15.2 分式的运算（20个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第15章《分式》】 15.2 分式的运算 （20个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：分式乘法 1 考点讲练2：分式除法 3 考点讲练3：分式乘除混合运算 5 考点讲练4：分式乘方 6 考点讲练5：含乘方的分式乘除混合运算 7 考点讲练6：同分母分式加减法 8 考点讲练7：异分母分式加减法 10 考点讲练8：整式与分式相加减 12 考点讲练9：已知分式恒等式，确定分子或分母 13 考点讲练10：分式加减混合运算 15 考点讲练11：分式加减的实际应用 17 考点讲练12：分式加减乘除混合运算 18 考点讲练13：分式化简求值 19 考点讲练14：计算单项式除以单项式 21 考点讲练15：用科学记数法表示数的除法 22 考点讲练16：零指数幂 23 考点讲练17：负整数指数幂 24 考点讲练18：整数指数幂的运算 25 考点讲练19：用科学记数法表示绝对值小于1的数 26 考点讲练20：还原用科学记数法表示的小数 27 中等题真题汇编练 28 培优题真题汇编练 35 考点讲练1：分式乘法 【精讲题】（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）已知，则与的积为1的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）计算 ． 【举一反三练2】（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，，是大于1的正整数，且为整数，则 ． 考点讲练2：分式除法 【精讲题】（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）化简的结果是，则“？”的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练2】（23-24八年级上·福建厦门·期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的 倍． 考点讲练3：分式乘除混合运算 【精讲题】（23-24八年级下·全国·单元测试）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）化简的结果是 ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山东烟台·期中）计算= ． 考点讲练4：分式乘方 【精讲题】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）计算： ． 【举一反三练2】（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练5：含乘方的分式乘除混合运算 【精讲题】（24-25八年级上·河北·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶= ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是 ． 考点讲练6：同分母分式加减法 【精讲题】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知对于正数，规定，例如：，则 ． 【举一反三练1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若除以非零整数，商为整数，且余数为零，我们就说能被整除（或说能整除），记为，如：在中，能被整除，∵，所以；类似的；等等．根据以上知识回答下列问题： 若整数满足，整数满足，则； 若，则符合题意的整数的值之和； 整数满足的的值为任意整数．以上结论中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三练2】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（    ） ①若有意义，则； ②设，当为正整数时，的值为3或5 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 考点讲练7：异分母分式加减法 【精讲题】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 【举一反三练1】（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）化简结果正确的是 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若（其中，为常数），则 ， ． 考点讲练8：整式与分式相加减 【精讲题】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若，则分式的值为 ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）若 ，则 （   ） A． B．2 C．0 D．无法计算 考点讲练9：已知分式恒等式，确定分子或分母 【精讲题】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【举一反三练1】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若（，为有理数），那么 ， ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若，，为常数，则的值为 ． 考点讲练10：分式加减混合运算 【精讲题】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【举一反三练1】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ． 【举一反三练2】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 考点讲练11：分式加减的实际应用 【精讲题】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时， 则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 【举一反三练1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是 ． 考点讲练12：分式加减乘除混合运算 【精讲题】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级下·广东深圳·自主招生）若，，则 ． 【举一反三练2】（2024·安徽·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 考点讲练13：分式化简求值 【精讲题】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）当时，的值是 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）一项工作，甲独做小时完成，乙独做小时完成，则甲、乙两人合作完成的时间为 小时． 考点讲练14：计算单项式除以单项式 【精讲题】（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024·甘肃定西·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）当时， ． 考点讲练15：用科学记数法表示数的除法 【精讲题】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 【举一反三练2】（22-23七年级下·山东·期中）计算： ． 考点讲练16：零指数幂 【精讲题】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）计算： ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东清远·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练17：负整数指数幂 【精讲题】（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）计算 ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算 ． 