第二十六章 反比例函数（知识归纳与题型突破，8题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十六章 反比例函数知识归纳与题型突破（8题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 26.1.1 反比例函数 1.一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数. 注：（1）k也叫做比例系数； （2）分母是含有自变量x的一次单项式，必须是单独的x，若分母为“x+2”，则不是y关于x的反比例函数. 2.反比例函数中，自变量x的取值范围是x≠0. 3.反比例函数（k为常数，k≠0）还可表示成y=kx-1或xy=k（k为常数，k≠0）. 反比例函数中自变量x的指数为-1. 4.用待定系数法确定一个反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数法的反比例函数解析式（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式. 26.1.2 反比例函数的图象和性质 1.用描点法画反比例函数图象的基本步骤是（1）列表，（2）描点，（3）连线. 2.反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 注：反比例函数的增减性是在每一个象限内. 函数名称 自变量取值 图象形状 位置分布 增减性 k>0 k<0 k>0 k<0 反比例函数 （k≠0） x≠0 双曲线 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 正比例函数 y=kx （k≠0） 任意 实数 直线 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 3.双曲线无限靠近坐标轴但与坐标轴永不相交 4.反比例函数图像过第一象限必过第三象限；过第二象限，必过第四象限. 5.如果点（a，b）在反比例函数图象上，则（b，a）、（-a，-b）和（-b，-a）均在图象上. 6.反比例函数图象的两个分支，关于原点对称. 7.；若连接OA， 这也称反比例函数的“面积不变性”. 8.反比例函数与正比例函数的异同： 正比例函数 反比例函数 一般形式 y=kx（k≠0） y = （k为常数，k≠0） 自变量x的取值范围 任意实数 x≠0 函数y的取值范围 任意实数 y≠0 自变量x的次数 1 -1 函数y与自变量x的数量关系 商为定值k（k≠0） 积为定值k（k≠0） 正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y = （k为常数，k≠0）都由一个常数决定，前者是整式形式，两变量的商为定值k（≠0），后者是分式形式，两变量的乘积为定值k（≠0）. 形式的差异决定了它们本质的区别：一条直线、双曲线；直线过原点，而双曲线不过原点. 当k>0时，两类函数的图像都分布在第一、三象限；当k<0时，两类函数的图像都分布在第二、四象限. 当k>0时，正比例函数的y随x的增大而增大，而反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正比例函数的y随x的增大而减小，而反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而增大. 正比例函数的自变量取任意实数，因此图象是连续的，而反比例函数的自变量和函数值都不能为0，因此图象与坐标轴渐近而没有交点，是间断的两支曲线. 对称性：对称轴，对称点 k值对函数图象的影响，随着｜k｜的变化，函数图象相对于坐标原点的变化； 03 题型归纳 题型一、用反比例函数描述数量关系 例：如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 2．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 3．某函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，则该函数的表达式可能是（   ） x 0 1 2 y 0 2 4 6 A． B． C． D． 4．若y与成反比例，x与 成正比例，则y与z成（　　） A．正比例 B．反比例 C．不成比例 D．不能确定 5．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 6．已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 题型二、根据反比例函数的定义求参数 例：已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 8．已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 9．已知函数 是反比例函数，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．任意实数 10．已知，当 时，是的反比例函数． 11．已知是反比例函数，则 ． 12．已知函数为反比例函数，则的值为 （填具体数值）． 题型三、求自变量（函数）值 例：已知反比例函数． (1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 14．当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 15．已知与成反比例函数，且，，当增加时，将（    ） A．减少 B．增加 C．增加约 D．减少约 16．双曲线经过点，则代数式的值为 ． 17．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为，当时，I的值为 A． 18．已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 题型四、由反比例函数的图象求参数 例：已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 20．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 21．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（    ） A． B．或 C．或 D． 22．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 23．若反比例函数的图形位于第一、三象限，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 24．若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 25．在反比例函数的图象上有两点，，若而，则k的取值范围是 ． 26．如图所示的平面直角坐标系中存在线段，已知端点，，若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点，写任意出一个符合条件的的整数值： ． 题型五、反比例函数的增减性与参数的关系 例：已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（    ） A．2 B． C．1 D．3 28．下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 29．若，则下列函数：①，②，③，④，中，y随x的增大而增大的函数有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 30．点双曲线上，若，则的关系是（    ） A． B． C． D． 31．点，，均在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 32．已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．