2025年中考数学一轮复习——分式方程

2025年中考数学一轮复习——分式方程 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•琼海校级期末）方程的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．无解 2．（2024•良庆区校级模拟）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（　　） A．＝3x﹣1 B．＝3（x﹣1） C．＝3x D．＝3（x﹣1） 3．（2024•弥勒市二模）为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（　　） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 4．（2024春•台儿庄区期末）将方程+3＝去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x 5．（2024•绥化三模）《九章算术》中有这样的一段记录，译为白话文是：把一份边疆密件用慢马运送到800里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马加急运送，所需的时间比规定时间少5天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•瑞安市校级开学）开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024春•锦江区期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（2024•东莞市模拟）在体育课上，甲、乙两名同学进行跳绳比赛．在相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40下．已知甲每分钟比乙多跳20下，设甲每分钟跳x下，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．（2024•路南区开学）小华读一本书，计划10天读完，实际每天比计划多读3页，结果提前2天读完，这本书共有（　　）页． A．110 B．118 C．120 D．125 10．（2024•凤城市一模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　） A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3） 二．填空题（共5小题） 11．（2024•重庆模拟）若关于x的不等式组有且只有5个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有符合条件的整数a的值之和是 　 　． 12．（2024春•庐阳区校级期末）已知关于x的分式方程有增根，则k＝　 　． 13．（2023秋•钢城区期末）若关于x的方程有增根，则m的值为 　 　． 14．（2024•沙坪坝区校级开学）若实数a使得关于x的分式方程的解为负数，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　 　． 15．（2024•成都模拟）分式方程的解为 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．（2024春•沙坡头区校级期中）某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同． （1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？ 17．（2024秋•五华区校级月考）甲、乙两名学生到离校2.1km的“荣光社区”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的3倍，甲出发14min后乙同学出发，两名同学同时到达，求甲同学步行的速度为多少千米每小时？ 18．（2024秋•赤峰月考）从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． （1）求高铁的平均速度； （2）某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 19．（2024•湖南模拟）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有A，B两组员工可完成这项任务．已知A组员工单独完成此项任务所需的时间是B组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务． （1）求A，B两组员工单独完成此项任务各需多少天； （2）根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知A组原有10人，两组合作2天后，A组决定增加员工，B组人数保持不变，两组继续合作，假设A组每个人的工作效率相同，则A组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ 20．（2023秋•邵阳期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用6400元购买A品牌垃圾桶的数量是用4800元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． （1）购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若该校决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的九折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 2025年中考数学一轮复习——分式方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•琼海校级期末）方程的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．无解 【考点】解分式方程；分式方程的解．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】依据题意，根据解分式方程的一般步骤与方法进行计算可以得解． 【解答】解：， ∴x＝2（x﹣1）． ∴x＝2x﹣2， ∴2＝2x﹣x． ∴x＝2． 经检验，x＝2是原方程的解， 故选：C． 【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法步骤是关键． 2．（2024•良庆区校级模拟）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（　　） A．＝3x﹣1 B．＝3（x﹣1） C．＝3x D．＝3（x﹣1） 【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【解答】解：设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：3（x﹣1）＝， 故选：B． 【点评】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键． 3．（2024•弥勒市二模）为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（　　） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】C 【分析】设原来的平均速度是x km/h，则现在的平均速度为（1+）x km/h，根据时间少用90min列出分式方程并求解即可． 【解答】解：设原来的平均速度是x km/h，则现在的平均速度为（1+）x km/h， 由题意得：， 解得：x＝72， 经检验x＝72是原方程的解，且符合题意， 即原来的平均速度是72km/h， 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（2024春•台儿庄区期末）将方程+3＝去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x 【考点】解分式方程；解一元一次方程．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】分式方程变形后，去分母得到结果，即可做出判断． 【解答】解：分式方程去分母得：1+3（x﹣1）＝﹣3x． 故选：B． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 5．（2024•绥化三模）《九章算术》中有这样的一段记录，译为白话文是：把一份边疆密件用慢马运送到800里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马加急运送，所需的时间比规定时间少5天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】设慢马的速度为x里/天，则分别可列出两马运送800里所需天数，再根据用快马加急运送，所需的时间比规定时间少5天即可列式． 