m+n＝k，OP＝2，且此反比例函数，满足：当x＞0时，y随x的增大而减小，则k＝ ． 46．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 47．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 48．设函数． （1）若函数的图象经过点，求的函数表达式． （2）若函数与的图象关于轴对称，求的函数表达式． （3）当，函数的最大值为，函数的最小值为，求与的值． 49．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点为线段上一点，且，连接、，求； (3)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点六、反比例函数与简单几何图形的综合 50．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与等边相交．    (1)如图1，当反比例函数的图象经过的顶点时，若． ①求反比例函数的表达式． ②若点是上点左侧的图象上一点，且满足的面积与的面积相等，求点的坐标． (2)如图2，反比例函数的图象分别交的边OA，AB于和两点，连接CD并延长交轴于点，连接OD，当时，求的值． 51．如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 52．已知点，都在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 53．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 54．已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中． (1)如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值； (2)如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值； (3)如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标． 55．如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数的图象与线段交于点，．    (1)求反比例函数表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线． 56．如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”． (1)当OP＝3时： ①点M “的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是 ； (2)过y轴上的点Q作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，点B在点C左侧．若点Q把线段BC划分成的两部分，求的长． (3)如果改变翻折方式，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，则k的范围是 ． 57．综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，已知直线轴，直线分别与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，连接，．    (1)问题解决：如图①，若点A，B的横坐标为3，试判断的形状，并说明理由． (2)问题探究：如图②，将直线向右平移若干个单位后得到直线，它与两个函数图象的交点分别为，，连接，，则在直线向右平移到直线的过程中，的面积是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出的面积． (3)问题拓展：如图③，将直线向右平移若干个单位后与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点P，与反比例函数的图象交于点Q，连接，，当P恰好是的中点时，请直接写出的面积． 考点七、反比例函数与四边形的综合 58．如图，正方形的顶点在反比例函数（）图象上，顶点在x轴的负半轴上，顶点在y轴的正半轴上，再在其左侧作正方形，顶点在反比例函数（）的图象上，顶点在x轴的负半轴上，则点的坐标是 ． 59．换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 60．如图，矩形OABC位于直角坐标系中，点在第一象限内，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交于点，交于点，点在边上．若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，则k的值为 ． 61．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 62．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点在第四象限，且轴于点A，轴于点，一次函数的图象分别交轴、轴于点，点，且，． (1)求反比例函数的表达式 (2)请写出当取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值？ (3)点是反比例函数图象上一个动点，连接，，并把沿翻折得到四边形，求出使四边形为菱形时点的坐标． 63．如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点．且． (1)求m和k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数为______． 64．【教材呈现】 下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容： 如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论． 【方法探究】 如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________： 【方法应用】 如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与 交于点 ．若 求的面积． 65．如图，反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象交于A，B两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，请写出x的取值范围． (3)如图，P是线段上的一点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C，与反比例函数图象分别交于点F，E，连接．将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形，请求出的度数． 66．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 67．如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点的坐标； (3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 考点八、反比例的比例系数与图形面积 68．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 69．如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 70．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为2，则的值为 ． 71．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ； 72．如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，连结，，，．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 73．如图，点，在反比例函数（，）的图象上，点，在反比例函数（，）的图象上，且轴，过，分别作轴的垂线，垂足为，，交于点，连结交于点．若，则 ．    74．如图，矩形，双曲线分别交、于F、E两点，已知，求： （1）当E为中点，则的面积为 ． （2）当，则k的值为 ． 75．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，是的两个三等分点，过点，作轴的平行线分别交于点，，反比例函数的图象经过点，分别交，于点，，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，．图中阴影部分的面积分别为，，． （1）若点的坐标为，则 ； （2）若，则点的坐标为 ； （3）若，则= ． 76．函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 77．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    考点九、反比例函数的交点问题 78．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 79．已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 80．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值 (2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界）， ①当时，区域的整点个数为 ； ②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ； (3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ． 81．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式： (2)点C是反比例函数第三象限图象上一点，且在直线的上方，若三角形的面积与三角形面积的相等，求点C的坐标： (3)对平面内任意一点，定义K变换：若，则P变为；若，则点P变为，若线段经过K变换后的图形与另一个反比例函数的图象没有交点，求m的取值范围． 82．已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答： ①连接DE，若，求的值； ②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数． 83．平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 84．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 85．如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D． (1)若点，点． ①一次函数解析式是 ； ②直接写出线段的长，你有什么发现？ (2)若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． (3)实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ． 考点十、反例函数的实际应用问题 86．2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（    ） A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升 D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒 87．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 88．盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 89．如图，有一个人站在水平球台上打高尔夫球，球台到x轴的距离为8米，与y轴相交于点E，弯道：与球台交于点F，且米，弯道末端垂直x轴于点B，且米，从点E处飞出的红色高尔夫球沿抛物线L：运动，落在弯道的点D处，且点D到x轴的距离为4米． (1)k的值为 ；点D的坐标为 ； ； (2)红色球落在D处后立即弹起，沿另外一条抛物线G运动，若抛物线G的顶点坐标为． ①求抛物线G的表达式，并说明小球在D处弹起后能否落在弯道上？ ②在x轴上有托盘米，若把托盘向上平移，小球恰好能被托盘接住(小球落在托盘边缘不会掉落)，设托盘向上平移的距离为d米，求d的取值范围． (3)若在红色球从E处飞出的同时，一黄色球从点E的正上方处飞出，它所运行的轨迹与抛物线L的形状相同，且在红色球落在D处之前，黄色球始终在红色球的正上方超过6米的位置处，直接写出m的取值范围． 90． 设计货船通过双曲线桥的方案 素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．          素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式． 问题解决 任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意． 任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式） 91．某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 120 100 60 50 40 30 5 6 10 12 15 20    92．小明同学利用寒假天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致） 销售量m（千克） 销售单价n（元/千克） 当时， 当时， 设第x天的利润w元． (1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为元/千克； (2)这天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润（售价成本）销售量】 (3)在实际销售的前天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围． 93．某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第t天的销售单价为（元/千克），则与之间满足如下关系： t 1 2 3 4 5 6 … P（元/千克） 120 60 40 30 24 20 … 而该水果每天的销售量（千克）与t之间满足的函数关系如下图所示：    (1)猜想销售单价P与t之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价P与t之间的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)求每天的销售量s（千克）与t之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千克？ (3)当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值．该水果最只能上市销售几天？最低销售单价是多少元？（销售收入＝销售单价P×销售量S） (4)当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？ 94．习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表： 类型 占地面积 可供使用幢数 造价（万元） A 15 18 1.5 B 20 30 2.1 (1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？ (2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1） 试卷第2页，共179页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 反比例函数综合题拓展训练 目录与链接 考点一、与反比例函数的定义有关的综合问题……………………………………………………2 考点二、一次函数与反比例函数的综合问题……………………………………………………14 考点三、一次函数、二次函数与反比例函数的图象判断问题…………………………………35 考点四、二次函数与反比例函数的综合问题……………………………………………………44 考点五、根据反比例函数的图象和性质确定参数取值…………………………………………61 考点六、反比例函数与简单几何图形的综合……………………………………………………75 考点七、反比例函数与四边形的综合……………………………………………………………101 考点八、反比例的比例系数与图形面积…………………………………………………………125 考点九、反比例函数的交点问题…………………………………………………………………142 考点十、反例函数的实际应用问题………………………………………………………………163 考点一、与反比例函数的定义有关的综合问题 1．下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可． 【详解】解：（1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且，说法正确； （2）单曲线不是反比例函数，说法错误； （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确； （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误； （5）直线是常值函数，常值函数是函数，说法错误； （6）直线不是函数，说法错误． 