已知反比例函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 34．已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 35．已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 36．若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 37．，为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．若点和在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 39．关于反比例函数的下列说法：①该函数的图象在第二、四象限；②若两点在该函数图象上，且，则；③当时，；④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则b的范围是．其中正确的是 （填序号）． 题型六、反比例函数的比例系数与图形面积 例：如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 41．如图，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若，则 ． 42．如图，是反比例函数的图象上的点．过点分别向、轴作垂线，所得到的图中阴影部分面积为，则反比例函数的解析式为 ． 43．如图，是反比例函数图象上的一点，垂直于轴、垂足为，的面积为．若点也在此函数的图象上．则的值是 ．    44．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴的垂线变轴于点，连接，若的面积为6，则的值为 ． 45．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 46．已知反比例函数的图象经过两点，下列结论：①若则；②若，则；③过点A作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若，则四边形的面积为17．其中正确的结论是 ． 47．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为 ．       48．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 题型七、反比例函数与一次函数的综合问题 例：如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在y轴上，若，求点M的坐标． 50．如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值； (2)点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 51．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点 和， (1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 52．如图，一次函数（是常数且）与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，和的值； (2)直接写出关于的不等式的解集：_______； (3)点是轴上的一个动点，若的面积为9，则点的坐标为_________． 53．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交于为点，且与正比例函数的图象的交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出：当时的取值范围； (3)若点是轴上一点，且的面积为6，请直接写出点的坐标． 54．探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？” (1)完成下列空格： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为，由题意得方程：，化简得：． ，______，_____． 满足要求的矩形B存在． 小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：，（以下同小明的做法） (2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格） ①这个图象所研究的矩形A的面积为________；周长为________． ②满足条件的矩形B的两边长为________和________． 55．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集：______； (3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标． 题型八、反比例函数的实际应用 例：为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 57．甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（   ） A． B． C． D． 58．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 59．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与的函数表达式是 C．当时， D．当时，则 60．小明要把字的调查报告录入电脑． (1)写出完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字分）的函数关系式； (2)小明在录入报告时，实际平均每分钟录入的字数比原计划多，结果所用录入时间比原计划减少了分钟，求小明实际平均每分钟录入多少个字？ 61．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示． (1)求I与R之间的函数表达式； (2)求时，对应的R的取值范围． 62．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 63．如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆围成一个一边靠墙、面积为 的矩形花园、其中墙长为，现在可用的篱笆总长为， (1)若设 ，请写出关于的函数表达式、 (2)若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为 的花园? 若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由． (3)假设围成矩形花园 三边的材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案． 64．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 65．在一次物理实验中，小林同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： … 2 4 6 … … 4 3 … (1)__________，__________； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________． (3)请结合函数图象分析，当时，的解集为__________． 试卷第2页，共49页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 反比例函数知识归纳与题型突破（8题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 26.1.1 反比例函数 1.一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数. 注：（1）k也叫做比例系数； （2）分母是含有自变量x的一次单项式，必须是单独的x，若分母为“x+2”，则不是y关于x的反比例函数. 