精品解析：陕西省渭南市华州区咸林中学2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试题

咸林中学2024-2025学年高二年级第一次质量检测 数学 （试卷共150分，时间为150分钟） 第Ⅰ卷 （选择题 共60分） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线经过第一、二、四象限，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 1或 4. 以为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若圆与圆外切，则实数（ ） A. －1 B. 1 C. 1或4 D. 4 6. 圆上的点到直线的距离的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 直线与 (不同时为0)的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 与的值有关 8. 已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 2 二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0） 9. 下列四个命题中错误的有（ ） A. 直线的倾斜角越大，其斜率越大 B. 直线倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 10. （多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 圆：的圆心到直线的距离为2 B. 圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1 C. 圆：与圆：恰有三条公切线，则 D. 是两圆与的公共弦所在的直线方程 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 已知点，，动点P在y轴上，当取最小值时，点P的坐标为______. 13. 圆关于直线对称的圆的标准方程是________． 14. 直线与圆相交于两点，且．若，则直线的斜率为_________． 四、解答题：（本题共6小题，17题10分，剩下每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，，，.求： （1）BC边上的高所在直线的方程； （2）的面积. 16. 直线过点且倾斜角比直线的倾斜角大． （1）求直线的方程； （2）若直线和直线平行，且被圆所截的弦长为2，求直线的方程． 17. 已知圆，直线l过点. （1）求圆C的圆心坐标及半径； （2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程. 18. 已知实数满足 （1）求最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值. 19. 已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点． （1）求圆C的标准方程； （2）若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸林中学2024-2025学年高二年级第一次质量检测 数学 （试卷共150分，时间为150分钟） 第Ⅰ卷 （选择题 共60分） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据斜率计算倾斜角即可. 【详解】直线的斜率为，则由，知，即 故选:B． 2. 若直线经过第一、二、四象限，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 3. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】若直线∥直线，则，代入数值计算即可. 【详解】直线与直线平行， ,或. 故答案为：或 4. 以为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的斜率关系以及点斜式方程求解即可. 【详解】的中点为， ，所以中垂线的斜率为, 由点斜式可得整理得， 故选:A. 5. 若圆与圆外切，则实数（ ） A. －1 B. 1 C. 1或4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】由条件化简得，即两圆圆心为， 设其半径分别为，，所以有. 故选：D 6. 圆上的点到直线的距离的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离以及圆的几何性质求得正确答案. 【详解】圆即， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值是. 故选：C 7. 直线与 (不同时为0)的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 与的值有关 【答案】B 【解析】 【分析】判断两条直线的位置关系，分类讨论，通过计算斜率的乘积来确定即可. 【详解】当、都不为时,直线的斜率为，直线的斜率为.因为两条直线斜率的乘积为：，所以两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率不存在. 直线可化为，其斜率为，此时两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率为. 直线可化为，其斜率不存在，此时两条直线垂直. 故选：B. 8. 已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可. 【详解】由， ，即过定点， 由得，半径， 则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小， 最小值为. 故选：C 二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0） 9. 下列四个命题中错误的有（ ） A. 直线的倾斜角越大，其斜率越大 B. 直线倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，当倾斜角为锐角时，斜率大于0，当倾斜角为钝角时，斜率小于0，故A错误； 直线倾斜角的取值范围是，故B正确； 若一条直线的斜率为，此时可以为负角，而直线倾斜角的取值范围是，故C错误； 当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ACD. 10. （多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可. 