综上，错误的有4个． 故选：D． 2．定义：若，满足，且(为常数)，则称点为“轮换点”， (1)若是“轮换点”，求的值； (2)若抛物线上存在“轮换点”，求的取值范围： (3)若双曲线()上存在“轮换点”，请判断点是否在该双曲线上，并说明理由． 【答案】(1)的值为 (2)的取值范围是 (3)点不在该双曲线上，理由见解析 【分析】本题考查二次函数综合应用，新定义，一元二次方程与函数的关系，反比例函数等知识； （1）由， ，，可得，故，求出的值为； （2）“轮换点”满足，即，由抛物线上存在“轮换点”，可得有实数解，故，可解得的取值范围是； （3）根据双曲线 上存在轮换点，可得在有解，故，而且“轮换点”需满足，可得，从而判断不在该双曲线上． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 当，时，， ， 的值为； （2）由（1）可知，“轮换点”满足，即， 抛物线上存在“轮换点”， 有实数解，即有实数解， ，即， 解得； 的取值范围是； （3）点不在该双曲线上，理由如下： 双曲线 上存在“轮换点”， 在有解， 整理得， 且“轮换点”需满足， ， ∵所在双曲线解析式为， 点不在该双曲线上． 3．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案） 【答案】(1)③ (2)； (3)方程是“三倍根方程”；见解析 (4) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． （1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解； （2）根据“三倍根方程”的定义设关于x的方程的两个根为，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解； （3）方程化为方程，解方程求得方程的根，根据“三倍根方程”的定义即可求出答案； （4）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，不满足“三倍根方程”的定义； 由可得：，满足“三倍根方程”的定义； 故答案为：③； （2）解：设关于x的方程的两个根为， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ∴，； （3）解：点在反比例函数的图象上， ， 方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“三倍根方程”； （4）解：根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和． 原方程可以改写为， ， ． 解得． ，，之间的关系是． 故答案为：． 4．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 【答案】(1)①② (2)的值为或或或； (3) 【分析】（1）根据“平衡点”的定义求解即可； （2）先求得；，，从而得，，，然后分类讨论秋季即可； （3）设，由，得抛物线的顶点为，从而得点关于的对称点为，旋转后的抛物线解析式为，再根据新定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得， ∴或， ∴当时，当时，， ∴的图象上存在“平衡点”和， 同理可得，，的图象上不存在“平衡点”，的图象上存在“平衡点”； 故答案为：①②； （2）解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或； （3）解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有个“平衡点” 有两个相等实数根， ，即， ， ∴的纵坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程根与系数的关系，反比例函数求自变量的值，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的图像及性质以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 5．我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点，，满足，则称此函数为关于m的等和函数，这两点叫做关于m的等和点． (1)下列函数中，是关于1的等和函数的是________； ①；               ②；                    ③． (2)若点，在双曲线上，且C，D两点是关于m的等和点，求k的值； (3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．若，两部分组成的图像上恰有两个关于m的等和点，请求出m的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)m的取值范围为或； 【分析】（1）根据等和函数的定义求解即可； （2）根据等和函数的定义和反比例函数上点的特征列方程求解即可； （3）先求出函数沿直线翻折后的解析式，再分别求出当与仅有一个交点时和当与仅有一个交点时的m值，结合图像即可求解． 【详解】（1）把，代入得：， ∴， ∴； 把，代入得：， ∴， 当，且互为倒数时， ∴； 把，代入得：， ∴， 假设，解得：，与题意不符 ∴是关于1的等和函数的是； （2）由题意得：，解得； （3）在上取点，点关于直线的对称点为 则由对称性知，消m得： ∴，两部分的图像如下，    当，解得， ∴ 当与仅有一个交点时，，解得： 当与仅有一个交点时，， 解得： 当过时，解得： ∴m的取值范围为或； 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及到新定义等和函数，正确理解概念和一次函数的联系是解题关键． 6．已知，，，点A与点B不重合． (1)若点A，B，C都在函数的图象上，计算的值． (2)若点A，B，C都在函数的图象上，求证：． (3)若点A，B，C都在函数（，常数）的图象上，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，；当时，． 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的性质，熟练掌握函数图象上的点满足函数解析式是解答本题的关键． （1）由点A，B，C都在函数的图象上得，，，代入即可求解； （2）由点A，B，C都在函数的图象上得，，，代入即可求解； （3）由点A，B，C都在函数的图象上得，，，代入即可求解． 【详解】（1）∵点A，B，C都在函数的图象上， ∴，， ∴ （2）∵点A，B，C都在函数的图象上， ∴，，， ∴． 又∵，∴， ∴． （3）∵点A，B，C都在函数（，常数）的图象上， ∴，，， ∴ ． ∵，，∴，又∵，∴， 当时，； 当时，． 7．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”． 例如，点是点的“级变换点” (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)动点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求的取值范围． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)证明见解析 (3)且 【分析】对于（1），根据定义解答即可； 对于（2），先求出两直线的关系式，再将代入关系式，讨论得出结论； 对于（3），由定义可知“1级变换点”都在函数的图象上，再将两个函数关系式联立，根据图像有交点求出，进而确定两个图象的交点为，然后分和两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）不存在，理由如下： 根据定义可知的k级变换点为， 将点代入函数，得， 无解，所以不存在； （2）点的“k级变换点”为， ∴直线和直线的关系式为，， 当时，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）二次函数的图象的点的“1级变换点”都在函数的图象上， 即， 整理，得， ， 函数的图象和直线有公共点， 由的公共点是． 当时，，得， 又， 解得， ∴且； 当，时，两个图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 所以n的取值范围是且． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，反比例函数的性质，求一次函数的关系式，二次函数图象和性质，理解“k级变换点”是解题的关键． 8．如图，边长为7的正方形放置在平面直角坐标系中，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向O运动，点Q从点O同时出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，到达端点即停止运动，运动时间为t秒，连． (1)写出B点的坐标； (2)填写下表： 时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6 的长度 的长度 的长度 四边形的面积 ①根据你所填数据，请描述线段的长度的变化规律？并猜测长度的最小值． ②根据你所填数据，请问四边形的面积是否会发生变化？并证明你的论断； (3)设点M、N分别是的中点，写出点M，N的坐标，是否存在经过M，N两点的反比例函数？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)填写表格见解析，①长度的最小值是；②四边形的面积不会发生变化 (3)存在经过M，N两点的反比例函数 【分析】（1）利用正方形的性质求解即可； （2）①通过写点的坐标，填表，弄清楚本题的基本数量关系，由勾股定理计算出，然后每个量的变化规律，然后进行猜想；②用运动时间，表示线段的长度，运用割补法求四边形的面积， （3）由中位线定理得点，反比例函数图象上点的坐标特点是，利用该等式求值． 【详解】（1）； （2）填表如下： 时间t（单位：秒） 1 2 3 4 5 6 的长度 6 5 4 3 2 1 的长度 1 2 3 4 5 6 的长度 5 5 四边形的面积 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5 24.5 ①线段的长度的变化规律是先减小再增大，长度的最小值是． ②根据所填数据，四边形的面积不会发生变化； ∵， ∴四边形的面积不会发生变化． （3）点， 当时，则， ∴当存在经过两点的反比例函数． 【点睛】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，会用运动时间表示边长，面积，搞清楚正方形中的三角形的三边关系，反比例函数图象上点的坐标特点：(定值)等，可有助于提高解题速度和准确率． 考点二、一次函数与反比例函数的综合问题 9．通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解． 【详解】解：∵， ∴ 函数的图象和函数图象如下： 由图象可知，不等式的解集是或， 故选：B． 10．反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且    A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由一次函数的图像可得：，，由反比例函数的图像可得：，可得①符合题意，②不符合题意；求解，，设，，再结合勾股定理与一元二次方程根与系数的关系可判断③符合题意；由均在反比例函数上且，可得，可得④不符合题意． 【详解】解：由一次函数的图像可得：，， 由反比例函数的图像可得：， ∴，故①符合题意，②不符合题意； ∵直线， 当，，则， 当，则，则， 设，， ∴，， 联立， ∴整理得：， ∴，， ∴，即，，， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵均在反比例函数上且， ∴， 解得：，故④不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的综合题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，反比例函数的性质，本题难度大，掌握基础知识是解本题的关键． 11．类比一次函数和反比例函数的学习经验，某数学实验小组尝试探究“的函数图像与性质”，进行了如下活动． (1)【小组合作：讨论交流】 同学甲说：“我们可以从表达式分析，猜想图像位置．” 同学乙回应道：“是的，因为自变量的取值范围是 ，所以图像与轴不相交．” 同学丙补充说：“又因为函数值大于0，所以图像一定在第 象限．” …… (2)【独立操作：探究性质】 在平面直角坐标系中，画出的图像．    结合图像，描述函数图像与性质： ①函数的图像是两条曲线； ②该函数图像关于______________对称； ③图像的增减性是__________________； ④同学丁说：“将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合．”请你判断同学丁的说法是否正确？若错误，举出反例；若正确，请说明理由． (3)【拓展探究：综合应用】 直接写出不等式的解集是____________________． 【答案】(1)；一、二 (2)画图见解析；轴；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；同学丁的说法是正确的，证明见解析 (3)或或 【分析】（1）根据的的取值进行解答即可； （2）通过列表、描点、连线即可得出函数图像，再根据函数图像进行解答即可②③，通过取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，可得 ，，，即可得出在的第一象限的曲线上； （3）通过解方程组，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴因为自变量的取值范围，所以图像与轴不相交．因为函数值大于0，所以图像一定在第一、二象限．” 故答案为：；一、二； （2）列表得： 描点并连线得：    根据函数图像可得： ①函数的图像是两条曲线； ②该函数图像关于轴对称； 故答案为：轴； ③图像的增减性是：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； ④同学丁的说法是正确的，理由如下： 取第二象限的曲线点绕原点顺时针旋转后得到，过作轴于，轴于，    ∴，，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在的第一象限的曲线上， 故将第二象限的曲线绕原点顺时针旋转后，与第一象限的曲线重合，说法正确． （3）∵， ∴或或， ∴不等式的解集是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，函数图象的画法，反比例函数与一次函数的交点问题、旋转等知识，利用数形结合思想是解题的关键． 12．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意把代入，求得反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求得，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与轴交点，即可解题； （2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围即可； （3）利用一次函数解析式得到点坐标，过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质得到坐标，设旋转后直线的解析式为，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：， 把代入得：， 把，代入得： ，解得：， 所以一次函数的表达式为， 把代入，得，， ； （2）解：由图知，不等式的解集为：或； （3）解：把代入，得， ， 过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，   ， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 设旋转后直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， 所以旋转后直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)点坐标为，或 (3)，或， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，反比例函数中的几何意义，一次函数与反比例函数的图象交点坐标，三角形面积，两点间距离公式等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． （1）运用待定系数法即可求得的值，联立方程组可求得点的坐标； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，，分两种情况：当时，当时，分别利用三角形面积建立方程即可求得答案； （3）设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，则，，进而可得，根据，建立方程求解可得，即直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）把代入，得， ， 代入，得， ， 反比例函数的解析式为， 联立方程组得：， 解得：，， ； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、， 则，， 当时，如图1，则， ，，， ， ，即， 解得：（舍去），， ，； 当时，如图2，则， ，，， ， ，即， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，点坐标为，或； （3）存在点使得，点坐标为，或，． ， 设直线的解析式为， 联立，得， 整理得：， 则，， 又，，则， ， ，， ， ， 、均在第一象限， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：，， ，或，． 