考点讲练18：整数指数幂的运算 【精讲题】（2024·湖南岳阳·模拟预测）计算 等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【举一反三练2】（2024·湖北武汉·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练19：用科学记数法表示绝对值小于1的数 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，这些颗粒物的直径用科学记数法表示为（　　） A． B． C．400 D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）将用科学记数法表示 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）中国华为公司研发的麒麟芯片是全球第一款采用工艺制造的最先进手机处理器．已知，则数据“”用科学记数法表示为 ． 考点讲练20：还原用科学记数法表示的小数 【精讲题】（2024·山东济南·模拟预测）人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024七年级下·江苏·专题练习）将化为原数是 ． 【举一反三练2】（2023·河北张家口·模拟预测）某种电子元件的面积大约为，将这个数据写成小数的形式为：，这个小数中0的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若是完全平方式，则k等于（   ） A．16 B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　）     A．① B．② C．③ D．④ 3．（2018·河南·一模）若，则的值是（    ） A． B． C． D．0或 4．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 7．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试） ． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 9．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）计算： ． 10．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形的面积为3，点A的坐标为，点B的坐标为．若线段平行于x轴，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算：． 12． （24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： 13． （2024·江西九江·模拟预测）化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 14．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中取一个使原式有意义的值代入求值． 培优题真题汇编练 15．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）已 知， 且   ，则等于（   ） A．x B．x +1 C． D． 17．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，，依次递推，则等于（    ） A． B． C． D． 18．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 19．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，，那么的值为（   ） A．2 B． C．7 D．0 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 21．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）． 1 11 121 1331 14641… 根据上述规律，展开式中含项的系数为 ． 22．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）计算的结果是 ． 23．（24-25八年级上·全国·期末）若则a，b，c的大小关系用“”连接为 ． 24．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若，，则 ． 25．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）让我们来规定一种运算：，例如：，再如：．按照这种运算的规定，请解答下列问题： (1)求的值； (2)若 ，求的值． 26．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 27．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 28．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）（1）计算：；     （2）解不等式组：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第15章《分式》】 15.2 分式的运算 （20个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：分式乘法 1 考点讲练2：分式除法 3 考点讲练3：分式乘除混合运算 5 考点讲练4：分式乘方 6 考点讲练5：含乘方的分式乘除混合运算 7 考点讲练6：同分母分式加减法 8 考点讲练7：异分母分式加减法 10 考点讲练8：整式与分式相加减 12 考点讲练9：已知分式恒等式，确定分子或分母 13 考点讲练10：分式加减混合运算 15 考点讲练11：分式加减的实际应用 17 考点讲练12：分式加减乘除混合运算 18 考点讲练13：分式化简求值 19 考点讲练14：计算单项式除以单项式 21 考点讲练15：用科学记数法表示数的除法 22 考点讲练16：零指数幂 23 考点讲练17：负整数指数幂 24 考点讲练18：整数指数幂的运算 25 考点讲练19：用科学记数法表示绝对值小于1的数 26 考点讲练20：还原用科学记数法表示的小数 27 中等题真题汇编练 28 培优题真题汇编练 35 考点讲练1：分式乘法 【精讲题】（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）已知，则与的积为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据分式的乘法运算法则求解即可． 此题考查了分式的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． 【规范解答】解：∵， ∴与的积为1的是． 故选：A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分式的乘法计算，熟知分式的乘法计算法则是解题的关键． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，，是大于1的正整数，且为整数，则 ． 【答案】12 【思路点拨】先求出，再不妨设，则，据此得到，当时，则，不符合题意，据此可得或，当时，，则，可得，则；当时，，则，则，可得． 【规范解答】解： ， 、、是大于1的正整数， ∴不妨设， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，则，不符合题意， ∴或， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 考点讲练2：分式除法 【精讲题】（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键．设被遮挡的式子为t，则根据分式的除法法则可求出结果为，则t中一定含有的单项式，即可选择． 【规范解答】解：设被遮挡的式子为t， 则． ∵原式的运算结果为整式， ∴t中一定含有的单项式， ∴只有B选项符合题意． 故选B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）化简的结果是，则“？”的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查分式的除法，根据题意列式计算即可 【规范解答】解：根据题意得： ∴， ∴， ∴， 解得，， 故选：B 【举一反三练2】（23-24八年级上·福建厦门·期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的 倍． 【答案】 【思路点拨】此题考查列代数式（分式），掌握基本的数量关系：水的总量天数每一天的用水量是解决问题的关键．首先求得漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【规范解答】解：漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨， 根据题意，得． 故答案为： 考点讲练3：分式乘除混合运算 【精讲题】（23-24八年级下·全国·单元测试）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】利用除法法则变形，因式分解，约分解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：原式． 故选A． 【举一反三练1】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是掌握分式的乘除法法则．根据分式的乘除法法则计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山东烟台·期中）计算= ． 【答案】 【思路点拨】本题考查分式的混合运算，根据分式的乘除运算法则进行化简即可求出答案． 【规范解答】解：原式 ． 故答案为： ． 考点讲练4：分式乘方 【精讲题】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方，分式的乘方运算逐一分析即可． 【规范解答】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三练1】（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查分式的乘除，先算乘方再算除法即可． 【规范解答】原式， 故答案为：． 【举一反三练2】（2024·河北·模拟预测）化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了分式的乘方．熟练掌握分式乘方的法则，幂乘方法则，是解决问题的关键．分式乘方等于分子分母分别乘方，幂乘方底数不变，指数相乘． 运用分式乘方的法则和幂乘方的法则逐一判定，即得． 【规范解答】A、，∴A不正确； B、，∴B不正确； C、，∴C不正确； D、，∴D正确． 故选：D． 考点讲练5：含乘方的分式乘除混合运算 【精讲题】（24-25八年级上·河北·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是含乘方的分式的除法运算，先计算乘方，再把除法化为乘法，再约分即可． 【规范解答】解：； 故选：C 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶= ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算，先计算乘方运算，然后把除法转化为乘法，然后再算乘法即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查分式的乘法运算，先算乘方再算乘法，最后约分化简即可． 【规范解答】原式， 故答案为：． 考点讲练6：同分母分式加减法 【精讲题】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知对于正数，规定，例如：，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查以实数运算为背景的新定义题型，涉及分式的化简，确定是解题关键，根据可得，故，据此即可求解． 【规范解答】解：， ， ， 原式 ． 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若除以非零整数，商为整数，且余数为零，我们就说能被整除（或说能整除），记为，如：在中，能被整除，∵，所以；类似的；等等．根据以上知识回答下列问题： 若整数满足，整数满足，则； 若，则符合题意的整数的值之和； 整数满足的的值为任意整数．以上结论中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了新定义运算，整式的乘法，因式分解，分式的运算，根据整式的乘法，因式分解，分式的运算知识进行分析即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵整数满足，整数满足， ∴，，其中为整数， ∴， ∴能被整除，即，故正确； ∵， ∴ ， ∵为整数， ∴为整数， 则需为整数， ∴或或， 解得：的值为，，，，，， ∴符合题意的整数的值之和，故不正确； ∵， ∴是的倍数，也是的倍数， ∴整数任意整数都满足，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（    ） ①若有意义，则； ②设，当为正整数时，的值为3或5 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【思路点拨】本题考查分式运算，分式有意义的条件，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 根据分式在意义的条件即可判断①；先表示出y，再表示成，根据y为整数，即可确定x的值，进而可以判断②． 【规范解答】解：由题意，有意义，则， 即； 故①正确； 由于，且y为正整数， ∴是3的因数， 即或， 得：或1或5或； 但当时，，不合题意，其它三个符合题意； 故②错误； 故选：A． 考点讲练7：异分母分式加减法 【精讲题】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】A 【思路点拨】本题考查了分式的加法运算；先把分式通分化简得，根据分母为2的因数即可求得x的值，再把所有这些值相加即可． 【规范解答】解： ； 由于x为整数，且原式为整数， 所以或， 解得：或2或5或1， ∴， 故选：A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）化简结果正确的是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了异分母分式的减法运算，先通分，再根据分式的加法法则进行计算，即可作答． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若（其中，为常数），则 ， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的加减，计算，根据，为常数，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：，． 考点讲练8：整式与分式相加减 【精讲题】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解． 【规范解答】解： 故选：D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若，则分式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查分式的化简求值，将所求分式化为，然后代值求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）若 ，则 （   ） A． B．2 C．0 D．无法计算 【答案】A 【思路点拨】本题考查了分式的减法运算，整体代入求值，对等式合理的变形是解题的关键；先计算分式的减法，再整体代入求值即可； 【规范解答】解：， ， ， ∴ 原式 ， 故选：． 考点讲练9：已知分式恒等式，确定分子或分母 【精讲题】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【思路点拨】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【规范解答】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若（，为有理数），那么 ， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查分式的加法的应用，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算，再利用待定系数法列式求解即可． 