【解答】解：设慢马的速度为x里/天， 则快马的速度为2x里/天， 则慢马运送800里需要天，快马送800里需要天， 由用快马加急运送，所需的时间比规定时间少5天， 可得， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出代数式并找出等式是解题关键． 6．（2024•瑞安市校级开学）开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据分式方程的应用，确定等量关系具体化即可． 【解答】解：设A品牌足球单价为x元，根据题意，得． 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 7．（2024春•锦江区期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】设乙班每小时植x棵树，则甲班每小时植（x+4）棵树，依题意得到＝，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：设乙班每小时植x棵树，则甲班每小时植（x+4）棵树， 依题意得，， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程．解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程． 8．（2024•东莞市模拟）在体育课上，甲、乙两名同学进行跳绳比赛．在相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40下．已知甲每分钟比乙多跳20下，设甲每分钟跳x下，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】设甲每分钟跳x 下，那么乙每分钟跳（x﹣20）下，根据：“相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40 下”，据此可列出方程． 【解答】解：设甲每分钟跳x 下，那么乙每分钟跳（x﹣20）下， 根据题意得：， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键． 9．（2024•路南区开学）小华读一本书，计划10天读完，实际每天比计划多读3页，结果提前2天读完，这本书共有（　　）页． A．110 B．118 C．120 D．125 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据“实际每天比计划多读3页”列方程求解． 【解答】解：设这本书共有x页， 则：， 解得：x＝120， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 10．（2024•凤城市一模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　） A．x B．x﹣3 C．x（x﹣3） D．x+（x﹣3） 【考点】解分式方程；整式．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【答案】C 【分析】方程两边都乘x（x﹣3），可得一个一元一次方程． 【解答】解：方程两边都乘x（x﹣3），可得2x＝3（x﹣3），为一个一元一次方程， 故选：C． 【点评】本题考查了解分式方程，关键是使分式方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程． 二．填空题（共5小题） 11．（2024•重庆模拟）若关于x的不等式组有且只有5个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有符合条件的整数a的值之和是 　5　． 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】5． 【分析】根据其解的情况求出a的取值范围；解分式方程，根据其解的情况确定a的可能值并求和即可． 【解答】解：解不等式，得x≥﹣2， 解不等式5（x﹣2）≤x+（a﹣3），得， ∴原不等式组的解集为， ∵原不等式有且仅有5个整数解，为﹣2、﹣1、0、1、2， ∴， ∴1≤a＜5； 解分式方程，得y＝3﹣a， ∵关于y的分式方程 有非负整数解， ∴y＝3﹣a≥0，且y＝3﹣a≠2 ∴a≤3且a≠1， ∴1≤a≤3且a≠1， ∴所有符合条件的整数a的值为a＝2或a＝3， ∴所有符合条件的整数a的值之和是3+2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的解，解不等式组，熟练掌握以上知识点是关键． 12．（2024春•庐阳区校级期末）已知关于x的分式方程有增根，则k＝　﹣3　． 【考点】分式方程的增根．版权所有 【专题】分式；运算能力． 【答案】﹣3． 【分析】先去分母得到k+3＝x﹣2，再根据分式方程有增根，得到x＝2，代入即可求出k＝﹣3． 【解答】解：去分母得，k+3＝x﹣2， ∵分式方程有增根， ∴x﹣2＝0，即x＝2， ∴k+3＝0， ∴k＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】此题考查了已知分式方程的根的情况求参数，正确理解分式方程增根的意义是解题的关键． 13．（2023秋•钢城区期末）若关于x的方程有增根，则m的值为 　6　． 【考点】分式方程的增根．版权所有 【答案】6． 【分析】先解分式方程，再根据增根的定义即可得到答案． 【解答】解：两边同时乘以x﹣3，得 x﹣1＝m﹣4， 由于关于x的方程有增根， 则x﹣3＝0，解得x＝3， 故将x＝3代入x﹣1＝m﹣4， 得m＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，掌握分式方程的增根是解题的关键． 14．（2024•沙坪坝区校级开学）若实数a使得关于x的分式方程的解为负数，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　5　． 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】5． 【分析】先求出分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得a＜4且a≠1，再求出不等式组的解集，根据不等式组至少有3个整数解，可得a＞﹣1，从而得到a的取值范围为﹣1＜a＜4且a≠1，进而得到符合条件的所有整数a的0，2，3，即可求解． 【解答】解：， 去分母得：2+2（x+1）＝a﹣x， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴且， 解得：a＜4且a≠1， ， ，解不等式①得：， 解不等式②得：y＜a+1， ∵不等式组至少有3个整数解， ∴a+1＞0， ∴a＞﹣1， 综上所述，a的取值范围为﹣1＜a＜4且a≠1， ∴符合条件的所有整数a的0，2，3， ∴符合条件的所有整数a的和为0+2+3＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 15．（2024•成都模拟）分式方程的解为 　x＝6　． 【考点】解分式方程．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】x＝6． 【分析】根据解分式方程步骤求解即可，注意检验． 【解答】解：去分母，得x﹣3（x﹣1）＝﹣9． 去括号得x﹣3x+3＝﹣9， 解得x＝6． 经检验，x＝6是原分式方程的解． 故答案为：x＝6． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程是关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2024春•沙坡头区校级期中）某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同． （1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）A种图书进价为30元，则B种图书进价为36元； （2）至多购进A种图书33本． 【分析】（1）设A种图书进价为x元，则B种图书进价为（x+6）元，根据“用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同”列方程求解即可； （2）设购进A种图书m本，则购进B种图书（200﹣m）本，根据“销售完后所获利润不少于1600元”列不等式即可求解． 【解答】解：（1）设A种图书进价为x元，则B种图书进价为（x+6）元， 由题意得：， 解得：x＝30， 检验：当x＝30时是原分式方程的根且符合实际， ∴x+6＝30+6＝36， ∴A种图书进价为30元，则B种图书进价为36元； （2）设购进A种图书m本，则购进B种图书（200﹣m）本， 由题意得：3m+9（200﹣m）≥1600， 解得：， ∵m为整数， ∴m的最大整数为33， ∴至多购进A种图书33本． 