14．已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 15．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．    (1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______． A．      B．  C．  D．   (2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项） A．的图象与x轴没有公共点 B．的图象关于原点对称 C．在每一个象限内，随x的值增大而减小 D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象 ②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论． 【答案】(1)①，或；②C； (2)①BD；②当且且时，公共点的个数为2；当或时，公共点的个数为1；当时，公共点的个数为0 【分析】（1）①直接代入求解即可； ②通过求在一三象限的最值确定函数图象； （2）①根据函数的性质依次判断即可； ②将函数交点问题转化为对一元二次方程根的判别式问题求解． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， 把代入得：， 两边同乘，得：， 解得，， 经检验，，都是方程的解． 所以当或时，的值为； ②由完全平方公式可知：，，，即， 当时，， 当时，，， ∴，， 观察四个函数图象，C选项符合题意， 故选：C； （2）①解：∵，， ∴， A．当时，，所以图象与x轴有公共点，该选项错误； B．任选上的一点，，P关于原点对称点，代入得出 成立，故在上，所以的图像关于原点对称，该选项正确； C．当时，，当时，，此时y随x的增大而增大，该选项错误； D．，随着x的增大，越趋近于0，即和的图象越接近，该选项正确， 故选：BD； ②解：根据题意可得：， 即，该方程， 当且且时，公共点的个数为2； 当或时，公共点的个数为1； 当时，公共点的个数为0． 【点睛】本题考查新定义，函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题关键． 16．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 17．已知反比例函数和，过点作x轴的平行线l与函数，的图象相交于点B，C． (1)如图1，若时，求点B，C的坐标； (2)如图2，一次函数交l于点D． ①若，点B恰好是C、D两点连线的中点，求m的值； ②过点B作y轴的平行线与函数的图象相交于点E．当m值取不大于的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d． 【答案】(1)， (2)①；②k的值为2，定值d为1 【分析】（1）当时，，，将代入，可得，即；将代入，可得，即； （2）①同理（1），当时，，，当时，， ，由点B恰好是C、D两点连线的中点，可得，计算求解即可；②由，，可得，，，当时，，由d始终是一个定值，可得，，不合题意，舍去；当时，，由d始终是一个定值，可得，即，． 【详解】（1）解：当时，，， 将代入，可得，即； 将代入，可得，即； ∴，； （2）①解：同理（1），当时，，， ∴当时，， 将代入，可得，即， ∵点B恰好是C、D两点连线的中点， ∴， 解得，， ∴m的值为； ②解：∵，， ∴，，， 当时，， ∵d始终是一个定值， ∴，，不合题意，舍去； 当时，， ∵d始终是一个定值， ∴，即，； 综上所述，k的值为2，定值d为1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数解析式，中点坐标，化简绝对值等知识．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数解析式，中点坐标，化简绝对值是解题的关键． 考点三、一次函数、二次函数与反比例函数的图象判断问题 18．函数与（）在同一直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像识别，熟练掌握一次函数和反比例函数图像的性质是解题关键．首先根据反比例函数图像确定的符号，再确定一次函数所经过的象限，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.因为反比例函数在第一、三象限，所以， 则一次函数的图像经过第一、三、四象限，与本选项图像不相符，不符合题意； B. 因为反比例函数在第一、三象限，所以， 则一次函数的图像经过第一、三、四象限，与本选项图像不相符，故不符合题意； C. 因为反比例函数在第二、四象限，所以， 则一次函数的图像经过第一、二、四象限，与本选项图像不相符，不符合题意； D. 因为反比例函数在第二、四象限，所以， 则一次函数的图像经过第一、二、四象限，与本选项图像相符，符合题意． 故选：D． 19．函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】直线与y轴交于点，可否定A，D选项； 再根据k的取值符号是否一致（时，直线与双曲线都经过第一、三象限；时，直线与双曲线都经过第二、四象限）可以否定C， 故选：B． 20．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案 【详解】解：①当时，一次函数的图象过一、三、四象限；反比例函数在一、三象限； ②当时，一次函数的图象过一、二、四象限；反比例函数在二、四象限， 观察图形可知，只有C符合， 故选：C 21．在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，分别令和，分别找出函数图象所经过的象限，相同的即为本题的答案，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：可化为， 当时，经过第一、二、四象限，经过第一、三象限； 当时，经过第一、三、四象限，经过第二、四象限； 故选：A． 22．二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 23．如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．根据题意并结合图象可直接写出不等式的解集． 【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或． 故选：C． 24．如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，掌握一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质是解题关键．由抛物线图象可知，，，进而判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在正半轴， ，，， 函数的图象经过第一、三、四象限，函数在第一、三象限， 故选：B． 25．二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数反比例函数和二次函数的图象分布，熟练掌握各函数系数的性质是关键．根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，， 一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 26．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图象，根据二次函数的图象确定，，，再去判断一次函数与反比例函数的图象即可． 【详解】∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点， ∴，， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C； 由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限， 据此可知，符合题意的是B， 故选：B． 27．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．分与两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：当时，函数的图象位于一、三象限，的开口向上，交y轴的负半轴，故选项B符合题意； 当时，函数的图象位于二、四象限，的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项． 故选：B． 28．某同学利用数学绘图软件探究函数的图象，在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b，c的值应满足（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴左侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解． 【详解】解：设虚线为（显然，）， 由图中可知，当时，，所以， 当时，，所以，可得在m的左右两侧时，符号是不同的，即； 当时，，而，所以显然另外一条分割线为， 故选：B． 【点睛】本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现图象的一些特征，此类题目难度较大． 29．二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，点的坐标为，垂直于轴，连接，则下列说法一定正确的是（　　） A．如图①，四边形是矩形 B．在同一平面直角坐标系中，二次函数，一次函数和反比例函数的图象大致如图②所示 C．在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象大致如图③所示 D．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在的图象大致如图④所示 【答案】A 【分析】根据二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】根据图①可知，，，所以， A. 二次函数的图象的对称轴是直线， 点与点关于对称轴对称， 垂直于轴， 与也关于对称轴对称， 四边形是矩形，故选项符合题意； B.，，一次函数的图象过第一、三、四象限，故选项不符合题意； C.，二次函数的图象不经过原点，故选项不符合题意； D.，，一次函数的图象过第一、二、四象限，故选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握函数的性质，灵活应用． 考点四、二次函数与反比例函数的综合问题 30．抛物线与双曲线y=-有交点，且满足，则 的取值范围是(    ) A． B．或2 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，求得临界值的交点坐标或，代入抛物线解析式，进而画出草图，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当交点为时，代入，即 解得：或 当交点为时，代入， 解得：或， 如图所示，的取值范围为：或， 选D． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数综合问题，根据图像法求解是解题的关键． 31．如图所示，若双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个，则k的值可能是（   ） A．1 B．2.5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用图象可得满足题意的k的临界值，进而求解． 【详解】解：抛物线与x轴所围成的区域（不含边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数是7个， 坐标分别为：，，，，，，， 要使双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个， 结合图象可得：当双曲线恰好经过点时，k取临界值3，当双曲线恰好经过点时，k取临界值2， ∴双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域（即图中阴影部分，不含边界）内的整点（点的横、纵坐标都是整数）只有4个，k的范围为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，结合图象利用二次函数与反比例函数的交点解决问题． 32．方程的实数根就是方程的实数根，用“数形结合”思想判定方程的根的情况，正确的是（    ） A．方程有3个不等实数根 B．方程的实数根满足 C．方程的实数根满足 D．方程的实数根满足 【答案】C 【分析】将方程的右边看作是反比例函数，左边看作是二次函数，在坐标系中作出两个函数的图像即可作答． 【详解】将方程的右边看作是反比例函数，左边看作是二次函数， 即反比例函数、二次函数在坐标系中的图像如下： 由图可知反比例函数、二次函数只有一个交点，且交点的横坐标在1和2之间， 则方程只有一个实数根，且实数根满足， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用函数图像求解三次方程根的知识，将一元三次方程转化为求二次函数与反比例函数的交点问题，注重数形结合是解答本题的关键． 33．若直线与函数的图像有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先作出分段函数的图象，根据函数的图象即可确定的取值范围． 【详解】解：分段函数的图象如图：    故要使直线为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，常数的取值范围为， 根据三个不同的交点，从左到右，其横坐标分别为，，， 由图可知， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一． 34．函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．    【答案】①③/③① 【分析】根据函数解析式可知中，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据与存在3个交点可判断③当时，随的增大而减小，进而即可判断④ 【详解】解：则，，即函数图象与轴无交点， 该函数自变量的取值范围是； 故①正确； 根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值， 故②不正确； 如图与存在3个交点，则方程有三个根；    故③正确 当时，随的增大而减小，如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有． 故④不正确 故正确的有①③ 故答案为：①③ 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 35．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ∴，， 解得，， ∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， （3）∵当时，， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∵与的面积相等， ∴， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 36．如图，点是抛物线l：和双曲线的一个交点，且位于直线的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F．    (1)当时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)的面积为4，且，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 【答案】(1)， (2) (3) (4)2或 【分析】（1）时，点为，把代入解得，把代入解得； （2）的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点，则，得到，则，由，解得．由点位于直线的右侧得到．则； （3）由得到．由的面积为4得到．分当B在x轴的负半轴和在x轴的正半轴分别进行求解即可； （4）由O，F两点间的距离为1得到点F的坐标是或，分别代入，求出a的值，再求出m的值，即可得到k的值． 【详解】（1）解：时，点为， 把代入得， ，解得， 把代入得 ， 解得， 综上可知，，． （2）∵的对称轴为直线，当过原点时，则点B即在原点， ∴， ∴． ∴． 由，解得． ∵点位于直线的右侧， ∴． ∴． ∴当点B在x轴的负半轴上时，； （3）∵， ∴． ∵的面积为4， ∴． ∴． ①当B在x轴的负半轴时， ∵， ∴， ∴ ②当B在x轴的正半轴时， 设， ∵， ∴． ∴， ∴ ∵对称轴为， ∴不合题意，舍去， 综上所述可知点．代入得到， ∴， ∴． 当时，， 解得． 由（2）可知， ∴． ∴． （4）∵O，F两点间的距离为1． ∴点F的坐标是或， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得 ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得， ∵点在双曲线上， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， 综上可知，当或时，O，F两点间的距离为1． 【点睛】此题是二次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 37．我们定义：若点P在一次函数图象上，点Q在反比例函数图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”． (1)若二次函数是一次函数与反比例函数的“衍生函数”，则a＝______，b＝______，c＝______． (2)若一次函数和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为2，求“靶点”的坐标； (3)若一次函数和反比例函数的“衍生函数”经过点． ①试说明一次函数图象上存在两个不同的“基点”； ②设一次函数图象上两个不同的“基点”的横坐标为、，求的取值范围． 【答案】(1)1，3，4； (2) (3)①证明见解析；② 【分析】（1）由定义直接求解即可； （2）由题意先求出，则可求，再求P点关于y轴的对称点Q，将所求Q点代入反比例函数为，求出b的值即可求Q点坐标； （3）①题意可知“衍生函数”为，将点代入可得，再由题意可求，设“靶点”，则，则，整理得，由，即可证明；②由①可知，，根据根与系数的关系可得，，则，再由，即可求． 【详解】（1）由定义可知，， 故答案为：1，3，4； （2）由题意可知，“衍生函数”为， ∵顶点在x轴上， ∴， ∴反比例函数为， ∵“基点”P的横坐标为2， ∴， ∵点P与点Q关于y轴对称， ∴， ∵反比例函数为， ∴， 解得， ∴“靶点”的坐标； （3）证明：①由题意可知“衍生函数”为， ∵经过点， ∴，即 ∵， ∴， ∴， 设“靶点”，则， ∴， 整理得， ∴ 整理可得， ∴方程有两个不同的实数根， ∴一次函数图象上存在两个不同的“基点”； ②解：由①可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数的图象及性质，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题与所求函数问题相结合是解题的关键． 38．如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米； (1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______； (2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为 ①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？ ②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）. 【答案】(1)，12，， (2)①，说明见解析；② 【分析】（1）根据题意得到F点坐标代入解析式求出反比例函数解析式，再求出点D坐标代入抛物线即可得到答案； （2）根据题意求出新抛物线的交点求出A点坐标，将横坐标及横坐标加2代入抛物线即可得到d的取值范围； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，球台到轴的距离为6米， ∴， 将代入得， ， ∴， ∵到轴的距离为3米， ∴，故， 将代入得， ，解得：， 故答案为：，12，，； （2）解：解：①∵抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 把代入，解得， ∴的表达式为， ∵点A在反比例函数，且米， ∴点A的坐标为，当时，， ∴与弯道不相交，小球不能落在弯道上. ②当时，； 当时，， 综上，； 【点睛】本题考查二次函数与反比例函数综合问题，解题的关键根据题意找点代入求出解析式，求出交点． 39．设a，b是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4．当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数” （1）反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由． （2）若二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值； （3）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）是；（2）k的值是﹣2；（3）y＝﹣x+m+n． 【分析】（1）根据反比例函数的单调区间进行判断； （2）由于二次函数y=x2-2x-k的图象开口向上，对称轴为x=1，所以二次函数y=x2-2x-k在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大．当x=1时，y=1，所以k=-2．当x=2时，y=2，所以k=-2．即图象过点（1，1）和（2，2），所以当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，所以k=-2． （3）根据新定义运算法则，分两种情况：k＞0，k＜0，列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值，即可解答． 【详解】解：（1）反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”， 理由：∵当x＝1时，y＝2019，当x＝2019时，y＝1， ∴反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”； （2）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k＝（x﹣1）2﹣1﹣k， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”， ∴当x＝1时，12﹣2×1﹣k＝1，得k＝﹣2， 即k的值是﹣2； （3）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”， ∴当k＞0时，， 得， 即此函数的解析式为y＝x； 当k＜0时，， 得， 即此函数的解析式为y＝﹣x+m+n． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用． 40．在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程． 下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数的相关性质和应用． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了分段函数图象的一部分，并补全该分段函数的图象如图所示． x ……    写出该分段函数的一条性质：　 　； (2)直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是　 　； (3)若该分段函数图象上有两点、，且，则m的取值范围是　 　； (4)当时，函数值y的取值范围为，当a取某个范围内的任意值时，b为定值，直接写出满足条件的a的取值范围及其对应的b值． 【答案】(1)见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (2) (3)或 (4)， 【分析】（1）根据函数图象进行解答便可； （2）观察函数图象，根据函数图象的特征进行解答便可； （3）根据函数图象解答便可； （4）根据函数图象解答便可． 【详解】（1）解：（1）根据图象可知，当时，随的增大而增大(答案不唯一)， 故答案为：当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （2）由函数图象可知，当时，线与该分段函数的图象有2个交点， 直线与该分段函数的图象有2个交点，则的取值范围是， 故答案为：； （3）是函数图象上的点， ， ， ， 由函数图象知，当时，或， 在函数图象上， 或， 故答案为：或； （4）由函数图象可知，若，，当时，函数值的取值范围为， 当时，函数值的取值范围为，当取某个范围内的任意值时，为定值，则，． 【点睛】本题考查了分段函数图象，二次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，根据函数图象的信息解题是本题的关键． 考点五、根据反比例函数的图象和性质确定参数取值 41．已知对称轴为y轴的抛物线y=ax2+bx+3，与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若点（x1，x2）在反比例函数y=的图象上，该抛物线与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x＞0）的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可以求得a、b的值和k的值，然后根据反比例函数的性质即可解答即可． 【详解】解：∵对称轴为y轴的抛物线y=ax2+bx+3，与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2， ∴b=0，x1=﹣x2， ∵点（x1，x2）在反比例函数y=的图象上， ∴x2= ， 即﹣x1=， 解得，x1=， 设x1＜x2，则x1= ，x2=， ∴该抛物线与x轴的交点坐标为（，0），（，0）， ∴0=a×（）2+3，得a=﹣1， ∴y=﹣x2+3， ∴该抛物线与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点的坐标为：（﹣1，1），（0，1），（0，2），（1，1）， ∴该抛物线与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点有4个， ∴k=4， ∴反比例函数y=（x＞0）的图象是y=（x＞0）的图象， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，求出相应的k的值，利用反比例函数的性质解答． 42．已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小， ， y1＞y2， ①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时， ∵y1＞y2， 当在第一象限时， ∴，解得； 当在第三象限时， ∴，解得； 综上所述：或； ②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时， ∵y1＞y2， ∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解， 因此，本题的取值范围为或， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当反比例函数k的正负对增减性的影响，当时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；当时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小． 43．如图，正方形的顶点在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过作，过作于，过作于，设，，则有，，，，由四边形是正方形得，，又，故有，证明，根据性质得，，则，，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作于，过作于， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故选：． 44．已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质． 推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【详解】解：①当时，，当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴在时，，即， ∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当时，，当时，， ∵对称轴为y轴，， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴在时，，即， ∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵， ∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵，， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 设，则， 当函数存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数的“4级关联范围”， ∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 45．在直角坐标系中，O是坐标原点，点P（m，n）在反比例函数的图象上． （1）若m＝k，n＝k﹣2，则k＝ ； （2）若m+n＝k，OP＝2，且此反比例函数，满足：当x＞0时，y随x的增大而减小，则k＝ ． 【答案】 3 1+ 【分析】（1）函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k≠0），即可求得k的值； （2）根据点（x，y）到原点的距离公式d＝，得到关于m，n的方程； 再结合完全平方公式的变形，得到关于k的方程，进一步求得k值． 【详解】解：（1）根据题意，得 k﹣2＝＝1， ∴k＝3． （2）∵点P（m，n）在反比例函数y＝的图象上． ∴mn＝k 又∵OP＝2， ∴＝2， ∴（m+n）2﹣2mn﹣4＝0， 又m+n＝k，mn＝k， 得k2﹣2k＝4， （k﹣1）2＝5， ∵x＞0时，y随x的增大而减小，则k＞0． ∴k﹣1＝， k＝1+． 【点睛】本题考查求反比例函数解析式.能够熟练运用待定系数法进行求解．注意：（1）明确两点间的距离公式；（2）在中，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 46．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 【答案】 23 【分析】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解； （2）由曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，，在曲线L的两侧，即可求解． 【详解】解：（1）每个台阶的高和宽分别是2和3， ，，，，，，，， 过点， ， 故答案为：； （2）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， 即，，，与，，，，在曲线L的两侧， ， 整数的个数为：个， 故答案为：23； 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关键． 47．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，根据条件求出与直线平行并且与双曲线只有一个交点的直线和，设、与双曲线的交点分别为，和是的两个临界值，即可得解． 【详解】解：将点代入中，得到， 反比例函数为， 将点代入中，得到， 点坐标为， 将点，代入中，得到， 解得， 一次函数为， 设与直线平行的直线为， 联立， 整理得：， 当直线与双曲线只有一个交点时，有， ， 如图，与双曲线只有一个交点并且与直线平行的直线为和，设、与双曲线的交点分别为，、与直线的距离分别为， 直线与轴的交点坐标为，直线轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，作直线于点，直线于点， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， 直线与的距离为， 直线与的距离为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，一次函数的的图象和性质，反比例函数的图象和性质，两点间的距离公式等，灵活运用相关知识并数形结合分析问题是解题的关键． 48．设函数． （1）若函数的图象经过点，求的函数表达式． （2）若函数与的图象关于轴对称，求的函数表达式． （3）当，函数的最大值为，函数的最小值为，求与的值． 【答案】（1），；（2），；（3）m=6、k=6或m=、k= 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征得到，即可求得的值，从而求得，的函数表达式． （3）分三种情况讨论，根据题意得到关于、的方程组，解方程组即可求得． 【详解】解：（1）函数的图象经过点， ， ， ， ，； （2）函数与的图象关于轴对称， ， ， ，． （3）当时，函数，的图象在第一、三象限， 根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ， 解得； 当时，函数，的图象在第二、四象限， 根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ， 解得； 当时，函数图象在二、四象限，函数的图象在第一、三象限， 根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ，不合题意， 故与的值为6、6或、． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征，分类讨论是解题的关键． 49．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点为线段上一点，且，连接、，求； (3)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：，直线的表达式为： (2)3 (3)存在，、点或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用，而，则，即可求解； （3）证明和的相似比为2，设，，分为和两种情况分别得到得关于、的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点， 由点、的坐标得，， 解得， 直线的表达式为：； （2）解：连接、， 由一次函数的表达式知，点， 则， ， 则； （3）解：存在，理由： 由题意得，，， 过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、， 则和的相似比为， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点， 当时， 则和的相似比为， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点， 即、点或点、点． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数上点的坐标特点，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式等，解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 考点六、反比例函数与简单几何图形的综合 50．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与等边相交．    (1)如图1，当反比例函数的图象经过的顶点时，若． ①求反比例函数的表达式． ②若点是上点左侧的图象上一点，且满足的面积与的面积相等，求点的坐标． (2)如图2，反比例函数的图象分别交的边OA，AB于和两点，连接CD并延长交轴于点，连接OD，当时，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点A作于点F，根据等边三角形的性质可得，再结合勾股定理可得点A的坐标为，即可求解； ②连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则，则，证明四边形是平行四边形，则，求出直线的解析式为，可设直线的解析式为，求出直线的解析式为，联立得：，即可求出答案； （3）过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，再求出点C的坐标为，点D的坐标为，然后根据点C，D均在反比例函数解析式上，可得点D的坐标为，从而得到，再求出直线的解析式，可得点E的坐标为， 从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：①过点A作于点F，    ∵是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数表达式为：； ②如图，连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则，    ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ∵， ∴点B的坐标为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得： 解得：（舍去）或， ∴点M的坐标为； （2）解：如图，过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，    ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ∵点C，D均在反比例函数解析式上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点D的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用、勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握求反比例函数解析式的方法和反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数是解题的关键． 51．如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2)的最小值为，此时； (3)符合条件的点的横坐标为或． 【分析】（1）先求出点坐标，利用求出点的坐标，继而求出反比例函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线交直线于点，根据面积求出点坐标，再求出直线解析式，得到点坐标，继而求出线段长，将点沿着射线方向平移个单位长度得到点，连接，，则四边形是平行四边形，则，当点、、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，据此求出最小值和点坐标即可； （3）分两种情况讨论①当在左侧时，②当在右侧时，根据条件分别求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， ， ， 当时，， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点， 设点，，则， ， ， 整理得：， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， ，， ， 将点沿着射线方向平移个单位长度得到点，连接，， 则四边形是平行四边形，则， ， 当点、、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ，， 直线的解析式为，， 由，解得， ，则， 的最小值为，此时； （3）解：①当在左侧时，如图所示， 设与轴交于点，则， ，则， 当时，， ，则， 过点作轴，垂足为， ，，， ， ，则， ， ， ，即点、、共线， 则点为直线与反比例函数图象的交点， 由得， 解得或（舍去）， 点的横坐标为； ②当在右侧时，如图，轴，则， 则， ，则， 直线的解析式为， 由得， 解得或（舍去）， 在右侧的点横坐标为． 综上分析，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、平移性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键． 52．已知点，都在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质，利用直线解析式判断直线平行，平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意，将，代入，即可求解； （2）①设直线的解析式为：，点在直线与抛物线相切的点上，进而求解即可；②设，过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称，连接，，，根据平行线的性质即可求解 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得： （2）①，， 设直线的解析式为：， 将，坐标代入解析式中， ， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线与抛物线相切的点上，此时面积最小 ， 设， ， ， ， ， 点在第三象限，故， ， 解得：， 故的坐标为： ②， ， 设， 过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点， 连接，，，则， ∵点和点关于原点对称 ， 由待定系数法得：直线的解析式为：， 点在直线上， 、、共线， 由对称性可知， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ， ， 53．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，点或 ． 【分析】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键． （1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值，得到反比例函数解析式，设直线解析式，由点A的坐标可求得此解析式，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标； （2）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．证明三角形全等并利用点的移动特点写出答案． 【详解】（1）解：函数的图象过点和两点，代入得： ， 解得， 反比例解析式为． ，， 点， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为：， 过点作轴于点，交直线于点，如图1， 设， ， ， ， 或（不符合题意舍去）， ； （2）解：第二象限内存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，理由如下： ，直线的解析式为，， 设直线的解析式为：， 点在直线上， ，即， 直线的解析式为：， 当时，， ，， 当时，， ，， 根据题意，分两种情况进行讨论： ①以为直角边，为直角顶点，如图1； 过做轴于点，可知：， ， ， 又， ， 又， ， ，， 故点到点的平移规律是：向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标， ，且在第二象限， 即； ②以为直角边，为直角顶点，如图2； 同①理得，将点向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，得． 综上所述：点或． 54．已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中． (1)如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值； (2)如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值； (3)如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最小值为，点M的坐标为 (3) 【分析】（1）联立反比例函数与一次函数的解析式，根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）将代入反比例函数的解析式求得，再将代入，即可求解出n的值，联立反比例函数与一次函数的解析式，求出点B的坐标，作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接，此时的周长最小，为的长，利用两点的距离公式解答即可，设直线解析式为，利用待定系数法求出解析式，令，即可求出点M的坐标； （3）过点作x轴的垂线，与过点作轴的平行线，分别交于点，设点，证明，根据，得到，进而得出，根据点在反比例函数上，代入解析式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，则， 即， 反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点， ，即， ； （2）解：反比例函数的图象经过点， ， ， ， 将代入，则， ， 一次函数的解析式为：， 联立反比例函数与一次函数的解析式得，则， 即， ， 当时，， 根据题意得：， 作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接， 则， ， ， 此时的周长最小，为的长， ， ； 设直线解析式为， 则，解得， 直线解析式为， 令，则， 点M的坐标为； （3）解：过点作x轴的垂线，与过点的轴的平行线，分别交于点， 设点， ， ， ， 由旋转知：， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数上， ，即， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称求最短距离，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．利用待定系数法确定一次函数的解析式；熟练掌握对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 55．如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数的图象与线段交于点，．    (1)求反比例函数表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线． 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)证明见解析． 【分析】（）先求出点坐标，代入解析式，可求解； （）以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求图形； （）先求出点坐标，点坐标，由面积法可求的长，由角平分线的判定即可求证； 本题考查了待定系数法，作线段的垂直平分线，角平分线的判定，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∵反比例函数 的图象过点， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：如图，以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求；    （3）解：如图，过点作于，    ∵ ，， ∴点， ∴点的纵坐标为， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∵点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的平分线． 56．如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线l，与反比例函数 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”． (1)当OP＝3时： ①点M “的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是 ； (2)过y轴上的点Q作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，点B在点C左侧．若点Q把线段BC划分成的两部分，求的长． (3)如果改变翻折方式，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，则k的范围是 ． 【答案】(1)在； (2) (3) 【分析】（1）①当时，，该点为：，，则点，关于直线的对称点坐标为：，，即可求解； ②当时，关于的对称点的值为6，则，则，即可求解； （2）当时，则，解得：，即点，即，则，进而求解； （3）联立方程当△，则，此时两个函数只有一个交点，当直线过点关于直线的对称点时，该直线和题目中的图形只有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，即， 则，则点，， 当时，，该点为：，， 则点，关于直线的对称点坐标为：，， 故点在“的镜像”， 故答案为：在； ②当时，关于的对称点的值为6， 则，则， 则“的镜像”与轴交点坐标为：，； 故答案为：，； （2）解：如图， 当时，则， 解得：，即点， 即， 点把线段划分成的两部分， 则（不成立，舍去）， 即点的横坐标为：，则点， 当时，， 即点关于的对应点的纵坐标为：2， 即， 由点、的纵坐标得到， 即； （3）联立和并整理得：， 当，则， 此时两个函数只有一个交点，设该点为点， 把代入并解得：， 则点，， 如图，求点关于直线的对称点， 则当直线过点时，该直线和题目中的图形只有一个交点， 由图形的对称性知，为等腰直角三角形， 当，则， 则点，，则， 则点的坐标为：，， 将点的坐标代入得：， 解得：， 故符合题设条件， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到点的对称性、新定义、图形的翻折等，理解新定义是解题的关键． 57．综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，已知直线轴，直线分别与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，连接，．    (1)问题解决：如图①，若点A，B的横坐标为3，试判断的形状，并说明理由． (2)问题探究：如图②，将直线向右平移若干个单位后得到直线，它与两个函数图象的交点分别为，，连接，，则在直线向右平移到直线的过程中，的面积是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出的面积． (3)问题拓展：如图③，将直线向右平移若干个单位后与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点P，与反比例函数的图象交于点Q，连接，，当P恰好是的中点时，请直接写出的面积． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2)的面积不发生变化，为． (3) 【分析】（1）先求解，，再求解，，的长度，从而可得结论； （2）利用反比例函数的比例系数k的几何意义可得面积不变，从而可得答案； （3）先求解直线为，设为，设，而P恰好是的中点，可得，设为，可得，可得，可得，，由中点坐标公式可得：，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵直线分别与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，点A，B的横坐标为3， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴为等腰三角形． （2）如图，记与x轴的交点为M，记与x轴的交点为N，    ∵直线轴， ∴轴，同理：轴， ∴， ， ∴的面积不发生变化，为． （3）∵，设直线为， ∴，解得，即直线为， 由平移的性质可得：， 设为， 设，而P恰好是的中点， ∴， ∴，解得：，即， 设为， ∴，解得：， ∴，解得：（负根舍去）， ∴，， 由中点坐标公式可得：， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，求解一次函数的解析式，中点坐标的含义，二次根式的混合运算，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 考点七、反比例函数与四边形的综合 58．