4.2.5正态分布教学课件-2024-2025学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册

课程名称：正态分布 学 科：数学 年 级：高二上学期 单元主题：随机变量及其分布 讲课人：邢启强 1 图上的钱币是德国的马克，钱币上的头像是德国有“数学王子”之称的高斯。和高斯头像一起出现在钱币上的，还有一段优美的曲线。如此重要的一条曲线是什么曲线呢？它是怎样得到的呢？这就是我们本节课需要探究的问题。 新课引入 讲课人：邢启强 1 问题1：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量). 用随机变量X表示这种误差，则X是离散型随机变量吗？如果不是，请说明理由. 连续型随机变量：它们的取值充满某个区间甚至整个实轴，但是取某一点的概率为0 讲课人：邢启强 1 2、生活中还有哪些随机变量也是连续型随机变量? 1、连续型随机变量和离散型随机变量有何区别? 离散型随机变量的所有可能的取值都能一一列举;连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值。 某人在站台等车的时间X是连续型随机变量;某种无线电元件的寿命;某地区同龄人群的身高、体重、肺活量等都是连续型随机变量. 讲课人：邢启强 1 问题2：随机抽取了100袋食盐，获得误差X (单位: g) 的观测值如下: -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 （1）：如何描述这100个样本误差数据？ 讲课人：邢启强 1 （1）：如何描述这100个样本误差数据？ 可研究误差X的最大值、最小值、均值、方差等。 也可以绘制频率分布直方图分析数据 讲课人：邢启强 1 （2）：频率分布直方图的步骤如何？ 第二步:确定组距和组数; 本问题中不妨令组距为2,将数据分为6组. 第一步:求极差; 极差指一组数据中的最大数据与最小数据的差.4.8-(-5.2)=10 第三步:确定区间分点，将数据分组： [-6,-4),[-4,-2),[-2,0),[0,2),[2,4),[4,6] 讲课人：邢启强 1 第四步:列出频率分布表： 分组 频数 频率 频率/组距 [-6,-4) 3  0.03  0.015 [-4,-2) 16  0.16  0.08 [-2,0) 34  0.34  0.17 [0,2) 30  0.3  0.15 [2,4) 14  0.14  0.07 [4,6] 3  0.03 0.015 讲课人：邢启强 1 第五步:画出频率分布直方图： 讲课人：邢启强 1 观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁. 其中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率 所有小矩形的面积之和为1. 第五步:画出频率分布直方图： 讲课人：邢启强 1 （3）随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，频率分布直方图的轮廓如何？ 频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线. 用钟形曲线来描述食盐质量误差的概率分布. 讲课人：邢启强 1 面积即为概率！ 由频率分布直方图得到钟形曲线，钟形曲线下可以看成无数个小矩形，所以钟形曲线与x轴围成的面积为1 （4）根据频率与概率的关系，如何用钟形曲线描述食盐质量误差的概率分布？ 任意抽取一袋食盐，误差落在区间[-2,-1]上的概率可用钟形曲线阴影部分的面积表示 讲课人：邢启强 1 问题3：图中的钟形曲线是一个函数图像吗？如果是，这个函数是否存在解析式？ 其中μ∈R，σ>0为参数. 讲课人：邢启强 1 自然对数的底数e 圆周率 最小质数的算术平方根 讲课人：邢启强 1 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.记为X~N(0, 1). 正态分布的定义 学习新知 讲课人：邢启强 1 求概率即求面积！ 而P(a≤X≤b)为区域B的面积. f (x) x μ a A 图 (4) B x b O 抽象概念，内涵辨析 若X~N(μ，σ2)，则如右图所示，曲线与x轴围成的面积为 X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积， 1 讲课人：邢启强 1 追问1：可以从哪些方面研究正态密度函数的性质？ 定义域，值域，单调性，最值，奇偶性，对称性 讲课人：邢启强 1 追问2：观察正态曲线，你能发现正态曲线的哪些特点？ （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（非负性） （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（对称性） （3）曲线在x=μ处达到峰值 (最高点) （4）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴(渐近线） 讲课人：邢启强 1 追问3：观察正态密度函数，证明正态曲线的特点？ （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（非负性） （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（对称性） （3）曲线在x=μ处达到峰值 (最高点) （4）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴(渐近线） 讲课人：邢启强 1 追问3：观察正态密度函数，证明正态曲线的特点？ （1）曲线在x轴的上方， 与x轴不相交.（非负性） 所以 f(x)>0 恒成立 （2）曲线是单峰的,它关于 直线x=μ对称.（对称性） 讲课人：邢启强 1 追问3：观察正态密度函数，证明正态曲线的特点？ （4）当|x|无限增大时， 曲线无限接近x轴(渐近线） （3）曲线在x=μ处 达到峰值(最高点) 讲课人：邢启强 1 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 μ=1 0.5 1-a a 1-a 1-2a 1.若X～N(1, σ2)，且P(X<0)=a，则 (1) P(X>1)=_______； (2) P(X>0)=______； (3) P(X>2)=______； (4) P(X<2)=______； (5) P(0<X<2)=______； (6) P(0<X<1)=______. 0.5-a 快问快答，检验效果 讲课人：邢启强 1 问题4：一个正态分布由参数μ和 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？ 当参数 固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移 讲课人：邢启强 1 问题4：一个正态分布由参数μ和 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？ μ取定值时，当 较小时，峰值高，曲线“瘦高”，随机变量X分布比较集中 μ取定值时，当 较大时，峰值低，曲线“矮胖”，随机变量X分布比较分散 正态曲线的峰值 ，与 成反比,而且对于任何的 ，正态曲线与x轴之间的区域的面积是1. 讲课人：邢启强 1 问题4：一个正态分布由参数μ和 σ 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？ 若X~N(μ, σ²)则E(X) =μ、D(X)=σ². μ反映了正态分布的集中位置,可以用均值来估计; σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度,可以用标准差来估计. 讲课人：邢启强 1 1. 若X～N(2, 32)，则E(X)=______，D(X)=_______. 2 9 2. X～N(μ, σ2)，若E(X)=3， D(X)=2，则μ=______， σ=_____. 3 快问快答，检验效果 讲课人：邢启强 1 在气象中,某地每年七月的平均气温、平均湿度、降雨量等… 正态分布在概率和统计中占有重要地位,广泛存在于自然界，生产及生活实践中,很多随机变量都服从或近似服从正态分布. 在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在生物学中,同一群体的某一特征(身高、体重等); 讲课人：邢启强 1 正态分布的3σ原则 学习新知 尽管正态变量的取值范围是(−∞,+∞),但在一次试验中, X的取值几乎总落在区间[ , ]内,而在此区间外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生(小概率事件）. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布 的随机变量X只取[ , ]中的值,这在统计学中称为3σ原则. 讲课人：邢启强 1 例1：给出下列两个正态分布的函数表达式，请找出其μ和σ 探究一、正态密度函数及其图像特点 讲课人：邢启强 1 训练1.已知三个正态分布密度函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） B 讲课人：邢启强 1 例2.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100). (1).求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少? (2).若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人? 探究二、利用正态曲线求概率 训练2.若X～N(5,1),求P(6<X<7). 讲课人：邢启强 1 1、正态密度曲线及正态密度函数 2、正态曲线的特点 （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. （3）曲线在x=μ处达到峰值 （4）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴 3、正态分布的3σ原则 讲课人：邢启强 1 布置作业，应用迁移 作业： 1、教科书第97页练习A第1,2,3,4题； 2、了解正态分布的前世今生。 讲课人：邢启强 1 正态分布的奇妙之处,就是许多看似随机的事件竟然服从一个表达式就能表达的分布,如同上帝之手特意为之. --《创世纪数理统计·正态分布的前世今生》 讲课人：邢启强 1 $$