【规范解答】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：；． 【举一反三练2】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【规范解答】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 考点讲练10：分式加减混合运算 【精讲题】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查的是数字的变化规律和分式的加减，发现当x的值互为倒数时，两分式的和为0是解题的关键． 将和代入得，将代入得，故此可知当互为倒数时，两分式的和为0，再分别求出当，时的值，然后求和即可． 【规范解答】将，代入，原式， 将，代入，原式， 当时，原式， 当时，， 故当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时， 将所得结果相加，其和等于， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 考点讲练11：分式加减的实际应用 【精讲题】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时， 则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 【答案】D 【思路点拨】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键． 先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解． 【规范解答】解：依题意，上山所用时间为：，下山所用时间为：， ∴小强上山和下山的平均速度为， 故选：D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式减法的应用，掌握异分母减法法则是解题关键．由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元．作差求解即可． 【规范解答】解：由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元． 则， 答：甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式加减的应用，利用分式表示出甲乙各自的工作效率，熟练掌握分式加减计算法则是解题关键．根据甲、乙合做一天的工作量甲一天的工作量乙一天的工作量，把相关数值代入即可． 【规范解答】解：∵甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成， ∴甲一天的工作量为，乙一天的工作量为， ∴甲、乙合作一天可以完成的工作量为， 故答案为：． 考点讲练12：分式加减乘除混合运算 【精讲题】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．原式利用除法法则变形，计算分式乘法，再计算加法即可得到结果． 【规范解答】解：原式 ， 故选：A． 【举一反三练1】（23-24九年级下·广东深圳·自主招生）若，，则 ． 【答案】0 【思路点拨】本题主要考查分式的性质，根据分式的混合运算法则计算，即可求解． 【规范解答】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（2024·安徽·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是分式的混合运算，先去括号，再通分，计算分式的减法运算即可． 【规范解答】解： ； 故选B 考点讲练13：分式化简求值 【精讲题】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式的化简，已知式子的值求代数式的值，数量掌握消元思想是解题的关键． 先将变形得，再代入代数式消去a，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）当时，的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）一项工作，甲独做小时完成，乙独做小时完成，则甲、乙两人合作完成的时间为 小时． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查根据题意写代数式并化简，理清题意写出代数式是解答本题的关键． 根据“工作量工作效率工作时间”得甲的工作效率是，乙的工作效率是，则可求得两人合作需要的时间． 【规范解答】解：甲的工作效率是，乙的工作效率是， 两人合作需要的时间是：． 故答案为： 考点讲练14：计算单项式除以单项式 【精讲题】（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，根据以上运算法则求解即可． 【规范解答】解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项正确，符合题意； C．，选项错误，不符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【举一反三练1】（2024·甘肃定西·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了同底数幂相乘、单项式除以单项式、合并同类项，完全平方公式，据此相关运算法则进行逐个分析，即可作答． 【规范解答】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）当时， ． 【答案】16 【思路点拨】本题主要考查了单项式的除法及求代数式的值，熟练掌握单项式的除法是解题的关键，利用单项式的除法把化简，然后代入求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：16． 考点讲练15：用科学记数法表示数的除法 【精讲题】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【规范解答】解：， ， 故选：D． 【举一反三练1】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 【答案】8 【思路点拨】根据整式除法法则进行计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为：8． 【举一反三练2】（22-23七年级下·山东·期中）计算： ． 【答案】 【思路点拨】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示． 【规范解答】， ， ， ， 故答案为：． 考点讲练16：零指数幂 【精讲题】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查合并同类项、零次幂及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、合并同类项及算术平方根可进行求解． 【规范解答】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 【举一反三练1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）计算： ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查幂的运算，运用负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：4． 【举一反三练2】（23-24七年级下·广东清远·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法以及幂的乘方运算， 根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【规范解答】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 考点讲练17：负整数指数幂 【精讲题】（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，零次幂，负整数指数幂的运算，先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再根据有理数的加减运算法则即可求解． 【规范解答】解： 故答案为： ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据负整数指数幂、合并同类项、积的乘方、完全平方式等知识点进行判断． 本题主要考查了负整数指数幂、合并同类项、幂的乘方与积的乘方和完全平方式等知识点，基础题，需要同学牢固掌握． 【规范解答】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、和不是同类项不能合并，故选项错误，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意． 故选：C 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和乘方计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案． 【规范解答】解； ， 故答案为：． 考点讲练18：整数指数幂的运算 【精讲题】（2024·湖南岳阳·模拟预测）计算 等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘，根据幂的乘方和同底数幂相乘法则计算即可． 【规范解答】原式． 故选：A． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了单项式乘单项式，整数指数幂的运算，负指数幂，解二元一次方程组等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘法法则及整数指数幂的法则分别计算等式左右两边，即可求得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【规范解答】解：∵，， ， 解得： ， 故答案为：． 【举一反三练2】（2024·湖北武汉·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式、积的乘方，整数指数幂运算；熟练掌握以上运算法则是解题的关键，根据这些法则，逐项判断即可； 【规范解答】、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 考点讲练19：用科学记数法表示绝对值小于1的数 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，这些颗粒物的直径用科学记数法表示为（　　） A． B． C．400 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【规范解答】解：， 故选：A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）将用科学记数法表示 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【规范解答】解：， 故答案为： 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）中国华为公司研发的麒麟芯片是全球第一款采用工艺制造的最先进手机处理器．已知，则数据“”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【规范解答】解：， 故答案为：． 考点讲练20：还原用科学记数法表示的小数 【精讲题】（2024·山东济南·模拟预测）人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定n即可解答． 【规范解答】解：， 故选：D． 【举一反三练1】（2024七年级下·江苏·专题练习）将化为原数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． 【规范解答】解：把数据中6.18的小数点向左移动3位就可以得到为． 故答案为：． 【举一反三练2】（2023·河北张家口·模拟预测）某种电子元件的面积大约为，将这个数据写成小数的形式为：，这个小数中0的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路点拨】本题考查了根据科学记数法还原原数，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．根据科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，即，则小数点向右移动了为，由此还原原数，即可求解． 【规范解答】解：， ∴这个小数中0的个数为7个， 故选：C ． 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若是完全平方式，则k等于（   ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了完全平方式的字母系数，两平方项为，一次项为，据此可得答案． 【规范解答】解：∵是完全平方式， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　）     A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了异分母分式减法计算，先把两个分式通分，然后去掉两个分式分子的括号，然后合并同类项即可得到答案． 【规范解答】解： ， ∴从第②步开始出现错误． 故选：B． 3．（2018·河南·一模）若，则的值是（    ） A． B． C． D．0或 【答案】D 【思路点拨】此题考查了零指数幂，有理数的乘方，根据题意分3种情况讨论，然后分别求解即可． 【规范解答】∵ ∴①当时， ∴，符合题意； ②当， ∴，不符合题意； ③当时 ∴，符合题意； 综上所述，的值是0或． 故选：D． 4．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数的定义，零指数幂；根据无理数的定义，逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：是有理数，，，是有理数， 是无理数， 故选：C． 5．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【规范解答】解：． 故选：A 6．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是分式的化简求值，由条件可得，再化简，再整体代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为： 7．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的混合运算，根据负整数指数幂和实数绝对值化简后1即可． 【规范解答】， 故答案为：． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】1 【思路点拨】该题主要考查了零指数幂，解题的关键是掌握零指数幂的计算法则． 根据任何非零实数的零指数幂都为1即可求解． 【规范解答】解：， 故答案为：1． 9．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）计算： ． 【答案】/0.875 【思路点拨】本题考查了负整数指数幂、有理数的乘方、有理数的乘法，先利用负整数指数幂将原式变形后，再利用有理数的乘方以及乘法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形的面积为3，点A的坐标为，点B的坐标为．若线段平行于x轴，则的值为 ． 【答案】1或 【思路点拨】两点的连线与轴平行，则它们的纵坐标相等．求出．结合面积为3，列式，进行计算即可作答．本题考查了与坐标轴平行的直线，掌握与坐标轴平行的直线特征是解题的关键． 【规范解答】解： 轴， 点和点的纵坐标相等， 则， ∴， 的面积为3， ∴， 或3， 则， 或． 故答案为：1或． 11．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，通分，平方差公式分解因式等知识点，熟练掌握分式的加减乘除混合运算法则是解题的关键． 先将括号内的部分通分，得出结果后再将括号外的部分利用平方差公式分解因式，然后将分式的除法转化为分式的乘法，约分即可得出答案． 