如图，正方形的顶点在反比例函数（）图象上，顶点在x轴的负半轴上，顶点在y轴的正半轴上，再在其左侧作正方形，顶点在反比例函数（）的图象上，顶点在x轴的负半轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，作轴于点C，作轴于点D，作轴于点E，作轴于点F，证明，则同理可证，，则，得到，则， 得到，的坐标为，由得到，则的坐标为，设的坐标为，则，同上可证，，则，得到，则，解得，即可得到答案． 【详解】解：作轴于点C，作轴于点D，作轴于点E，作轴于点F， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴ ∴的坐标为， 设的坐标为，则 ∵四边形是正方形， 同上可证， ∴， ∴， ∴ 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴点的坐标为， 故答案为： 59．换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①20，28；②不存在，见解析；（3）存在，或或 【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解； （2）①由题意得：且，即可求解； ②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28； ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，， 则存在方程：， ， ∴方程无解， 故不存在矩形； （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，中点坐标公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会． 60．如图，矩形OABC位于直角坐标系中，点在第一象限内，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交于点，交于点，点在边上．若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作于，易证得，，，根据题意，，得出，即可得出，进而得出，解得即可，表示出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：作于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点， ，， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 故答案为：． 61．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设，利用两点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得： ． 如图，C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 62．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点在第四象限，且轴于点A，轴于点，一次函数的图象分别交轴、轴于点，点，且，． (1)求反比例函数的表达式 (2)请写出当取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值？ (3)点是反比例函数图象上一个动点，连接，，并把沿翻折得到四边形，求出使四边形为菱形时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据一次函数解析式求出，，根据，得出点P的横坐标为，把代入得出点P的纵坐标为，即，根据，求出，得出，代入反比例函数解析式求出m的值，即可得出反比例函数解析式； （2）先求出一次函数图象与反比例函数图象的另外一个交点的坐标，然后根据函数图象得出x的取值范围即可； （3）根据菱形的性质得出，，说明点N为的中点，根据，，得出，根据轴，得出轴，说明点的纵坐标为，代入反比例函数解析式求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的纵坐标为，即， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为：． （2）解：根据解析（1）可知：， ∴一次函数的解析式为：， 令， 解得：或， 把代入得：， ∴反比例函数图象与一次函数图象的另外一个交点的坐标为， ∴根据函数图象可知：当或时，一次函数的值不大于反比例函数的值； （3）解：设交于点N； ∵四边形为菱形， ∴，， 即点N为的中点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，菱形的性质，求一次函数解析式，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． 63．如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点．且． (1)求m和k的值； (2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求出满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的度数为______． 【答案】(1), (2)点Q的坐标为：，， (3) 【分析】本题考查反比例函数与特殊四边形存在性问题，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及平行四边形和正方形的性质是解题的关键． （1）根据得到的值，进而得到的坐标， 再由点E为AD中点，，通过中点坐标公式得到的值，得到点坐标，将点代入即可得到k的值； （2）根据题意若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，可分①当为对角线时， ②当为对角线时，③当为对角线时三种情况讨论，即可得到所有点Q的坐标； （3）过点作于，作于，连接，根据正方形的性质易证得，进而得到是等腰直角三角形，故可得的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵E为中点，， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴， ∵在双曲线上， ∴． （2）解：若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， ①当为对角线时， 根据中点坐标公式可得：，， 则有，， 解得：，， ∴，， ∴，， ②当为对角线时，同理可得，， ③当为对角线时，同理可得，； 综上所述：点Q的坐标为：，，． （3）解：过点作于，作于，连接，如图 ： ∵为正方形的对角线， ∴， ∴， ∵M是的中点，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 64．【教材呈现】 下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容： 如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论． 【方法探究】 如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________： 【方法应用】 如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与 交于点 ．若 求的面积． 【答案】教材呈现：证明见解析；方法探究：；方法应用：． 【分析】教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则，可得四边形是平行四边形，得到，再根据三角形的面积公式即可求证； 方法探究：过点作于，过点作的延长线于点， 同理教材呈现可得，再根据三角形的面积公式即可求解； 方法应用：连接，由教材呈现可得，，由轴可得，，得到，再根据勾股定理得，进而根据菱形的性质得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 即的面积和的面积相等； 方法探究：如图，过点作于，过点作的延长线于点， 同理教材呈现可得， ∵，， ∴， 故答案为：； 方法应用：连接，由教材呈现可得，， ∵轴，函数的图象经过点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积，反比例函数比例系数的几何意义，勾股定理，菱形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 65．如图，反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象交于A，B两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，请写出x的取值范围． (3)如图，P是线段上的一点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C，与反比例函数图象分别交于点F，E，连接．将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形，请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析、根据函数图象确定不等式的解集、菱形的性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）直接将代入求得k的值即可； （2）联立反比例函数和直线的解析式求得A、B的坐标，然后再根据函数图象确定的x取值范围即可； （3）设，则，由菱形的性质可得，据此结合两点间距离公式可求得，则；再证四边形是矩形，可得易证是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：接将代入可得：，解得：， 所以反比例函数的解析式为． （2）解：联立反比例函数和直线的解析式可得，解得：， ∴, 根据函数图象可知：时，x的取值范围为：． （3）解：设，则， ∵将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形， ∴, ∴，解得：， ∴， ∵过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C， ∴四边形是矩形， ∴ ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴． 66．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质与平行四边形的性质； （1）把代入，即可求解； （2）设，，根据，，为对角线，利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据矩形的性质可得，，得出直线的解析式为，分两种情况讨论，当在点右侧时，当在点左侧时，设，根据正方形的性质，全等三角形的性质，得出的坐标，进而代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵在的图象上， ∴， ∴ （2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时， ∴为的中点，则， ∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵，，为对角线 ∴ 解得： ∴ ∴ （3）解：∵矩形的顶点， ∴， 直线的解析式为， 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵点为线段上的一个动点， 设，则,， ∴， ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ 如图所示，当在点左侧时， 同理可得， ∴ 设， ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述， 67．如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点的坐标； (3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点的横坐标为或3或或 【分析】此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等． （1）由正方形性质可得，，利用同角的余角相等得出，再利用即可证得结论； （2）先求得，代入，求得，可得，当时，，即可求得答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线的解析式为，设，，分三种情况：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，分别列方程组求解即可求得答案． 【详解】（1）如图1，四边形是正方形， ，， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ； （2），， ，， ， ，， ， ∴ 同理可证， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为， 设反比例函数的表达式为， 把代入，得， ， 当时，， 点的坐标为； （3）在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 直线， 设直线的解析式为，把代入得， 解得：， 直线的解析式为， 点是直线上的一点，点是平面内一点， 设，， 又，， 当、为对角线时， ， 解得：， ，； 当、为对角线时， ， 解得：或（舍去）， ； 当、为对角线时， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形，点的横坐标为或3或或． 考点八、反比例的比例系数与图形面积 68．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点是的中点可得出，将其带入点的坐标即可得出点是的中点，即可判断④，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴点是的中点，故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：． 69．如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作轴于，轴于，由得，进而得，再由，，即可判断；当， 四边形是矩形，不能确定与相等，故不能判断，即不能判断，由此不能确定，即可判断；若四边形是菱形，可证，得到，即得，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵，， ∴，故正确； 当， 四边形是矩形， ∴不能确定与相等， 而， ∴不能判断， ∴不能判断， ∴不能确定，故错误； 若四边形是菱形，则，而， ∴， ∴， ∴， 又由图象可得，，， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的是， 故选：． 70．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为2，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，设点坐标根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得， ， 点横坐标为， 点横坐标为，代入反比例函数解析式， 得， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得． 故答案为：6． 71．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．设，其中，则由B是中点可求得点坐标，由点C在y轴上，得m与n的关系，从而得D、E的坐标；连接，则得，根据，则可求得k的值． 【详解】解：设，其中， 由于点B是的中点， 则； 因点C在y轴上，则， ∴； 即，； ∵轴于点，点为线段的三等分点，且 ∴D点的坐标为，E点坐标为， ∴，； 如图，连接， ∵点为线段的中点， ∴； ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：； 故答案为：． 72．如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，连结，，，．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 【答案】 【分析】如图，过作轴于，过作轴于，证明四边形是平行四边形，可得，证明，再建立方程求解即可； 【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于， ∵点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为16， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，的几何意义，熟练的利用的几何意义解题是关键. 73．如图，点，在反比例函数（，）的图象上，点，在反比例函数（，）的图象上，且轴，过，分别作轴的垂线，垂足为，，交于点，连结交于点．若，则 ．    【答案】1 【分析】如图，由组合图形位置构成关系，得，，由反比例函数解析式k的几何意义，得，，得出结论． 【详解】如图，    ∵点在反比例函数（，）的图象上，点在反比例函数（，）的图象上 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 而， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：1 【点睛】本题考查反比例函数解析式k的几何意义，组合图形求面积，理解反比例函数解析式k的几何意义是解题的关键． 74．如图，矩形，双曲线分别交、于F、E两点，已知，求： （1）当E为中点，则的面积为 ． （2）当，则k的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象及性质和矩形的性质等知识点， (1) 由E为的中点，得到，进而可得，利用面积的和差即可得解； (2)设F点坐标为，则E点坐标为，根据三角形面积公式得到，解得m的值，即可求得F点的坐标，根据即可求得； 利用面积求得点坐标是解题的关键． 【详解】（1）∵E为的中点， ∴， 即反比例函数解析式为， ∴， ， 故答案为：； （2） ∵四边形是矩形，，， ∴设F点坐标为，点E的坐标为， ∴，解得， ∴E点坐标为， 则， 整理得：，解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∵双曲线分别交、于F、E两点， ∴， 故答案:． 75．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，是的两个三等分点，过点，作轴的平行线分别交于点，，反比例函数的图象经过点，分别交，于点，，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，．图中阴影部分的面积分别为，，． （1）若点的坐标为，则 ； （2）若，则点的坐标为 ； （3）若，则= ． 【答案】 2 5 【分析】（1）把代入反比例函数即可求得答案． （2）根据点，是的两个三等分点即可得,，即可得出点，点，利用点到坐标轴的距离的含义即可得出，求出即可求得答案． （3）设，由点，是的两个三等分点可得，，根据反比例函数表达式可得出，，，求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数中得， ， 故答案为：2． （2）由图象可知， 点，是的两个三等分点，且， ，， 点、点、点的纵坐标分别为3、2、1，且都在反比例函数图象上， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 解得：， 即反比例函数的解析式为， ， 解得， 点的坐标为， （3）设，由题意可得， ，， 点、点、点的纵坐标分别为、、， 点，点，点， ， ， ， 又， ， 解得：， ， 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、反比例函数比例系数的几何意义和点到坐标轴的距离的几何意义，解题关键熟练掌握反比例函数的图象及性质和点到坐标轴的距离的几何意义． 76．函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 【答案】(1)，当时，随t的增大而减小 (2)不发生变化，理由见解析 (3)发生变化，， 【分析】（1）由于和的横坐标都是，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可表示出它们的坐标，然后利用它们的纵坐标之差即可表示出的长度，然后根据反比例函数的性质讨论增减性； （2）根据三角形面积公式易得，于是可判断的面积不发生变化 （3）当时，易得，，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图，则点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，易得点坐标为；然后根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着根据勾股定理计算出，从而可得到的周长的最小值． 【详解】（1）解：把代入得，则； 把代入得，则， ∴，当时，RQ随t的增大而减小． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： ∵， ∴的面积不发生变化． （3）解：的周长发生变化．当时，，，则． 作点R关于y轴的对称点M，连接，与y轴的交点即为所求点P．如图， 则M点的坐标为．设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为，当时，． ∴点P的坐标为． ∵， ∴． ∴此时的周长最小． 在中，∵，， ∴． ∴． ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征和性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形的面积；运用两点之间线段最短解决三角形周长的最小值问题． 77．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    【答案】探究一：（1）8，，猜想：先变大后变小；（2）8，，先变小后变大；探究二： 【分析】探究一：（1）根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解； （2）根据直线解析式的特点，结合图形即可求解； 探究二：设点G的坐标为，则，Q、A、B的坐标分别为、、，再由的面积求解即可． 【详解】解：探究一： （1）∵A点、B点在反比例函数上， ∴， 过P点作轴交反比例函数图像于点Q，过点Q作轴交于点D， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在时，的值先增大后减小， ∴． 故答案为：8，＜，先增大后减小． （2）∵，． ∴直线的解析式为， 设A点坐标为， ∴， ∴， 过P点作轴交反比例函数于点E，过E作轴交于点F， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴时，先减小后增大， ∴先减小后增大， ∴． 故答案为：8，＞，先减小后增大． 探究二： 设点G的坐标为，则． 由题意得点Q、A、B的坐标分别为、、． ∵的面积 ， ∴．    【点睛】本题主要考查反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的图像及性质、反比例函数k的几何意义是解题的关键． 考点九、反比例函数的交点问题 78．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意并掌握相关知识．过点作于点，根据题意可得：此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等），当为的中点时，即为所求，先求出，，进而求出，再将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点，则直线的解析式为，与反比例函数联立可得，然后利用判别式求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 当的面积为定值时，相应的点有且只有个， 此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等）， 由图可知，当为的中点时，即为所求， 联立：， 解得：或， ，， 此时， 将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点， 直线的解析式为， 与反比例函数联立可得：， 整理得：， 反比例函数与直线只有一个交点， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 解得：， ， ， 故选：B． 79．已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①根据点的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；②过作，过作于；联立与反比例函数解析式，求得、的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得、的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标； （2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，，，，证明为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可． 【详解】（1）解：①∵ 在上， ∴， 把代入中得：， 则直线解析式为：，反比例函数解析式为：； ②由直线与反比例函数的图象分别交于点和点， 则， 解得：或， ∴， ∴， 如图，过作分别交轴、轴于点、，过作于， 设的距离为，则， 解得：， ∴、的距离为， ∴，    ∵，令，则，令，则，即，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴直线是直线向右平移个单位后得到的直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 点的坐标为或； （2）解：过点作于，交于点，交于点，如图，    ∴， ∵直线，将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为， ，即是的中点， 联立，解得：或（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数与反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程、一次函数的平移、轴对称的性质，正确作出辅助线、利用数形结合的思想求解是解题的关键． 80．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值 (2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界）， ①当时，区域的整点个数为 ； ②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ； (3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ． 【答案】(1)4 (2)①11；② (3) 【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． （）根据点A在的图象上，可求出的值； （）标出区域，再统计区域内的整数点即可； 过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵双曲线经过点， ∴， 即的值为； （2）解：当时，由图可知， 上的整点有个， 上的整点有个， 双曲线上段的整点有个， 区域内部的整点有个， 又点，，都被算了次， 所以区域的整点个数为：， 故答案为：； ∵区域的整点个数为4，且点横坐标满足， ∴区域内的整点为，，，，如图所示： ∴纵坐标的取值范围为； （3）解：由题知，， 则不论为何值，时，即直线过定点， 如图所示，当时，区域内的整点共有个， 又被分成的区域和的整点个数之差不超过， 则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求， 此时，得， 当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可， 此时， 解得：， 故的取值范围是：． 81．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式： (2)点C是反比例函数第三象限图象上一点，且在直线的上方，若三角形的面积与三角形面积的相等，求点C的坐标： (3)对平面内任意一点，定义K变换：若，则P变为；若，则点P变为，若线段经过K变换后的图形与另一个反比例函数的图象没有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据题意，将代入一次函数中，求出的值，再将代入反比例函数，求出即可得解； （2）由面积相等，得直线直线，故直线解析式为，联立和即可求解； （3）设线段上任意点坐标为，，根据题意求得当时，经过变换后，在直线上，且， 当时，经过变换后，在直线上，且，作出图形，利用数形结合的数学思想，找到零界位置时的取值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入中， ∴． ∴． ∴． 又∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵三角形的面积与三角形面积的相等， ∴直线直线， ∴直线解析式为， 联立和得：， ∴， ∵点是反比例函数第三象限图象上一点，且在直线的上方， ∴． （3）联立，得：， ∴或2， ∴，则经过变换后，为，为 设线段上任意点坐标为，， 当时，，即线段经过点，经过变换后，为， 当时，即时，经过变换后，， ∵， ∴当时，经过变换后，在直线上，且， 当时，即时，经过变换后，， ∴当时，经过变换后，在直线上，且， 即线段经过变换后的图形为线段、（不含端点）， 当线段与反比例函数有交点时，方程有解， 即有解， ∴，解得：； 当反比例函数经过时，， 当反比例函数经过时，， ∵线段经过变换后的图形与反比例函数的图象没有交点， ∴或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，数形结合是解题的关键． 82．已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答： ①连接DE，若，求的值； ②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数． 【答案】(1)， (2)①；②见解析 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，一元二次方程根的判别式等知识． （1）把代入得，知反比例函数的解析式为；把代入得一次函数的解析式为； （2）①求出，，可知，，，，故，解出，的值，可得，，的坐标，从而求出，得到答案； ②观察图象可知，点在点上方时，或；①当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；②当时，方程为一元二次方程；△，再分类讨论即可． 【详解】（1）把代入得：， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ； 把，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）①与轴、轴相交于点、点，求得，， ， ， ， ， 连接， ． ， ，． ，点在线段EF外，如图， ． ②由图象可知，点在点上方时， 或， 当时，方程为一元一次方程， 方程有一个实数根． 当时，方程为一元二次方程， ． 当时，，方程有2个实数解， 当，且时，，即，方程有2个实数解， 当时，，即，方程无实数解， 当时，，方程有两个相等实数解， 当时，方程有一个实数解． 83．平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】①将代入，可求，则；当时，，即，，将，代入，计算求解可得，进而可得； ②由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围，当时，，可求，即的图象经过点，数形结合可求使成立的x的范围为； （2）由，可得，由题意知，，则，，将代入得，，即，则，，由，正方形，可得，即，将代入可得，，即，将代入得，，进而可判断P一定在函数的图象上． 【详解】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴； 当时，，即， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴，； ②解：由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围， 当时，， 解得，， ∴的图象经过点， 由图象可知，使成立的x的范围为； （2）解：∵， ∴， 由题意知，，则，， 将代入得，，即， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 将代入可得，， ∴， 将代入得，， ∴函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质等知识．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质是解题的关键． 84．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③问题一：，问题二： 【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． （1）根据点在的图象上，可求出的值． （2）①标出区域，再统计区域内的整数点即可． ②结合图象可找出这4个整数点，便可得出的取值范围． ③问题一：过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于0，便可解决问题． 问题二：利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可． 【详解】（1）因为双曲线经过点， 所以． 即的值为4． （2）①当时，由图1可知， 上的整点有4个， 上的整点有4个， 双曲线上段的整点有3个， 区域内部的整点有3个， 又点，，都被算了2次， 所以区域的整点个数为：． 故答案为：11． ②因为区域的整点个数为4，如图所示， 又，则区域的4个整点如图所示：，，，． 故纵坐标的取值范围是：． 故答案为：． ③问题一：由题知， ， 则不论为何值，时，， 即直线过定点， 所以． 故答案为：5，4． 问题二：如图所示，当时，区域内的整点共有15个． 又被分成的区域和的整点个数之差不超过2， 则当直线经过点时，的整点个数是7，的整点个数是5，满足要求． 此时，得． 当直线过点时，的整点个数是5，的整点个数是8，不满足要求．故当点在直线上方时，即可． 此时，得． 故的取值范围是：． 85．如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D． (1)若点，点． ①一次函数解析式是 ； ②直接写出线段的长，你有什么发现？ (2)若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． (3)实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ． 