2.反比例函数中，自变量x的取值范围是x≠0. 3.反比例函数（k为常数，k≠0）还可表示成y=kx-1或xy=k（k为常数，k≠0）. 反比例函数中自变量x的指数为-1. 4.用待定系数法确定一个反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数法的反比例函数解析式（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式. 26.1.2 反比例函数的图象和性质 1.用描点法画反比例函数图象的基本步骤是（1）列表，（2）描点，（3）连线. 2.反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 注：反比例函数的增减性是在每一个象限内. 函数名称 自变量取值 图象形状 位置分布 增减性 k>0 k<0 k>0 k<0 反比例函数 （k≠0） x≠0 双曲线 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 正比例函数 y=kx （k≠0） 任意 实数 直线 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 3.双曲线无限靠近坐标轴但与坐标轴永不相交 4.反比例函数图像过第一象限必过第三象限；过第二象限，必过第四象限. 5.如果点（a，b）在反比例函数图象上，则（b，a）、（-a，-b）和（-b，-a）均在图象上. 6.反比例函数图象的两个分支，关于原点对称. 7.；若连接OA， 这也称反比例函数的“面积不变性”. 8.反比例函数与正比例函数的异同： 正比例函数 反比例函数 一般形式 y=kx（k≠0） y = （k为常数，k≠0） 自变量x的取值范围 任意实数 x≠0 函数y的取值范围 任意实数 y≠0 自变量x的次数 1 -1 函数y与自变量x的数量关系 商为定值k（k≠0） 积为定值k（k≠0） 正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y = （k为常数，k≠0）都由一个常数决定，前者是整式形式，两变量的商为定值k（≠0），后者是分式形式，两变量的乘积为定值k（≠0）. 形式的差异决定了它们本质的区别：一条直线、双曲线；直线过原点，而双曲线不过原点. 当k>0时，两类函数的图像都分布在第一、三象限；当k<0时，两类函数的图像都分布在第二、四象限. 当k>0时，正比例函数的y随x的增大而增大，而反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正比例函数的y随x的增大而减小，而反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而增大. 正比例函数的自变量取任意实数，因此图象是连续的，而反比例函数的自变量和函数值都不能为0，因此图象与坐标轴渐近而没有交点，是间断的两支曲线. 对称性：对称轴，对称点 k值对函数图象的影响，随着｜k｜的变化，函数图象相对于坐标原点的变化； 03 题型归纳 题型一、用反比例函数描述数量关系 例：如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 2．如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质．先根据题意得出矩形的面积，求得的面积，然后再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， 矩形的面积为， 的面积为， ， ，即， ． 故选：A． 3．某函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，则该函数的表达式可能是（   ） x 0 1 2 y 0 2 4 6 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是关键． 将点代入解析式不能满足选项B、D，选项C自变量x不能为0，即可确定正误． 【详解】解：A、将表格中的对应值代入验证都满足关系式，故符合题意； B、将代入解析式，左边，右边，不满足解析式，故不符合题意； C、函数的自变量x不能取0，故不满足解析式，不符合题意； D、将点代入解析式，左边，右边，不满足解析式，不符合题意． 故选：A． 4．若y与成反比例，x与 成正比例，则y与z成（　　） A．正比例 B．反比例 C．不成比例 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的定义．关键是先求出函数的解析式，再根据函数定义判定即可． 先求出y与z的函数解析式，再根据正比例函数的定义判定即可． 【详解】解：由题意可设，，且，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴是正比例函数， 故选：A． 5．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 【答案】 反 【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． 【详解】解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 6．已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 题型二、根据反比例函数的定义求参数 例：已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数． 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，解得：， 故答案为：． 8．已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【分析】本题考核知识点：反比例函数定义，解题关键点：理解反比例函数定义，根据反比例函数的定义可得，可解得． 【详解】解：根据反比例函数的定义可得， 解得． 故选C． 9．已知函数 是反比例函数，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 故选：B ． 10．已知，当 时，是的反比例函数． 【答案】1 【分析】此题考查了反比例函数的定义，形如或的函数叫做反比例函数．据此得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，在，当，即时， 是的反比例函数． 故答案为：1． 11．已知是反比例函数，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：4． 12．已知函数为反比例函数，则的值为 （填具体数值）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义可得且，求解即可． 【详解】解：函数为反比例函数， 故， 即， 解得，， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，负整数指数幂，解一元一次不等式，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数可变形为为常数，是解题的关键． 题型三、求自变量（函数）值 例：已知反比例函数． (1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据是反比例函数的比例系数，在分母上求出取值范围即可； （2）把，代入解析式，求出值，即可得解； （3）把，代入解析式，求出值，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：把，代入得：； ∴当时函数的值为：； （3）解：把，代入得：，解得：； ∴当时的值为：． 【点睛】本题考查反比例函数的定义以及求自变量或函数值．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键． 14．当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质，将代入反比例函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 15．已知与成反比例函数，且，，当增加时，将（    ） A．减少 B．增加 C．增加约 D．减少约 【答案】D 【分析】根据反比例的定义列出函数关系式，再根据自变量x的变化计算得出y的变化即可． 【详解】解：设，当增加时，相应的， 则y减少的百分率是； 故选：D． 【点睛】本题考查利用反比例函数的定义计算，难度不大，正确列式计算是关键． 16．双曲线经过点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为，当时，I的值为 A． 【答案】5 【分析】本题考查了求反比例函数值，掌握反比例函数图像的点必然满足函数解析式成为解题的关键． 把代入函数表达式即可求出I的值． 【详解】解：当时，． 故答案为：5． 18．已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 题型四、由反比例函数的图象求参数 例：已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 20．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，由图象分布的位置可得，再由时，由图象可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二象限，反比例函数和的图象分布在第一象限， ， 当时，由图象可得， ， 故选：B． 21．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解一元二次方程，先根据反比例函数的定义列出方程求出的可能取值，再根据图象经过的象限决定常数的取值范围，进而得出的值，解题的关键是正确理解当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限；当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大． 【详解】依题意有，解得或， ∵函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴的值是， 故选：． 22．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点在第三象限是解题的关键． 根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】解：在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， ， 解得． 故选：B． 23．若反比例函数的图形位于第一、三象限，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图形与性质，可得，求解不等式即得答案． 【详解】反比例函数的图形位于第一、三象限， ， 解得． 故选：A． 24．若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 点，在反比例函数的图象上，且， 点、不在同一象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ， 解得． 故答案为：． 25．在反比例函数的图象上有两点，，若而，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象的单调性判定该函数所经过的象限，然后推知的符号，从而求得的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象上有两点，，若而， ， 该反比例函数经过第二、四象限， ，即． 故答案为：． 26．如图所示的平面直角坐标系中存在线段，已知端点，，若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点，写任意出一个符合条件的的整数值： ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．把点，代入即可得到k的值，从而得结论． 【详解】若反比例函数经过，则， 若反比例函数经过，则 ∴若反比例函数 图象的一支与线段（不含端点）有交点， 则 ∴ 故答案为：4（答案不唯一）． 题型五、反比例函数的增减性与参数的关系 例：已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质即可得． 【详解】解：， 函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 点在函数的图象上， 又，， ∴， ， ∴， ∴的值可以是1； 故答案为：C． 28．下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：A．，，开口向下，可知当时，随的增大而减小，故不符合题意； B．，，开口向下，可知当时，随的增大而减小，故不符合题意； C．，可知抛物先开口向下，当时，随的增大而增大，故符合题意； D．，可知抛物先开口向上，当时，随的增大而减小，故不符合题意； 故选C． 29．若，则下列函数：①，②，③，④，中，y随x的增大而增大的函数有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数性质，一次函数的性质，二次函数的性质，根据函数的增减性逐一判断即可． 【详解】①，当时，y随x的增大而增大； ②，当时，y随x的增大而增大； ③，当时，增减性无法确定； ④，当时，y随x的增大而增大； 故选：C． 30．点双曲线上，若，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．根据的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，图象在第一象限内，y随着x的增大而减小，且；当时，图象在第三象限内，y随着x的增大而减小，且， ∵ ∴ 则， 故选：C. 31．点，，均在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质．利用，在图象的每一支上，随的增大而减小，双曲线在第一三象限，分别分析即可得出答案． 【详解】解：， 双曲线在第一三象限，在图象的每一支上，随的增大而减小， ∵点，在第三象限，而且， ， 又∵在第一象限， ， ， 故选：B． 32．已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意，得到反比例函数图象过二，四象限，得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，， ，解得． 故选D． 33．已知反比例函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．对于反比例函数，当时，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，当时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，随着的增大而增大，根据反比例函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：反比例函数的图象上，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 34．已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 35．已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据题意得：反比例函数图象位于第一、三象限内，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得：反比例函数的图象位于第一、三象限内， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，且点位于第一象限内，点、位于第三象限内， ∴，， ∴． 