【详解】由题意设，，所以， 在中， 如图所示，有两种情况： 故圆心C的坐标为或， 故所求圆的标准方程为 故选：AB. 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 圆：的圆心到直线的距离为2 B. 圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1 C. 圆：与圆：恰有三条公切线，则 D. 是两圆与的公共弦所在的直线方程 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离可判断A，由圆心到直线的距离及半径可判断B，由两圆的圆心距可判断C，利用两圆的方程可判断D. 【详解】对于A，圆：的圆心为，圆心到直线的距离为，故A错误； 对于B，圆的圆心为半径为2，又圆心到直线：的距离为，故圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，故B正确； 对于C，圆：的圆心为半径为1，圆：的圆心为半径为，两圆恰有三条公切线，则两圆外切，所以，解得，故C正确； 对于D，由两圆方程与得，即，所以是两圆与的公共弦所在的直线方程，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 已知点，，动点P在y轴上，当取最小值时，点P的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出关于轴的对称点,连接 ,与轴交于 ,即为所求，求出直线的方程，令可得的坐标. 【详解】 作出关于轴的对称点, 连接 ,与轴交于 ,即为所求， 此时取最小值， 由的斜率为， 可得方程， 令，可得， 即为，故答案为. 【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 13. 圆关于直线对称的圆的标准方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出所求圆的圆心坐标，结合圆的半径可得出所求圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 且点关于直线对称的点的坐标为， 因此，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 直线与圆相交于两点，且．若，则直线的斜率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案. 【详解】根据题意，直线l与圆 相交于两点，且， 当直线斜率不存在时，直线 即y轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l的方程为 ，即 ， 因为圆的圆心为 ，半径为 ， 又弦长,所以圆心到直线的距离为, 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题：（本题共6小题，17题10分，剩下每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，，，.求： （1）BC边上的高所在直线的方程； （2）的面积. 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）应用两点式求得，由点斜式写出高所在直线方程即可； （2）两点式求，点线距离求点A到直线BC的距离，即可求三角形面积. 【小问1详解】 由斜率公式，得， 所以BC边上的高所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 由两点间的距离公式，得， 又BC边所在的直线方程为，即， 所以点A到直线BC的距离，故. 16. 直线过点且倾斜角比直线的倾斜角大． （1）求直线的方程； （2）若直线和直线平行，且被圆所截的弦长为2，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先求出直线l的倾斜角，运用点斜式直线方程求解； （2）运用垂径定理求出圆心O到直线m的距离，再运用点到直线距离公式求出m的方程. 【小问1详解】 由题意得直线的斜率， 直线的倾斜角为，直线的斜率 ， 故直线的方程为，即； 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为， ，半径 ， ∴圆心到直线的距离为，∵直线被圆所截的弦长为2， ∴，即，解得， ∴直线的方程为. 17. 已知圆，直线l过点. （1）求圆C的圆心坐标及半径； （2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程. 【答案】（1）圆C的圆心坐标是，半径为2 （2）或 【解析】 【分析】（1）化成圆的标准方程可得答案； （2）直线l的斜率不存在时可直接得答案；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，利用点到直线的距离公式计算可得答案. 【小问1详解】 将圆C的方程化成标准式方程得， 圆C的圆心坐标是，半径为2； 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 由圆心到直线l的距离等于圆C的半径， 可得，解得， 故直线l的方程是. 综上所述，直线l的方程是或. 18. 已知实数满足 （1）求最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值. 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用的几何意义：圆上一点与坐标原点连线的斜率，即可求出答案； （2）利用的几何意义：圆上一点到坐标原点距离的平方，即可求出答案； 【小问1详解】 原方程化为：，表示以为圆心，为半径的圆， 设，即， 当直线与圆相切时，斜率取得最大值与最小值， 此时有：，解得， 所以的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 表示圆上一点到原点距离的平方， 易知在原点与圆心的连线与圆的两个交点出取得最大值与最小值， 又圆心到原点的距离为，半径为， 所以 19. 已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点． （1）求圆C的标准方程； （2）若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值． 【答案】（1）； （2） 设，．由题意得直线l的方程为， 由，得， ∴， ∴， ∴， . 即为定值0． 【解析】 【分析】（1）设圆C的方程为，解方程组求出即得解； （2）设，．由题意得直线l的方程为，联立直线和圆的方程得到韦达定理，计算化简即得证. 【小问1详解】 解：设圆C的方程为， ∴，解得， ∴圆C的方程为，其标准方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $