第二十六章 反比例函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十六章 反比例函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面每组中的两种量成反比例的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．利率一定，存款的本金和利息 C．圆柱的体积一定，它的底面积和高 D．折扣一定，商品的原价和折后价 2．在平面直角坐标系中，有五个点，其中有四个点在同一反比例函数图象上，则不在这个反比例函数图象上的点是（   ） A．点E B．点D C．点C D．点B 3．已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 4．一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 8．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点P，交于点E，直线交y轴于点D，交x轴于点F，连接．则下列结论： ①；②四边形为平行四边形；③若，则；④若，，则．其中正确的是（   ） A．①②④ B．①② C．②④ D．①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是 ． 12．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是 ． 13．如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ． 14．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为 cm． 15．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过点作，交轴于点．若都是等腰直角三角形，其中点，在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 16．如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 18．如图，已知点是反比例函数图象上一点，是坐标原点，轴，，且图象经过；求： (1)反比例函数解析式． (2)的值． 19．一次函数与反比例函数为交于点． (1)分别求两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，x的取值范围 (3)在坐标轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标． 20．已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图． (1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值． (2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，抛物线（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OB的中点M作MP⊥x轴，交双曲线于点P． (1)当t＝1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离； (2)当直线MP与L对称轴之间的距离为1时，求t的值． (3)把L在直线MP右侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最低点的坐标； (4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足﹣6≤x0≤﹣4，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围． 22．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x天(x为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示． 销售量n(件) 销售单价m(元) 当时， 当时， (1)请计算第几天该商品的单价为25元？ (2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式． (3)这30天中，第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 23．如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点． (1)的值为______． (2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，． ①求的面积； ②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【分析】如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，显然四边形，，，均为矩形，且，可设为h，则，从而可得：，…… 请根据上述思路，写出完整的解题步骤． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 25．如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． (1)一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； (2)在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 试卷第2页，共35页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 反比例函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面每组中的两种量成反比例的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．利率一定，存款的本金和利息 C．圆柱的体积一定，它的底面积和高 D．折扣一定，商品的原价和折后价 【答案】C 【分析】本题考查了反比例，熟练掌握反比例的定义是关键．根据两种量成反比例的定义：如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，判断即可． 【详解】解：A、长方形的周长一定，它的长和宽的和是定值，故不符合题意； B、利率一定，存款的本金和利息成正比例，故不符合题意； C、因为圆柱的体积底面积高，所以圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，故符合题意； D、折扣一定，商品的原价和折后价不成反比例，故不符合题意； 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，有五个点，其中有四个点在同一反比例函数图象上，则不在这个反比例函数图象上的点是（   ） A．点E B．点D C．点C D．点B 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．在同一反比例函数上，k的值就相等．由题意得：，横纵坐标相乘得比例系数．只需把所给点的横纵坐标相乘，结果相等的，就在此函数图象上． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； E、． 由以上可知C点与其余四点不在同一函数图象上． 故选：C． 3．已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确； B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误； D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确 故选：C． 