【规范解答】解： ． 12．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算算术平方根、立方根、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减法即可． 【规范解答】解： ． 13．（2024·江西九江·模拟预测）化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值及使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算． 【规范解答】解： ∵， ∴， ∴， ∴原式． 14．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中取一个使原式有意义的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【思路点拨】本题考查分式和一元一次不等式组的知识，解题的关键是根据，对分式进行化简，然后求出一元一次不等式组解集，根据分式有意义的性质，取合适的代入，即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， 令， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式的解集为：，其整数解为1和2， ∵时，分式无意义， ∴当时，原式． 培优题真题汇编练 15．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂相除、负整数指数幂，根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂相除、负整数指数幂的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂相除、负整数指数幂的运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）已 知， 且   ，则等于（   ） A．x B．x +1 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数字的变化规律以及分式化简，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，再利用规律求解．分别求出，，，，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律进行求解． 【规范解答】解：， ， ， ， 该数列每三个数就循环一次， ， ， 故选：C． 17．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，，依次递推，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了分式的定义及分式的运算，找到规律是解题的关键．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每3个为一循环，即可计算并判断． 【规范解答】解：，，，……； 由此知，每3个为一循环， 而，且， ∴ ； 故选：C． 18．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，代数式求值，负整数指数幂，根据题意可得，再利用多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵关于的代数式分解因式得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 19．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，，那么的值为（   ） A．2 B． C．7 D．0 【答案】B 【思路点拨】本题考查分式的加减法，乘法运算，平方差公式的应用．先计算出，将变形为，再整体代入计算即可． 【规范解答】解：，， ， ， 故选：B． 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查的是乘方运算，分类讨论的思想是解题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，根据的乘方，的乘方，非零的数的零次幂，可得答案． 【规范解答】解：①当时， 解得：， 此时，则， ； ②当时， 解得：， 此时，则（， ； ③当时， 解得：， 此时，则， ； 综上所述，当，或，或时，代数式成立． 故答案为：或或． 21．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）． 1 11 121 1331 14641… 根据上述规律，展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，首先确定是展开式中第三项，先求出的第三项的系数，再把，代入计算即可． 【规范解答】解：∵是展开式中第三项， 且第三项系数为1，字母为， 第三项系数为，字母为， 第三项系数为，字母为， ∴第三项系数为，字母为， 当，时第三项系数为，字母为， 即展开式中含项为， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的化简，分式的减法，分式的乘法，先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的乘法运算，掌握分式的通分和约分是解题的关键． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·全国·期末）若则a，b，c的大小关系用“”连接为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了零指数幂，平方差公式，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，根据零指数幂的计算法则可求出a；把b变形得到，再利用平方差公式去括号可求出b；把c变形为，进一步变形得到，据此求出c即可得到答案． 【规范解答】解：， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查分式的化简求值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， 即． 故答案为：． 25．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）让我们来规定一种运算：，例如：，再如：．按照这种运算的规定，请解答下列问题： (1)求的值； (2)若 ，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【思路点拨】此题考查了新定义运算．熟练掌握有理数的四则运算，分式的加减，恒等原理，是解题的关键． （1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可； （2）根据新运算的定义式将原式左边化简为，可得，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：； （2）解：∵ 且 ∴， ∴， ∴． 26．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查是实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质、算术平方根、立方根进行化简，再计算加减即可得解； （2）先计算零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、有理数的乘法，再计算加减即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 27．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后将计算即可解答． 【规范解答】解： ， ∵且， ∴当时，原式． 28．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）（1）计算：；     （2）解不等式组：． 【答案】（1）12；（2）． 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先解出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$