【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 17．（2024秋•五华区校级月考）甲、乙两名学生到离校2.1km的“荣光社区”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的3倍，甲出发14min后乙同学出发，两名同学同时到达，求甲同学步行的速度为多少千米每小时？ 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】甲同学步行的速度为6千米每小时． 【分析】设甲同学步行的速度为x千米每小时，则乙同学骑自行车的速度为3x千米每小时，根据甲早出发14min，但是二人同时到达列出方程求解即可． 【解答】解：设甲同学步行的速度为x千米每小时，则乙同学骑自行车的速度为3x千米每小时， 由题意得，﹣＝， 解得x＝6， 检验，当x＝6时，x•3x≠0， ∴x＝6是原方程的解，且符合题意， 答：甲同学步行的速度为6千米每小时． 【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，准确找出等量关系是解决问题的关键． 18．（2024秋•赤峰月考）从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． （1）求高铁的平均速度； （2）某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）高铁的平均速度为240千米/小时； （2）他能在开会之前到达会议地点，理由见解析． 【分析】（1）设客车平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为3x千米/小时，根据“从赤峰到沈阳路程约为480千米，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时”，列出分式方程，解分式方程即可； （2）求出陈老师所用的时间，然后进行判断即可． 【解答】解：（1）设客车平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为3x千米/小时， 由题意得：﹣＝4， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原分式方程的解， ∴3x＝3×80＝240， 答：高铁的平均速度为240千米/小时； （2）他能在开会之前到达会议地点，理由如下： 360÷240＝1.5（小时）， 1.5+1.5＝3（小时）， ∵从11点20分开始3个小时后是14点20分， ∴他能在开会之前到达会议地点． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，正确列出分式方程． 19．（2024•湖南模拟）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有A，B两组员工可完成这项任务．已知A组员工单独完成此项任务所需的时间是B组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务． （1）求A，B两组员工单独完成此项任务各需多少天； （2）根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知A组原有10人，两组合作2天后，A组决定增加员工，B组人数保持不变，两组继续合作，假设A组每个人的工作效率相同，则A组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）A组员工单独完成此项任务需30天，B组员工单独完成此项任务需20天； （2）A组至少增加17人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯． 【分析】（1）设B组员工单独完成此项任务需x天，则A组员工单独完成此项任务需1.5x天，根据若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务，列出分式方程，解方程即可； （2）设A组增加m人，根据两组在规定时间内生产完这批保温杯，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设B组员工单独完成此项任务需x天，则A组员工单独完成此项任务需1.5x天， 由题意得：+＝1， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×20＝30， 答：A组员工单独完成此项任务需30天，B组员工单独完成此项任务需20天； （2）设A组增加m人， 由题意得：++×（8﹣2）≥1， 解得：m≥， ∵m为正整数， ∴m的最小值为17， 答：A组至少增加17人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 20．（2023秋•邵阳期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用6400元购买A品牌垃圾桶的数量是用4800元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． （1）购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若该校决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的九折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】（1）80元，120元； （2）23个． 【分析】（1）设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要（x+40）元，根据“用6400元购买A品牌垃圾桶的数量是用4800元购买B品牌垃圾桶数量的2倍”即可列出分式方程，求解后检验即可解答； （2）设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买（60﹣n）个A品牌垃圾桶，根据“该校决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶”即可列出不等式，求解后取最大值即可解答． 【解答】解：（1）设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要（x+40）元．根据题意，得 ， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是该分式方程的解． ∴x+40＝120 答：购买一个A品牌需要80元，购买一个B品牌的垃圾桶需120元． （2）设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买（60﹣n）个A品牌垃圾桶．根据题意，得， 90%×80（60﹣n）+（1+20%）×120n≤6000， 解得：， ∵n取整数， ∴n的最大值为23， 答：该学校此次最多可购买23个B品牌垃圾桶． 【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，找出等量关系即可列出方程，或找到不等关系列出不等式． 考点卡片 1．数学常识 数学常识 此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等． 平时要注意多观察，留意身边的小知识． 2．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 3．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 4．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 5．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 6．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 7．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 8．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 9．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 10．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 11．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 12．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$