4．一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，得出二次函数对称轴在y轴右侧，由得二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴，对比四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象和反比例函数的图象得：， ∴二次函数开口向上，故排出A、C选项 ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴， 综上可得B选项符合题意， 故选：B． 5．在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数的的取值范围，能根据反比例函数的增减性判断所在象限是解答本题的关键． 先根据“当，”得到反比例函数在二、四象限，进而得到，求解即可解答本题． 【详解】解：时，， 反比例函数在二、四象限， ， 解得：， 故选：A． 6．物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图示得出，，利用不等式的性质得出，，，则可得出丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，丁的电阻大于乙的电阻，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由图象知：，， ∴，， ∴丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻， 同理丁的电阻大于乙的电阻， ∴这四个用电器中电阻最大的是丙， 故选：C． 7．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 8．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，连接，由反比例函数的性质可知，，由，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 由反比例函数的性质可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由两式解得， 则， 故选：． 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，如图，先求解为，直线为，直线为；再判断内部或边界上的整点有，，，，，，；从而可得答案； 【详解】解：如图，设直线为， ∵， ∴， ∴为， 同理可得：直线为， 直线为； ∴内部或边界上的整点有，，，，，，； ∴，，，， 故选C 10．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点P，交于点E，直线交y轴于点D，交x轴于点F，连接．则下列结论： ①；②四边形为平行四边形；③若，则；④若，，则．其中正确的是（   ） A．①②④ B．①② C．②④ D．①③ 【答案】A 【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断四边形是平行四边形，求出，结合平行四边形面积即可判断①；根据平行四边形的判定可判定②正确；再根据和点坐标特征求出、的长，可判断③；根据，得出，再结合，得出，即可判断④． 【详解】解：四边形是矩形，反比例函数， 设，，则点，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则， ， ， 则， 四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， ，故①正确； 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ， ， ， ，且，则， ， ， 直线的解析式为， ，且， ， ，故③错误； ， ， 解得， ， 即， ， ， （舍去）或，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数与概率结合，解题的关键是掌握反比例函数的性质，以及画树状图求概率的方法．首先利用树状图法求出所有可能的结果，然后求出点落在反比例函数图象上的结果，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中点P在反比例函数图象上的有4种结果：， ∴点落在反比例函数图象上的概率是． 故答案为：． 12．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标之积相等是解题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答； 【详解】解：点与点均在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 故答案为：0 13．如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了圆与直线的位置关系、反比例函数图象的位置关系的一道综合题，熟练运用分类讨论的思想和准确把握动圆与坐标轴相切时点P的坐标特征是解此题的关键．分两种情况进行讨论：与x轴相切或与y轴相切，分别求解即可． 【详解】解：∵与坐标轴相切， ∴分两种情况讨论： ①当与x轴相切时， 则点P的纵坐标为2， ∴ ， ∴点P的坐标为． ②与y轴相切时， 则点P的横坐标为2， ∴ ∴ ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为：或， 故答案为：或． 14．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为 cm． 【答案】35 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数F关于L的函数解析式，再结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴弹簧秤的示数F关于L的函数解析式为， 且该函数图像在第一象限，F随L的增大而减小， 当时，可有， ∵L越大，弹簧秤的示数F越小， ∴当时，， 即弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为35cm． 故答案为：35． 15．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过点作，交轴于点．若都是等腰直角三角形，其中点，在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图像上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意找到点的横坐标的规律，然后再求出的横坐标即可． 【详解】解：如图，过点A，，，，分别作轴，轴，轴，轴…，垂足分别为…．．． ∵直线的关系式为， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得……都是等腰直角三角形， 设， 则点，点A在反比例函数的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴点A的横坐标为1， 设， 则点，点A1在反比例函数的图像上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 以此类推：点横坐标为：． 故答案为：． 16．如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据正比例与反比例的定义设，，得到与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式进行计算即可． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例 设， 当时，；当时， 解得：， （2）解：由（1）可知，，则 当时，． 18．如图，已知点是反比例函数图象上一点，是坐标原点，轴，，且图象经过；求： (1)反比例函数解析式． (2)的值． 【答案】(1)反比例函数解析式是； (2)． 【分析】（）设反比例函数解析式为，由点在函数图象上，，，则，从而求解； （）把代入即可求解； 本题考查了反比例函数比例系数的意义，反比例函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）设反比例函数解析式为， ∵过点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式是； （2）由（）得：反比例函数解析式是， ∵在图象上， ∴， 解得：． 19．一次函数与反比例函数为交于点． (1)分别求两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，x的取值范围 (3)在坐标轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，根据题意细心分析是解题关键． （1）首先将A，B两点坐标代入反比例函数解析式，得出m，n的值，再利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围即可； （3）分两种情况讨论，设出P点坐标，再根据三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：（1）将，代，得， 反比例函数的解析式为， 将代入，得， ， 将A，B两点坐标代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∴两个函数的解析式分别为，； （2）解：根据题意得，一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求，此时x的范围是：或； （3）解：当P在x轴上时， 设， 的面积为6， ， ， 点坐标为或， 当P在y轴上时， 设， 的面积为6， ， ， 点坐标为或， 综上所述，P点的坐标为或或或． 20．已知，直线与反比例函数交于点，且点的横坐标为4，过轴上一点作垂直于交于点，如图． (1)若点是线段上一动点，过点作，，垂足分别于、，求线段长度的最小值． (2)在（1）的取得最小值的前提下，将沿射线平移，记平移后的三角形为，当时，在平面内存在点Q，使得A、、、Q四点构成平行四边形，这样的点Q有几个？直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)最小值为； (2)这样的点有3个，，，． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则，，利用勾股定理可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出的最小值，进而可得出段长度的最小值； （2）由点，横坐标间的关系可得出，由（1）的结论结合平移的性质，可得出平移后点，，的坐标，分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标，此题得解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入，，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则，， ，即． ， 当时，取得最小值，此时最小值，最小值为， 线段长度的最小值为． （2）解：由（1）可知，当最小时，点的坐标为． 点的横坐标为8，点的横坐标为4， ， 平移后点与点重合， 平移后点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为，分三种情况考虑，如图所示： ①当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ②当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为； ③当为对角线时，，，， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：符合题意的点有3个，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、勾股定理、坐标的平移以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，解决最值问题；（2）分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点的坐标． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，抛物线（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OB的中点M作MP⊥x轴，交双曲线于点P． (1)当t＝1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离； (2)当直线MP与L对称轴之间的距离为1时，求t的值． (3)把L在直线MP右侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最低点的坐标； (4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足﹣6≤x0≤﹣4，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)t＝2 (3)（t﹣2，﹣2） (4)不存在 【分析】（1）当t＝1时，令y＝0，得：，解得：x1＝1，x2＝﹣3，A（1，0），B（﹣3，0），求出AB的长为4；由，写出抛物线对称轴为直线x＝﹣1，根据M为OB中点，写出，求出直线MP与L对称轴之间的距离为； （2）求出抛物线的对称轴为直线x＝t-2，求出抛物线与x轴交点为A（t，0），B（t﹣4，0），写出线段OB的中点，根据M与对称轴的距离为1， 解得t＝2． （3）配方，当，即t≤0时，不合题意，当，即t＞0时，图象G最低点为抛物线L的顶点（t﹣2，﹣2）； （4）满足条件的t的取值范围不存在．根据交点横坐标为和二次函数反比例函数解析式得到 ，求出，推出时，， 时，，从t值最大到最小分段讨论得到，，由于t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在． 【详解】（1）当t＝1时，令y＝0，得：， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， ∴A（1，0），B（﹣3，0）， ∴AB＝4； ∵抛物线L：， ∴抛物线L的对称轴为直线x＝﹣1， ∵M为OB中点， ∴， ∴直线MP与L对称轴之间的距离为； （2）∵抛物线的对称轴为：直线x＝＝t﹣2， 抛物线L与x轴交点为A（t，0），B（t﹣4，0） ∴线段OB的中点， 由题意得：， 解得：t＝2或﹣2， ∵t＞0， ∴t＝2； （3）∵， ∴当，即t≤0时，不合题意，舍去 当，即t＞0时，图象G最低点为抛物线L的顶点（t﹣2，﹣2）； （4）满足条件的t的取值范围不存在． 如图∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵﹣6≤x0≤﹣4， 当时，，或， 当时，，t＝﹣1或﹣3， 随着t的逐渐减小，抛物线L的位置随着A（t，0）向左平移， 当t＝﹣1时，L左侧过点C； 当时，L左侧过点D，即； 当时，L左侧离开了点C，而右侧未到达点D， 即L与该段无交点，舍去； 当t＝﹣3时，L右侧过点C， 当时，L右侧过点D，即． 综上所述，或． 由于t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在． 