【答案】(1)①；②，，发现 (2)仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及图像问题，坐标两点的距离公式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）①根据题意利用待定系数法将点求出，再代入点，求出，所以点，将两点A、B分别代入一次函数即可得出答案； ②由①得出方程式可知点，，得，，发现． （2）根据题意将，点分别代入函数得，解得，即一次函数为，得到点，，进而得出，发现恒成立． （3）根据题意得出点E坐标，，所以，求出的一次函数，延长交于y轴于点M，即函数也是函数，求出点M坐标为，因为②中得出结论，即可得出中点N的坐标为，代入函数即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵两点A、B是与的交点， ∴将点A代入，解得，再代入点，解得， ∴， 将两点A、B分别代入得：，解得， 故答案为：． ②由①知一次函数为，即，， ∴，， j即． （2）解：②中的结论是否仍然成立，理由如下： 把点，点代入一次函数中得：，解得：， ∴一次函数解析式为：； 当时，， ∴ 当时，， ∴， ∴ ∴，， ，仍然成立． （3）解：∵四边形是矩形，点，， ∴， 如图2 延长交y轴于M，设直线得解析式为：， 则，解得：， ∴直线得解析式为：， 当时，， ∴， ∴的中点N的坐标为， 在②中对于任意两点，②中得结论都成立， ∴当反比例函数于矩形的对角线有交点N时，k有最大值，此时． 故答案为：4.5． 考点十、反例函数的实际应用问题 86．2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（    ） A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升 D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒 【答案】C 【分析】根据题意，对于题意根据当时，，当时，，当时，，当时，，根据题意求得时的函数值，即可判断A，令根据上述函数关系式，求得的取值范围，进而判断B选项，根据当时，求得函数关系式，求得当时的函数值即可判断C选项，根据C选项的解析式求得的最小值即可判断D选项． 【详解】对于A，由题意可得，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，故A正确， 对于B，当时，，解得， 故， 当时，，解得， 故， 综上所述，， 若一次投放4个单位的，消毒时间可达8分钟，故B正确， 对于C，当时， ，当时，， 故C错误， 对于D，∵， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴有最小值， ∴接下来的4分钟能够持续消毒，故D正确． 故选C 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键． 87．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)元 (4)存在，不变的值为240 【分析】本题考查了一次函数的应用，，正比例与反比例的应用； （1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为，列出函数关系式，将代入，即可求解； （4）先求得当时，与的函数关系式为，根据分段表示出的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 即：， 与的函数关系式为； （2）解：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，设与的函数关系式为， 故答案为：； （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为， 当时， 当时，千元 即元 （4）存在，不变的值为， 由函数图像得：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，与的函数关系式为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为． 88．盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 89．如图，有一个人站在水平球台上打高尔夫球，球台到x轴的距离为8米，与y轴相交于点E，弯道：与球台交于点F，且米，弯道末端垂直x轴于点B，且米，从点E处飞出的红色高尔夫球沿抛物线L：运动，落在弯道的点D处，且点D到x轴的距离为4米． (1)k的值为 ；点D的坐标为 ； ； (2)红色球落在D处后立即弹起，沿另外一条抛物线G运动，若抛物线G的顶点坐标为． ①求抛物线G的表达式，并说明小球在D处弹起后能否落在弯道上？ ②在x轴上有托盘米，若把托盘向上平移，小球恰好能被托盘接住(小球落在托盘边缘不会掉落)，设托盘向上平移的距离为d米，求d的取值范围． (3)若在红色球从E处飞出的同时，一黄色球从点E的正上方处飞出，它所运行的轨迹与抛物线L的形状相同，且在红色球落在D处之前，黄色球始终在红色球的正上方超过6米的位置处，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)24，， (2)①小球在D处弹起后不能落在弯道上，见解析② (3) 【分析】(1)根据球台到x轴的距离为8米，米，确定点，确定k，结合，点D到x轴的距离为4米，结合，计算即可． (2)①小球在D处弹起后不能落在弯道上，见解析②分别计算当时，时的函数值，计算即可． (3) 根据，黄色球的轨迹为， 且，计算即可． 【详解】（1）∵球台到x轴的距离为8米，米， ∴点， ∴ 解得， 故反比例函数的解析式为； ∵， ， ∴， 解得， ∵点D到x轴的距离为4米，， ∴， 解得， 故，， 把代入中，得， 解得， 故答案为：24，，． （2）①∵抛物线G的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， 故抛物线G的解析式为 当时，． ∴小球在D处弹起后不能落在弯道上． ②根据题意，当时，． 当时，． 故d的取值范围是． （3）∵， ∴黄色球的轨迹为， 根据题意，得当时，， 解得． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，反比例函数的解析式及其性质，二次函数的平移，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛物线性质是解题的关键． 90． 设计货船通过双曲线桥的方案 素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．          素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式． 问题解决 任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意． 任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式） 【答案】任务：，，乙正确；任务：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞． 【分析】任务：设曲线的解析式为，把点代入，可得曲线的解析式为  ，再由反比例函数图象的对称性可得，点是的中点，，过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于， 可得，是等腰直角三角形，，进而可得，，点在双曲线上，与点在双曲线上矛盾； 任务：设其中则，可得，由 ，，可得，，可得，再根据矩形的性质可得，即可判断此时货船不能通过，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线与双曲线的交点 ，即可求得答案； 本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题的关键是根据坐标系列出相应的函数解析式． 【详解】任务：设曲线的解析式为 ，把点代入，得 ：， 解得：， ∴曲线的解析式为， ∵落在第一象限的角平分线上， ∴、关于对称，即、关于第一象限角平分线对称， ∴点是的中点，， 过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，如图， 则，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴点在双曲线上， ∴点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意， 故答案为：，，乙正确； 任务：设，，其中 ，则，如图， ∵点在直线上， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴ ，， ∵， ∴此时货船不能通过该桥洞， 设直线的解析式为，与双曲线的交点为，把代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：(舍去)， ， ∴ ∴，即， ∵， ∴ 故要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞， 答：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞． 91．某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 【答案】(1)100，40，图见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据反比例函数中为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可； （2）求出，结合（1）可得的值； （3）用表示出，再代入得关于的不等式组，即可解得答案． 【详解】（1），，补全表格如下： 120 100 60 50 40 30 5 6 10 12 15 20    阻值与压力的函数关系式为； 故答案为：100，40； （2）电流表的示数为时，， 解得， 把代入得： ， 解得， 该台秤最大可称的物体； （3），， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解，，，的关系． 92．小明同学利用寒假天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致） 销售量m（千克） 销售单价n（元/千克） 当时， 当时， 设第x天的利润w元． (1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为元/千克； (2)这天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润（售价成本）销售量】 (3)在实际销售的前天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围． 【答案】(1)第天或第天该品种草莓的销售单价为元/千克 (2)第天或第天获得的利润最大，最大利润均为元 (3) 【分析】(1)分别在当时，把代入和当时，把代入可得到所求； (2)分别根据二次函数性质和反比例函数性质，计算当时和当时的最值即可； (3)列出表示利润的二次函数，根据二次项系数小于0，前8天每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大，据此求得a的取值范围． 【详解】（1）解：当时，把代入， 得， 解得， 当时，把代入， 得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：第天或第天该品种草莓的销售单价为元/千克； （2）解：当时，， ， 当时，有最大值为元； 当时，， ，当时，随x的增大而减小， 当时，有最大值为元， 答：第天或第天获得的利润最大，最大利润均为元； （3）解： ， 前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，， 该抛物线的对称轴为直线， 解得， 又， 的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，最值和实际应用，同时也考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用二次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． 93．某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市．根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上市第t天的销售单价为（元/千克），则与之间满足如下关系： t 1 2 3 4 5 6 … P（元/千克） 120 60 40 30 24 20 … 而该水果每天的销售量（千克）与t之间满足的函数关系如下图所示：    (1)猜想销售单价P与t之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价P与t之间的函数关系式（不必写出自变量取值范围）； (2)求每天的销售量s（千克）与t之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千克？ (3)当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值．该水果最只能上市销售几天？最低销售单价是多少元？（销售收入＝销售单价P×销售量S） (4)当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？ 【答案】(1)反比例函数；； (2)，当上市15天时，销售量最大，最大销售量是225千克 (3)该水果最多只能上市销售25天，最低销售单价是4.8元 (4)6元 【分析】（1）根据可得销售单价P与t满足反比例函数，再变形即可得出解析式． （2）设，代入，计算即可求出解析式，再配方后求出最大值即可； （3）根据销售收入＝销售单价P×销售量S列出函数解析式，再根据每天的销售收入低于600元列出不等式即可解题． （4）根据“每天的销售量不低于200千克”求出的范围，再根据求出的最小值即可． 【详解】（1）P与t满足反比例函数关系．关系式为 （2）设， 根据题意得，解得， ∴． ∴当时，． ∴S与t的函数关系式为，当上市15天时，销售量最大，最大销售量是225千克． （3）根据题意得， 即，∴． ∵P随t的增大而减小，∴（元）． ∴该水果最多只能上市销售25天，最低销售单价是4.8元． （4）当时，即． 解方程得，， ∴当时，． ∵P随t的增大而减小， ∴当，（元）． ∴水果的最低售价是6元． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，根据题意列出对应的函数或不等式是解题关键． 94．习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表： 类型 占地面积 可供使用幢数 造价（万元） A 15 18 1.5 B 20 30 2.1 (1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？ (2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1） 【答案】(1)当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱 (2)每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低 【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解； （2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解． 【详解】（1）解：设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个． 依题意得：， 解得6≤x≤9.17， ∵x为整数， ∴x＝6，7，8，9有四种方案； 设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42， ∵﹣0.6＜0， ∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元）， ∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱； （2）解：由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨）， 当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040， ∵>0，故有最小值， 当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨）， 当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+， 当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨）， ∵240＜250， 故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨， ∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个， ∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨）， 故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低． 【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键． 试卷第2页，共179页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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