故选：C． 36．若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据可得反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：已知反比例函数解析式为， ∵， ∴反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中， 随的增大而减小， 当时，；当时，； ∵， ∴，， 如图所示， ∵， ∴， 故选：C ． 37．，为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，由已知条件可得出反比例函数的图象位于一、三象限，进而可得出，解不等式即可求出． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， 解得：， 故选：C． 38．若点和在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当，在每一象限内y随x的增大而减小；当，在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】解： ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限y随x的增大而减小， 两点均在同一象限，当两点都在第一象限时，，当两点都在第三象限时，， 的取值范围是或． 故答案为：或 39．关于反比例函数的下列说法：①该函数的图象在第二、四象限；②若两点在该函数图象上，且，则；③当时，；④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则b的范围是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，由可以判断①；根据反比例函数增减性可以判断②；根据反比例函数性质可以判断③；根据一元二次方程根的判别式可以判断④． 【详解】解：， ∴其图象在第二、四象限，故①正确； 由，不能确定与的大小，故②错误； 时，， ∴当时，，故③正确； 由，得， ， ， ，故④正确． 综上分析可知：正确的是①③④． 故答案为：①③④． 题型六、反比例函数的比例系数与图形面积 例：如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， 故选：C． 41．如图，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，欲求，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，结合反比例函数系数k的几何意义即可求出，熟知在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解答此题的关键． 【详解】解：点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得： ， ， 故答案为：4． 42．如图，是反比例函数的图象上的点．过点分别向、轴作垂线，所得到的图中阴影部分面积为，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数中的比例系数的意义，设出点的坐标，阴影部分面积等于点的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可． 【详解】解：设点的坐标为,． ,在反比例函数的图象上， ， ， 点在第四象限， ．则解析式为； 故答案是：． 43．如图，是反比例函数图象上的一点，垂直于轴、垂足为，的面积为．若点也在此函数的图象上．则的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义，可得，从而得到，再将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴， ， 的面积为． ，即， 反比例函数的解析式为， 点也在此函数的图象上， ，解得：． 故答案为： 44．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴的垂线变轴于点，连接，若的面积为6，则的值为 ． 【答案】6 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：由反比例函数中的几何意义得：， 根据反比例函数的对称性可知：， ， ． 故答案为：6． 45．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案． 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 故答案为： 46．已知反比例函数的图象经过两点，下列结论：①若则；②若，则；③过点A作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若，则四边形的面积为17．其中正确的结论是 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查反比例函数的性质以及比例系数的几何意义．利用反比例函数的增减性、对称性、反比例函数比例系数的几何意义分别回答即可． 【详解】解：①，比例系数， 图象分别位于第一、三象限，在所在的每一个象限随着的增大而减小， 当时，，故①错误； ②当、两点关于原点对称时，，则，故②正确； ③若，则．过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，则四边形的面积为，故③是正确； 故答案为：②③． 47．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为 ．    【答案】24 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，过点作轴于，延长线段，交轴于，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，由，得到，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于，延长线段，交轴于，    ∵轴， 轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ， 同理， ∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：24． 48．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 题型七、反比例函数与一次函数的综合问题 例：如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在y轴上，若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，涉及待定系数法求解析式和求图象围成面积， （1）利用点求得反比例函数的解析式为，即可求得点，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式为； （2）根据一次函数解析式求得点，即可求得，结合点A得坐标可列出，可得点M的坐标． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得，经检验，是方程的解， ∴， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，可得，解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴点M的坐标为或． 50．如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值； (2)点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）首先根据一次函数解析式确定值，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入，即可求得的值； （2）首先求得点的坐标，根据，转化为，结合函数图像，直接求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， 可得，解得， 即的值为4； （2）如下图， ∵，， ∴当时，可有， 即， 联立直线与双曲线， 可得，解得或， ∴，， ∴结合图像可知，当时，或． 51．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点 和， (1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合是解题的关键． （1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，然后利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）不等式的解集为直线位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 52．如图，一次函数（是常数且）与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，和的值； (2)直接写出关于的不等式的解集：_______； (3)点是轴上的一个动点，若的面积为9，则点的坐标为_________． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合、利用图象解不等式、坐标与图形，掌握反比例函数与一次函数图象与性质是解题的关键． （1）将点，坐标分别代入函数表达式即可得到答案； （2）根据图象位置关系，找出直线在反比例函数图象的上方时的取值范围即为答案； （3）设点坐标为，一次函数交轴于点，作轴，轴，得到，，，然后利用，列出方程解之即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数都经过， 则， 解得：，， （2）解：根据图象可知，当或时，直线在反比例函数图象的上方，满足 不等式的解集为或． 故答案为：或． （3）解：根据题意，设点坐标为，一次函数交轴于点，作轴，轴，如图 ， ， 由（1）可知， 当时，，即 ，即 解得：或 故答案为：或． 53．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交于为点，且与正比例函数的图象的交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出：当时的取值范围； (3)若点是轴上一点，且的面积为6，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P 的坐标为或 【分析】此题主要考查了一次函数的综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式数形结合思想应用和几何图形的结合， （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法A、C两点坐标代入即可得到一次函数解析式； （2）利用数形结合的思想，结合点C的坐标即可求得满足题意得解集； （3）利用的面积和点B 的坐标，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象过点， ∴，解得， 则点， 则，解得， 那么，一次函数的表达式为； （2）解：∵点，且， ∴； （3）解：当时， ，则点， ∵的面积为6，点， ∴， 解得：， ∴点P 的坐标为或． 54．探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？” (1)完成下列空格： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为，由题意得方程：，化简得：． ，______，_____． 满足要求的矩形B存在． 小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：，（以下同小明的做法） (2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格） ①这个图象所研究的矩形A的面积为________；周长为________． ②满足条件的矩形B的两边长为________和________． 【答案】(1)2； (2)不存在矩形B (3)①8；18；②， 【分析】（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可； （2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，解方程即可； （3）①由图可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出，，即可． ②利用解二元二次方程，可求出满足条件的矩形B的两边长． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：2；． （2）解：设B矩形的一边长为x，则另一边为 ， ， ， 不存在矩形B． （3）解：①设直线的关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为， 设反比例函数解析式为，把代入得：，解得：， ∴反比例函数解析式为， 根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：， ∴图形B的两边之和为，面积为4， ∴图形A的周长为：，面积为； 故答案为：8；18． ②把代入得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴满足条件的矩形B的两边长为，． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程解，利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式，是解题关键． 55．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集：______； (3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）反比例函数值大于等于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）设，先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：函数的图象经过， ，解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； （2）解：函数的图象经过， ， ， 由图可得，不等式的解集是：或； （3）解：设， 如图： 在中， 当时，得， 解得：， ， ， ，， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 题型八、反比例函数的实际应用 例：为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 【答案】(1)； (2)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． （1）当时，y与x为反比例函数关系式，，可得反比例函数解析式； （2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与比较大小即可判断此次消毒是否有效． 【详解】（1）解：当时， 设，将代入， 则， ∴； （2）解：此次消毒有效．理由如下： 当时， 设，将代入， 则，解得：， ∴； 当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴此次消毒有效． 57．甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象．根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意有：， 所以， 故与之间是反比例函数，其图象在第一象限． 故选：D． 58．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为，把代入求出，得出该反比例函数的解析式为，再把代入求出，根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小， ∴为了安全起见，气球的体积应不小于， 故选：B． 59．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与的函数表达式是 C．当时， D．当时，则 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的表达式是解决问题的关键，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解． 【详解】设反比例函数的解析式为， 把点坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：，故B不正确； 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，， 由图象知，当时，，故C不正确； 当时，，当时，， 图象表明当时，则，故D正确； 故选：D． 60．小明要把字的调查报告录入电脑． (1)写出完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字分）的函数关系式； (2)小明在录入报告时，实际平均每分钟录入的字数比原计划多，结果所用录入时间比原计划减少了分钟，求小明实际平均每分钟录入多少个字？ 【答案】(1) (2)个 【分析】（）根据录入的时间录入总量录入速度即可得出函数关系式； （）设原计划录入文字的速度为字分，则实际录入文字的速度为字分，根据所用录入时间比原计划减少了分钟列出方程求解即可； 本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，根据工作时间得到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）由题意得，， ∴完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字分）的函数关系式为； （2）解：设原计划录入文字的速度为字分，则实际录入文字的速度为字分， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的根，符合题意， ∴（字分）． 答：小明实际平均每分钟录入个字． 61．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示． (1)求I与R之间的函数表达式； (2)求时，对应的R的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键. （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入，求得R的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果. 【详解】（1）解：根据题意可设， 点在函数的图象上， ， 解得， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，， ， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时， 62．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 【答案】(1) (2)，且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握反比例函数性质． （1）运用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）将点代入反比例函数中即可得到，结合题意解释的实际意义． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为：， 将代入可得：， 与之间的函数表达式为． （2）解：点在反比例函数上， ， 解得：， ， 且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为． 63．如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆围成一个一边靠墙、面积为 的矩形花园、其中墙长为，现在可用的篱笆总长为， (1)若设 ，请写出关于的函数表达式、 (2)若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为 的花园? 若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由． (3)假设围成矩形花园 三边的材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1)； (2)能，长为，宽为； (3)，． 【分析】（）根据矩形的面积公式即可求解； （）设，则，根据矩形的面积列出一元二次方程即可求解； （）由，且都为正整数，，可得可取，，，对应的值为，，，再根据即可求解； 本题考查了反比例函数应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出反比例函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 即关于的函数表达式为； （2）解：能． 设，则， 由题意得，， 解得， ∴，， 即长为，宽为； （3）解：∵，且都为正整数，， ∴可取，，，对应的值为，，， 又∵， ∴，， ∴满足条件的所有围建方案为：，． 64．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)； (2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润 【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意． （1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润=（销售单价日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x． 【详解】（1）解：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为； （2）∵， 又∵， ∴当，W最大， 故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润． 65．在一次物理实验中，小林同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： … 2 4 6 … … 4 3 … (1)__________，__________； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________． (3)请结合函数图象分析，当时，的解集为__________． 【答案】(1)1，2 (2)①见详解；②不断减小 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解， （2）①用描点法，画出图象； ②根据表格里函数的图象性质，即可求解， （3）作函数的图象，根据图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 故答案为：1，2， （2）解：①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图1： ②由图象可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）解：作函数的图象，如图2， 由函数图象可知， 当或时，， 即当时，的解集为：或， 故答案为：或． 试卷第2页，共49页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$