【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握二次函数和反比例函数的图象性质，（1）问，当t＝1时，令y＝0，求得 A（1，0），B（﹣3，0），求出AB的长为4；把L的解析式配方，写出其对称轴为直线x＝﹣1，根据OB中点，求出直线MP与L对称轴之间的距离为；（2）问，求出抛物线的对称轴为直线x＝t-2，求出抛物线与x轴交点A（t，0），B（t﹣4，0），再求出线段OB的中点，根据M与对称轴的距离为1求出t＝2．（3）问，将解析式配方配方，分，两种情况讨论，即t＞0时，得图象G最低点为（t﹣2，﹣2）；（4）问，满足条件的t的取值范围不存在．根据交点横坐标为，联立二次函数反比例函数解析式求出，，对时与 时求出t值，然后按大到小的顺序分段讨论得到t的取值范围，由于此范围不合t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在． 22．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x天(x为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示． 销售量n(件) 销售单价m(元) 当时， 当时， (1)请计算第几天该商品的单价为25元？ (2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式． (3)这30天中，第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 【答案】(1)第10天或第28天时该商品单价为25元/件 (2) (3)第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元 【分析】本题考查二次函数；反比例函数的实际应用． （1）分两种情形分别代入解方程即可． （2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可． （3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当时，将代入，解得； ②当时，， 解得， 经检验是方程的解． ∴． 答：第10天或第28天时该商品单价为25元/件； （2）解：分两种情况： ①当时， ， ②当时，， 综上所述： ； （3）解：①当时， 由， ∵， ∴当时，有最大值（元）； ②当时， 由，可知随的增大而减小． ∴当时，有最大值（元）． ∵， ∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元． 23．如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点． (1)的值为______． (2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，． ①求的面积； ②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据坐标与图形、正方形的性质得到点B坐标，然后代入求解即可； （2）①根据轴对称性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，则有，进而求解即可； ②设，分三种情况：若、若、若，利用两点坐标距离公式和勾股定理列方程，然后解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是面积为4的正方形， ∴，则, 将代入中，得； （2）解：①根据翻折性质，得， ∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4， ∵点E、F在函数的图象上， ∴当时，，当，， ∴，， 过F作轴于H，则， ∴； ②存在．设， ∴， ， ， ∵为直角三角形， ∴分三种情况： 若，则， ∴，解得， ∴； 若，则， ∴，即， ∵， ∴该方程无解，即P不存在； 若，则， ∴，解得， ∴， 综上，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数比例系数k的几何意义、坐标与图形、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【分析】如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，显然四边形，，，均为矩形，且，可设为h，则，从而可得：，…… 请根据上述思路，写出完整的解题步骤． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或． 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． 25．如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． (1)一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； (2)在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)①，；②点的坐标为或或 【分析】（1）将点代入一次函数与反比例函数中求解，即可解题； （2）根据点C的横坐标为3，求出点C，的坐标，结合勾股定理进而得到，，设，记点E到的距离，利用等面积法推出，再根据“点E到的距离等于它到x轴的距离”建立等式求解，即可解题； （3）①记点O到对应点向右平移了个单位长度，得到，根据平移的特点进而得到，，再根据在一次函数图象上，建立等式求解，即可解题； ②设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，记直线向右平移个单位长度得到直线，得到直线的解析式，进而得到，即，联立与，求出，进而推出，，结合勾股定理得到、、，再根据以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，分以下三种情况①当、为菱形的边时，②当、为菱形的边时，③当、为菱形的边时，结合菱形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点， ，， 解得，， 一次函数表达式为；反比例函数表达式为； 故答案为：；． （2）解：存在， 点C的横坐标为3， ，即， 轴，且在反比例函数上， ，，即， 点E在线段上， 设（）， ，， 记点E到的距离， 有， 即， 解得， 点E到的距离等于它到x轴的距离， 或， 解得或（不合题意，舍去）， ； （3）解：①记点O到对应点向右平移了个单位长度， 点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上， ， 由平移的性质可知，，， 在一次函数图象上， ， 解得或（不合题意，舍去）， ，； ②， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 记直线向右平移个单位长度得到直线， 由平移的性质可知，直线的解析式为， 射线与x轴交于点F， ，即， 联立与，有， 整理得， 将代入中有：， 即， ，， ，，， 以、、F、Q为顶点的四边形是菱形， ①当、为菱形的边时， 有，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即； ②当、为菱形的边时， 有，即， 整理得， 解得， 即； ③当、为菱形的边时， 有，即， 解得， 即； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，等面积法，勾股定理，平移的性质，菱形的性质和判定，坐标与图形等，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 试卷第2页，共35页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$